青海省海东市2022-2023学年高一下学期4月联考数学试题（含解析）

这是一份青海省海东市2022-2023学年高一下学期4月联考数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

青海省海东市2022-2023学年高一下学期4月联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
2．若复数，则（    ）
A． B．
C． D．
3．已知向量，且，则（    ）
A． B． C． D．
4．已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ）
A．8 B．16 C．12 D．24
5．若，则（    ）
A． B． C． D．
6．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则一定是（    ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
7．已知函数，则方程的实数解的个数为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端C处的仰角分别是和，在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为，则估算泰姬陵的高度CD为（    ）
  
A． B． C． D．

二、多选题
9．已知某扇形的周长为44，圆心角为2，则（    ）
A．该扇形的半径为11 B．该扇形的半径为22
C．该扇形的面积为100 D．该扇形的面积为121
10．已知复数在复平面内对应的点分别为，且为复平面内的原点，则（    ）
A．在第一象限 B．与关于对称
C．为钝角 D．
11．在平行四边形中，，，与交于点，设，，则（    ）
A． B．
C． D．
12．地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知，其中为地震震级．下列说法正确的是（    ）
A．若地震震级增加2级，则最大振幅增加到原来的20倍
B．若地震震级增加2级，则放出的能量增加到原来的1000倍
C．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量增加到原来的1000倍
D．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量增加到原来的100倍

三、双空题
13．若复数，则z的虚部为__________， _________．

四、填空题
14．已知，则________．
15．如图，在正六边形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，则_________．

16．如图，海上一观测站A接到在北偏西方向上一艘商船D的求助电话，得知该商船需要加燃油，观测站人员准备让在商船D正东方向的一艘商船B向它输送燃油，速度为每小时120海里，此时商船B距观测站海里，20分钟后测得商船B位于距观测站30海里的C处，再经过___________分钟商船B到达商船D处．


五、解答题
17．已知向量，.
(1)求与夹角的余弦值；
(2)若，求的值.
18．(1)在复数范围内解方程；
(2)若复数为纯虚数，求.
19．已知函数为定义在上的偶函数，当时，的图象过点．
(1)求a的值：
(2)求的解析式；
(3)求不等式的解集．
20．在中，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若角的角平分线与交于点，，，求的面积．
21．函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上恰有个零点，求的取值范围．
22．如图，某巡逻艇在A处发现正东方向30海里的B处有一艘走私船正沿东偏北（）的方向直线行驶，巡逻艇立即以走私船2倍的速度沿东偏北（）的方向直线追去，并在F处拦截.若点F在警戒水域内（包含边界），则为安全拦截，否则为警戒拦截.已知B为的中点.

(1)若，求；
(2)若对任意的都可以通过调整的大小来实现安全拦截，求的最小值.

参考答案：
1．B
【分析】先化简集合B，再利用集合的交集运算求解.
【详解】解：因为，
所以．
故选：B
2．C
【分析】根据复数的除法运算求解，再求其共轭复数.
【详解】由，
得.
故选：C.
3．C
【分析】根据平面向量的共线的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，可得，
因为，可得，解得．
故选：C.
4．B
【分析】根据已知条件，利用“1”的代换，将转化为，再利用基本不等式求解即可.
【详解】已知正实数a，b满足，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为16，
故选：B.
5．A
【分析】根据指数函数与对数函数的性质，求得，即可求解.
【详解】由指数函数的性质，可得，
再由对数函数的性质，可得，所以．
故选：A.
6．C
【分析】由正弦定理边角互化，化简可得角的关系，进而判断三角形形状即可.

【详解】由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以或，又，
所以，所以为直角三角形．
故选：C.

