广东省佛山市S7高质量发展联盟2022-2023学年高一下学期第一次联考（4月）数学试题（含解析）

这是一份广东省佛山市S7高质量发展联盟2022-2023学年高一下学期第一次联考（4月）数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

广东省佛山市S7高质量发展联盟2022-2023学年高一下学期第一次联考（4月）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知，，则（    ）
A． B． C． D．
2．若向量，，与共线，则实数k的值为（    ）
A． B． C．1 D．2
3．为得到函数的图像，只需将函数的图像（    ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
4．如图所示，三点在地面同一直线上，，从两点测得点的仰角分别是，则点离地面的高等于（    ）

A． B． C． D．
5．已知向量，若，则（    ）
A． B． C． D．
6．已知的三边长为3，4，5，其外心为，则的值为（    ）
A． B． C．0 D．25
7．若，是第二象限的角，则的值为
A． B．2 C．4 D．-4
8．在中，，，分别为内角，，的对边，若，，且，则（    ）
A． B．4 C． D．5

二、多选题
9．在中角所对的边分别为，能确定为锐角的有（    ）
A．
B．
C．均为锐角，且
D．
10．已知函数，则以下说法中正确的是（    ）
A．的最小正周期为 B．在上单调递减
C．是的一个对称中心 D．当时，的最大值为
11．如图，在同一平面内，两个斜边相等的直角三角形放置在一起，其中，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．
C． D．
12．关于函数下列说法正确的有（    ）
A．
B．不等式的解集是
C．若方程有3个实数根，则
D．若存在实数满足，则的最小值为8

三、填空题
13．已知为一单位向量，与之间的夹角是120°，而在方向上的投影向量为，则________．
14．若，则________．
15．在中，内角、、的对边分别为、、，若的面积为，且，，则外接圆的面积为__________．
16．函数，若对于任意的有恒成立，则实数的最小值是__________.

四、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点P.

(1)若点P的横坐标为，求的值；
(2)若将OP绕点O逆时针旋转，得到角，若，求的值.
18．已知函数的部分图象如图所示.

（1）求的解析式及对称中心坐标；
（2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间和最值.
19．已知向量，，，．
（1）若，求实数的值；
（2）当取最小值时，求与的夹角的余弦值．
20．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，.
（1）求A；
（2）若，且边上的高为，求的面积.
21．在中，，，，D为边的中点，M为中线的中点.
（1）求中线的长；
（2）求与的夹角的余弦值.
22．设，函数.
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若函数有两个零点，求证：.

参考答案：
1．B
【解析】应用同角关系可求得，再由余弦二倍角公式计算．
【详解】因为，所以，
所以，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查余弦的二倍角公式．求值时要注意角的取值范围，以确定函数值的正负．
2．B
【分析】由题意，结合平面向量线性运算的坐标表示可得，，再由平面向量共线的性质即可得解.
【详解】∵向量，，
∴，，
又与共线，∴，解得
故选：B
【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示及平面向量共线的性质，考查了运算求解能力，属于基础题.
3．A
【分析】设出向左平移个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案.
【详解】，
将函数向左平移个长度单位，得到，
故，解得，
即向左平移个长度单位.
故选：A
4．B
【解析】用表示出，然后由列出方程，解出后切化弦再化简即得．
【详解】由题意，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查解三角形的应用，解题方法是利用直角三角形中正切函数的定义及同角关系式化简，结合两角差的正弦公式得出结论．
5．C
【分析】根据向量数量积的坐标表示，结合题意整理可得，再代入二倍角的正切公式运算求解．
【详解】由题意可得：，整理得，即
∴
故选：C．
6．A
【分析】利用外心的特点，取的中点，得出，利用向量运算计算，同理得出，进而可得答案.
【详解】设的中点为，则，即；
所以，
同理可得,
所以;
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题的关键是运用向量垂直数量积为零进行合理转化是求解，从而可以顺利使用已知条件.
7．C
【分析】利用倍角公式和同角的三角函数的基本关系式可计算出，从而可得所求的三角函数式的值.
【详解】因为，
故.
因为是第二象限的角，故，
所以即为第一象限角或第三象限角，故，
所以.故选C.
【点睛】三角函数中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.
8．B
【解析】由三角函数的基本关系式和，求得，再由正弦定理，得到，根据余弦定理，列出方程，即可求解.
【详解】因为，则，所以，
又因为，即，解得，
又由，根据正弦定理，可得，
由余弦定理，可得，整理得，即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档题．
9．ACD
【分析】选项A由余弦定理可判断；选项B由向量的数量积定义可判断；选项C由诱导公式有，由正弦函数的单调性可判断；选项D由正弦定理可得则由大边对大角可判断.
【详解】对于为锐角，故正确；
对于为钝角，故错误
对于均为锐角；且
因为可得则为锐角，故正确.
对于由正弦定理得则为锐角，故正确.
故选：ACD
10．ABC
【解析】利用诱导公式、二倍角公式化简解析式，再根据三角函数最小正周期、单调区间、对称中心、最值的求法，判断出正确选项.
【详解】依题意
.
所以的最小正周期为，A选项正确.
由，解得，所以在上单调递减，B选项正确.
，所以是的一个对称中心，C选项正确.
由于，所以D选项错误.
故选：ABC
【点睛】本小题主要考查诱导公式、二倍角公式，考查三角函数最小正周期、单调区间、对称中心、最值等知识，属于中档题.
11．AD
【分析】根据向量的线性运算法则，结合图形，可判断A、B的正误，根据线性运算及数量积公式，可判断C、D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：，，
所以，即，故A正确；
对于B：由题意可得，
所以，
所以，故B错误；
对于C：
，故C错误；
对于D：
=，故D正确；
故选：AD
12．ABD
【分析】根据函数解析式，由函数值判断A选项,根据图像结合解不等式得出B选项，结合图像有3个交点数形结合判断C选项，结合基本不等式求最小值判断D选项.

