专题02 数列求和-2023-2024学年高二数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

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专题02 数列求和
【题型归纳目录】
题型1：公式法
题型2：错位相减法
题型3：分组求和法
题型4：裂项相消法
题型5：倒序相加法
题型6：并项求和
题型7：数列奇偶项求和
【题型预测】
一．公式法
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
④
二．几种数列求和的常用方法
（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．
（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．
三．常见的裂项技巧
积累裂项模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
积累裂项模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）

（6）
积累裂项模型3：指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），设，易得，
于是
（7）

积累裂项模型4：对数型

积累裂项模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
则
【典例例题】
题型1：公式法
例1．已知等差数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【解析】解：（1）设数列的公差为，由题意得

解得，，
的通项公式为．
（2）由得
，
是首项为，公比的等比数列．
．
例2．（2022·陕西·石泉县江南高级中学高二期中（文））在数列中，a1＝1，an＝2an﹣1+n﹣2（n≥2）．
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn．
【解析】（1）明：因为＝，

数列 {an+n} 是首项为 a1+1＝2，公比为2的等比数列，
那么，即 ．
（2）由（1）知，
＝＝
例3．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高二期中）在等比数列中，，．
(1)求；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】（1）设的公比为，依题意得，解得，
因此．
（2）∵，
∴数列是首项为0，公差为1的等差数列，
故其前项和．
变式1．（2022·上海·高二专题练习）已知等差数列的前项和为，公差，且，成等比数列.
(1)求公差的值；
(2)求.
【解析】（1）成等比数列，，
由得：，解得：，
公差.
（2）由（1）得：.
题型2：错位相减法
例4．（2022·甘肃省临夏县中学高二阶段练习）在等差数列中，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，由题意知 ，
即 ，
解得，所以．
（2）由（1）知，
所以，
则，
所以
，
所以．
例5．（2022·福建·南靖县第一中学高二期中）已知数列中，，且满足.
(1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和为.
【解析】（1）对任意的，，所以，且，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，所以．
（2）由已知可得，则，所以，，两式相减得，因此，.
例6．（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）在等差数列中，，且前项和．
(1)求的通项公式；
(2)设，求．
【解析】(1)设等差数列的公差为，则，解得，
.
(2)由题意可得，①
则，②
①②可得，
因此，.
变式2．（2022·辽宁大连·高二期末）已知数列满足，；设等差数列､的前项和分别为和，且，，.
(1)求证数列是等比数列；
(2)求常数的值及的通项公式；
(3)求的值.
【解析】(1)因为数列满足，，
所以，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列；
(2)因为由等差数列､的性质可知：
，，
所以由得：，
所以，
因为，
所以，
解得，
所以，
因为等差数列､的前项和分别为和，
所可设，
因为，
所以，即，
当时，，
当，即，
显然时，也满足上式，
所以；
(3)由（1）可知，即，
所以，
所以


令，
则，
两式相减得：

，
所以，
所以
变式3．（2022·河北·大名县第一中学高二期末）已知等差数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解析】（1）设的公差为d，则：，
解得：，所以的通项公式为，；
（2）由（1）知，得：，
所以①，
②，
由①－②得： ，
所以．
变式4．（2022·湖南衡阳·高二期末）已知等比数列的前项和为，，是与18的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】(1)由解得
所以的公比
故
(2)由（1）可知，，设数列的前项和为
则，

两式相减得

故.
变式5．（2022·陕西·府谷县府谷中学高二阶段练习（文））已知等差数列的前项和为，，．等比数列的各项均不相等，且，．
(1)求数列与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，，
所以，解得，
所以．
所以．
设等比数列的公比为，因为，
所以，因为，
所以，解得（舍去）．
所以．
（2）由（1）知，
所以
所以，
两式相减
所以．
所以．
题型3：分组求和法
例7．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知数列满足，且．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求．
【解析】(1)证明：由 得 ，
因为，所以，
所以 为常数，
所以数列 是首项为 3 ， 公比为 3 的等比数列
(2)由（1）得
所以，
所以，
所以




