人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精品课时训练

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精品课时训练，文件包含31椭圆解析版docx、31椭圆原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共128页， 欢迎下载使用。

3．1 椭圆
【知识点梳理】
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数（），这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．
知识点诠释：
若，则动点的轨迹为线段；
若，则动点的轨迹无图形．
知识点二：椭圆的标准方程
标准方程的推导：
由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．
如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤．
（1）建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．
以两定点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图）．

设（），为椭圆上任意一点，则有．
（2）点的集合
由定义不难得出椭圆集合为：
．
（3）代数方程
，
即：.
（4）化简方程
由可得，则得方程
关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．
因此，方程即为所求椭圆的标准方程．它表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是．这里．
椭圆的标准方程：
（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
知识点诠释：
（1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
（2）在椭圆的两种标准方程中，都有和；
（3）椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；
（4）在两种标准方程中，因为，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
知识点三：求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：
（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：（且）．
（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题．
知识点四：椭圆的简单几何性质
我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质

椭圆的范围
椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，．
椭圆的对称性
对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心．
椭圆的顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点．
②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，．
③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
椭圆的离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作．
②因为，所以的取值范围是．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为．
知识点诠释：
椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：

（1），，；
（2），，；
（3），，；
知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．
可借助下图帮助记忆：

a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边．
和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系．
知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较
标准方程


图形


性质
焦点
，
，
焦距


范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率

知识点诠释：椭圆，的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有和，；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．
知识点七：直线与椭圆的位置关系
平面内点与椭圆的位置关系
椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点，
若点在椭圆上，则有；
若点在椭圆内，则有；
若点在椭圆外，则有．
直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为．
①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）；
②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）；
③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
直线与椭圆的相交弦
设直线交椭圆于点，两点，则

同理可得
这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：


【题型归纳目录】
题型一：椭圆的定义与标准方程
题型二：椭圆方程的充要条件
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
题型四：椭圆上两点距离的最值问题
题型五：椭圆上两线段的和差最值问题
题型六：离心率的值及取值范围
题型七：椭圆的简单几何性质问题
题型八：利用第一定义求解轨迹
题型九：直线与椭圆的位置关系
【典型例题】
题型一：椭圆的定义与标准方程
例1．（2022·福建·厦门海沧实验中学高二阶段练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（    ）
A． B． C． D．

【方法技巧与总结】
（1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.
（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程.
注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为.
②与椭圆共焦点的椭圆可设为.
③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）.
例2．（2022·全国·高二课时练习）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ）
A． B． C． D．

例3．（2022·福建·泉州市第六中学高二期中）P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（   ）
A．1 B．3 C．5 D．9

例4．（2022·全国·高二专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，则______（用含y的式子表示），它的标准方程是______．

例5．（2022·全国·高二课时练习）若动点的坐标满足方程，试判断动点的轨迹，并写出其标准方程．




例6．（2022·陕西·定边县第四中学高二阶段练习（文））求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；
(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26．




例7．（2022·上海市虹口高级中学高二期末）已知椭圆的焦点分别、，点A为椭圆C的上顶点，直线，与椭圆C的另一个交点为B．若，则椭圆C的方程为______.

例8．（2022·全国·高二课时练习）椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是______．

例9．（2022·全国·高二课时练习）设P为椭圆上的点，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，则（    ）
A． B．2 C． D．3

例10．（2022·广东深圳·高二期末）如图，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点，为的外角平分线，，则（    ）

A．1 B．2 C． D．4

例11．（2022·全国·高二专题练习）已知点A，D分别是椭圆C：1（a＞b＞0）的左顶点和上顶点，椭圆的左右焦点分别是F1和F2，点P是线段AD上的动点，如果的最大值2，最小值是，那么，椭圆的C的标准方程是_____．

例12．（2022·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）（1）求焦点的坐标分别为，且过点的椭圆的方程.
（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点、的椭圆标准方程.




