人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用精品当堂检测题

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5．3．2 函数的极值与最大 （小） 值
【题型归纳目录】
题型一：求函数的极值
题型二：由极值求参数的值或取值范围
题型三：利用函数极值解决函数零点（方程根）问题
题型四：不含参函数的最值问题
题型五：含参函数的最值问题
题型六：由函数的最值求参数问题
题型七：导数在解决实际问题中的应用
题型八：利用导数研究函数的极值与最值问题
题型九：利用导数研究恒成立问题
题型十：利用导数研究不等式问题
题型十一：利用导数证明不等式
题型十二：利用导数研究零点问题
【知识点梳理】
知识点一、函数的极值
（一）函数的极值的定义：
一般地，设函数在点及其附近有定义，
（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；
（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作．
极大值与极小值统称极值．
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．
知识点诠释：
由函数的极值定义可知：
（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数在及其附近有定义，否则无从比较．
（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值．极小值不一定是整个定义区间上的最小值．
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
（二）用导数求函数极值的的基本步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法）
知识点诠释：
①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点．
②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异．
知识点二、函数的最值
（一）函数的最大值与最小值定理
若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如．
知识点诠释：
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得．
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个．
（二）求函数最值的的基本步骤：
若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数在内的导数；
（2）求方程在内的根；
（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；
（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值．
知识点诠释：
①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可．
②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值．
（三）最值与极值的区别与联系
①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；
②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；
③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值．
知识点三、函数极值与最值的简单应用
1、不等式恒成立，求参数范围问题．
一些含参不等式，一般形如，
若能分离参数，即可化为：（或）的形式．若其恒成立，则可转化成（或），从而转化为求函数的最值问题．
若不能分离参数，就是求含参函数的最小值，使．所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论．
2、证不等式问题．
当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可．所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题．
3、两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）
一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题，
我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可．所以此类问题可转化为求函数的极值问题．
【典型例题】
题型一：求函数的极值
例1．（2022·北京大兴·高二期中）已知函数，则（    ）
A．有极小值，无极大值 B．有极大值，无极小值
C．既有极小值又有极大值 D．无极小值也无极大值
【答案】C
【解析】由题意函数，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值.
故选：C.
例2．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A选项，函数为奇函数，且该函数在上单调递增，A项不满足条件；
对于B选项，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，B选项不满足条件；
对于C选项，函数的导数为，该函数在上单调递增，C选项不满足条件；
对于D选项，令，该函数的定义域为，
，即函数为奇函数，
，当时，，当时，，
所以，为函数的极小值点，D选项满足条件.
故选：D.
例3．（2022·新疆师范大学附属中学高二阶段练习（文））关于函数的极值，下列说法正确的是（    ）
A．导数为零的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值
D．若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数
【答案】D
【解析】对于A选项，取，则，，当时，，
故不是函数的极值点，故A不正确；
极值是函数的局部性质，极大值与极小值之间一般来说没有大小关系，故B不正确；
一个函数在它的定义域内可能有多个极大值和极小值，故C不正确；
若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数，D正确.
故选：D.
变式1．（2022·全国·高二课时练习）函数（    ）
A．有最大（小）值，但无极值 B．有最大（小）值，也有极值
C．既无最大（小）值，也无极值 D．无最大（小）值，但有极值
【答案】C
【解析】，当时，，所以在上单调递减，
因此函数无最大值和最小值，也无极值，
故选：C
变式2．（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ）
A．当时，取得极小值1 B．当时，取得极大值1
C．当时，取得极大值33 D．当时，取得极大值
【答案】B
【解析】由题意得，
令，解得或，
当x变化时，、变化如下
x

