高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程精品课堂检测

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2．2 直线的方程
【知识点梳理】
知识点一：直线的点斜式方程
方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．
知识点诠释：
1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；
2．当直线的倾斜角为时，直线方程为；
3．当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：．
4．表示直线去掉一个点；表示一条直线．
知识点二：直线的斜截式方程
如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
知识点诠释：
1．b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；
2．斜截式方程可由过点的点斜式方程得到；
3．当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式．
4．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线．
5．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距．
知识点三：直线的两点式方程
经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式．
知识点诠释：
1．这个方程由直线上两点确定；
2．当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程．
3．直线方程的表示与选择的顺序无关．
4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．
知识点四：直线的截距式方程
若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距．
知识点诠释：
1．截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线．
2．求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距．
知识点五：直线方程几种表达方式的选取
在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．
知识点六：直线方程的一般式
关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式．
知识点诠释：
1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线．
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．
由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程．




知识点七：直线方程的不同形式间的关系
名称
方程的形式
常数的几何意义
适用范围
点斜式

是直线上一定点，是斜率
不垂直于轴
斜截式

是斜率，是直线在y轴上的截距
不垂直于轴
两点式

，是直线上两定点
不垂直于轴和轴
截距式

是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距
不垂直于轴和轴，且不过原点
一般式

、、为系数
任何位置的直线
直线方程的五种形式的比较如下表：
知识点诠释：
在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．
知识点八：直线方程的综合应用
1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．
2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．
对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．
（1）从斜截式考虑
已知直线，，
；

