人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列精品课时训练

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4．3．1 等比数列的概念
【题型归纳目录】
题型一：等比数列的判断
题型二：等比数列的通项公式及其应用
题型三：等比数列的证明
题型四：等比中项及应用
题型五：等比数列的实际应用
题型六：等比数列通项公式的推广及应用
题型七：等比数列性质的应用
题型八：灵活设元求解等比数列问题
【知识点梳理】
知识点一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：．
知识点诠释：
①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q可不能是0；
②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；
③隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件；
④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．不为0的常数列是公比为1的等比数列；
⑤证明一个数列为等比数列，其依据．利用这种形式来判定，就便于操作了．
知识点二、等比中项
如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中．
知识点诠释：
①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项．当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项．
②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一．但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一．
③当时，、、成等比数列．
④是、、成等比数列的必要不充分条件．
知识点三、等比数列的通项公式
等比数列的通项公式
首相为，公比为的等比数列的通项公式为：

推导过程：
（1）归纳法：
根据等比数列的定义可得：
∴；
；
；
……

当n=1时，上式也成立
∴归纳得出：
（2）叠乘法：
根据等比数列的定义可得：
，
，
，
……
，
把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：，即
又a1也符合上式
∴．
（3）迭代法：

∴．
知识点诠释：
①通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了．
②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量．
等比数列的通项公式的推广
已知等比数列中，第项为，公比为，则：

证明：∵，
∴
∴
由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况．
知识点四、等比数列的性质
设等比数列的公比为
①若，且，则，
特别地，当时．
②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为．
③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列；
④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列．
知识点五、等比数列中的函数关系
等比数列中，，若设，则：
（1）当时，，等比数列是非零常数列．它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．
（2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点．
①当且时，等比数列是递增数列；
②当且时，等比数列是递减数列；
③当且时，等比数列是递减数列；
④当且时，等比数列是递增数列．
（3）当时，等比数列是摆动数列．
知识点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列．
【方法技巧与总结】
等比数列常用的两种解题方法
1、基本量法（基本方法）
（1）基本步骤：运用方程思想列出基本量和的方程组，然后利用通项公式求解；
（2）优缺点：适应面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁．
2、性质法（利用等比数列的性质解题）
（1）基本思想：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；
（2）优缺点：简单快捷，但是适应面窄，有一定的思维含量．
【典型例题】
题型一：等比数列的判断
例1．（2022·河南·濮阳市油田第二高级中学高二阶段练习（文））下列各组数成等比数列的是（    ）
①，，，    ②，，，    ③，，，    ④，，，
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【解析】①首项为1，公比为，是等比数列； ②首项为，公比为，是等比数列；③当时，不是等比数列；④首项为，公比为，是等比数列，所以①②④成等比数列.
故选：C.
例2．（2022·全国·高二课时练习）已知数列a，，，…是等比数列，则实数a的取值范围是（    ）．
A． B．或 C． D．且
【答案】D
【解析】由等比数列的定义知，数列中不能出现为0的项，且公比不为0，所以且,
所以且.
故选：D.
例3．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和（，，q为非零常数），则数列为（　　）
A．等差数列 B．等比数列
C．既不是等差数列，也不是等比数列 D．既是等差数列，又是等比数列
【答案】C
【解析】当时，，
当时，，
所以，所以（，q为非零常数），
又由，可得，解之得，则，
则数列的通项公式为
所以数列从第二项起为等比数列，
，，
则，故以数列既不是等差数列，也不是等比数列
故选：C
变式1．（2022·河北唐山·高二期末）若，，成等比数列且公比为，那么，，（    ）
A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列
C．一定是等比数列，且公比为 D．一定是等比数列，且公比为
【答案】C
【解析】因为，，成等比数列且公比为，所以，，可得，，由等比数列的中项可判断得，，成等比数列，并且公比为.
故选：C
变式2．（2022·全国·高二专题练习）下面各数列是等比数列的是（    ）
（1），，，；
（2）1，2，3，4；
（3）x，x，x，x；
（4），，，.
A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（3）（4） C．（1）（4） D．（1）（2）（4）
【答案】C
【解析】对于（1），公比为2，即为等比数列；
对于（2）由于，即（2）不是等比数列；
对于（3）当x＝0时，不是等比数列；
对于（4）公比为，即为等比数列.