-1




+
0
-
0
+


极大值

极小值

所以当时，取得极大值1，故B正确、C、D错误，
当时，取得极小值，故A错误，
故选：B
变式3．（2022·四川资阳·高二期末（文））函数的极大值为（    ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】的定义域为，，
令，解得：或，
令，解得：，
所以在，上单调递增，在上单调减，
所以在上取得极大值，所以.
故选：D.
变式4．（2022·河南新乡·高二期末（文））已知函数，则的极大值点为（    ）
A．1 B． C．－1 D．2
【答案】B
【解析】因为，
所以f（x）在，上单调递减，在上单调递增，
所以f（x）的极大值点为．所以B正确.
故选：B.
变式5．（2022·全国·高二课时练习）设函数，若为奇函数，求：
(1)曲线在点处的切线方程；
(2)函数的极大值点．
【解析】（1）因为函数为奇函数，所以，
从而得到，即，所以．
因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2），
由，得，由，得或，
所以函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，
所以函数的极大值点是．
变式6．（2022·全国·高二课时练习）设函数，求的极大值点与极小值点.
【解析】.
令，得；
令，得或，
故的单调增区间为，单调减区间为及.
当时，函数有极大值，
当时，函数有极小值，
故函数f（x）有极大值点为，极小值点为.
【方法技巧与总结】
函数极值和极值点的求解步骤
（1）确定函数的定义域．
（2）求方程的根．
（3）用方程的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
（4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况．
题型二：由极值求参数的值或取值范围
例4．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知函数有极值，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，定义域为R，，要使函数有极值，则必有两个不等的实根，
则，解得.
故选：D.
例5．（2022·福建省漳州市第八中学高二期末）函数在处有极值，则的值等于（    ）
A．0 B．6 C．3 D．2
【答案】A
【解析】
因为在处有极值，
所以，解得
所以
故选：A
例6．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（文））已知没有极值，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】；
在上没有极值，，即，
解得：，即实数的取值范围为.
故选：C.
变式7．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）若是函数的极值点，则a为（    ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】，是函数的极值点，
所以，
所以.
故选：D.
变式8．（2022·山西·太原市外国语学校高二阶段练习）若函数在处有极值10，则（    ）
A．6 B． C．或15 D．6或
【答案】B
【解析】 ，
又 时 有极值10
，解得 或
当 时，
此时 在 处无极值，不符合题意
经检验， 时满足题意

故选：B
变式9．（2022·北京市第三十五中学高二期中）已知函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是（   ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】B
【解析】由，又有极大值、极小值，
所以有两个变号零点，则，
整理得，可得或.
故选：B
变式10．（2022·四川凉山·高二期中（理））设函数f(x)＝ln x＋在内有极值，求实数a的取值范围（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
因为函数f(x)＝ln x＋在内有极值，
所以在内有解，
即在内有解，
，
设，
当时，单调递减，所以，
要想方程在时有解，只需，
故选：A
变式11．（2022·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高二阶段练习）函数在处有极值10，则为（    ）
A． B．15 C．或15 D．不存在
【答案】B
【解析】由，得
则，解之得或
当时，，
则在定义域上单调递增，在处无极值，不符合题意，舍去.
当时，，
则在处取极小值10，符合题意.
则
故选：B
变式12．（2022·全国·高二专题练习）若函数（）不存在极值点，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵在定义域R内不存在极值，
∴有两个相等的实数根或没有实数根，
∴，
∴．
故选：D
变式13．（2022·全国·高二课时练习）已知函数f(x)的导数，且f(x)在x＝a处取得极大值，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】（1）当时，
当时，，当时，，
则在处取到极小值，不符合题意；
（2）当时，函数无极值，不符合题意；
（3）当时，
当时，，当时，，
则在处取到极大值，符合题意；
（4）当时，，函数无极值，不符合题意；
（5）当时，
当时，，当时，，
则在处取到极小值，不符合题意；
综上所述，
故选：．
【方法技巧与总结】
已知函数的极值求参数的方法
（1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
（2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
题型三：利用函数极值解决函数零点（方程根）问题
例7．（2022·山东泰安·高二期末）已知函数在x=1处取得极值3.
(1)求a，b的值；
(2)若方程有三个相异实根，求实数k的取值范围.
【解析】（1），
因为在处取得极值3，
所以，即，
解得.，经验证，满足题意，
所以
（2）方程有三个相异实根，即直线与函数图象有三个不同的交点.
由（1）知，令，
解得或.
当变化时，的变化情况如下表所示：