于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．
（2）从一般式考虑：


且或，记忆式（）
与重合，，，
于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．
【题型归纳目录】
题型一：点斜式直线方程
题型二：斜截式直线方程
题型三：两点式直线方程
题型四：截距式直线方程
题型五：中点坐标公式
题型六：直线的一般式方程
题型七：直线方程的综合应用
题型八：判断动直线所过定点
题型九：直线与坐标轴形成三角形问题
题型十：直线方程的实际应用
【典型例题】
题型一：点斜式直线方程
例1．（2022·全国·高二课时练习）方程表示（       ）
A．通过点的所有直线 B．通过点且不垂直于y轴的所有直线
C．通过点且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点且除去x轴的所有直线
【答案】C
【解析】为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点．
故选：C
例2．（2022·全国·高二专题练习）已知直线的倾斜角，且过点，则该直线的方程为 __．
【答案】
【解析】直线的倾斜角，所以直线的斜率为
又因为直线过点，
所以直线的方程为，
．
故答案为：．
例3．（2022·全国·高二课时练习）已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的点斜式方程为________．
【答案】
【解析】由直线，得斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
设直线的倾斜角为，斜率为，
则，
又直线过点，所以直线的点斜式方程为．
故答案为：．
例4．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件求直线的点斜式方程：
(1)经过点，斜率为4；
(2)经过点，倾斜角为．
【解析】(1)由题得直线的点斜式方程为.
(2)由题得直线的斜率为，
所以直线的点斜式方程为.
例5．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线l经过点P(4, 1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程.
【解析】根据题意知直线l不垂直于x轴，其斜率存在且为负数，
故可设直线l的方程为.
在方程中，令，得；令，得.
故直线l与两坐标轴交于点与.　
因为直线l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，
所以，即：，解得，
故直线l的点斜式方程为
【方法技巧与总结】
（1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标．
（2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为．
题型二：斜截式直线方程
例6．（2022·浙江·丽水外国语实验学校高二阶段练习）已知的三个顶点分别是，，，则边上的高所在直线的斜截式方程为______.
【答案】
【解析】设边上的高为，
因为,所以，，解得，
所以边上的高所在直线的点斜式方程是，
整理可得斜截式方程.故答案为．
例7．（2022·江西·永新中学高二期中（理））与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（       ）
A．
B．或
C．
D．或
【答案】A
【解析】由于直线，即，可知斜率，
则与直线垂直的直线斜率为，
由于所求直线在轴上的截距为4，
则所求直线的斜截式方程是.
故选：A.
例8．（2022·全国·高二课前预习）已知直线的方程为，的方程为，直线与平行且与在轴上的截距相同，求直线的斜截式方程．
【解析】由斜截式方程，知直线的斜率，
又因为，所以的斜率．
由题意，知在轴上的截距为，
所以在轴上的截距为，
由斜截式，得直线的方程为．
例9．（2022·全国·高二课前预习）写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率是，在轴上的截距是；
(2)倾斜角为，在轴上的截距是；
(3)倾斜角为，在轴上的截距是．
【解析】(1)
(2)因为，所以．
(3)因为，所以．
【方法技巧与总结】
（1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距．
（2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用．
（3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用．
题型三：两点式直线方程
例10．（2022·全国·高二课时练习）有关直线方程的两点式，有如下说法：
①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程；
②直线方程也可写成；
③过点，的直线可以表示成.
其中正确说法的个数为(       )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】①正确，从两点式方程的形式看，只要，，就可以用两点式来求解直线的方程；②正确，方程与的形式有异，但实质相同，均表示过点和的直线；③显然正确.
故选：D.
例11．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的两点式方程为，则的斜率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为直线的两点式方程为，
所以直线过点，，
所以的斜率为．
故选：A
例12．（2022·全国·高二课时练习）过点和点的直线的两点式方程是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为所求直线过点和点，根据直线的两点式方程可得：
所求直线方程为.
故选B.
例13．（2022·全国·高二课时练习）已知点、，则直线AB的两点式方程是______．
【答案】
【解析】直线的两点式方程为：
将点、代入得：.
故答案为：.
例14．（2022·全国·高二课时练习）经过点､的直线的两点式方程为___________.
【答案】
【解析】因为直线经过点､，
由直线的两点式方程可得，可得，即，
所以直线的两点式方程为.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程．
题型四：截距式直线方程
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（       ）
A．1 B． C．或1 D．2或1
【答案】D
【解析】当时，直线，此时不符合题意，应舍去；
当时，直线，在轴与轴上的截距均为0，符合题意；
当且，由直线可得：横截距为，纵截距为.
由，解得：.
故的值是2或1.
故选：D
例16．（2022·内蒙古包头·高一期末）过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程为（       ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【解析】当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为，
因为直线过点，代入可得，即；
当所求直线过原点时，设直线方程为，
因为直线过点，代入可得，即，
综上可得，所求直线的方程为或.
故选：B.
例17．（2022·吉林油田高级中学高二开学考试）若直线与垂直，则的方程的截距式为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为与垂直，所以，
解得，
则的方程为，即.
故选：C.
例18．（2022·全国·高一课时练习）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为　(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为三顶点坐标为，
又为的中点，为的中点，由中点坐标公式可得：，
则直线的两点式方程为：，故截距式方程为.
故选：A．
例19．（2022·全国·高二课时练习）过点P(1，3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是________.
【答案】
【解析】设点A(m，0)，B(0，n)，由点P(1，3)是AB的中点可得m=2，n=6，
即A，B的坐标分别为(2，0)，(0，6).
则l的方程为+=1.
故答案为：+=1
例20．（2022·全国·高二专题练习）若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则这样的直线有______条.
【答案】
【解析】依题意直线在坐标轴上的截距均不为，设直线的截距式为，
∵直线经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，
∴，解得，或，或，
所以直线的条数为条．
故答案为：
【方法技巧与总结】
应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零．
题型五：中点坐标公式
例21．（2022·全国·高二专题练习）已知点，，则经过点且经过线段AB的中点的直线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知，AB中点为，又，
∴所求直线斜率为，故直线方程为，即．
故选：C.
例22．（2022·全国·高三专题练习）直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为______．
【答案】
【解析】设直线与和，分别交于点和，
因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得，解得，
所以和，则，
可得直线的方程为，即.
故答案为：.
例23．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的一般式方程为______．
【答案】
【解析】设直线l的斜率为，因为直线l过，
所以直线方程为，
由，
由，由题意可知：是截得的线段的中点，
所以，即，
故答案为：
例24．（2022·广东·高二期末）若直线与直线，分别交于点､，且线段的中点坐标为，直线的一般式方程是___________.
【答案】
【解析】由题意，，，，
即，，，
直线的方程是，即．
故答案为：．
例25．（2022·湖北·高二阶段练习）直线l过点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点（A､B不重合），若点M恰为线段的中点，则直线l的方程为___________.
【答案】.
【解析】由题意，设，由中点坐标公式得，则，则直线l的方程为：.
故答案为：.
例26．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l过点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点．若点P恰为AB的中点，求直线l的方程．
【解析】设直线l的方程为
令，得；令，得．
故，．
因为P是AB的中点，所以，解得．
故直线l的方程为，即．
【方法技巧与总结】
（1）中点坐标公式是一个重要的公式，要注意灵活地运用它来解决问题．
（2）在运用中点坐标公式时，要注意与“中点”等价的有关概念的运用．
