高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式精品随堂练习题

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考点分析及解题方法归纳：考点包含：计算条件概率；条件概率的应用；利用全概率公式求概率；利用贝叶斯公式求概率
课堂知识小结
考点巩固提升
知识归纳
1．条件概率
（一）定义
一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．读作发生的条件下发生的概率．
注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．
（二）性质
（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．
（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．
（3）如果与互斥，则．
注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么；
（2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．
（三）计算方法
（1）利用定义计算：先分别计算概率和，然后代入公式即可．
（2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，则．
2．相互独立与条件概率的关系
（一）相互独立事件的概念及性质
（1）相互独立事件的概念
对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．
由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．
（2）概率的乘法公式
由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．
（3）相互独立事件的性质
如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．
（4）两个事件的相互独立性的推广
两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．
（二）事件的独立性
（1）事件与相互独立的充要条件是．
（2）当时，与独立的充要条件是．
（3）如果，与独立，则成立．
3．全概率公式
（一）全概率公式（由因求果）
（1）；
（2）定理 若样本空间中的事件，，…，满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，.
则对中的任意事件，都有，且
.
证明：如下图所示， 因为事件中有且只有一个与事件B同时发生，其中互斥，即，显然也互不相容.
所以由概率的加法公式和概率的乘法公式得：

即得到全概率公式：
注：（1）内涵：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题.我们认真分析定理中的已知条件后，将所研究事件的试验结果视为，而导致事件发生的若干不同的假设情况也可以理解为各种原因视为，而且只有发生了才有事件的发生，那么全概率公式做出了由因求果的推断.
（2）关键点：什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.
合理选择，易求.
（二）贝叶斯公式（执果求因）
(1)一般地，当且时，有
(2)定理 若样本空间中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，.
则对中的任意概率非零的事件，都有，
且
注：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率.
（2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系．
考点讲解
考点1：计算条件概率
例1：（1）．已知A,B是两个随机事件,,,则下列命题中错误的是（ ）
A．若A包含于B,则
B．若A,B是对立事件,则
C．若A,B是互斥事件,则
D．若A,B相互独立,则
【答案】B
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念,判断之间的关系，进而判断选项的正误.
【详解】解:关于选项A,因为A包含于B,所以,
则,
故选项A正确,
关于选项B,因为A,B是对立事件,所以
所以,
故选项B错误,
关于选项C,因为A,B是互斥事件,所以
所以,
故选项C正确,
关于选项D,因为A,B相互独立,所以
所以,
故选项D正确.
故选:B
（2）．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取两个数，事件“有一个数是奇数”，“另一个数也是奇数”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件概率的定义，可分别求解,即可用条件概率的公式运用个数之比求解.
【详解】任取两个数，则一奇一偶共有种取法，两个都是奇数共有，所以事件包含所取两个数要么为一奇一偶，要么为两个奇数，故,
则事件为所取两个数均为奇数，故,故,
故选：A
（3）．一个盒子中有4个白球,个红球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,已知第二次取到红球的条件下,第一次也取到红球的概率为,则________.
【答案】6
【分析】根据条件概率的公式计算出结果即可.
【详解】解:由题知,记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件B,
,
,
,
或(舍).
故答案为:6
【方法技巧】
（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．
【变式训练】
1．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由条件概率的计算公式直接求得.
【详解】由乘法公式，得.
故选：C．
2．在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.记事件表示“第k只飞出笼的是苍蝇”，，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用条件概率的计算公式以及排列数、组合数进行计算求解.
【详解】由题得，，
则，故A，B，D错误.
故选：C.
3．现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了九嶷山”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意，根据条件概率的公式，结合古典概型的概率计算公式，可得答案.
【详解】由题意，4人去4个不同的景点，总事件数为，
事件的情况数为，则事件发生的概率为，
事件与事件的交事件为“甲去了九嶷山，另外三人去了另外三个不同的景点”
事件的情况数为，则事件发生的概率为，
即.
故选：C.
3．有10件产品，其中4件是正品，其余都是次品，现不放回的从中依次抽2件，则在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】利用条件概率公式即可得到结果.
【解答】解：设第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B，
则，
，
在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．
故选：C
4．某企业将生产出的芯片依次进行智能检测和人工检测两道检测工序，经智能检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工检验；已知某批芯片智能自动检测显示合格率为90%，最终的检测结果的次品率为，则在智能自动检测结束并淘汰了次品的条件下，人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率为_________.