1





0

0


单调递增
3
单调递减

单调递增
因此，当时，有极大值，且极大值为；
当时，有极小值，且极小值为.
作函数图象如下：

所以实数的取值范围是.
例8．（2022·全国·高二课时练习）已知函数．
(1)求证：有且仅有两个极值点的；
(2)若，函数有三个零点，求实数c的取值范围．
【解析】（1）依题意，，令，即，
因为恒成立，则有两个根，不妨令，
即，当或时，，当时，，
在，上单调递增，在上单调递减，分别是的极大值点和极小值点，
所以有且仅有两个极值点的．
（2）由（1）知是关于x的方程的两根，即有，，
因，则，解得或，
当时，，，则，，
由（1）知在，上单调递增，在上单调递减，
则函数的极大值为，极小值为，要使函数有三个零点，当且仅当，
即，解得；
当时，，，则，，
函数在，上单调递增，在上单调递减，
则函数的极大值为，极小值为，要使函数有三个零点，当且仅当，
即，解得，
所以，当时，；当时，．
例9．（2022·重庆·高二阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若直线与的图像有三个不同的交点，求实数的范围.
【解析】（1）因为，
所以，
由，解得或，所以的增区间为，
由，解得，所以的减区间为，
综上，的增区间为，，减区间为；
（2）由（1）知，当，函数取得极大值，
当，函数取得极小值，
根据函数单调性，极值情况，其图像大致如图所示，

结合图像知.
变式14．（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数有三个零点，求的取值范围．
【解析】（1）由题可得，
由题意得即
解得，，，
所以．
（2）因为，
令，得或．
当变化时，，的变化情况如下：


－1




＋
0
－
0
＋


2



所以，的单调递减区间是；单调递增区间是，．
（3）因为，，
由（2）可知：在处取得极大值，在处取得极小值，
依题意，要使有三个零点，则，
即，
解得，
所以的取值范围为．
变式15．（2022·四川遂宁·高二期末（理））已知函数在和处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求m的取值范围．
【解析】（1）由题可得，
由题意，得，则，
解得，
经检验，此时满足在和处取得极值，
所以；
（2）令，则原题意等价于图象与轴有三个交点．
∵，
∴由，解得或，由，解得，
∴在时取得极大值，在时取得极小值，
依题意得，解得，
故m的取值范围为．
变式16．（2022·湖北·武汉市第四十三中学高二期中）已知函数在与处都取得极值.
(1)求，的值；
(2)若方程有三个实数根，求实数的取值范围.
【解析】（1）由求导得：，
依题意，，解得，此时，，
当或时，，当时，，即，是函数的极值点，
所以.
（2）由（1）知，，令，，
由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，取极大值，当时，取极小值，
因方程有三个实数根，则函数有三个零点，
于是得，解得，
所以实数的取值范围是.
【方法技巧与总结】
（1）利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
（2）解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值．
题型四：不含参函数的最值问题
例10．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，设函数，则的最大值是______．
【答案】0
【解析】因为定义域为，
所以．
当时，；当时，．
所以在上为增函数，在上为减函数，
从而．
故答案为：．
例11．（2022·山东泰安·高二期末）已知函数，，则的最大值为___________.
【答案】1
【解析】函数，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
又因为，所以，
所以在时单调递增，
其最大值为.
故答案为：1
例12．（2022·广东·雷州市白沙中学高二阶段练习）函数，则在上的最大值为___________.
【答案】16
【解析】由题意，得，，
时，，递减，时，，递增，
所以，又16，，
所以最大值为16．
故答案为：16．
变式17．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））已知函数，且函数是偶函数，则函数的最大值为______．
【答案】16
【解析】因为，
所以
，
设，
因为为偶函数，
，
，解得．
因此，
所以，令，解得，，．
当时，；当时，；
当时，； 当，时，．
在区间，上是增函数，在区间，、，上是减函数
又，
的最大值为．
故答案为：
变式18．（2022·北京顺义·高二期末）函数的最小值为___________.
【答案】1
【解析】，由得，得，
在上递减，在上递增，
所以的极小值也是最小值为．
故答案为：1．
变式19．（2022·广东揭阳·高二期末）函数的最大值为___．
【答案】
【解析】函数，
∴当时，单调递增，所以，
当时，，，函数单调递减，
所以；
综上，函数的最大值为.
故答案为：.
变式20．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（理））函数在区间上的最大值为______．
【答案】
【解析】对求导，可得：
故在区间上单调递减，在区间单调递增
可得：，，
可得：
故在区间上的最大值为
故答案为：
【方法技巧与总结】
求函数最值的步骤
（1）求函数的定义域．
（2）求，解方程．
（3）列出关于，，的变化表．
（4）求极值、端点处的函数值，确定最值．
注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．
题型五：含参函数的最值问题
例13．（2022·陕西·西安中学高二期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调性；
(3)求函数在上的最小值．
【解析】（1）当时，，则，
所以，，
所以曲线在处的切线方程为.
（2）由题意得，因为恒成立，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
（3）由（2）得，①当时，在上单调递减，；
②当时，在单调递减，在单调递增，；
③当时，在上单调递增，.
例14．（2022·浙江·高二期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，记在区间上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围．
【解析】（1）由可得，
当时，即，，单调递增；
当时，即，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
当时，即，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
（2）当时,,
由（1）知在上，，单调递增；在上，，单调递减，
所以；
，
所以；
所以；
令，
当时，单调递增，则，即；
当时，，，单调递减，
则，即，
故的取值范围为.
例15．（2022·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）已知函数，求：
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在的最小值.
【解析】（1）由题设，，
令，解得；
令，解得.
的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由（1）知，当时在上单调递减，
，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
.
变式21．（2022·山东德州·高二期末）已知函数．
(1)若函数f（x）在x=－1处取得极值，求实数a的值；
(2)当时．求函数f（x）的最大值．
【解析】（1）由题意可知，
所以，即3-3a=0解得a=1，
经检验a=1，符合题意．
所以a=1．
（2）由（1）知，
令，，
当即时，f（x）和随x的变化情况如下表：
x
－2