例13．（2022·四川省内江市第六中学高二开学考试（文））求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点坐标分别是，，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；
(2)求焦点在坐标轴上，且经过两点和的椭圆的标准方程．




例14．（2022·全国·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)过点，且与椭圆有公共的焦点；
(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，．




例15．（2022·全国·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为；
(2)椭圆过点，离心率；
(3)在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8；
(4)与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2．





题型二：椭圆方程的充要条件
例16．（2022·四川·遂宁中学高二阶段练习（理））已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【方法技巧与总结】
表示椭圆的充要条件为：；
表示圆方程的充要条件为：.
例17．（2022·全国·高二课时练习）已知，当m为何值时，
(1)方程表示椭圆；
(2)方程表示焦点在x轴上的椭圆；
(3)方程表示焦点在y轴上的椭圆．




例18．（2022·全国·高二课时练习）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的______条件．

例19．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））方程表示椭圆的充要条件是__________．

题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
例20．（2022·全国·高二专题练习）若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（    ）
A．当点P不在x轴上时，的周长是6
B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为
C．存在点P，使
D．的取值范围是

【方法技巧与总结】
焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即.
例21．（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且．
(1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率；
(2)求的面积；
(3)求点的坐标．




例22．（2022·全国·高二课时练习）已知P是椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点．
(1)若，求的面积；
(2)求的最大值．




例23．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆C：1的短轴长为焦距为、分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的最小值为_______.

例24．（2022·江苏·高二）设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为______.

例25．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为，则___________.

例26．（2022·全国·高二课时练习）经过椭圆的左焦点，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长为______．

例27．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中不正确的是（    ）
A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值
C．有最小值 D．的范围为

例28．（2022·天津河西·高二期中）椭圆的焦点为，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（    ）
A． B． C． D．

例29．（2022·全国·高二专题练习）椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，若，则的周长为（    ）
A． B． C． D．

例30．（2022·江苏·高二）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（    ）
A． B． C． D．

例31．（2022·全国·高二课时练习）设、为椭圆的两个焦点，直线过交椭圆于A、B两点，则△的周长是（    ）．
A．10 B．15 C．20 D．25

例32．（2022·全国·高二课时练习）已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（    ）
A．1 B． C． D．2

例33．（2022·全国·高二课时练习）若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．

例34．（多选题）（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（    ）
A．|PQ|的最大值为
B．为定值
C．椭圆上不存在点M，使得
D．若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为

例35．（多选题）（2022·江苏·高二）已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（    ）
A．的最大值为5 B．
C．存在点，使 D．的最大值为

例36．（多选题）（2022·全国·高二专题练习）设，为椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上.若为直角三角形，则下列说法正确的是（    ）
A．符合条件的M点有4个 B．M点的纵坐标可以是
C．的面积一定是 D．的周长一定是

例37．（多选题）（2022·福建福州·高二期末）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ）
A．存在P使得 B．的最小值为
C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值

例38．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的值是______；的取值范围是______．

例39．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2＝________．若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是________．

又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2)2＝28，配方得(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝28，
∴36－2|PF1||PF2|＝28，即|PF1||PF2|＝4，
∴．
故答案为：120°，2.
例40．（2022·全国·高二专题练习）椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．

例41．（2022·上海市控江中学高二期中）设､分别是椭圆的左､右焦点，点P在椭圆C上，且满足，则___________.

题型四：椭圆上两点距离的最值问题
例42．（2022·全国·高二课时练习）点为椭圆上一点，为焦点，则的最大值为（    ）
A．1 B．3 C．5 D．7

【方法技巧与总结】
利用几何意义进行转化.
例43．（2022·全国·高二课时练习）已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值．




例44．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：，为椭圆上的一个动点，以为圆心，为半径作圆，为圆的两条切线，为切点，则的取值范围是_________．

例45．（2022·江西省靖安中学高二阶段练习（理））已知动点在椭圆上，若点坐标为，，且，则的最小值是__________.

例46．（多选题）（2022·湖南·高二期中）已知椭圆C：的左，右焦点为F1，F2，点P为椭圆C上的动点（P不在x轴上），则（    ）
A．椭圆C的焦点在x轴上 B．△PF1F2的周长为8+2
C．|PF1|的取值范围为[，4） D．tan∠F1PF2的最大值为3

例47．（2022·全国·高二课时练习）椭圆上任一点到点的距离的最小值为（    ）
A． B． C．2 D．

例48．（2022·江西省万载中学高二阶段练习（理））线段｜AB｜＝4，｜PA｜＋｜PB｜＝6，M是AB的中点，当点P在同一平面内运动时，｜PM｜的最小值是（    ）
A．5 B． C．2 D．

例49．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（理））已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄，则丨丨的取值范围为（    ）
A．（0，） B．（0，2）
C．（l，2） D．（，2）

例50．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习）已知点M在椭圆上运动，点N在圆上运动，则的最大值为_________．

题型五：椭圆上两线段的和差最值问题
例51．（2022·福建泉州·高二阶段练习）已知是椭圆C：的左焦点，是椭圆C上的任意一点，点，则的最大值为(    )
A． B． C． D．

【方法技巧与总结】
在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．
例52．（2022·全国·高二课时练习）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（    ）
A．3 B．5 C． D．13

例53．（2022·全国·高二课时练习）已知为椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

例54．（2022·河北·高二阶段练习）设是椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（   ）
A． B． C． D．

例55．（2022·湖北·高二阶段练习）已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为______.