【答案】
【分析】根据已知条件，结合条件概率的公式，即可求解.
【详解】设该芯片智能自动监测合格为事件A,人工监测一枚芯片恰好合格为事件B，
，则在智能自动检测结束并淘汰了次品的条件下，人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率.
故答案为：
5．在一个盒子中有大小质地相同的10个球，其中6个红球，4个白球，两个人依次不放回地摸一个球，在第一个人摸出1个红球的条件下，第2个人摸出1个白球的概率是_________.
【答案】
【分析】根据概率的定义计算．
【详解】在第一个人摸出1个红球的条件下，盒子中还有5个红球，4个白球，第2个人摸出1个白球的概率为．
故答案为：．
6．将一颗公正六面骰子抛掷1次，记事件为“掷得的点数为2”，事件为“掷得的点数为偶数”.则_________.（结果用最简分数表示）
【答案】
【分析】根据题意，计算与，利用条件概率公式求解即可.
【详解】由题，，，则，
故答案为：
7．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是．从开关第一次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，那么第二次闭合后出现红灯的概率是____________．
【答案】
【分析】由条件概率公式计算．
【详解】记第一次闭合后出现红灯为事件，则第一次出现绿灯为事件，第二次闭合后出现红灯为事件，出现绿灯为，
，，，
所以．
故答案为：．
考点2：条件概率的应用
例2：（1）．2018年某地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.48B．0.6C．0.75D．0.8
【答案】C
【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率是，利用条件概率公式能求出结果．
【详解】一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，设随后一天空气质量为优良的概率为，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有，
，故选C．
【点睛】本题考查条件概率，属于基础题．
（2）．某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8 000小时不坏的概率为，现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】记事件“用满小时不坏”，
记事件“用满小时不坏，
则
故答案选
【方法技巧】
（1）利用定义计算：先分别计算概率和，然后代入公式即可．
（2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，则．
【变式训练】
1．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)＝，P(B|A)＝，
所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝.
2．下列说法中正确的是（ ）
A．B．是可能的
C．D．
【答案】B
【分析】根据条件概率公式计算判断即可.
【详解】，故A错误；
当时，，可能成立，故B正确；
当且仅当与相互独立时成立，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
3．已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据条件概率公式计算．
【详解】由，可得.
故选：C.
4．2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（ ）
A．0.99%B．99%C．49.5%.D．36.5%
【答案】C
【分析】利用条件概率可求某人检验呈阳性时他确实患病的概率.
【详解】设为“某人检验呈阳性”，为“此人患病”.
则“某人检验呈阳性时他确实患病”为，
又，
故选：C.
【点睛】本题考查条件概率的计算及其应用，此题需将题设的各个条件合理转化为事件的概率或条件概率.
考点3：利用全概率公式求概率
例3：（1）．制造业直接体现了一个国家的生产力水平，中国制造业作为国家的支柱产业，一直保持较好的发展态势.通过人口普查发现，A，B两市从事制造业的人分别占全市人口的，，这两市的人口数之比为.现从这两市随机选取一个人，则此人恰好从事制造业的概率为___________.
【答案】##
【分析】利用条件概率即可求得从这两市随机选取一个人，则此人恰好从事制造业的概率
【详解】由题设可知，选取A市的人概率为，选取B市的人概率为，
所以A市中选到从事制造业的人概率为；
B市中选到从事制造业的人概率为；
综上，现从这两市随机选取一个人，则此人恰好从事制造业的概率为.
故答案为：
（2）．已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是_________．
【答案】##
【分析】根据独立事件和互斥事件概率计算方法计算即可．
【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A，买到的灯泡是乙厂产品为事件B，则由题可知P(A)＝，P(B)＝，
从甲厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件C，
从乙厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件D，
则由题可知P(C)＝，P(D)＝，
由题可知A、B、C、D互相独立，
故从该地市场上买到一个合格灯泡的概率为：
P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝．
故答案为：．
【方法技巧】
（1）；
（2）定理 若样本空间中的事件，，…，满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，.
则对中的任意事件，都有，且
.
【变式训练】
考点4：利用贝叶斯公式求概率
例4．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分、、．现从这三个地区任抽取一个人．
(1)求此人感染此病的概率；（结果保留三位小数）
(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．（结果保留三位小数）．
【答案】(1)0.198
(2)0.337
【分析】（1）由全概率公式求解
（2）由贝叶斯公式求解
（1）
设事件表示“来自第i个地区，”；事件B表示“感染此病”．
所以，，，
所以，，．
；
（2）
．
【方法技巧】
(1)一般地，当且时，有
(2)定理 若样本空间中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，.