1


＋
0
－
0
＋


－7+6a
单调递增

单调递减

单调调增
2－3a
，
由上可知，所以的最大值为．
当即时，f（x）和随x的变化情况如下表：
x
－2



1


＋
0
－


－7+6a
单调递增

单调递减
2－3a
，
由上可知，所以f（x）的最大值为．
当即时，恒成立，即f（x）在［－2，1]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（－2）=－7+6a，
综上所述，当时，f（x）的最大值为；
当时，f（x）的最大值为－7+6a．
【方法技巧与总结】
含参数的函数最值问题的两类情况
（1）能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
（2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
题型六：由函数的最值求参数问题
例16．（2022·全国·高二单元测试）设函数，若函数存在最大值，则实数的取值范围是____．
【答案】
【解析】当时，，函数单调递增，且无最大值，
当时，，，
当时，，当时，，
当时，取得极大值也是最大值为，
要使有最大值，则，，
故答案为：．
例17．（2022·全国·高二单元测试）已知函数的最小值为0，则实数a的值为__________．
【答案】1
【解析】的定义域为，
，
当时，，在区间上递增，没有最小值.
当时，在区间递减；在区间递增.
所以在区间上的最小值为.
故答案为：
例18．（2022·全国·高二专题练习）已知函数的最小值为2，则实数a的值是___________.
【答案】1或.【解析】因为，，
当时，，所以是上的减函数，
函数无最小值，不符合题意；
当时，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
函数的最小值为，
由，得，解得或.
故答案为：1或.
变式22．（2022·广东佛山·高二期末）已知函数的最小值为，则a的值为______．
【答案】-3
【解析】函数的定义域为R，.
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的最小值为，
解得：.
故答案为：-3.
变式23．（2022·福建·泉州科技中学高二期末）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
【解析】，所以，所以，
当时，单调递增，所以当时，，
此时值域为R，符合题意；
当时，当时，，所以单调递增，当时，值域为R，
所以满足题意；
当时，当时，，当时，，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，
要想值域为R，则要满足，
解得：，
综上：实数a的取值范围是
故答案为：.
变式24．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二阶段练习）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】，
令 解得；令 ，解得或
由此可得在上时增函数，在上是减函数，在上是增函数，
故函数在处有极大值，在处有极小值，
，解得
故答案为：
变式25．（2022·辽宁实验中学高二期中）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
，
当时，单调递减；当或时，单调递增，
∴在取得极大值，处取得极小值.
令，整理得，解得：或
∵函数在上存在最小值，
∴，解得.
故答案为：.
变式26．（2022·河南·马店第一高级中学高二期中（文））已知函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题设， ，令即，则，
又函数在上有最大值，即存在极大值，则，可得，
令，则，
所以当时，，故在上递减，
所以上，上，满足在上存在极大值.
综上，.
故答案为：
变式27．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）已知函数，，若对，，且，使得，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为函数，
所以，
所以对，函数的值域为；
由，，
得，
当时，，函数单调递减，不符合题意，
所以，令，解得，则，否则不符题意
则函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
作出函数在上的大致图象，如图，