（3）在具体解题时，还应注意创设条件运用中点坐标公式，如由平面几何知识可知，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，也就是对角线上两顶点的中点重合等．
题型六：直线的一般式方程
例27．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式：
(1)经过点（0，2），且倾斜角为；
(2)经过点（－2，3）和点（－1，0）；
(3)经过点（2，1），在x，y轴上有不为0且相等的截距．
【解析】(1)因为直线经过点，且倾斜角为，
所以直线的斜率为，
所以直线方程为，
所以直线的一般方程为
(2)因为直线经过点和点，
所以直线斜率为，
所以直线方程为，
所以直线的一般式方程为
(3)由题设直线方程为，
因为直线过点，
所以，解得
所以直线的一般式方程为
例28．（2022·全国·高三专题练习）如果且，那么直线不经过（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由且，可得同号，异号，所以也是异号；
令，得；令，得；
所以直线不经过第三象限.
故选：C.
例29．（2022·全国·高二课时练习）已知①直线的倾斜角为30°；②直线不经过坐标原点．写出一个同时满足①②的直线方程：________．（用一般式方程表示）
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意得，直线斜率为，
又直线不经过坐标原点，即一般式方程中的常数项非零，
所以符合题意的一个直线方程为．
故答案为：（答案不唯一）
【方法技巧与总结】
让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：的系数为正，，的系数及常数项一般不出现分数，一般按含项、项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．
题型七：直线方程的综合应用
例30．（2022·辽宁·高二期中）直线：与直线：（实数a为参数）的位置关系是（       ）
A．与相交 B．与平行
C．与重合 D．与的位置关系与a的取值有关
【答案】B
【解析】由：，
可得，
因为且，
所以与平行
故选：B
例31．（2022·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））若直线与直线平行，则实数等于（        ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【解析】因为直线与直线平行，
所以，解得.
故选：B.
例32．（2022·广东肇庆·高二期末）“”是“直线与直线平行”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线与直线平行，则有解得或，所以当时，直线与直线平行，当直线与直线平行时，或.
故选：A
例33．（2022·江苏·高二）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（       ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【解析】由题意直线过定点，
直线可变为，所以该直线过定点，
所以，
又，
所以直线与直线互相垂直，
所以，
所以即，
当且仅当时取等号,
所以，，即面积的最大值是.
故选：D.
例34．（2022·福建·厦门外国语学校高二阶段练习）直线与直线垂直，则的值为（       ）
A． B．1 C． D．9
【答案】B
【解析】由题意，得，解得.
故选：B.
例35．（2022·湖南·益阳平高学校高二期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（       ）
A． B． C．3 D．6
【答案】D
【解析】由题意，动直线过定点，
直线可化为，令，可得，
又，所以两动直线互相垂直，且交点为，
所以，
因为，
所以，当且仅当时取等号.
故选：D.
例36．（2022·贵州贵阳·高二期末（理））过点且与直线平行的直线方程是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为所求直线与直线l平行，
所以设所求直线方程为：，
又所求直线过点，代入可得，解得，
所以所求直线为，即.
故选：A
例37．（2022·全国·高二课时练习）经过点，且与直线：（）垂直的直线的方程为______．
【答案】
【解析】当时，直线：的斜率不存在，则所求直线的斜率为0．
因为直线过点，
所以直线的方程为．
当时，直线：的斜率为．
设所求直线的斜率为，则，
所以．
因为直线过点，
所以直线的方程为，即．
当时，符合上式．
所以直线的方程为．
例38．（2022·全国·高二课时练习）已知在第一象限的中，，，，，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程．
【解析】（1）因为，，所以轴，所以AB边所在直线的方程为．
（2）因为，所以，所以直线AC的方程为，即因为，所以，所以直线BC的方程为，即.
例39．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，若直线与直线平行，求的值.
【解析】由得，得直线的斜率为，
由得，得斜率为，
因为直线与直线平行，所以，
解得.
例40．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，直线，且，求m的值．
【解析】因为直线与直线垂直，
所以，
即，解得或.
例41．（2022·全国·高二课时练习）已知两条直线，．
(1)证明直线过定点，并求出该定点的坐标．
(2)若，不重合，且垂直于同一条直线，求a的值．
(3)从①直线l过坐标原点，②直线l在y轴上的截距为2，③直线l与坐标轴形成的三角形的面积为1这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并作答．
若，直线l与垂直，且________，求直线l的方程．
【解析】（1）∵变形为，
∴直线过定点，定点的坐标为．
（2）∵，不重合，且垂直于同一条直线，∴，
∴，∴．
（3）方案一：选条件①．
∵，∴直线，其斜率为2，
又直线l与垂直，∴直线l的斜率为．
∵直线l过坐标原点，
∴直线l的方程为，即．
方案二：选条件②．
由题意设直线l的方程为，
令，则，则，即，
∴直线l的方程为．
方案三：选条件③．
由题意设直线l的方程为，
令，则，令，则，
∴，解得，
∴直线l的方程为．
【方法技巧与总结】
求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式．
题型八：判断动直线所过定点
例42．（2022·四川眉山·高一期末（理））直线经过的定点是______．
【答案】（－2，－3）
【解析】因为，即
令，即
所以过定点.
故答案为:.
例43．（2022·全国·高二专题练习）直线恒过定点（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将变形为：，令且，解得，故直线恒过定点
故选：A
例44．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）不论为何实数，直线恒通过一个定点，这个定点的坐标是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】原方程可化为，由直线恒过定点可知，
，解得，所以直线恒过定点
故选：B
【方法技巧与总结】
合并参数，另参数的系数为零解方程．
题型九：直线与坐标轴形成三角形问题
例45．（2022·重庆市万州第二高级中学高二期末）已知直线：.
(1)已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的方程.
(2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，求面积的最小值.
【解析】(1)由变形得，则设直线过，要使点到直线距离最大，则满足，，则，直线方程为，即；
(2)由题知，，，令得，即，令得，即，则，当且仅当时等号成立，故的最小值为4.
例46．（2022·吉林·长春外国语学校高二开学考试）已知直线.
(1)若直线不能过第三象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
【解析】(1)由，
当时，直线的方程为，此时直线不过第三象限，合乎题意；
当时，在直线的方程中，令，可得，
令，可得，
若直线不过第三象限，则，解得.
综上所述，.
(2)由（1）可知，，
又在轴负半轴，在轴正半轴，所以，，可得.
，当且仅当时等号成立，
所以，的最小值为，此时直线的方程.
例47．（2022·山东省日照实验高级中学高二阶段练习）已知直线l过点.
（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；
（2）设直线l的斜率，直线l与两坐标轴交点别为，求面积最小值.
【解析】（1）因为直线l在两坐标轴上截距和为零，
所以直线l斜率存在且不为，故不妨设斜率为，则直线l方程为，
所以直线在坐标轴上截距分别为，，
所以，整理得，解得或
所以直线l方程为或.
（2）由（1）知，
因为，
所以面积为，
当且仅当，即时等号成立，
所以面积最小值
例48．（2022·全国·高二单元测试）已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B.
（1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）；
（2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程.
【解析】（1）设l的方程为，由直线过点知，即，由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立，
又知，所以时等号成立，
此时l直线的方程为，
即面积最小时直线l的方程为.
（2）易知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为，所以得，，所以，得，等号成立时有k，得，
此时直线的方程为，即.
故的最小值是24，取最小值时直线l的方程是.
例49．（2022·全国·高三专题练习）过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A，B.
(1)若是等腰直角三角形，求直线l的方程；
(2)对于①最小，②面积最小，若选择___________作为条件，求直线l的方程.
【解析】（1）因为过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A、B，且是等腰直角三角形，
所以直线l的倾斜角为，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即；
（2）设，，直线l的方程为，代入点可得，
若选①：，当且仅当时等号成立，
此时直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即；
若选②：由，可得，当且仅当时等号成立，
所以，即面积最小为4，
此时直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即.
例50．（2022·全国·高三专题练习）过点作直线分别交轴、轴的正半轴于，两点．
(1)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程；
(2)当取最小值时，求出最小值及直线的截距式方程．
【解析】（1）根据题意可设直线l的方程为,则,
直线l过点,,
又(当且仅当,即时取等号),
,即,
的最小值为8,此时直线l的截距式方程为.
（2）由（1）可知,,则,