则对中的任意概率非零的事件，都有，
且
【变式训练】
1．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为．若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为 __．
【答案】
【分析】由条件概率的性质和全概率公式计算即可.
【详解】设“该学生第i次及格”为事件Ai，i＝1，2，
显然A1，A2为样本空间的一个完备事件组，
且已知P（A1）＝p，P（A2|A1）＝p，P（）＝1﹣p，P（A2|）．
由全概率公式得，P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（）P（A2|）（1+p）．
由贝叶斯公式得，P（A1|A2）．
故答案为：．
2．设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？
【答案】(1)
(2)此次品由甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为：
【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.
（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.
（1）
取到次品的概率为
（2）
若取到的是次品，则：
此次品由甲车间生产的概率为：.
此次品由乙车间生产的概率为：.
此次品由丙车间生产的概率为：.
3．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
【答案】(1)
(2)0.25
【分析】（1）设表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”，再根据概率的公式求解即可；
（2）同（1），结合条件概率的公式求解即可.
（1）
设表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”．
．
（2）
．
知识小结
条件概率
一般地，设A,B为两个事件,且,称为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.
如果B和C互斥，那么
全概率公式
（一）全概率公式（由因求果）
（1）；
（2）定理 若样本空间中的事件，，…，满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，.
则对中的任意事件，都有，且
.
巩固提升
一、单选题
1．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅，人工餐厅，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.5，运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由全概率公式求解
【详解】由题意得运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为
故选：C
2．学校食堂分设有一､二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（ ）
A．0.18B．0.28C．0.42D．0.65
【答案】D
【分析】利用全概率公式求解即可.
【详解】设为“第一天去一餐厅用餐”，为“第一天去二餐厅用餐”，为“第二天去一餐厅就餐”；
则,,,
由全概率公式可知
,
故选：D.
3．某铅笔工厂有甲，乙两个车间，甲车间的产量是乙车间产量的1.5倍，现在客户定制生产同一种铅笔产品，由甲，乙两个车间负责生产，甲车间产品的次品率为10%，乙车间的产品次品率为5%，现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到次品的概率为（ ）
A．0.08B．0.06C．0.04D．0.02
【答案】A
【分析】先根据产量计算抽到甲车间产品和乙车间产品的概率，再由次品率分别计算抽到甲车间次品和乙车间次品的概率，最后相加即可.
【详解】从这种铅笔中任取一件抽到甲的概率为0.6，抽到乙的概率是0.4，
抽到甲车间次品的概率P1＝0.6×0.1＝0.06，
抽到乙车间次品的概率P2＝0.4×0.05＝0.02，
任取一件抽到次品的概率P＝P1+P2＝0.06+0.02＝0.08．
故选：A．
4．某种疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（ ）
A．0.46B．0.046C．0.68D．0.068
【答案】D
【分析】根据全概率公式可得结果.
【详解】由题意得：
，
故选：．
5．采购员要购买某种电器元件一包（10个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，其余包中各含1个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为（ ）
A．0.46B．0.49C．0.51D．0.54
【答案】A
【分析】分两种情况，抽到含有1个次品，且抽到的3个元件中含有这一个次品的概率加上抽到含有4个次品，且随机抽查的3个元件中含有次品的概率，即为答案.
【详解】抽到含有1个次品，且抽到的3个元件中含有这一个次品的概率为，
抽到含有4个次品，且随机抽查的3个元件中含有次品，则拒绝购买，
故概率为，
所以采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为.
故选：A
6．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设男生甲被选中为事件，女生乙被选中为事件，分别求得，，再结合条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】解：由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，
设男生甲被选中为事件，其概率为，
设女生乙被选中为事件，
则男生甲被选中且女生乙也被选中的概率为，
所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.
故选：B.
二、多选题
7．下面几种概率不是条件概率的是（ ）
A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率
B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下乙投篮次命中的概率
C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率
【答案】ACD
【分析】利用条件概率的定义求解.
