高中数学第五章 一元函数的导数及其应用5.2 导数的运算优秀课时练习

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题型一：利用导数公式求函数的导数
题型二：求函数的和、差、积、商的导数
题型三：求复合函数的导数
题型四：利用导数求函数式中的参数
题型五：利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处）
题型六：利用导数公式求切点坐标问题
题型七：与切线有关的综合问题
题型八：切线平行、垂直问题
题型九：最值问题
题型十：公切线问题
【知识点梳理】
知识点一：基本初等函数的导数公式
（1）（C为常数），
（2）（n为有理数），
（3），
（4），
（5），
（6），
（7），
（8），，这样的形式．
要点诠释：
1、常数函数的导数为0，即（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴．
2、有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的次幂的乘积，即（）．
特别地，．
3、正弦函数的导数等于余弦函数，即．
4、余弦函数的导数等于负的正弦函数，即．
5、指数函数的导数：，．
6、对数函数的导数：，．
有时也把记作：
以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．
知识点二：函数的和、差、积、商的导数
运算法则：
（1）和差的导数：
（2）积的导数：
（3）商的导数：（）
要点诠释：
1、上述法则也可以简记为：
（ⅰ）和（或差）的导数：，
推广：．
（ⅱ）积的导数：，
特别地：（c为常数）．
（ⅲ）商的导数：，
两函数商的求导法则的特例
，
当时，．
这是一个函数倒数的求导法则．
2、两函数积与商求导公式的说明
（1）类比：，，注意差异，加以区分．
（2）注意：且．
3、求导运算的技巧
在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．
知识点三：复合函数的求导法则
1、复合函数的概念
对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数．
要点诠释：常把称为“内层”，称为“外层”．
2、复合函数的导数
设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作．
3、掌握复合函数的求导方法
（1）分层：将复合函数分出内层、外层．
（2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到，
（3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数．
要点诠释：
1、整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量．
2、选择中间变量是复合函数求导的关键．求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏．求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．
【典型例题】
题型一：利用导数公式求函数的导数
例1．（2022·湖南·株洲市渌口区第三中学高二期中）求下列函数的导数.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
例2．（2022·湖南·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1);
(2) ;
(3)；
(4) .
例3．（2022·湖南·高二课时练习）求下列函数在指定点处的导数．
(1)，；
(2)，．
变式1．（2022·江苏·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【方法技巧与总结】
（1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．
（2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．
题型二：求函数的和、差、积、商的导数
例4．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（文））求下列函数的导数.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
例5．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
例6．（2022·全国·高二课时练习）设，，，…，，，试求．
变式2．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)．
变式3．（2022·全国·高二专题练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
【方法技巧与总结】
利用导数运算法则的策略
（1）分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．
（2）如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
（3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
题型三：求复合函数的导数
例7．（2022·江西·萍乡市第二中学高二开学考试（理））求下列函数的导数．
（1）（为常数）；
（2）.
例8．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二阶段练习）求下列函数的导数
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
例9．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
变式4．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
变式5．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【方法技巧与总结】
（1）求复合函数的导数的步骤
（2）求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．
题型四：利用导数求函数式中的参数
例10．（2022·江西·萍乡市第二中学高二开学考试（理））若函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
例11．（2022·湖北·武汉市第一中学高二阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例12．（2022·新疆·霍城县第二中学高二期末（文））已知函数 的导函数为，且满足，则 （ ）
A．B．C．1D．
变式6．（2022·吉林·高二期末）已知函数，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
变式7．（2022·全国·高二课时练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数运算法则以及复合函数的导数运算法则，转化为常见函数的导数问题，再利用求导公式来求解即可．
题型五：利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处）
例13．（2022·全国·高二课时练习）过点作曲线（）的切线，则切点坐标为________．
例14．（2022·陕西·西安中学高二阶段练习）已知二次函数，其图象过点，且.
(1)求、的值；
(2)设函数，求曲线在处的切线方程.