故选：C.
【方法技巧与总结】
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：．
题型二：等比数列的通项公式及其应用
例4．（2022·湖南·长郡中学高二期中）在数列中，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】数列中，且，因此数列是首项为1，公比为-2的等比数列，
所以.
故选：D
例5．（2022·陕西·乾县第一中学高二阶段练习（文））在各项为正的递增等比数列 ​中，​，则​（    ）
A．​ B．​
C．​ D．​
【答案】B
【解析】数列 ​为各项为正的递增数列，设公比为​，且​，
​，
​
​，
​，
​，
即 ​，
解得: ​
​
​.
故选：B
例6．（2022·陕西·白水县白水中学高二阶段练习）在数列中，，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，．是公比为的等比数列，
∴．
故选：B．
变式3．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易知，且，在的两边同时取常用对数，得，
故，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，
故选:C．
变式4．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知数列满足：对于任意的m，，都有恒成立，且，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，即，
则，为首项为2，公比为2的等比数列，
故，
故选：A
变式5．（2022·江苏省响水中学高二期中）正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（    ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【答案】D
【解析】由题意可知，是与的等差中项，
所以，即，
所以，或（舍），
所以，
，
故选：D.
变式6．（2022·福建龙岩·高二期中）在等比数列中，如果，那么（    ）
A．40 B．36 C．54 D．128
【答案】D
【解析】设公比为，由，，
所以，所以.
故选：D
变式7．（2022·湖南·长郡中学高二期中）在等比数列中，，若、、成等差数列，则的公比为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，则，
由题意可得，即，则，故.
故选：B.
【方法技巧与总结】
等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
题型三：等比数列的证明
例7．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的前n项的和．
(1)求数列的通项公式；
(2)讨论a的值，说明数列是否为等比数列？若是，请证明；若不是，请说明理由．
【解析】（1）当时，．
因为，所以当时，适合，
故；
当时，不适合，故．
（2）由（1）可知，
当时，，，
所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列；
当时，，不适合，
所以数列不是等比数列．
例8．（2022·江苏·西安交大苏州附中高二阶段练习）已知数列的首项，.
(1)求证：一定存在实数，使得数列是等比数列.
(2)是否存在互不相等的正整数使成等差数列，且使成等比数列？如果存在，请给以证明：如果不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为，所以，
由，
欲使数列是等比数列，则只需，即.
此时，
故存在，使得数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）中可知，，即，
假设存在互不相等的正整数使成等差数列，且使成等比数列，
故    ，
，即，
从而    ，
由基本不等式可知，，这与矛盾，
故不存在互不相等的正整数使成等差数列，且使成等比数列.
例9．（2022·北京丰台·高二期中）已知数列满足，，.
(1)请写出数列的前5项；
(2)证明数列是等比数列；
(3)求数列的通项公式.
【解析】(1)因为数列满足，，.
所以，
，
，
，
所以数列的前5项为：，，，，；
(2)，，
因此，数列是等比数列；
(3)由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，因此，.
变式8．（2022·上海·高二专题练习）数列满足，数列，数列
(1)求证:数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
【解析】（1）由题设，且，即且，而，
所以且，则是首项为，公比为的等比数列，得证.
（2）由（1）可得：，故，则，
所以.
则的通项公式为.
变式9．（2022·江苏·高二课时练习）如图，在边长为1的等边三角形ABC中，连接各边中点得，再连接的各边中点得……如此继续下去，试证明数列，，，…是等比数列．

【解析】证明：由题意得：，连接各边中点，得到的三角形也为正三角形，根据三角形相似得到面积之比为，即，故数列，，，…是首项为，公比为的等比数列.
变式10．（2022·广东佛山·高二期中）“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共十九大报告.为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，记该地区今年绿洲的面积为万平方公里，第n年绿洲的面积为万平方公里.
(1)求第n年绿洲的面积与上一年绿洲的面积的关系；
(2)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
(3)求第几年该地区的绿洲面积可超过60%?（参考数据：）
【解析】(1)依题意，，，
所以.