由图象可知，要使对，使得成立，
则，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程（不等式）解决问题．
题型七：导数在解决实际问题中的应用
例19．（2022·全国·高二课时练习）金秋十月，柚果飘香，又到一年马家柚成熟时节，小王大学毕业后决定结合实际情况合理安排采摘时间，确保马家柚品质，利用所学专业加工马家柚产品，经过市场调研，加工马家柚产品需投入年固定成本2万元，每加工x万斤，需另投入流动成本万元．已知在年产量不足4万斤时，；在年产量不小于4万斤时，；每斤产品售价6元．通过市场分析，小王加工的产品当年能全部售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万斤）的函数解析式．（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本．）
(2)年加工产量为多少万斤时，小王在加工中所获年利润最大？最大年利润是多少？
【解析】（1）由题意，当时，；
当时，.
所以.
（2）当时，，令，解得.
故在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，故.
当时，，当且仅当，即时取等号.
综上，当年产量为8万斤时，所获年利润最大，为9万元.
例20．（2022·广西·兴安县第二中学高二期中（文））现有一边长为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为的小正方形，然后做成一个无盖方盒．

(1)试把方盒的容积表示为的函数；
(2)当为何值时，方盒的容积最大？并求出方盒的容积的最大值．
【解析】（1）由题意知：方盒的底面是边长为的正方形，高为，
.
（2），
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
当时，.
例21．（2022·江西抚州·高二期中（理））已知A，B两地相距，某船从A地逆水到B地，水速为，船在静水中的速度为．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当，每小时的燃料费为720元．
(1)求比例系数；
(2)当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？
(3)设，当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？
【解析】(1)设每小时的燃料费为，则，
当，每小时的燃料费为720元，
代入得．
(2)由（1）得．
设全程燃料费为y，则，
所以，
令，解得（舍去）或，
所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．
所以当时，y取得最小值，
故为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为．
(3)由（2）得当时，则y在区间上单调递减，
所以当时，y取得最小值；
若时，则y在区间内单调递减，在区间上单调递增，
则当时，y取得最小值．
综上，当时，船的实际前进速度为，全程燃料费最省；
当时，船的实际前进速度应为，全程燃料费最省．
变式28．（2022·四川·成都七中高二期中（理））第31届世界大学生夏季运动会即将在成都拉开帷幕.为了配合大运会的基础设施建设，组委会拟在成都东安湖体育公园修建一座具有成都文化特色的桥.两端的桥墩已建好，这两桥墩相距160米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米（其中，）的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建n个桥墩（显然），记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)需新建多少个桥墩才能使y最小？
【解析】(1)由，得，
所以
.
(2)由（1）知，，
令，得，所以.
当时，，则在区间内为减函数；
当时，，则在区间内为增函数.
所以在处取得最小值，此时.
故需新建9个桥墩才能使y最小.
变式29．（2022·湖南·高二课时练习）如图，工厂A到铁路专用线的距离km，在铁路专用线上距离B 100km的地方有一个配件厂C，现在准备在专用线的BC段选一处D铺设一条公路（向着A），为了使得配件厂到工厂A的运费最省，那么D处应如何选址？（已知每千米的运费铁路是公路的60%）