(当且仅当,即时取等号).
的最小值为4,此时直线l的截距式方程为.
例51．（2022·全国·高二课前预习）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别为交于A、B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为__________，此时的直线方程为__________．
【答案】     4    
【解析】由题可知直线AB斜率为负，故设直线AB的方程为，
令x＝0，则y＝1－2k；令y＝0，则x＝2－，
∴
，当且仅当，即时取等号.
故当时，有最小值4．
此时，直线方程为即．
故答案为：4；.
例52．（2022·重庆一中高一期中）已知点M为直线与直线在第一象限的交点，经过点M的直线l分别交x，y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，则当取得最小值为时，a的值为________.
【答案】
【解析】由，得，即，在第一象限，则，
设直线方程为，显然，
令得，令得，
所以，当且仅当，即时等号成立．
所以最大值为，解得或（舍去）．
故答案为：．
例53．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过点，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O是坐标原点，若________，求直线l的方程．试从下列所给的条件中任选一个补充在横线处，并解答．
①；
②的面积是6．
【解析】选条件①：
设直线l的方程为，
由题意可知，得，
所以直线l的方程为，即；
选条件②：
设直线l的方程为．
由题意可得，解得，
所以直线l的方程为，即．
例54．（2022·全国·高三专题练习）已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知，
令，所以直线与轴的交点为，
令，所以直线与轴的交点为，
所以，
当且仅当即时取等，所以此时直线为：.
故选：C.
【方法技巧与总结】
（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．
（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．
题型十：直线方程的实际应用
例55．（2022·北京十五中高二期中）已知直线均过点P(1，2).

