专题01 数列的通项公式-2023-2024学年高二数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

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专题01 数列的通项公式
【题型归纳目录】
题型1：观察法
题型2：叠加法
题型3：叠乘法
题型4：待定系数法
题型5：同除以指数
题型6：取倒数法
题型7：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
题型8：周期数列
题型9：前n项积型
题型10：因式分解型求通项
【题型预测】
类型Ⅰ观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
类型Ⅱ公式法：
若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
类型Ⅲ累加法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
类型Ⅳ累乘法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型Ⅴ构造数列法：
㈠形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
㈡形如型的递推式：
⑴当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
⑵当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
⑶当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．
类型Ⅵ对数变换法：
形如型的递推式：
在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
类型Ⅶ倒数变换法：
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
类型Ⅷ形如型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
【典例例题】
题型1：观察法
例1．（2022·福建·德化第八中学高二阶段练习），，，，，的一个通项公式是__________．

例2．（2022·上海·位育中学高二期末）数列1，3，7，15，…的一个可能的通项公式为=_____

例3．（2022·全国·高二单元测试）将正奇数排列如下表，其中第i行第j个数表示，例如，若，则______．


变式1．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．

若第1个图形中的三角形的边长为2，则第4个图形的周长为______．

变式2．（2022·全国·高二课时练习）猜想数列，，，，，，…的通项公式___________.

题型2：叠加法
例4．（2022·江苏·高二专题练习）若数列满足且，则数列的第100项为（    ）
A．2 B．3 C． D．

例5．（2022·江苏·高二专题练习）数列1，3，7，15，...的通项公式可能是（    ）
A． B． C． D．

例6．（2022·江苏·高二专题练习）数列满足，且，则(    )
A．－1 B．20 C．21 D．22

变式3．（2022·河南·高二期中（理））在数列中，，，则（    ）
A．959 B．967 C．977 D．997

变式4．（2022·全国·高二）已知数列满足，，则（    ）
A． B．
C． D．

题型3：叠乘法
例7．（2022·河南·鹤壁高中高二阶段练习）设数列的前n项和为，且为常数列，则（    ）
A． B． C． D．

例8．（2022·全国·高二单元测试）已知数列满足，，，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．

例9．（2022·河南濮阳·高二期中（文））已知数列满足，(，)，则数列的通项（    ）
A． B．
C． D．

变式5．（2022·全国·高二课时练习）已知中，，，则数列的通项公式是（　　）
A． B． C． D．

变式6．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的前项和为，，，则（    ）
A． B． C． D．

题型4：待定系数法
例10．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学高二阶段练习（理））已知数列中，，则等于（    ）
A． B．
C． D．

例11．（2022·全国·高二课时练习）在数列中，，且，则的通项为（    ）
A． B．
C． D．

例12．（2022·全国·高二（文））已知数列中，，，，求（    ）
A．
B．
C．
D．

变式7．（2022·北京·首师大附中通州校区高二期末（理））数列满足，前项和为，，则的值为（    ）．
A． B． C． D．

变式8．（2022·山东济南·高二期末（文））设数列满足，则的通项公式是（ ）
A． B． C． D．

题型5：同除以指数
例13．（2022·全国·高二）已知在数列中，，，则（    ）
A． B． C． D．

例14．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.




例15．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，则的值为(       )
A． B． C． D．无法确定

题型6：取倒数法
例16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列__________

例17．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，，则下列结论错误的是（       ）
A． B．是等比数列
C． D．

例18．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，则满足的n的最大取值为（       ）
A．7 B．8 C．9 D．10

题型7：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
例19．（2022·福建·高二阶段练习）已知数列满足：．
(1)求数列的通项公式；
(2)，数列的前项和为．对恒有成立，求实数的取值范围．




例20．（2022·甘肃·西北师大附中高二期中）设数列的前n项和为，已知，，成等差数列，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，的前n项和为，若对任意正整数n，不等式恒成立，求的最小值.




例21．（2022·江西宜春·高二阶段练习（理））已知有一系列双曲线：，其中，，记第条双曲线的离心率为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：.




变式9．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知数列的前项和为，满足：，
(1)求数列的通项公式；
(2)对于正整数，已知三数构成等差数列，求正整数的值.




变式10．（2022·福建漳州·高二期中）已知数列的前n项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前n项和为,若存在且,使得成立,求实数的最小值.




变式11．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二阶段练习）为数列的前n项和，已知记数列的前n项和为．
(1)求数列{an}的通项公式
(2)求:
(3)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.





题型8：周期数列
例22．（2022·广东中山·高二期末）已知数列满足，若，则（    ）
A．-1 B． C．1 D．2

例23．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）在数列中，已知，则（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3

例24．（2022·湖南·安仁县第一中学高二阶段练习）已知数列满足，则（    ）
A． B． C．2 D．

变式12．（2022·重庆一中高二期中）已知数列满足，则的前10项的和为（    ）
A． B．6 C．5 D．

变式13．（2022·新疆·乌鲁木齐市高级中学高二期中）在数列中，，，则等于（    ）．
A． B． C． D．2

变式14．（2022·福建莆田·高二期中）在数列中，，，，，则（    ）
A．0 B．1 C． D．

变式15．（2022·重庆市广益中学校高二阶段练习）在数列中，，则的值为（    ）
A． B．5 C． D．

变式16．（2022·辽宁·高二期末）若数列满足，，则数列中的项的值不可能为（    ）
A． B． C． D．

题型9：前n项积型
例25．（2022·河南·高三期中（理））已知数列的各项均不为0，其前项的乘积.
(1)若为常数列，求这个常数；
(2)若，设，求数列的通项公式.




例26．（2022·重庆·西南大学附中高三阶段练习）记为正项数列的前项和，且.
(1)证明：；
(2)记数列的前项积为，证明：数列是递增数列.




例27．（2022·江苏南京·模拟预测）已知数列的前n项积为，且满足a1＝1，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，证明：＝.




变式17．（2022·河北邢台·高三开学考试）数列的前n项积.数列的前n项和.
(1)求数列、的通项公式.
(2)求数列的前n项和.




变式18．（2022·江西省丰城中学高三期中（文））记数列{an}的前n项积为Tn，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和Sn．




变式19．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前项之积为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，若数列的前项和，证明：．





题型10：因式分解型求通项
例28．（2022秋•安徽月考）已知正项数列满足：，，．
（Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）若，设．，求数列的前项和．




例29．（2022•怀化模拟）已知正项数列满足，设．
（1）求，；
（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（3）的通项公式，并求其前项和为．




例30．（2022秋•仓山区校级月考）已知正项数列满足且
（Ⅰ）证明数列为等差数列；
（Ⅱ）若记，求数列的前项和．