【详解】由条件概率的定义知B选项中的概率为条件概率，A，C，D中的不是条件概率．
故选：ACD．
8．设A，B是两个事件，若B发生时A必定发生，且，，给出下列各式，其中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
【详解】解：发生必定发生，
，，故A，D错误，
，故B错误，
，故C正确．
故选：ABD．
9．2021年5月31日，中共中央政治局召开会议，审议《关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》并指出，为进一步优化生育政策，积极应对人口老龄化，实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施.假定生男生女是等可能的，现随机选择一个有3个孩子的家庭，则（ ）
A．三个孩子都是男孩的概率为
B．这个家庭有女孩的概率为
C．第一孩是男孩的条件下，第二三孩也是男孩的概率为
D．这个家庭有女孩的条件下，该家庭也有男孩的概率为
【答案】CD
【分析】由古典概型计算公式计算即可得出答案.
【详解】由题意知：这个家庭3个孩子的全部可能为：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女）、（男男男），共8种;
则三个孩子都是男孩的有（男男男）共1种，所以其概率为，A错误；
这个家庭有女孩的有：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女）共7种，其概率为，B错误；
第一孩是男孩的条件下有（男女女）、（男女男）、（男男女）、（男男男）共4种，第二三孩也是男孩的有（男男男）共1种，其概率为，C正确；
这个家庭有女孩的有：（女女女）、（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女）共7种，
其中有男孩的有：（女女男）、（女男女）、（男女女）、（女男男）、（男女男）、（男男女）共6种，其概率为.D正确.
故选：CD.
10．甲袋子中有5个黑球，4个白球，乙袋子中有3个黑球，4个白球．假设这些球除了颜色外其他都相同，分两次从袋子中取球，第一次先从甲袋子中随机取出一球放入乙袋子，分别用事件，表示由甲袋子取出的球是黑球，白球：第二次再从乙袋子中随机取出两球，分别用事件，表示从乙袋子取出的球是“两球都为黑球”，“两球为一黑一白”，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】AB选项，利用条件概率求解；C选项，利用独立事件概率乘法公式求解；D选项，利用全概率公式进行求解.
【详解】由题意得：，，
，A正确；
，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：AD
三、填空题
11．对如下编号为1，2，3，4的格子涂色，有红，黄，蓝，绿四种颜色可供选择，要求相邻格子不同色，则在1号格子涂红色的条件下，4号格子也涂红色的概率是______.
【答案】
【分析】根据条件概率的计算公式，计算出所求概率.
【详解】设1号涂红色事件为，4号涂红色事件为，
则.
故答案为：
12．已知A，B是某随机试验中的两个随机事件，，，____________.
【答案】0.75##
【分析】利用条件概率公式即得.
【详解】.
故答案为：0.75.
13．每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h，这些人的近视率约为50%，现从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为__________.
【答案】
【分析】利用全概率公式列方程求解即可.
【详解】从某高校中任意调查一名学生，记该学生近视为事件A，记该学生每天操作电子产品超过1h为事件B，则从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为.
由题可知，，.
由全概率公式得
即
解得，
即从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为.
故答案为：.
14．已知，且．若，，则______．
【答案】0.12##
【分析】由可得相互独立，进而根据相互独立的性质和乘法公式即可求解.
【详解】∵，∴A，B相互独立，进而可知也相互独立，
∵，∴．
∵，∴．
∴．
故答案为：0.12．
四、解答题
15．10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求：
(1)甲抽到难签的概率；
(2)甲、乙两人有人抽到难签的概率；
(3)在甲抽到难签后，乙抽到难签的概率；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）结合古典概型的概率计算公式计算出正确答案.
（2）结合古典概型的概率计算公式、对立事件等知识计算出正确答案.
（3）结合条件概率的计算公式计算出正确答案.
（1）
依题意，10个考签中有4个难签，
所以甲抽到难签的概率是.
（2）
甲、乙都没抽到难签的概率为，
所以甲、乙两人有人抽到难签的概率为.
（3）
甲抽到难签后，乙抽到难签的概率为.
16．甲、乙两人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)写出甲、乙两人抽到的牌的样本空间．
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之则乙胜，你认为此游戏是否公平？并说明你的理由．
【答案】(1)答案详见解析（答案不唯一）
(2)
(3)不公平，理由见解析
【分析】（1）根据抽取的方法写出样本空间.
（2）根据古典概型的概率问题计算公式，计算出所求答案.
（3）根据甲、乙的胜率进行说明.
（1）
用a表示方片4，2，3，4分别表示红桃2、红桃3、红桃4，
则甲、乙两人抽到的牌的样本空间为：
．
（2）
甲抽到3，乙抽到的只能是2，4，a，所以乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为．
（3）
甲抽到的牌的牌面数字比乙大的样本点有，
所以甲胜的概率为，乙胜的概率为，故游戏不公平．
4
2
3
1