(1)若直线过点A(-1，3)，且求直线的方程；
(2)如图，O为坐标原点，若直线的斜率为k，其中，且与y轴交于点N，直线过点，且与x轴交于点M，求直线与两坐标轴围成的四边形PNOM面积的最小值.
【解析】(1)因为直线均过点P(1，2)，且直线又过点A(-1，3)，
所以 ，因为，
所以，则直线的方程，即；
(2)如图所示：

由题意得：直线的方程为：，
令，得，即，
令，得，即直线与x轴的交点为，
直线又过点，
所以直线的方程为：，
即，
令，得，即，
所以，
，
，
因为，
所以当时， PNOM面积的最小值为.
例56．（2022·全国·高二课时练习）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线的方程为.分别求，边所在直线的方程.
【解析】因为边上的高所在直线的方程为，所以边上的高所在直线的斜率为，
所以，又直线AC过点，
所以边所在直线方程为，即；
因为是中线所在直线方程，
所以设中点，则，
所以，
因为点B在直线上，
所以，解得，
所以，
因为所在的直线的斜率为，
所以边所在直线方程为，即.
例57．（2022·江苏·高二单元测试）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，.

(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.
(2)求边AB的高所在直线方程.
【解析】(1)的顶点，，，则对角线AC中点为.
于是得对角线BD的中点是，设，因此有，，
解得：.
所以平行四边形ABCD的顶点.
(2)依题意，直线AB的斜率，
则边AB上的高所在直线的斜率为，于是有：，
即.
所以边AB上的高所在直线的方程为.
例58．（2022·全国·高二课时练习）已知的三个顶点分别为，，．
(1)求的三边所在直线的方程；
(2)求的三条中线所在直线的方程．
【解析】(1)由，，
知直线的方程为，整理得
直线的方程为整理得
直线的方程为，整理得
(2)的中点坐标为，又
所以边上的中线所在的直线方程为，整理得
的中点坐标为，又
所以边上的中线所在的直线方程为，整理得
的中点坐标为，又
所以边上的中线所在的直线方程为，整理得
例59．（2022·江苏·高二）已知两条直线，的斜率分别为，，设，的夹角（锐角）为．
(1)求证：；
(2)求直线与直线的夹角．
【解析】(1)由题设，令分别为直线，的倾斜角且，则且，
所以，得证.
(2)由题设，直线的斜率为，直线的斜率，
所以，根据（1）的结论有，且，故.
例60．（2022·重庆第二外国语学校高二期中）在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3).
(1)求BC边所在直线的一般方程；
(2)求BC边的垂直平分线DE所在直线的一般方程.
【解析】(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，
由两点式得BC的方程为＝，
即x＋2y－4＝0.
(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，
则，，
点D的坐标为(0，2)，
由（1）知，直线BC的斜率，
则BC的垂直平分线DE的斜率，
由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，
即2x－y＋2＝0.
例61．（2022·全国·高二课时练习）已知，y轴为边中线
(1)求边所在直线方程；
(2)求角平分线所在直线方程．
【解析】（1）因为，倾斜角为，，
设交y轴于点M，则根据条件可知为等边三角形，则，
M为中点，则．，故直线方程为．
（2）因为， 倾斜角为，
所以，
所以内角角平分线斜率为，
故内角平分线所在直线方程为．
例62．（2022·全国·高三专题练习）已知的三顶点是，，，直线平行于，交，分别于，，且、分别是、的中点．求：