例8．（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）已知数列是等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【解析】（1）设的公差为，则，解得，
所以；
（2）由（1）得
．
例9．（2022·广东潮州·高二期末）已知正项数列满足：，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前项和.
【解析】(1)因为
所以
又因为为正项数列，所以，所以
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以
(2)由（1）知
所以
变式6．（2022·云南楚雄·高二期末）已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】(1)因为，所以，
当时，，
由于满足，所以的通项公式为，
因为数列是公差为的等差数列，，
所以，所以；
(2)因为，
所以.
变式7．（2022·北京昌平·高二期末）已知等差数列的前项和为，且满足，各项均为正数的等比数列满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】(1)设等差数列的公差为，则，
所以.
设等比数列的公比为，
由于，
所以，
所以.
(2)，
所以.
变式8．（2022·重庆南开中学高二期末）已知正项等差数列满足，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式及前项和；
(2)保持中各项的先后顺序不变，在与之间插入个构成新数列，求数列的前24项和．
【解析】(1)设等差数列的公差为，则，
，且，，成等比数列，
∴且，
解得或（舍），，且．
(2)由题意可知，新数列为，，，，，，，，，，…按照此规律，
假设第24项在与之间，
则，解得当时，
数列的前24项和
题型4：裂项相消法
例10．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末（文））已知等差数列满足：，其前项和为.
(1)求及；
(2)令，求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，解得：，所以，．
（2）因为，所以数列的前项和
．
例11．（2022·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二阶段练习）设为数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）当时，，
当时，，，
两式相减可得：，
检验：当时，，成立，可得数列的通项公式：.
（2）由（1）可知：，
则.
例12．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求数列的前项和
【解析】(1)当时，，解得：；
当时，，即，
数列是以为首项，为公比的等比数列，.
(2)由（1）得：，，
.
变式9．（2022·福建泉州·高二期中）已知数列中，．
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解析】(1)，
即为·······①，
又，········②，
①-②得，即，
又当时，，
故；
从而，
所以是首项为1，公比为2的等比数列；
(2)由（1）得，
所以，
.
变式10．（2022·海南华侨中学高二期中）设等比数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前n项和为，求的取值范围．
【解析】(1)设公比为，由，，
所以，
解得，，
所以．
(2)由（1）及，
所以，
所以

因为，
即单调递增，
所以，又，所以，即；
变式11．（2022·湖北·高二阶段练习）已知等差数列{}的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列.
(1)求数列{}的通项公式；
(2)令，设数列{}的前n项和，求.
【解析】(1)因为等差数列{}的公差为2，前n项和为，
所以，
因为，，成等比数列，
由题意得，解得，
所以
(2)由题意可知，

当n为偶数时，

所以.
变式12．（2022·天津·高二期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，若.
(1)求证：数列是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
(2)令，设数列{bn}的前n项和为，若，求n的最小值.
【解析】（1）证明：由：①
时，得.
时：②
①②即.
，
数列是首项为2公比为2的等比数列.
.
（2）由（1）得，
所以，
若，
n的最小值为3.
变式13．（2022·海南华侨中学高二期中）设等比数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前n项和为，求的取值范围．
【解析】(1)设公比为，由，，
所以，
解得，，
所以．
(2)由（1）及，
所以，
所以

因为，
即单调递增，
所以，又，所以，即；
题型5：倒序相加法
例13．（2022·全国·高二课时练习）已知为等比数列，且，若，求的值．
【解析】因为为等比数列，，所以，
因为，所以，
同理可得，
所以

例14．（2022·全国·高二课时练习）已知，求.
【解析】因为，所以，
所以.令，
倒写得.
两式相加得，故.
例15．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，，为数列的前n项和，求的值.
【解析】因为.
所以设=（1）
=（2）
（1）+（2）得：，
所以=.
变式14．（2022·全国·高二）设函数，计算.
【解析】由已知，
，
设

