2023年7月浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试模拟数学试题（含解析）

这是一份2023年7月浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试模拟数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年7月浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
2．复数在复平面内对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．函数的定义域是（    ）
A． B． C． D．
4．已知，则的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，且,则（    ）
A． B．4 C． D．9
6．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则参加比赛的都是女生的概率为（    ）
A． B． C． D．
7．在中，已知是边上的中点，是的中点，若，则实数（    ）
A． B． C． D．1
8．如果一个棱长为的正方体的八个顶点都在同一个球面上，且这个球的表面积为，则（    ）
A．1 B． C． D．
9．不等式的解集是（    ）
A．或 B．或
C． D．
10．我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来研究函数图象的特征，已知函数的部分图象如下图所示，则可能的解析式是（    ）
  
A． B．
C． D．
11．已知，且满足，则（    ）
A． B． C． D．
12．若正数满足，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
13．已知，且，则关于表述正确的是（    ）
A． B． C． D．
14．如图，虚线是某印刷厂的收支差额y关于印刷量x的图象，现有一单位需印制一批证书，为此印刷厂员工给出了以下两种方案，方案一：收取制版费和印刷费，其中印刷费用按原价的八折收取；方案二：不收取制版费，印刷量达到一定数量后，超出部分按原价的六折收取，则符合两种方案描述的图象（实线部分）是（    ）
  
A．   B．  
C．   D．  
15．已知函数，若关于的方程有两解，则实数的值可能为（    ）
A． B． C． D．
16．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，过的截面与棱分别交于点，则下列说法正确的是（    ）

A．存在点，使得
B．线段的长度的最大值是1
C．当点与点重合时，多面体的体积为2
D．点到截面的距离的最大值是

三、双空题
17．已知函数，则___________，___________.

四、填空题
18．为了解某地儿童生长发育情况，抽查了100名3周岁女童的身高，将统计结果绘制成频率分布直方图如图，则可以估计这100名女童身高的平均值为___________ cm.
  
19．在中，内角的对边分别为，已知，则角___________.
20．已知函数，则使得成立的的取值范围是___________.

五、解答题
21．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，当时，求的值域.
22．如图，在三棱柱中，已知平面，且.
  
(1)求的长；
(2)若为线段的中点，求二面角的余弦值.
23．已知函数，其中.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若对任意的，且，都有成立，求实数的取值范围.

参考答案：
1．D
【分析】利用集合的并集运算即可得解.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
2．D
【详解】因为复数在复平面内对应的点是，
所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D
3．C
【分析】根据题意结合对数函数运算求解.
【详解】令，解得，
所以函数的定义域是.
故选：C.
4．A
【分析】判断出即可求解.
【详解】，
所以
故选：A.
5．C
【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的垂直条件，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，向量，，
因为，可得，解得.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的垂直条件的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式是解答的关键，着重考查计算能力.
6．A
【分析】记三名男生分别为、、，两名女生分别为、，利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】依题意记三名男生分别为、、，两名女生分别为、，
从中任意选两名同学有、、、、、、、、、，共种情况，
其中都是女生的只有这种情况，
故参加比赛的都是女生的概率.
故选：A
7．C
【分析】根据是边上的中点，是的中点，得到，再利用平面向量的线性运算求解.
【详解】解：因为是边上的中点，是的中点，
所以，
所以，
，
又因为，
所以，则，
故选：C
8．D
【分析】利用正方体的体对角线为其外接球的直径，结合球的表面积公式即可得解.
【详解】因为正方体的体对角线为其外接球的直径，且其棱长为，
所以，
由题意可知正方体的外接球的表面积为，则，
所以（负值舍去）.
故选：D.
9．B
【分析】依题意可得，再解一元二次不等式（组）即可.
【详解】不等式，即，所以，
即，解得或，
故不等式的解集为或.
故选：B
10．C
【分析】利用特殊值法与导数研究函数的单调性，结合图像的单调性判断即可.
【详解】对于A，因为，
所以，，，
显然，，
所以在上并不单调递减，故A错误；
对于B，因为，
所以，，，
显然，，
所以在上并不单调递增，故B错误；
对于D，因为，
所以，，
显然，，
所以在上并不单调递减，故D错误；
对于C，因为，
当时，，由复合函数的单调性易知在上单调递增；
当时，，则，
令，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，则在上恒成立，
所以在上单调递减；
综上：的单调性满足题意，又排除了ABD，故C正确.
故选：C.
11．A
【分析】先由二倍角余弦公式和两角差的正弦公式化简得到，再利用基本关系式求解.
【详解】解：因为，且，
所以 ，化简得，
两边平方化简得 ，
所以 ，
即 ，则 ，
两式联立求得 ，
所以 ，
故选：A
12．B
【分析】由可得原式化为，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】由可得时等号成立，
所以，
所以时，的最小值是，
故选：B
13．AD
【分析】根据，且，由同角三角函数的基本关系式求解.
【详解】解：因为，且，
所以，
则，，，
故选：AD
14．CD
【分析】结合图像，对两个方案进行分析即可.
【详解】依题意，设每张证书印刷费为元，每张证书印刷损耗为元，其余固定损耗为元，制版费为元，显然，
则结合图像可知该印刷厂的收支差额y关于印刷量x的关系式为，
方案一：由于收取制版费和印刷费，印刷费按原价的八折收取，
所以该印刷厂的收支差额y关于印刷量x的关系式为，
显然该直线斜率会比原来的小，截距会比原来的大，故C选项的图像满足；
方案二：由于不收取制版费，印刷量达到一定数量后，超出部分按原价的六折收取，
所以一开始的图像与原来的一样，当印刷量达到一定数量后，收入减少，故收支差额变小，
所以D选项的图像满足.
故选：CD.
15．BD
【分析】根据题意分析可得方程的根的个数可以转化为与的交点个数，结合的单调性与值域以及图象分析判断.
【详解】①当时，在内单调递增，且，所以；
②当时，则，
可知在内单调递增，且，
所以，且.
方程的根的个数可以转化为与的交点个数，可得：
当时，与没有交点；
当时，与有且仅有1个交点；
当时，与有且仅有2个交点；
当时，与有且仅有1个交点；
若关于的方程有两解，即与有且仅有2个交点，
所以实数的取值范围为，
因为，而A、C不在相关区间内，
所以A、C错误，B、D正确.
故选：BD.
  
