2024年高考数学一轮复习专题七概率与统计的热点问题课件

这是一份2024年高考数学一轮复习专题七概率与统计的热点问题课件，共45页。PPT课件主要包含了列联表如下，χ2＝，为400元，的概率，润为42元，润为38元等内容，欢迎下载使用。

题型一 概率与统计的综合应用
[例 1](2022 年湖北九师联盟模拟)某校高三年级举行了高校强基计划模拟考试(满分 100 分)，将不低于 50 分的考生的成绩分为5 组，即[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并绘制频率分布直方图如图 7-1 所示，其中在[90，100]内的人数为 3.(1)求 a 的值，并估计不低于 50 分考生的平均成绩(同一组中
的数据用该组区间的中点值代替)；
(2)现把[50，60)和[90，100]内的所有学生的考号贴在质地、形状和大小均相同的小球上，并放在盒子内，现从盒中随机抽取2个小球，若取出的两人成绩差不小于 30，则称这两人为“黄金搭档组”.现随机抽取 4 次，每次取出 2 个小球，记下考号后再放回盒内，记取出“黄金搭档组”的次数为 X，求 X 的分布列和均值
解：(1)由题意，得(0.005＋0.01＋0.015＋a＋0.045)×10＝1，解得 a＝0.025，不低于 50 分考生的平均成绩估计为 55×0.1 ＋65×0.25 ＋75×0.45＋85×0.15＋95×0.05＝73(分).
【反思感悟】概率与统计作为考查学生应用意识的重要载体，已成为近几年高考一大亮点和热点.它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.
1.(2022 年湛江市模拟)某高三学生小明准备利用暑假的 7 月和8 月勤工俭学，现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选择.已知“销售员”工作每日底薪为 50 元，每日销售的前 5 件每件奖励 20 元，超过 5 件的部分每件奖励 30 元.小明通过调查，统计了 100 名销售员 1 天的销售记录，其柱状图如图 7-2.“送外卖员”没有底薪，收入与送的单数相关，在一日内：1 至 20 单(含 20 单)每送一单 3 元，超过 20 单且不超过 40 单的部分每送一单 4 元，
超过 40 单的部分，每送一单4.5元.小明通过随机调查，统计了100名送外卖员的日送单数，并绘制成如下频率分布直方图(如图 7-3).
(1)分别求出“销售员”的日薪 y1(单位：元)与销售件数 x1 的函数关系式、“送外卖员”的日薪 y2(单位：元)与所送单数 x2 的函数关系式；
(2)若将频率视为概率，根据统计图，试分别估计“销售员”的日薪 X1 和“送外卖员”的日薪 X2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)的均值，分析小明选择哪种工作比较合适，并说明你的理由.
(2)由柱状图知，日平均销售量满足如下表格：
所以 X1 的分布列为
所以 E(X1)＝110×0.05＋130×0.2＋150×0.25＋180×0.4＋
210×0.1＝162(元).
由频率分布直方图可知，日送单数满足如下表格：
所以 X2 的分布列为
所以 E(X2)＝30×0.05＋100×0.25＋185×0.45＋275×0.2＋
365×0.05＝183(元).
由以上计算得 E(X2)＞E(X1)，做“送外卖员”挣的更多，故小明选择做“送外卖员”的工作比较合适.
题型二 概率与统计案例的综合应用
[例 2](2022 年苏州市模拟)为落实“十三五”规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取 A 型和 B 型设备各 100 台，分别得到如图 7-4 和图7-5 所示的频率分布直方图：
(1)将使用寿命超过 2 500 小时和不超过 2 500 小时的台数填入
根据上面的列联表，依据小概率值α＝0.01 的独立性检验，能
否认为使用寿命是否超过 2 500 小时与型号有关？
(2)用分层随机抽样的方法从不超过 2 500 小时的 A 型和 B 型设备中抽取 8 台，再从这 8 台设备中随机抽取 3 台，其中 A 型设备为 X 台，求 X 的分布列和均值；
(3)已知用频率估计概率，现有一项工作需要 10 台同型号设备同时工作 2 500 小时才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备(更换设备时间忽略不计)，A 型和 B 型设备每台的价格分别为1 万元和 0.6 万元，A 型和 B 型设备每台每小时耗电分别为 2 度和6 度，电价为 0.75 元/度.只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说明理由.