(2)由（1）知，，，即，又，有，
于是得是以为首项，为公比的等比数列，则，
所以.
(3)由（2）知，，即，两边取常用对数得，
则，即，
所以第6年该地区的绿洲面积可超过60%.
【方法技巧与总结】
1、定义法：（常数）为等比数列；
2、中项法：（）为等比数列；
3、通项公式法：（，为常数）为等比数列．
4、构造法：在条件中出现关系时，往往构造数列，方法是把与对照，求出即可．
题型四：等比中项及应用
例10．（2022·陕西·渭南市三贤中学高二期中）已知是等比数列，若1是，的等比中项，4是，的等比中项，则__________．
【答案】
【解析】由题意可知，是和的等比中项，，又是和的等比中项，
.又，，
而.
故答案为：
例11．（2022·全国·高二课时练习）方程两根的等比中项是______．
【答案】
【解析】由题，，存在不等两根.
由韦达定理，两根，故两根的等比中项为.
故答案为：
例12．（2022·广东肇庆·高二期末）与的等比中项为______．
【答案】
【解析】设等比中项为G，则，∴．
故答案为：.
变式11．（2022·山东枣庄·高二期末）是2与8的等比中项，是与的等差中项，则的值为______．
【答案】
【解析】因为是2与8的等比中项，所以，
因为是与的等差中项，所以，、
所以，解得，
所以
故答案为：
变式12．（2022·甘肃省会宁县第四中学高二期中）由正数组成的等比数列中，若，则__________．
【答案】
【解析】由已知，数列为正项等比数列，所以，所以
由等比中项性质可知：
所以
.
故答案为：.
变式13．（2022·陕西·蓝田县城关中学高二期中（理））在数列中，，，且，则数列的通项公式是__________．
【答案】
【解析】，故是等比数列，，故.
故答案为：
变式14．（2022·全国·高二课时练习）若依次成等差数列的三个实数a，b，c之和为12，而a，b，又依次成等比数列，则a＝______．
【答案】2或8
【解析】由题意可得 ，整理得 ，
解得 或 ，
故答案为：2或8
变式15．（2022·全国·高二课时练习）如果将20，50，100各加上同一个常数能组成一个等比数列，那么这个数列的公比为______．
【答案】【解析】设所加的常数为，
则成等比数列，均不为，
所以，
解得，
所以这个数列的公比为.
故答案为：
【方法技巧与总结】
（1）由等比中项的定义可知，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．
（2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项．
（3）a，G，b成等比数列等价于．
题型五：等比数列的实际应用
例13．（2022·广东肇庆·高二期末）某学校有，两家餐厅，通过调查发现：开学第一天的中午，有一半的学生到餐厅就餐，另一半的学生到餐厅就餐；从第二天起，在前一天选择餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择餐厅，在前一天选择餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择餐厅. 该学校共有学生3500人，经过一个学期（约150天）后，估计该学校到餐厅就餐的学生人数为_________人. （用整数作答）
【答案】1400
【解析】设第天选择餐厅就餐的学生比例为，由题意得，，，所以，故，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则，经过一个学期（约150天）后，估计该学校到厅就餐的学生人数为（人）.
故答案为：1400
例14．（2022·全国·高二课时练习）“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下尺，第二天被截取剩下的一半剩下尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下尺，则（    ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】D
【解析】设这根木棰总长为1, 每天截取其一半,剩下的部分记为,
则{}构成,公比 的等比数列,
所以
所以
故选:D.
例15．（2022·全国·高二课时练习）某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为，以后学生人数年增长率为.该校今年年初有旧实验设备套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%增加新设备，同时每年淘汰套旧设备．
(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年淘汰的旧设备是多少套？
(2)依照（1）的淘汰速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？
参考数据：，．
【解析】（1）今年学生人数为，则10年后学生人数为．
设明年起第年（明年为第1年）学校的实验设备的套数为数列，
则，，令，则，
所以，即，所以数列是首项为，公比为1.1的等比数列，
所以，即．
所以，由题意得，解得．
所以每年淘汰的旧设备为套．
（2）更换所有需要更换的旧设备共需（年）．
变式16．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥重要的作用．为了实现“到2030年，中国的森林蓄积量比2005年增加60亿立方米”的目标， A地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划．经统计， A地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要杴伐掉万立方米的森林．设为自2021年开始，第年末的森林蓄积量（例如）．
(1)试写出数列的一个递推公式：
(2)设，证明：数列是等比数列；
(3)若到2030年末，A地要实现“森林蓄积量要超过640万立方米”这一目标，那么每年的砍伐量最多是多少万立方米？（精确到1万立方米）参考数据：，，
【解析】（1）由题意，得，

（2）因为，故，当时，，即，故是以为首项，为公比的等比数列
（3）由（2）是以为首项，为公比的等比数列，故
其通项公式为，
所以.