，
，
即
变式15．（2022·全国·高二课时练习）设奇函数对任意都有
求和的值；
数列满足：，数列是等差数列吗？请给予证明；
【解析】（1）∵，且f（x）是奇函数
∴
∴，故
因为，所以．
令，得，即．
（2）令
又
两式相加．
所以，
故，
又．故数列{an}是等差数列．
题型6：并项求和
例16．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，前16项和为540，则__．
【答案】-2
【解析】因为数列满足，
当为奇数时，，
所以，，，，
则，
当为偶数时，，
所以，，，，，，，
故，，，，，，，
因为前16项和为540，
所以，
所以，解得．
故答案为：．
例17．（2022·贵州黔东南·高二期末（文））已知等差数列{an}的首项为1，公差d>0，前n项和为Sn，数列也为等差数列. .
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Tn，求.
【解析】(1)因为，，
且由题意可知，所以，解得d=2，
所以；
(2)由（1）可知,
所以
设
则
所以，.
例18．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为()，其前项和为，则_______.
【答案】
【解析】

，
∴.
故答案为：
变式16．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）已知数列满足，，则数列的前2020项的和为（       ）
A．0 B．1010 C．2020 D．2024
【答案】C
【解析】由，，令，

可得，，
两式相加可得，
，，
两式相加，
进行推论归纳可得，，
所以数列的前2020项的和为．
故选：C.
变式17．（2022·河北唐山·一模）已知数列满足，，记数列的前n项和为.
（1）求的值；
（2）求的最大值.
【解析】（1）由可得
当时，          （ⅰ）
所以，，…，，
因此.
（2）当时，          （ⅱ），
（ⅰ）式减去（ⅱ）式得，
又，于是，
可得；当时，；
又，
则时，；
又，
时，；
因此时，取得最大值，且.
题型7：数列奇偶项求和
例19．（2022·湖南· 邵东市第一中学高二期中）若数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－λ（λ＞0，n∈N*）．
（1）证明：数列{an}为等比数列，并求an；
（2）若λ＝4，bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前2n项和T2n.
【解析】（1）证明：由Sn＝2an－λ可得S1＝2a1－λ，即a1＝λ.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－λ)－(2an－1－λ)＝2an－2an－1，
即an＝2an－1.
又a1＝λ＞0，所以数列{an}是首项为λ，公比为2的等比数列，
所以an＝λ×2n－1.
（2）由（1）可知当λ＝4时，.
从而bn＝
所以T2n＝(22＋24＋26＋…＋22n)＋[3＋5＋7＋…＋(2n＋1)]
＝＋n2＋2n
＝＋n2＋2n.
例20．（2022·河北安平中学高二阶段练习）已知为等差数列，为等比数列，.
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
因为，，
所以，
解得d=1.
所以的通项公式为.
由，
又q≠0，得，
解得q=2，
所以的通项公式为.
（2）当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
①
由①得 ②
由①②得，
，
，
所以.
所以.
所以数列的前2n项和为.
例21．（2022·全国·高二单元测试）已知正项等比数列满足，数列的前项和.
（1）求，的通项公式；
（2）设求数列的前项和 .
【解析】（1）由题意，设正项等比数列的公比为，
则，故.
∴ .解得.
∴ 数列的通项公式为 .
当时，，
当时，.
∴ 数列的通项公式为
（2）由（1）知，
.
∴


=

变式18．（2022·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为，且满足．
（Ⅰ）求数列通项公式；
（Ⅱ）若，求的值．
【解析】（Ⅰ）当时，，解得：；
当时，，整理得：，
数列是以为首项，为公比的等比数列，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，∴，
．
变式19．（2022·江苏·高二专题练习）已知数列满足，数列是各项均为正数的等比数列，且，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【解析】（Ⅰ）根据题意，，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，
所以．
因为，
因为为正项数列，所以．
所以；
（Ⅱ）根据题意，，
所以，
设


．
设．
所以．