例15．（2022·浙江·宁波市李惠利中学高二期中）已知函数.
(1)求导函数；
(2)当时，求函数的图像在点处的切线方程.
变式8．（2022·全国·高二期末）已知函数.
(1)求的导函数；
(2)设是的零点，求曲线在点处的切线方程.
变式9．（2022·全国·高二专题练习）计算：
(1)求函数（a，b为正常数）的导数．
(2)已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围
变式10．（2022·全国·高二专题练习）（1）P是曲线上的一个动点，求点P到直线距离的最小值；
（2）已知函数，求函数过点的切线方程.
变式11．（2022·全国·高二课时练习）已知曲线.
（1）求曲线S在点处的切线方程；
（2）求过点并与曲线S相切的直线方程.
变式12．（2022·全国·高二专题练习）已知函数f(x)＝x3．
（1）求曲线f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程；
（2）求经过点A(1，f（1）)的曲线f(x)的切线方程．
变式13．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）求曲线过点的切线方程．
变式14．（2022·全国·高二课时练习）已知函数．
(1)求这个函数的图象在处的切线方程；
(2)若过点的直线l与这个函数图象相切，求l的方程．
变式15．（2022·全国·高二课时练习）求过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程．
【方法技巧与总结】
（1）利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
（2）求过点与曲线相切的直线方程的三个步骤
题型六：利用导数公式求切点坐标问题
例16．（2022·天津市南开中学滨海生态城学校高二阶段练习）已知曲线的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为_______
例17．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））设为曲线上的点,且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为__________．
例18．（2022·甘肃·兰州一中高二期中（理））在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
变式16．（2022·全国·高二课时练习）设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则＝________.
变式17．（2022·全国·高二课时练习）若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________.
【方法技巧与总结】
（1）利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
（2）结合图象，利用公式计算求解，体现了直观想象与数学运算的数学核心素养．
题型七：与切线有关的综合问题
例19．（2022·全国·高二专题练习）已知直线与曲线相切，则的最大值为___________.
例20．（2022·河南·郑州市第二高级中学高二期中（理））设函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求的解析式；
(2)证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
例21．（2022·全国·高二专题练习）已知函数的图象为曲线C．
(1)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线（均不与x轴垂直），求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围；
(2)证明：不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线．
变式18．（2022·全国·高二期末）（1）函数的导数为，求；
（2）设是函数图象的一条切线，证明：与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．
变式19．（2022·全国·高二课时练习）如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从作 轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：， ；，；；，记点的坐标为（）
(1)试求与的关系（）
(2)求
变式20．（2022·浙江·效实中学高二期中）已知直线与曲线相切，则实数的值为__________．
变式21．（2022·全国·高二课时练习）已知函数.
（1）求导函数；
（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.
【方法技巧与总结】
（1）求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件．
（2）在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内．
题型八：切线平行、垂直问题
例22．（2022·全国·高二课时练习）若函数的图象为曲线，若曲线存在与直线平行的切线，则实数的取值范围为__________.
例23．（2022·江西·南昌县莲塘第一中学高二阶段练习（文））已知曲线在点处的切线平行于直线，且点在第三象限．
(1)求的坐标；
(2)若直线，且l也过切点，求直线l的方程．
例24．（2022·全国·高二课时练习）求曲线的与直线平行的切线方程.
变式22．（2022·全国·高二专题练习）已知点A（，﹣1），B（2，1），函数f（x）＝lg2x．
（1）过原点O作曲线y＝f（x）的切线，求切线的方程；
（2）曲线y＝f（x）（≤x≤2）上是否存在点P，使得过P的切线与直线AB平行？若存在，则求出点P的横坐标，若不存在，则请说明理由．
变式23．（2022·全国·高二课时练习）已知函数f(x)=ax2+lnx的导数为，
（1）求；
（2）若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
变式24．（2022·全国·高二课时练习）已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
变式25．（2022·湖北武汉·高二期末）已知函数．如果曲线的某一切线与直线垂直，求切点坐标与切线方程．
【方法技巧与总结】
切线平行可得斜率相等，切线垂直可得斜率之积为．
题型九：最值问题
例25．（2022·江西·临川一中高二期末（文））若动直线分别与函数和的图像交于A，B两点，则的最小值为______．
例26．（2022·全国·高二课时练习）已知，其中，点为函数图象上一动点，求点到直线距离的最小值．
例27．（2022·湖南郴州·高二期末）已知函数在处的切线方程为.