【解析】设，，设公路每千米的运费为，则铁路每千米的运费为，则配件厂到工厂A所需的总运费为

令，即，得，解得（不合题意，舍去）
当时，；当时，，即当时，函数取最小值.
故处选在距点处km时运费最省.
【方法技巧与总结】
解决最优问题应从以下几个方面入手
（1）设出变量，找出函数关系式，确定定义域．
（2）在实际应用问题中，若函数在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点．
题型八：利用导数研究函数的极值与最值问题
例22．（2022·广东·佛山一中高三阶段练习）已知函数．
(1)若，求函数在区间上的值域；
(2)求函数的极值．
【解析】（1）当时，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，，，
所以，即函数在区间上的值域.
（2）因为，，则，
当时，所以在定义域上单调递增，不存在极值；
当时令，解得或，又，
所以当或时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极大值，，
在处取得极小值，，
当时令，解得或，又，
所以当或时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极大值，，
在处取得极小值，，
综上可得：当时无极值，
当时，，，
当时，，．
例23．（2022·江苏连云港·高三期中）已知函数其中是自然对数的底数，为正数
(1)若在处取得极值，且是的一个零点，求的值；
(2)若，求在区间上的最大值；
(3)设函数在区间上是减函数，求的取值范围．
【解析】（1）由可得，
由已知在处取得极值，所以,即，，
又, 即，.
（2），
，，
当时，时，单调递减，当时，单调递增;
当时，时，单调递减；
故函数在区间上的最大值为：或.
又，
当，即时，函数的最大值为；
当，即时，函数的最大值为.
（3），
在上是减函数，
在上恒成立，即在上恒成立，
在上恒成立，又，当且仅当时等号成立.
.
例24．（2022·四川泸州·一模（文））已知是函数的极值点，且曲线在点处的切线斜率为．
(1)求函数的解析式；
(2)若在区间上存在最小值，求实数m的取值范围．
【解析】（1），则，
由题意得，解得，，经检验，满足题意，
（2），
当或时，，当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减，
若在区间上存在最小值，则，
故m的取值范围为．
变式30．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（理））已知函数.
(1)当时，求在上的最值；
(2)讨论的极值点的个数.
【解析】（1）当时，，
，故在上单调递增，
，.
（2）,
①当时,恒成立,此时在上单调递增，不存在极值点.
②当时,令,即，解得:或，
令,即，解得
故此时在递增,在递减,在递增,
所以在时取得极大值，在时取得极小值，故此时极值点个数为2，
综上所述:时,无极值点，
时,有2个极值点.
变式31．（2022·湖北·高三期中）已知函数．
(1)若，求的单调区间
(2)若函数在处取得极值，求的最大值和最小值．
【解析】（1）若，有，定义域为
则，
得；得或
所以，的减区间是，增区间是，；
（2）∵，
即：
∴
∴
∴
∴当或时，；当时，
∴在，上递增，在上递减
∴的极大值为，的极小值为.
又∵当 时， ，当时，
，．
【方法技巧与总结】
（1）已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义．
（2）讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即的正负．
（3）将函数的各极值与端点处的函数值进行比较，最大的那个值是最大值，最小的那个值是最小值．
题型九：利用导数研究恒成立问题
例25．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知函数.
(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(2)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围.
【解析】（1）解:由题知在上恒成立,
即,
,
只需即可,
即,
记,
,
,
,
,
在单调递减,

;
（2）由题知,在上单调递增,
即在上恒成立,
即恒成立,
,只需恒成立,
即,
记,
,
,,
在单调递增,
,
只需即可,
综上:.
例26．（2022·北京·高二期末）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）∵，
∴，
令，解得：，
所以，函数在上单调递减，，函数在上单调递增，
即函数单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）由题可知，
由（1）可知，当时，函数有最小值，
∴，即，
故的取值范围为.
例27．（2022·广西北海·高二期末（理））已知函数，其中.
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为

①当时，令，可得，此时函数的增区间为，减区间为
②当时，令，可得，此时函数的增区间为，减区间为
综上所述：当时，函数的增区间为，减区间为；当时，函数的增区间为，减区间为
（2）在恒成立，则在恒成立
即在恒成立
令

令，，
，，则在上恒成立
在上单调递增，

在单调递增，
在恒成立，则
的范围是.
变式32．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若对一切恒成立，求m的取值范围．
【解析】（1）∵
∴，
由得或，
且当或时，，当时，，
∴的单调增区间为和，单调减区间为
（2）依题意可得在上恒成立，
令，则，
令，易知在上单调递增，
∵，∴，又∵，
∴，使得，即有，
且在上单调递减，在上单调递增，
∴，
∴，
即m的取值范围为．
变式33．（2022·四川省峨眉第二中学校高二阶段练习（理））已知函数在与处都取得极值．
（1）求，的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题设，，又，，解得，．
（2）由，知，即，
当时，，随的变化情况如下表：