例56．（2022·天津市嘉诚中学高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为__________．

例57．（2022·安徽·池州市第一中学高二期中）已知椭圆C的方程为，M为C上任意一点，则的最小值为___________.

题型六：离心率的值及取值范围
例58．（2022·全国·高二课时练习）设椭圆的右顶点是，其上存在一点，使，则椭圆的离心率的取值范围为______．

【方法技巧与总结】
求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.
例59．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高二期中（理））设是椭圆：上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为_________．

例60．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）已知椭圆，过椭圆的左焦点且斜率为的直线l与椭圆交于两点（点在点的上方），若有，则椭圆的离心率为________.

例61．（2022·江西·新余市第一中学高二开学考试）直线过椭圆：的左焦点和上顶点，与圆心在原点的圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为______.

例62．（2022·全国·高二单元测试）设椭圆的左、右焦点分别为、，且，若椭圆上存在点M使得在中，，则该椭圆离心率的取值范围为______．

例63．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围是______．

例64．（2022·广西·玉林市育才中学高二阶段练习（理））已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

例65．（2022·江西·南昌大学附属中学高二期中（理））已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

例66．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

题型七：椭圆的简单几何性质问题
例67．（2022·全国·高二单元测试）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ）
A． B．椭圆的焦距为
C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则

【方法技巧与总结】
标准方程


图形


性质
焦点
，
，
焦距


范围
，
，
对称性
关于轴、轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长，短轴长
离心率
（注：离心率越小越圆，越大越扁）
例68．（2022·全国·高二课时练习）设m是正实数，若椭圆的焦距为8，则______．

例69．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆上点P到右焦点的距离为4，则点P的横坐标为______．

例70．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆的焦距为6，则k的值为______．

例71．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（文））有关椭圆叙述错误的是（       ）
A．长轴长等于4 B．短轴长等于4
C．离心率为 D．的取值范围是

例72．（2022·四川省宜宾市第三中学校高二期中（理））已知椭圆，则下列关于椭圆的说法正确的是（    ）
A．离心率为 B．焦点为
C．长轴长为3 D．椭圆上的点的横坐标取值范围为

例73．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（    ）．
A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距
C．有相等的短轴长 D．长轴长与焦距之比相等

题型八：利用第一定义求解轨迹
例74．（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（    ）
A． B． C． D．

【方法技巧与总结】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.
例75．（2022·全国·高二课时练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程．




例76．（2022·江苏·高二专题练习）点P到点、的距离之和为，求动点P的轨迹方程．




例77．（2022·浙江·海盐第二高级中学高二阶段练习）（1）已知椭圆C满足长轴长是短轴长的3倍，且经过P（3， 0），求椭圆的方程．
（2）已知圆C：及点A（1， 0），Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ与点M，求动点M的轨迹方程．




例78．（2022·江苏·高二专题练习）已知的三边满足，且，求点A的轨迹方程，并说明它是什么曲线．




例79．（多选题）（2022·全国·高二）平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是（    ）
A．M到两定点，的距离之和为4
B．M到两定点，的距离之和为6
C．M到两定点，的距离之和为6
D．M到两定点，的距离之和为8

例80．（2022·全国·高二专题练习）已知是两个定点且的周长等于则顶点的轨迹方程为______．

例81．（2022·全国·高二课时练习）中，A为动点，，且满足，则A点的轨迹方程为______．

例82．（2022·全国·高二专题练习）若△ABC的三边长a､b､c满足，､，则顶点B的轨迹方程是___________.

例83．（2022·全国·高二专题练习）已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.

例84．（2022·全国·高二课时练习）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆的半径为，记是以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设AB是过椭圆中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上异于椭圆中心的点，(O为坐标原点，)，当点A在椭圆上运动时，求点M的轨迹方程．

例85．（2022·全国·高二课时练习）如图，圆的圆心为，点，点为圆上任意一点，求线段的垂直平分线与线段的交点的轨迹方程．





例86．（2022·全国·高二课时练习）一个动圆Q与圆外切，与圆内切，试判断圆心Q的轨迹，并说明理由．




例87．（2022·全国·高二课时练习）已知点M到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，设点M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程，并说明轨迹是什么图形．




例88．（2022·全国·高二课时练习）已知△ABC底边两端点、，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为，求点A的轨迹方程．




题型九：直线与椭圆的位置关系
例89．（2022·四川省资中县第二中学高二阶段练习（理））点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

【方法技巧与总结】
设直线交椭圆于点，两点，则

例90．（2022·全国·高二课时练习）若过点的直线l与椭圆只有一个公共点，则直线l的方程为______．

例91．（2022·安徽·安庆市第二中学高二阶段练习）已知椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程为______.

