高中数学5.3 导数在研究函数中的应用精品同步测试题

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题型一：利用导数求函数的单调区间
题型二：函数图象与导函数图象的关系
题型三：已知单调性求参数的取值范围
题型四：判断、证明函数的单调性
题型五：含参数单调性讨论
情形一：函数为一次函数
情形二：函数为准一次函数
情形三：函数为二次函数型
1、可因式分解
2、不可因式分解型
情形四：函数为准二次函数型
【知识点梳理】
知识点一、函数的单调性与导数的关系
导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，
①若，则在这个区间上单调递增；
②若，则在这个区间上单调递减；
③若恒有，则在这一区间上为常函数．
反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．
知识点诠释：
1、因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上单调递增；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上单调递减；即导函数的正负决定了原函数的增减．
2、若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍单调递增（减函数的情形完全类似）．
即在某区间上，在这个区间上单调递增；
在这个区间上单调递减，但反之不成立．
3、在某区间上单调递增在该区间；
在某区间上单调递减在该区间．
在区间内，．．（或）是在区间内单调递增（或减）的充分不必要条件！
例如：，，，而在R上递增．
4、只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数．
5、注意导函数图象与原函数图象间关系．
知识点二、利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法
设函数在区间内可导，
（1）如果恒有，则函数在内单调递增；
（2）如果恒有，则函数在内单调递减；
（3）如果恒有，则函数在内为常数函数．
知识点诠释：
（1）若函数在区间内单调递增，则，若函数在内单调递减，则．
（2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或．
知识点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）在函数的定义域内解不等式或；
（4）确定的单调区间．
或者：令，求出它在定义域内的一切实数根．把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号．
知识点诠释：
1、求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集．
2、求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确．
知识点四：讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；
（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；
（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；
（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
（5）导数图像定区间；
【典型例题】
题型一：利用导数求函数的单调区间
例1．（2022·福建·莆田一中高二期中）若函数，则的一个单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得，
令，解得，
所以的单调递增区间是，
故选：B
例2．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末（文））函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，由解得：，所以函数的单调递减区间为．
故选：B．
例3．（2022·吉林·高二期末）函数的递增区间是（ ）
A．B．和
C．D．
【答案】C
【解析】由题设，且，可得，
所以递增区间为.
故选：C
变式1．（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
令，得，所以函数的单调递减区间是，
故选：A.
变式2．（2022·辽宁丹东·高二期末）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，该函数的定义域为，，
由，可得，解得，
因此，函数的单调递增区间为.
故选：B.
变式3．（2022·重庆长寿·高二期末）函数的单调递减区间为（ ）
A．（0，2）B．（2，3）
C．（1，3）D．（3，+∞）
【答案】B
【解析】的定义域为,
,
令，解得：.
所以函数的单调递减区间为（2，3）.
故选：B.
【方法技巧与总结】
（1）求函数的单调区间常用解不等式，函数在解集与定义域的交集上单调递减．解不等式，函数在解集与定义域的交集上为单调递增．
（2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“”．
题型二：函数图象与导函数图象的关系
例4．（2022·全国·高二课时练习）已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】对于不等式对，
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为；
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为．
综上，原不等式的解集为．
故选：A
例5．（2022·吉林·长春市第五中学高二期中）设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由导函数的图象可得当时，,函数单调递增；
当时，,函数单调递减；
当时，,函数单调递增.
只有C选项的图象符合.
故选:C.
例6．（2022·全国·高二单元测试）已知函数的导函数图像如图所示，则的图像是图四个图像中的（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知，当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时，单调递增，则在上增的越来越快，
当时，单调递减，则在上增的越来越慢，
当时，单调递减，则在上减的越来越快，
当时，单调递增，则在上减的越来越慢，
只有A选项符合.
故选：A.
变式4．（2022·山东德州·高二期末）函数的部分图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】对求导得恒成立,故在上单调递增，A正确.
故选：A.
变式5．（2022·广东广州·高二期末）已知函数的图象是下列四个图象之一，函数的图象如图所示，则函数图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设导函数与横轴的交点为，设，
由导函数的图象可知：当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，单调递减，由此可以确定选项C符合，
故选：A
变式6．（2022·浙江·宁波市李惠利中学高二期中）函数在定义域内可导，图像如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】的解集即为单调递增区间
结合图像可得单调递增区间为
则的解集为
故选：C．
【方法技巧与总结】
（1）函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间内，若，则在上单调递增；如果，则在这个区间上单调递减；若恒有，则是常数函数，不具有单调性．
（2）函数图象变化得越快，的绝对值越大，不是的值越大．
题型三：已知单调性求参数的取值范围
例7．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ．
故选:B．
例8．（2022·全国·高二课时练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.
令，则，所以在上单调递增，则，所以.
故选:B.
例9．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（文））已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，
所以即，
故选：A.
变式7．（2022·广东东莞·高二期中）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-1，1）B．C．（-1，+∞）D．（-1，0）
【答案】B
【解析】，由题意得：，
即在上恒成立，
因为，所以恒成立，故实数a的取值范围是.
故选：B
变式8．（2022·天津一中高二期中）已知函数的单调递减区间是，则（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】B
【解析】函数，则导数
令，即，
∵，的单调递减区间是，
∴0，4是方程的两根，
∴，，
∴
故选：B.
变式9．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得：.
因为函数在区间内存在单调递增区间，
所以在上有解，即在上有解.
设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以.
所以.
故选：D
变式10．（2022·福建·莆田一中高二期中）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为在区间上不是单调函数，
所以在区间上有解，即在区间上有解．
令，则．
当时，；当时，．
故在上单调递减，在上单调递增．又因为，
且当时，
所以在区间上单调递增，所以，解得.
故选：A
变式11．（2022·全国·高二课时练习）若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题设，，由存在递减区间，即存在使，
∴，可得或.
故选：B
变式12．（2022·新疆·霍城县第二中学高二期中（文））已知函数，若在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】详因为，
令可得-2≤x≤2，所以要使函数f(x）在区间上单调递减，
则区间（2m，m+1）是区间的子区间，
所以，求解不等式组可得：，
解得-1≤m