7．B
【分析】讨论、，令求解即可判断个数.
【详解】当时，由，解得；
当时，由，得或，解得或．
故方程的实数解的个数为3．
故选：B
8．D
【分析】由题意知，．在中求得，在中，由正弦定理得，从而在中，由求得答案．
【详解】由题意知，所以．
在中，，
在中，由正弦定理得，
所以．
在中，．
故选：D.
9．AD
【分析】设该扇形的半径为r，弧长为l，利用扇形的周长列出方程进而求解即可.
【详解】设该扇形的半径为r，弧长为l，则，
即，解得．
故该扇形的面积．
故选：AD.
10．ABD
【分析】先求出复数对应点的坐标，根据点的特征判断选项A、B.；根据两个向量夹角的余弦值判断选项C；利用向量垂直的坐标表示判断选项D.
【详解】依题意可得，
对于A，在第一象限，故A正确；
对于B，与关于对称，故B正确；
对于C，因为，，所以不是钝角，故C错误；
对于D，因为， ，所以，故D正确.
故选：ABD.
11．AC
【分析】由得，从而，整理即可判断A，B；设与交于点，则与相似，可得，，因为，，三点共线，，，三点共线，设，则，求得，求出即可判断C，D．
【详解】在平行四边形中，，所以，
则，A正确，B错误；

设与交于点，则在平行四边形中，与相似，
所以，则，即，，
因为，，三点共线，，，三点共线，
设，则，即，
所以，C正确，D错误．
故选：AC.
12．BC
【分析】根据对数和指数的运算性质即可求解.
【详解】因为，所以．故A错误；
因为，所以B正确；
因为，所以，所以C正确，D错误．
故选：BC
13．
【分析】根据复数的概念，以及复数模的计算公式，即可求解.
【详解】由复数，可得复数z的虚部为，又由．
故答案为：；.
14．
【分析】由两角和的正弦公式展开，得出，两边平方，结合同角三角函数的平方关系和二倍角公式即可求出答案．
【详解】因为，
所以，得，
则，
因为，，
所以，
故答案为：．
15．/－0.5
【分析】由在向量上的投影向量公式计算即可.

【详解】设正六边形边长为1，则与的夹角为 ，
故在向量上的投影向量为，
所以.
故答案为：
16．15
【分析】在中，由余弦定理求得，从而得到，利用正弦定理求得，然后根据速度比求出时间.
【详解】在中，海里，海里，海里，
由余弦定理得，则．
在中，因为，所以海里，
所以分钟，即再经过15分钟商船B到达商船D处．
故答案为： 15.
17．(1)
(2)

【分析】（1）根据向量的夹角公式的坐标运算，即可求解；
（2）由，结合，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：由向量，，可得，且，
所以与夹角的余弦值.
（2）解：由，
可得，
即，解得.
18．(1)
(2)

【分析】（1）由已知方程化简可得，将用复数表示，即可求解；
（2）利用复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解.
【详解】（1）解：由，
可得，则，
解得.
（2）因为，
且为纯虚数，所以，
解得，故.
19．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据的图象过点求解；
（2）设，则，得到，再利用为偶函数求解；            
（3）由，得或求解．
【详解】（1）解：因为当时，的图象过点，
所以，解得．
（2）设，则，则．                       
因为为定义在上的偶函数，
则．                                
综上所述，
（3）由，得或                         
解得或．                                 
故不等式的解集为．
20．(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）根据三角形的面积公式结合等面积法求出，即可得解.
【详解】（1）因为，
所以根据正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）由，
得，解得，
所以的面积为.
21．(1)
(2)

【分析】（1）令，结合图象可求得的解析式，则由可求得；
（2）由（1）可得，令，将问题转化为在上与恰有个交点，采用数形结合的方式可求得结果.
【详解】（1）令，
由图象可知：，最小正周期，，
，则，解得：，
又，，，
.
（2）由（1）得：，
当时，，
令，则在上与恰有个交点，
作出与的图象如下图所示，

由图象可知：当时，与恰有个交点，
即若在上恰有个零点，则的取值范围为.
22．(1)
(2)20

【分析】（1）确定，根据正弦定理计算得到答案.
（2）设，则，确定，根据余弦定理得到，确定，利用二次函数性质计算最值得到答案.
【详解】（1）在中，由于巡逻艇速度是走私船速度的2倍，则，
由正弦定理可得，所以.
（2）设，则，则，即，
由余弦定理可得，所以，
如图所示，过F作交于Q，

则，
由题意得对任意恒成立，
则，当且仅当时，等号成立.
当警戒水域的宽的最小值为20海里时，才能满足对任意的都可以通过调整的大小来实现安全拦截.