(1)求的解析式；
(2)求函数图象上的点到直线的距离的最小值.
变式26．（2022·全国·高二专题练习）如图所示，动点P，Q分别在函数，上运动，则的最小值为______．
变式27．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））已知是曲线上的动点，点在直线上运动，则当取最小值时，点的横坐标为____________．
变式28．（2022·全国·高二专题练习）设点在曲线上，在直线上，则的最小值________.
【方法技巧与总结】
转化为切点到直线距离
题型十：公切线问题
例28．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l与曲线（e为自然对数的底数）和曲线都相切，则直线l的斜率为______．
例29．（2022·全国·高二专题练习）若函数，函数.
(1)若函数在处的切线与坐标轴围成的面积为，求实数的值；
(2)若直线与，的图象都相切，求实数的值.
例30．（2022·全国·高二课时练习）若存在过点的直线与曲线和都相切，求实数的值．
变式29．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））已知直线为曲线的切线，若直线l与曲线也相切，则实数m的值为__________．
变式30．（2022·全国·高二课时练习）已知函数（为常数），直线 与函数 的图像都相切，且 与函数的图像的切点的横坐标为1，则的值为_______.
变式31．（2022·辽宁·凤城市第一中学高三阶段练习（理））已知函数若直线l与曲线，都相切，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·四川省芦山中学高二期中（理）），则（ ）
A．6B．5C．3D．2
2．（2022·贵州六盘水·高二期末（理））曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·陕西·咸阳市高新一中高二期中（理））曲线（）在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高二专题练习）已知函数其图象在点处的切线方程为，则它在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·陕西·西安中学高二期中）若函数在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河南南阳·高二期末（理））曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A．2B．C．D．
7．（2022·全国·高二课时练习）设，，，……，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．B．C．4D．
二、多选题
9．（2022·山东烟台·高二期末）设，为曲线的两条切线，切点分别为A，B，若，且垂足为P，则下列说法正确的有（ ）
A．A，B两点的横坐标之和为定值B．A，B两点的横坐标之积为定值
C．直线AB的斜率为定值D．P点横坐标的取值范围为（0，1）
10．（2022·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）下列选项正确的是（ ）
A．，则B．，则
C．，则D．，则
11．（2022·山东东营·高二期末）设为实数，直线能作为曲线的切线，则曲线的方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022·全国·高二课时练习）已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2022·全国·高二专题练习）设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 __．
14．（2022·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）已知曲线在点处的切线斜率为，则当时的点坐标为________
15．（2022·全国·高二课时练习）求曲线在点处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积是______．
16．（2022·辽宁锦州·高二期末）已知函数的导函数为，且满足，则______．
四、解答题
17．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数，其中：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10)．
18．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
19．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，试比较与的大小关系.
20．（2022·浙江金华第一中学高二期中）（1）求函数在处的导数；
（2）已知函数的导函数为，且，求．
21．（2022·全国·高二课时练习）在①，；②，的图像在点处的切线斜率为1；③的图像在点处的切线方程为这三个条件中任选一个，补充在横线上，并求解.
已知函数，且___________.
(1)求，的值；
(2)求的图像在点处的切线方程及切线与直线，轴围成图形的面积.
22．（2022·全国·高二专题练习）已知是函数的导函数，对任意的，，且.
(1)若，求使成立的的取值范围；
(2)若，求函数的取值范围.