16．BD
【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量求解.
【详解】
以D为原点，DC为y轴，DA为x轴，为z轴，建立空间直角坐标系如上图，
则有，设；
对于A，，
即H点不在线段BC上，错误；
对于B，平面平面，平面，平面与面ABCD、A'B'C'D'分别交于AH、GE，
，，
，即的最大值是1，正确；
过D点作平面的垂线，得垂足，
则有，即，由，解得…①；
又与共面，设，解得，，
将①式代入得…②，
…③；
当F与C重合时，如下图：

此时，，，
梯形的高，梯形的面积，
四棱锥的体积，C正确；
由②③式可知，当时，最大，D错误；
故选：BD.
17．
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：；
18．
【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算规则计算可得.
【详解】依题意可得女童身高的平均值为
(cm).
故答案为：
19．/
【分析】依题意可得，利用余弦定理计算可得.
【详解】因为，，即，
所以，又，所以.
故答案为：
20．
【分析】令，则的图象是由的图象向右平移个单位得到，分析的奇偶性与单调性，即可得到的单调性与对称性，则等价于，解得即可.
【详解】因为，则，
令，则的图象是由的图象向右平移个单位得到，
又，即为偶函数，
且当时，所以在上单调递增，则在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，且关于对称，
所以时，有，解得.
故答案为：
21．(1)
(2)

【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；
（2）根据三角函数的变换规则得到的解析式，再由的取值范围求出的范围，最后结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为


，
即，所以函数的最小正周期.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到，
又，所以，所以，
则，即在上的值域为.
22．(1)2
(2)

【分析】（1）根据题意可得平面，进而分析可知正方形，即可得结果；
（2）根据题意利用补形法分析可得二面角的平面角为，利用余弦定理运算求解.
【详解】（1）连接，
因为平面，平面，则，
又因为，平面，
所以平面，
且平面，可得，
因为为平行四边形，且，则为矩形，
所以正方形，可得.
（2）根据题意将三棱柱转化为正四棱柱，
取的中点，连接，则三点共线，且//，
因为//，可得//，
所以平面即为平面，
同理平面即为平面，
因为//，平面，则平面，
且平面，则，
所以二面角的平面角为，
可得，
在中，则，
所以二面角的余弦值为.
  .  
23．(1)单调递减区间为，单调递增区间为，.
(2)

【分析】（1）将函数写成分段函数，结合二次函数的性质得到函数的单调区间；
（2）不妨令，则，令，依题意可得在上单调递增，又，对分类讨论，分确定在上的单调性，即可得解.
【详解】（1）当时,
当时，所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，则在上单调递增，
综上可得的单调递减区间为，单调递增区间为，.
（2）因为对任意的，且，都有成立，
不妨令，则，即，
令，则当时，
即在上单调递增，
又，
当时，对称轴为，
若，即时在上单调递增，
若，即时，此时在上单调递增，
若时，则，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，
若时，，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，
令，解得，当时，当时，
若时，，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意，
当时，此时在上单调递增，在上单调递增，且函数连续，
所以在上单调递增，符合题意；
当时，此时在上单调递增，在上单调递增，且函数连续，
所以在上单调递增，符合题意；
当时，此时在上单调递增，符合题意；
综上可得或，即实数的取值范围为.