2030年底的森林蓄积量为数列的第10项，
.
由题意，森林蓄积量到2030年底要达到超过640万立方米的目标，
所以，即，
即.解得.
所以每年的砍伐量最大为12万立方米.
【方法技巧与总结】
等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．
题型六：等比数列通项公式的推广及应用
例16．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，公比，若，则______．
【答案】
【解析】等比数列中，公比，所以.
故答案为：.
例17．（2022·全国·高二单元测试）已知数列满足，，则______．
【答案】
【解析】因为，且，所以令，则，即数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故．
故答案为：.
例18．（2022·广西·平桂高中高二阶段练习（理））数列是等比数列，且，，则___________．
【答案】16
【解析】设的公比为q，则，∴，∴﹒
故答案为：16．
变式17．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，且，则______．
【答案】47
【解析】∵，
∴数列是公比的等比数列，
∴，
∴．
故答案为：47
变式18．（2022·江苏·高二专题练习）在等比数列中，存在正整数m，有，，则＝________.
【答案】1536
【解析】由题意知q5＝＝8，则．
故答案为：1536
【方法技巧与总结】
（1）应用，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求．
（2）等比数列的单调性由，共同确定，但只要单调，必有．
题型七：等比数列性质的应用
例19．（2022·全国·高二专题练习）为等比数列，且，，求.
【解析】因为数列为等比数列，则，解得或.
由等比中项的性质可得，则.
若，则；
若，则.
综上所述，或.
例20．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二期中（文））在正项等比数列中，，则______．
【答案】2
【解析】在正项等比数列中，，
所以，
所以，，
．
故答案为：2
例21．（2022·福建·莆田第十五中学高二阶段练习）在等比数列中，若，则________．
【答案】32
【解析】设等比数列的公比为，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：32
变式19．（2022·北京房山·高二期末）在由正数组成的等比数列中，若，则的值为___________．
【答案】
【解析】因为，，所以，即，
所以；
故答案为：
变式20．（2022·安徽滁州·高二期末）在等比数列中，，，则等于______．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，因为等比数列中，，，
故，
则．
故答案为：．
变式21．（2022·山西·芮城中学高二阶段练习）一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的2倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则该等比数列的项数为____________.
【答案】8
【解析】设等比数列项数为2n项，所有奇数项之和为，所有偶数项之和为,
则，又它的首项为1，所以通项为，
中间两项的和为，解得，所以项数为8，
故答案为：8.
变式22．（2022·全国·高二课时练习）已知各项都为正数的等比数列{}中，，，则满足的最大正整数的值为________．
【答案】4
【解析】设等比数列首项为，公比为q，则，，得，即或（舍），得，所以，
则，即，所以，最大正整数n的值为4.
【方法技巧与总结】
利用等比数列的性质解题
（1）基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．
（2）优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
题型八：灵活设元求解等比数列问题
例22．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学高二阶段练习（理））有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，且最后一个数是25，求此四个数．
【解析】设前三个数为.
所以前三个数为
因为后三个数成等比数列，
所以，
所以或.
当时，不满足题意，所以舍去.
所以这四个数为.
例23．（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高二阶段练习）依次排列的四个数，其和为13，第四个数是第二个数的3倍，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求这四个数.
【解析】设四个数分别为a，b，c，d，
则，，，，
将代入得：，
将，代入得：，
将，代入得： ，
解得：或2，
当时，则，这与前三个数成等比数列，矛盾，舍去；
当时，解得：，，，故满足要求，
故这四个数为1,2,4,6.