(1)边上的高所在直线的方程．
(2)直线的方程．
【解析】（1）在中，，，，则直线AB的斜率为，
于是得边上的高所在直线斜率为，其方程为：，即，
所以边上的高所在直线的方程是：.
（2）因直线平行于，则直线的斜率为，又边的中点在直线上，
于是得直线的方程为：，即，
所以直线的方程为.
例63．（2022·四川·宁南中学高二阶段练习（文））已知的三个顶点是，，.
(1)求边的高所在直线的方程和边中线所在直线的方程；
(2)若直线过点，且、到直线的距离相等，求直线的方程.
【解析】(1) ，，
直线的方程是，即.
   又的中点为，且 ，边的中线所在直线的方程是.
(2)直线过C点且A、B到直线的距离相等，直线与AB平行或过AB的中点M，
①、当直线与AB平行时，
，直线的方程是，即，
②、当直线过AB的中点时，AB的中点M的坐标为(0，2)，
，直线的方程是，即，
综上，直线的方程是或.
【方法技巧与总结】
用坐标法解决生活问题．
【同步练习】
一、单选题
1．下列说法中错误的是（       ）
A．平面上任意一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程（，不同时为0）表示
B．当时，方程（，不同时为0）表示的直线过原点
C．当，，时，方程表示的直线与轴平行
D．任何一条直线的一般式方程都能与其他两种形式互化
【答案】D
【解析】A：因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，当时，直线的斜率
存在，其方程可写成，它可变形为，与比较，
得，，；当时，直线的斜率不存在，其方程可写成，
与比较，得，，，显然，不同时为0，
所以A说法正确；
B：当时，方程（，不同时为0）即，
显然有，即直线过原点，所以B说法正确；
C：当，，时，方程可化为，
它表示的直线与轴平行，所以C说法正确；
D：当直线平行于坐标轴时一般式不能化为两点式或点斜式，所以D说法错误．
故选：D.
2．已知点与关于直线对称，则a，b的值分别为（       ）
A．2， B．－2， C．－2， D．2，
【答案】A
【解析】易知，则直线的斜率为-2，
所以，即．又AB的中点坐标为，
代入，得.
故选：A.
3．过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线l有（       ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【解析】由题意可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为，
令，解得；令，解得.
，
化为，即①，②，
由于方程①，方程②无解，可得两个方程共有2个不同的解.
因此直线共有2条.
故选：B.
4．已知直线x＋y＋1＝0与直线2x－my＋3＝0垂直，则m＝（       ）
A．2 B． C．－2 D．
【答案】A
【解析】∵直线x＋y＋1＝0与直线2x－my＋3＝0垂直，
∴，则m＝2，
故选：A．
5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线
的中点为，斜率，则垂直平分线的斜率
则的欧拉线的方程为，即
故选：D．
6．直线经过点，且倾斜角，则直线的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为直线的倾斜角，
所以直线的斜率为1，
又直线经过点，
所以直线的方程为，
即，
故选：B
7．已知直线l过点，倾斜角，下列方程可以表示直线l的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当倾斜角时，因为直线l过点，所以直线l的方程为，此时选项A，B，C没有意义，选项D符合题意；
当倾斜角时，直线l的斜率为，
所以由点斜式有直线l的方程为，即；
综上，直线l的方程为，
故选：D.
8．已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设直线的倾斜角为，则，
又直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，
所以直线的倾斜角为，
故直线的斜率为，
故直线的方程是，即，
故选：D．
二、多选题
9．已知直线，则下述正确的是（       ）
A．直线的斜率可以等于 B．直线的斜率有可能不存在
C．直线可能过点 D．直线的横、纵截距可能相等
【答案】BD
【解析】因为直线，
若，则直线的斜率不存在，故B正确；
若，则直线的斜率存在，且斜率，不可能为，故A错误；
将点代入直线方程得，故C错误；
令，则直线方程为，横纵截距均为，故D正确．
故选：BD
10．已知直线，，下列命题中正确的有（       ）
A．当时，与重合 B．若，则
C．过定点 D．一定不与坐标轴平行
【答案】AC
【解析】当时，直线，直线，即两直线重合，故A正确；
当时，有且，解得，故B错误；
因为，所以直线过定点，故C正确；
当时，直线与x轴平行，故D错误；
故选：AC．
11．下列说法正确的是（       ）
A．直线必过定点 B．直线在y轴上的截距为
C．直线的倾斜角为 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后回到原来的位置，则该直线l的斜率
【答案】AC
【解析】，所以点在直线上，A正确；
对，令，得，直线在y轴上截距为2，B错误；
直线的斜率为，倾斜角为，C正确；
设直线l方程为，沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后得，即它就是，
所以，所以，D不正确.
故选：AC.
12．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则（       ）
A．点的坐标为 B．直线垂直于
C． D．的最大值为
【答案】BD
【解析】由题意可知，动直线：，即，
令，解得，即动直线经过定点，
同理可得动直线：经过定点．
又的方程可化为，，所以两条直线始终垂直，又是两条直线的交点，所以，所以．
设，则，，
所以（其中，，），
所以的最大值是．
故选：BD
三、填空题
13．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为（1，0），直线l的一般式方程是 __．
【答案】
【解析】由题意，设P（x，1），Q（7，y），
∵线段PQ的中点坐标为（1，0），
∴，解得x＝﹣5，y＝﹣1，∴P（﹣5，1），
∴直线l的斜率，
故直线l的方程为y﹣0（x﹣1），即，
故答案为：．
14．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为________.
【答案】或
【解析】因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
所以直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0.
设直线方程为，则.
因为，即，所以，
所以时，，当时，，
所以直线方程为或.
故答案为: 或.
15．已知等边的两个顶点，且第三个顶点在第四象限，则边所在的直线方程是_______.
【答案】
【解析】如图所示：由做轴的垂线交轴于点，则为的中点，
即，=－2，，
边所在的直线方程是，即．
故答案为：.