1


+
0
-
0
+

递增
极大值
递减
极小值
递增
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，为极大值，又，则为在上的最大值，
要使对任意恒成立，则只需，解得或，
∴实数的取值范围为．
变式34．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）已知函数
（1）求的极值点；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）由题设，，
∴时，，单调递减；时，，单调递增减；
∴是的极小值点，无极大值点.
（2）由题设，对恒成立，即在上恒成立，
令，则，
∴时，，递减；时，，递增；
∴，故.
变式35．（2022·福建三明·高二期中）设函数.
（1）若在处的切线为，求的值；
（2）当时，恒成立，求的范围.
【解析】（1）由得：，且.
由题意得：，即，又在切线上.
∴，得.
（2）当时，，得，
当时， ，
当时，，此时.
∴，即在上单调递增，则，
要使恒成立，即，
∴.
【方法技巧与总结】
解决不等式恒成立问题，有两种求解方法．一种是转化为求最值，另一种是分离参数．
分离参数求解不等式恒成立问题的步骤

题型十：利用导数研究不等式问题
例28．（2022·陕西·西安中学高二期中）已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，
当时，，
当时，，
在上单调递减；
又为的奇函数，
，即为偶函数，
在上单调递增；
又由不等式得，
当，即时，不等式可化为，即，
由在上单调递减得，解得，故；
当，即时，不等式可化为，即，
由在上单调递增得，解得，故；
综上所述，不等式的解集为：．
故选：D．
例29．（2022·陕西师大附中高二期中（文））是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】构造，则，
因为定义域为，且，
所以
所以函数在上单调递增，
不等式可化为：，
即，所以有，
解得：.
即不等式的解集为：.
故选：D
例30．（2022·江西·金溪一中高二阶段练习（理））设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】构造函数，
所以，
又因为，所以，在上单调递增，
因为，所以，
不等式，可整理为，即，
因为函数在上单调递增，所以.
故选：D.
变式36．（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，    
因为定义在上的函数满足，
所以，
所以在上单调递增，
因为，
所以，
所以不等式可转化为，即，
所以ex＞10，
所以x＞ln10，
所以不等式的解集为.
故选：B.
变式37．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）定义在上的函数的导数为，若对任意实数都有，且函数为奇函数，则不等式的解集是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数为上的奇函数，则，所以.
原不等式可化为，即.
令，则，
故在上单调递减，且由所以.
故选：B.
变式38．（2022·四川遂宁·高二期末（文））定义域为R的可导函数的导函数为，满足且，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
∴在R上单调递减，又∵，
∴，即，
∴.
故选：C.
【方法技巧与总结】
解决不等式问题，通常先构造新函数，然后再利用导数研究这个函数的单调性，从而使不等式问题得以解决．
题型十一：利用导数证明不等式
例31．（2022·陕西·西安中学高二期中）已知函数，．
(1)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若，存在两个极值点，，证明：．
【解析】（1）∵，又在区间上单调递减，
∴在上恒成立，即在上恒成立，
∴在上恒成立；
设，则，
当时，，∴单调递增，
∴，
∴，即实数a的取值范围是．
（2）由（1）知：，满足．
∴，不妨设，则．
∴，
则要证，即证，
即证，也即证成立．
设函数，则，
∴在单调递减，又．
∴当时，，
∴，即.
例32．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）证明：当时，．
【解析】由题设，要证，只需证即可，
令，则，
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；
故，即在上恒成立，
∴，得证．
例33．（2022·山东菏泽·高二期中）已知函数.
(1)求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
(2)证明：f（x）≥1.
【解析】(1)因为，所以切线斜率为，
又，所以切线方程为，即；
(2)由解得，由解得，
所以在单调递减，在单调递增，
所以.
变式39．（2022·河北·邢台市第二中学高二阶段练习）已知函数.
(1)若在上有2个零点，求a的取值范围；
(2)证明：.
【解析】(1)当时，，
由，得.
设函数，则.
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
因为，且在上有2个零点.
所以a的取值范围为.
(2)证明：要证，只需证.
当时，，则.
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当时，等号成立.
设函数，则.
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当且仅当时，等号成立.
故，因为，所以等号取不到，所以，
即，所以.
变式40．（2022·江苏·高二课时练习）求证：当时，．
【解析】令，，则，所以单调递增的，
∴，即，∴.
变式41．（2022·全国·高二课时练习）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）当时，试证明．
【解析】（1）因为，
所以．
令，得；令，得．
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）由（1）知在上单调递减，
所以时，，
即，
所以，即．
变式42．（2022·广东中山·高二期末）已知函数在处有极值2．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）证明：．
【解析】（Ⅰ）由已知，，则
  