解：(1) 由频率分布直方图可知，A 型超过 2 500 小时的有100×(0.000 6＋0.000 5＋0.000 3)× 500＝70(台)，则 A 型不超过2 500 小时的有 30 台，同理，B 型超过 2 500 小时的有 100×(0.000 6＋0.000 3＋0.000 1)×500＝50(台)，则 B 型不超过 2 500 小时的有50 台.
零假设为 H0：使用寿命是否超过 2 500 小时与型号无关，根据列联表中的数据，经计算得到
200×(70×50－30×50)2≈8.333＞6.635＝x0.010，100×100×120×80
所以依据小概率值α＝0.01 的独立性检验，我们推断 H0 不成立，即认为使用寿命是否超过 2 500 小时与型号有关.
(2)由(1)和分层随机抽样的定义可知 A 型设备有 3 台，B 型设备有 5 台，所以 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，
(3)由频率分布直方图中的频率估计概率知：A型设备每台更换的概率为0.3，所以10台A型设备估计要更换3台；B型设备每台更换的概率为0.5，所以10台B型设备估计要更换5台，选择A型设备的总费用y1＝(10＋3)×1＋10×2×0.75×2 500×10-4＝16.75 (万元)，选择B型设备的总费用y2＝(10＋5)×0.6＋10×6×0.75×2 500×10-4＝20.25 (万元)，y1【反思感悟】高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，由频率分布直方图解决相关问题，解题的关键是正确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据.
2.(2022 年琼山区校级月考)设某幼苗从观察之日起，第 x 天的
高度为 y cm，测得的一些数据如下表所示：
作出这组数据的散点图发现：y(cm)与 x(天)之间近似满足关系
(2)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，求出 y 关于 x
题型三 均值与方差在决策中的应用
[例 3]某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取 20 件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有新产品做检验.设每件产品为不合格品的概率都为 p(0(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p)，求 f(p)的
(2)现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以(1)中确定的 p0 作为 p 的值.已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品做出检验，这一箱产品的检验费用
与赔偿费用的和记为 X，求 E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对
这箱余下的所有产品做检验？
解：(1)20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为
令 f′(p)＝0，得 p＝0.1.
当 p∈(0，0.1)时，f′(p)>0；当 p∈(0.1，1)时，f′(p)<0.所以 f (p)的最大值点为 p0＝0.1.
(2)由(1)知，p＝0.1，
①令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 Y～B(180，0.1)，则 E(Y)＝180×0.1＝18，X＝20×2＋25Y，即 X＝40＋25Y.
所以 E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝40＋25×18＝490.②如果对余下的产品做检验，则这一箱产品所需要的检验费
由于 490>400，故应该对余下的产品做检验.
3.某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客，推出优惠活动，即对首次消费的顾客按 80 元收费，并注册成为会员，对会员消费的不同次数给予相应的优惠，标准如下：
该游泳馆从注册的会员中，随机抽取了 100 位会员统计他们
的消费次数，得到数据如下：
假设每位顾客游泳 1 次，游泳馆的成本为 30 元.根据所给数据，
(1)估计该游泳馆 1 位会员至少消费 2 次的概率；
(2)某会员消费 4 次，求这 4 次消费中，游泳馆获得的平均利
(3)假设每个会员最多消费 4 次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该游泳馆的会员中随机抽取 2 位，记游泳馆从这 2 位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值为 X，求 X的分布列和均值 E(X).
解：(1)25＋10＋5＝40，即随机抽取的 100 位会员中，至少消费 2 次的会员有 40 位，所以估计该游泳馆 1 位会员至少消费 2 次
(2)第 1 次消费时，80－30＝50(元)，所以游泳馆获得的利润为50 元，第 2 次消费时，80×0.95－30＝46(元)，所以游泳馆获得的利润为 46 元，
第 3 次消费时，80×0.90－30＝42(元)，所以游泳馆获得的利
第 4 次消费时，80×0.85－30＝38(元)，所以游泳馆获得的利
所以这 4 次消费中，游泳馆获得的平均利润为 44 元.