16．当点到直线l：距离的最大值时，直线l的一般式方程是______．
【答案】
【解析】∵直线l：，
∴可将直线方程变形为，∴，
解得，，
由此可得直线l恒过点，
所以P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA．
∵，∴直线l的斜率为，∴，∴，
∴直线l的一般方程为．
故答案为：．
四、解答题
17．已知直线的方程为：．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
【解析】（1）证明：原方程整理得：．
由，可得，
不论为何值，直线必过定点
（2）设直线的方程为．
令令．
．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
则的方程为．
18．根据所给条件求直线方程.
(1)直线过点，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为；
(3)直线过点，.
【解析】(1)，，
则直线方程为，
即或.
(2)依题意得，直线的横截距、纵截距均不为，
可设直线方程为，
代入点，可得，解得或，
所以所求直线方程为或，
即所求直线方程为或.
(3)直线斜率，
则所求直线方程为，整理得.
19．如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.

(1)求直线的方程；
(2)求边上的高所在直线的方程.
【解析】(1)∵四边形为平行四边形，∴.∴.
∴直线的方程为，即.
(2)∵，∴.
∴直线的方程为，即.
20．已知直线，互相垂直，且相交于点．
(1)若的斜率为2，与轴的交点为Q，点在线段PQ上运动，求的取值范围；
(2)若，分别与y轴相交于点A，B，求的最小值．
【解析】(1)由于的斜率为2，则的斜率为，
则的方程为，令，得，
表示点与连线的斜率，由于，，
所以，的取值范围是．
(2)由题可知，直线，的斜率均存在，且不为0，
设的斜率为，则的斜率为，
直线的方程为，令，得，
直线的方程为，令，得，
则，
当且仅当时取“=” ．
故的最小值为2．
21．已知直线过点．
(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
(2)若与轴正半轴的交点为，与轴正半轴的交点为，求（为坐标原点）面积的最小值．
【解析】(1)当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即；
当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点可得，
所以所求直线方程为，即．
综上可得，所求直线方程为：或．
(2)依题意，设点，（，），直线的方程为，
又点在直线上，于是有，
利用基本不等式，即，当且仅当，时等号成立，
，即的面积的最小值为12．