解得，  
经检验，符合题意.     
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，．
要证，
只需证．
即．         
令，则．   
令，解得．                 
，的变化情况如下表所示．


1


－
0
+

单调递减
1
单调递增
所以，时，有最小值．
故成立
变式43．（2022·全国·高二单元测试）已知函数 ．
（1）若 ，求的极值；
（2）证明：当 时，．
【解析】（1）
,
当时,；
当时,
当变化时,的变化情况如下表：









单调递增

单调递减
因此,当时,有极大值,并且极大值为 ，没有极小值.
（2）令函数,
由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递减.
又
故在存在唯一零点.设为,则
当时,；当时,,
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减
又，
所以，当时,.
故.
变式44．（2022·全国·高二课时练习）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：．
【解析】（1），所以切点为.
，，
所以切线为.
（2）要证，只需证：，即证：.
令，.
令，解得.
所以，，为增函数，
，，为减函数.
所以，
所以恒成立，即证.
【方法技巧与总结】
利用导数证明不等式（比较大小）常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考察这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．
题型十二：利用导数研究零点问题
例34．（2022·江西·萍乡市第二中学高二开学考试（理））已知函数.
(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；
(2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围
(3)若在定义域内有两个零点，求实数的取值范围.
【解析】（1），则，
因为切线与直线垂直，所以，解得.
（2），则，
在上单调递增，所以在上恒成立，即，
令，则，当时取得最小值，，所以.
（3）当时，，则单调递增，不可能有两个零点；
当时，时，；时，，则在上单调递增，上单调递减，
，解得，此时，，，令，则，，所以当时，单调递减，，所以当时，，即,
所以所以有两个零点，故.
例35．（2022·全国·高二专题练习）已知函数．
(1)求的导函数；
(2)若在上有零点，求的取值范围．
【解析】（1）因为，所以
（2）由（1）知，
因为，所以，
所以，
从而在上单调递增，
所以，．
因为在上有零点，所以，
解得．
例36．（2022·全国·高二期末）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若至少有两个零点，求a的取值范围．
【解析】（1）由，
在，上，在上，
所以在上递减，上递增，上递减.
（2）由（1）知：极小值为，极大值为，
要使至少有两个零点，则，可得.
变式45．（2022·重庆·巫山县官渡中学高二期末）已知，函数．
(1)求函数的极值：
(2)若函数无零点，求的取值范围．
【解析】（1）由题意得：定义域为，；
令，解得：，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
的极小值为，无极大值.
（2）由（1）知：的极小值即为的最小值，即；
若无零点，则，即，，解得：，
则的取值范围为.
变式46．（2022·天津·南开中学高二期中）已知函数在处取得极值.
(1)求在上的最小值；
(2)若函数有且只有一个零点，求b的取值范围.
【解析】（1）因为，所以，
在处取得极值，，即解得，
，所以，所以当或时，当时，
在上单调递增，在上单调递减，
又，
在上的最小值为.
（2）由（1）知，，
若函数有且只有一个零点，
则方程有唯一解，即有唯一解，
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
又，函数图象如下所示：

或，得或，
即b的取值范围为.
变式47．（2022·全国·高二课时练习）已知函数f(x)＝－1，
（1）求f(x)的单调区间；
（2）当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e]上零点的个数．
【解析】（1），令，得．
f′(x)及f(x)随x的变化情况如下表：





＋
0
－

递增
极大值
递减
所以f(x)的单调递增区间为(0，e1－a)，单调递减区间为(e1－a，＋∞)．
（2）由（1）可知f(x)的最大值为，
① 当a＝1时，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，e)上单调递减．
又f(1)＝0，故f(x)在区间(0，e]上只有一个零点．
② 当a0，e1－a>1，
则，所以f(x)在区间上无零点．
综上，当a＝1时，f(x)在区间(0，e]上只有一个零点，
当a