例24．（2022·全国·高二课时练习）四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和为14，中间两数之和为12，求这四个数．
【解析】设四个数依次为、、、．
则，解得或．
故所求的四个位数依次为2，4，8，12或，，，．
变式23．（2022·江苏·高二课时练习）已知三个数成等比数列，它们的积为，它们的平方和为，求这三个数．
【解析】不妨设这三个数分别为、、，则这三个数的乘积为，
这三个数的平方和为，整理可得，解得或.
若，则这三个数分别为、、；
若，则这三个数分别为、、；
若，则这三个数分别为、、；
若，则这三个数分别为、、.
综上，这三个数分别为、、或、、或、、或、、.
变式24．（2022·全国·高二专题练习）有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为，中间两个数的和为，求这四个数.
【解析】设前三个数分别为、、，则第四个数为.
由题意得，解得或.
当，时，这四个数为、、、；
当，时，这四个数为、、、.
变式25．（2022·全国·高二课时练习）已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，求这四个数．
【解析】设四个数依次为a，aq，aq2，aq3，
则，解得或，
故所求四个数依次为或

【方法技巧与总结】
几个数成等比数列的设法
（1）三个数成等比数列设为．
推广到一般：奇数个数成等比数列设为，
（2）四个符号相同的数成等比数列设为．
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为，
（3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为．
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·江苏·吴江汾湖高级中学高二阶段练习）三个实数成等差数列，首项是，若将第二项加、第三项加可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设原来的三个数为、、，
由题意可知，，，，且，
所以，，即，解得或.
则的所有取值中的最小值是.
故选：D.
2．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（文））下列结论错误的个数为（    ）
①满足（为常数）的数列为等比数列.
②若，则三个数成等比数列.
③如果数列为等比数列，，则数列也是等比数列.
④如果数列为等比数列，则数列是等差数列.
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】对于①，当属于正整数，q为常数且不等于0时，数列为等比数列，故①错误;
对于②，若时，满足，但不是等比数列，故②错误;
对于③，当等比数列的公比时，，此时不是等比数列，故③错误;
对于④，当时，满足数列为等比数列，但无意义，故④错误.
故选：D
3．（2022·江苏·盱眙县第二高级中学高二期中）正项等比数列中，，则（    ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【答案】D
【解析】因为是等比数列，
所以.
故选：D.
4．（2022·上海·高二期中）已知为等比数列，下面结论中正确的是（　　）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】对A，设等比数列的公比为，则，当，时，，故A错误；
对B，，当且仅当等号成立，故B正确；
对C，若，则，即，解得，所以或，故C错误；
对D，若，则，所以，其正负由q的符号确定，故D错误.
故选：B.
5．（2022·山东青岛·高二期中）若数列，，，，是等比数列，则的值是（    ）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【解析】数列，，，，是等比数列，则，故，
，故.
故选：C
6．（2022·陕西·蓝田县城关中学高二期中（理））已知a是4与6的等差中项，b是与的等比中项，则（    ）
A．13 B． C．3或 D．或13
【答案】D
【解析】a是4与6的等差中项，故，
b是与的等比中项，则，则，或.
故选：D
7．（2022·甘肃·敦煌中学高二期中）已知正项等比数列，满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，正项等比数列中，
若，则有，
又，，
所以．
故选：A．
8．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高二阶段练习）设等比数列满足，，则的最大值为（    ）
A．32 B．16 C．128 D．64
【答案】D
【解析】因为等比数列满足，，
所以，
从而，
故，则数列是单调递减数列，
当时，，
故.
故选：D.
二、多选题
9．（2022·甘肃·高台县第一中学高二期中）已知数列是等比数列，下列结论正确的为（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【解析】设等比数列的公比为，由，得到，
因为，所以，
则，若，则，此时，A错误；
若，则，故，则，B正确；
若，则，故，则，C错误；
若，则，不等式两边同除以，得到，
所以，D正确.