【详解】函数，
作出图像如图所示，

，故选项A正确；
当时，若，则，即，
解得或，
当时，若，则，即，解得，
结合的图像可得，不等式的解集是，故选项正确；
由函数可知，与的图像有三个不同的交点时，，故选项错误；
设存在实数满足，
则函数与的图像有三个不同的交点，
其中和关于的对称轴对称，故，
当时，，
故c的取值范围是，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，故选项正确.
故选：.
13．4
【分析】利用数量积的几何意义直接求解.
【详解】因为与之间的夹角是120°，而在方向上的投影向量为，
所以，
所以，所以4.
故答案为：4.
14．，
【分析】由二倍角公式可得，再由诱导公式即可得解.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式及诱导公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
15．/
【分析】利用余弦定理和三角形的面积公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值，利用正弦定理可求得外接圆的半径，利用圆的面积公式可求得结果.
【详解】由余弦定理可得，所以，，
因为，即，可得，
因为，则，则，所以，，
所以，外接圆的半径为，
因此，外接圆的面积为.
故答案为：.
16．
【分析】利用三角恒等变换得到，由得到，从而求出最小值为，列出不等式，求出答案.
【详解】
，
，
，
∵在上的最小值为，
最小值为，令，解得
则实数的最小值是.
故答案为：
17．(1)；
(2).

【分析】（1）根据三角函数的定义，求得，再利用倍角公式代值计算即可；
（2）根据题意求得与的关系，结合已知条件，利用正切的和角公式，即可求得结果.
【详解】（1）不妨设点的坐标为，则，故可得，又点在第二象限，故.
则，则
.
（2）根据题意，又，故可得，
解得.
18．（1）；对称中心为，；（2）减区间是：；有最大值，有最小值.
【分析】（1）根据最大值可得，根据周期得，根据最高点得，从而可得解析式；根据余弦函数的对称中心可得的对称中心；
（2）根据图象变换的结论可得的解析式，根据余弦函数的递增区间可得在上的单调减区间，根据余弦函数的图象可得在上的最值.
【详解】（1）由所给图象知：；，，，，
∴，把点代入得：，
即，，又∵，∴，
∴；
由，，得，，
所以的对称中心为，.
（2）易知.
化简得，
当时，由，，得，所以的单调递减区间是：；
当时，，当，即时，有最大值，最大值为，当，即时，有最小值，最小值为.
【点睛】本题考查了根据图象求解析式，考查了余弦函数的对称中心，单调性，最值，考查了三角函数的图象变换，属于基础题.
19．（1）；（2）．
【分析】（1）利用平面向量垂直表示可得出关于的等式，进而可求得实数的值；
（2）利用平面向量数量积的运算法则以及二次函数的基本性质可求得的值，可求出的值，进一步可求出的值，利用平面向量数量积可求得与的夹角的余弦值．
【详解】（1）由已知条件可得，
，则，
解得；
（2）
.
当时，取最小值.
，则，
因此，.
【点睛】方法点睛：求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
（2）坐标法：若非零向量、，则.
20．（1）；（2）．
【分析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得；
（2）由余弦定理用表示，然后把三角形的面积用两种方法表示求得，从而可计算出面积．
【详解】（1）由得，
由余弦定理得，所以，
由正弦定理得，是三角形内角，，
所以，又A为锐角，所以．
（2）由（1），，
所以，即，，
，
．
【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键．三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解．这是一种解题技巧．
21．（1）；（2）.
【解析】（1）由于，进而根据向量的模的计算求解即可；
（2）由于，，进而根据向量数量积得，故.
【详解】解:（1）由已知，，
又，
所以，
所以.
（2）由（1）知，，
所以，从而.
，
所以.
解法2：（1）以点A为原点，为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建系，
则，，，
因为D为边的中点，所以，
，所以.
（2）因为M为中线的中点，由（1）知，，
所以，
所以，，
所以.
【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量夹角的计算，考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于向量表示中线向量，进而根据向量模的计算公式计算.
22．(1)答案见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数的零点个数；
（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明.
【详解】（1），
令，即，
时，即，
或即时，无解；
即时，仅有一解，此时仅有一解；
即时，有两解，
各有一解，此时有两个零点；
综上，时，无零点，
时，有一个零点，
时，有两个零点；
（2）有两个零点时，令，则为两解，
则，则，
则，
由可得，
则，则，
则，
由可得，
则，由在递减，
可得，则.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．