例92．（2022·全国·高二课时练习）已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值．




例93．（2022·四川省绵阳南山中学高二开学考试）已知点坐标为，点分别为椭圆的左､右顶点，是等腰直角三角形，长轴长是短轴长的2倍.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的动直线与相交于两点，当坐标原点位于以为直径的圆外时，求直线斜率的取值范围.




例94．（2022·内蒙古·霍林郭勒市第一中学高二期中）在平面直角坐标系xOy中，设动点M到坐标原点的距离与到x轴的距离分别为d1，d2，且，记动点M的轨迹为Ω.

(1)求Ω的方程；
(2)设过点(0，－2）的直线l与Ω相交于A，B两点，当△AOB的面积最大时，求|AB|.




例95．（2022·全国·高二专题练习）设P为椭圆上的一个动点，过点P作椭圆的切线与圆O：相交于M、N两点，圆O在M、N两点处的切线相交于点Q.

(1)求点Q的轨迹方程；
(2)若P是第一象限内的点，求OPQ面积的最大值.




例96．（2022·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）已知P是圆O：上一动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足.
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)若A是椭圆E的右顶点，过左焦点F且斜率为的直线交椭圆E于M，N两点，求△AMN的面积.




例97．（2022·全国·高二专题练习）如果直线l：与椭圆C：（）总有公共点，求实数a的取值范围.




【同步练习】
一、单选题
1．（2022·陕西·定边县第四中学高二阶段练习（文））已知椭圆C：的一个焦点为（2，0），则椭圆C的离心率为（    ）
A． B．
C． D．1
2．（2022·全国·高二课时练习）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（       ）
A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个
3．（2022·全国·高二课时练习）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（    ）．
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴和短轴之和为36，椭圆上的点到一个焦点的最短距离为1，则椭圆的标准方程为（    ）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（    ）
A． B．或
C． D．
6．（2022·全国·高二单元测试）已知圆与x轴的交点分别为A，B，点P是直线l：上的任意一点，椭圆C以A，B为焦点且过点P，则椭圆C的离心率e的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高二课时练习）已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则（    ）
A．有最大值，为16 B．有最小值，为16
C．有最大值，为4 D．有最小值，为4
8．（2022·全国·高二课时练习）椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·全国·高二课时练习）设P是椭圆上的动点，则（    ）
A．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为
B．点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为
C．点P到左焦点距离的最大值为
D．点P到左焦点距离的最大值为
10．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，设动点P到直线的距离为d，若，则（    ）
A．点P的轨迹是以为直径的圆 B．点P的轨迹曲线的离心率等于
C．点P的轨迹方程为 D．的周长为定值
11．（2022·全国·高二单元测试）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（    ）

A．椭圆的长轴长为
B．线段AB长度的取值范围是
C．面积的最小值是4
D．的周长为
12．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，以下说法正确的是（    ）
A．椭圆C的离心率为
B．椭圆C上存在点P，使得
C．过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8
D．若P为椭圆上一点，Q为圆上一点，则点P，Q的最大距离为2
三、填空题
13．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的方程为，则此椭圆的长半轴的长为______，短轴长为______，焦距为______，顶点坐标为______，焦点坐标为______，离心率为______．
请在下边的坐标系中画出该椭圆的大致图像．

14．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆与过点、的直线l有且只有一个公共点，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的方程为______．
15．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆：的焦点为，．过且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，点恰好也在椭圆上，则______．

16．（2022·全国·高二单元测试）若、是椭圆C：的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是______．（填序号）
①椭圆C的离心率为；                       ②存在点A使得；
③若，则；            ④面积的最大值为12．
四、解答题
17．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末（文））已知椭圆的离心率为，右焦点为.斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)求直线的方程.




18．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭圆经过点；
(2)经过点，．




19．（2022·全国·高二课时练习）设、分别是椭圆的左、右焦点．
(1)设椭圆上的点到、两点距离之和等于4，求椭圆的方程和焦点坐标；
(2)设是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．




20．（2022·全国·高二专题练习）给定椭圆，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为．
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；
(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围，