故选：BD
10．（2022·甘肃·天水市田家炳中学高二阶段练习）设数列为等比数列，则下列数列一定为等比数列的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】设数列的首项为，公比为q．
对于A，，所以数列是公比为q的等比数列；
对于B，，所以数列是公比为的等比数列；
对于C，，所以当时，，不是一个非零常数，所以数列不是等比数列；
对于D，当时，，,不是一个非零常数，所以数列不是等比数列．
故选：AB．
11．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）某企业为一个高科技项目注入了启动资金2000万元，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n年之后，该项目的资金为万元．（取，），则下列叙述正确的是（    ）
A．
B．数列的递推关系是
C．数列为等比数列
D．至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标
【答案】ACD
【解析】根据题意：经过1年之后，该项目的资金为万元，A正确；
，B不正确；
∵，则
即数列以首项为1200，公比为1.2的等比数列，C正确；
，即
令，则
至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍），D正确；
故选：ACD．
12．（2022·重庆一中高二阶段练习）对于数列，若存在实数M，使得对任意的，都有，则称数列为“有界数列”，下列说法正确的是（    ）
A．若数列是等差数列，且公差，则数列是“有界数列”
B．若数列是等差数列，且数列是“有界数列”，则公差
C．若数列是等比数列，且公比q满足，则数列是“有界数列”
D．若数列是等比数列，且数列是“有界数列”，则公比q满足
【答案】ABC
【解析】A：若数列是公差为d的等差数列，则，
当时，则，即，所以存在符合题意的，故A正确；
B：数列是“有界数列”，由知，
当时，关于的一次函数单调递减，没有最小值，所以不存在符合题意的，
当时，关于的一次函数单调递增，没有最大值，所以不存在符合题意的，
当时，，即，所以存在符合题意的.故，B正确；
C：若数列是公比为()的等比数列，，
因为，则，所以，
则存在符合题意的实数，即数列是“有界数列”，故C正确；
D：若等比数列是“有界数列”，当时，，
存在符合题意的，故数列是“有界数列”，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．（2022·陕西·镇巴中学高二期中（文））设是公比的等比数列，且，，则等于______．
【答案】
【解析】是公比的等比数列，且，
所以，解得（舍）或.
故答案为：.
14．（2022·陕西·千阳县中学高二阶段练习）已知数列的首项，是公比为的等比数列，则________.
【答案】32
【解析】因为，且是公比为的等比数列，
所以，
所以，
故，
故答案为：32
15．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二阶段练习）已知正项等差数列中，若，若成等比数列，则等于________．
【答案】21
【解析】由题意得，得，
成等比数列，则，
而，解得，故，
故答案为：21
16．（2022·全国·高二课时练习）已知在数列中，，，则______．
【答案】
【解析】因为，，所以，
整理得，所以数列是以为首项，
为公比的等比数列，所以，解得．
故答案为：.
四、解答题
17．（2022·陕西·咸阳市高新一中高二期中（文））回答下面两个问题
(1)在等差数列中，已知，，求a1与Sn ．
(2)在2与64中间插入4个数使它们成等比数列，求该数列的通项公式．
【解析】（1），，
，解得．
；
（2）设此等比数列的公比为q，∴， 解得：．

18．（2022·陕西咸阳·高二期中（文））已知是等差数列，，.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)若等比数列满足，，求的通项公式.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
则.
∴，
.
（2）设等比数列的公比为，
由，，可得，
∴的通项公式为.
19．（2022·上海交大附中高二期中）已知数列和有，，而数列的前项和.
(1)证明数列为等比数列，其中；
(2)如果，试证明数列的单调性.
【解析】（1）数列中，当时，，因，有，
，由此可得，而，
于是得，而，
所以数列为以为首项，以为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，
当时，，满足上式，
因此，则，有，即，
所以数列为严格递减数列.
20．（2022·河南信阳·高二期中（理））设数列是公比小于1的正项等比数列，为数列的前项和，已知，且，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列是单调递减数列，求实数的取值范围．
【解析】（1）设正项等比数列的公比为，由题意得，
，且，，成等差数列，
，
解得或（舍去），
数列的通项公式为；
（2）由（1）知，，
且数列是单调递减数列，
，
，；
上式对任意正整数都成立，即对任意的恒成立，
实数的取值范围是．
21．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的首项，．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为，所以，
即，且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）可求得，
所以，即．
（3）假设存在，则，，
即，化简得．
因为，当且仅当时等号成立．
又因为m，n，s互不相等，所以不存在．