2024年高考数学一轮复习第六章第五讲直线、平面垂直的判定与性质课件

这是一份2024年高考数学一轮复习第六章第五讲直线、平面垂直的判定与性质课件，共49页。PPT课件主要包含了图6-5-2，图D34，ABCD，题后反思，垂直的判定定理，图D35，∵∠APC＝90°，图6-5-7，平面ABCD，图D36等内容，欢迎下载使用。

1.直线与平面垂直(1)定义
如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线 l 与平面α互相垂直，记作 l⊥α，直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 l 的垂面.
(2)判定定理与性质定理
2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角.
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(2)平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任
何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
(3)使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.
考点一 线面垂直的判定与性质[例1](2021 年彭州市期中)如图6­5­1，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝ ，AA1＝3，E 为 CD 上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面 BB1C1C；
(2)求三棱锥 B1-EA1C1 的体积.
(1)证明：如图 6-5-2，过点 B 作 CD 的垂线交 CD 于点 F，
【题后反思】证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的
传递性；③面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则
需借助线面垂直的性质.
(2022 年南京市模拟)如图 6-5-3，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥
E 为 PD 的中点.
(1)求证：CE∥平面 PAB；(2)求证：CD⊥面 PA C.
证明：(1)如图 D34，取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，
∵E 为 PD 的中点，
∴AC2＋CD2＝AD2，即AC⊥CD.
∵PA ⊥平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD，由直线与平面垂直的
性质可得 CD⊥PA ，
而 PA ∩AC＝A，PA ，AC⊂平面 PAC，∴CD⊥平面 PAC.
考点二 面面垂直的判定与性质
[ 例 2] 如图 6-5-4 所示，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD ，AB⊥AD，CD＝2AB，平面 PAD ⊥底面 ABCD，PA ⊥AD，E 和 F分别是 CD 和 PC 的中点，求证：
(1)PA ⊥底面 ABCD；(2)BE∥平面 PAD ；
(3)平面 BEF⊥平面 PCD.
证明：(1)∵平面 PAD ⊥底面 ABCD，
且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD，PA ⊂平面 PAD ，∴PA ⊥底面 ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E 为 CD 的中点，∴AB∥DE，且 AB＝DE.
∴四边形 ABED 为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE 平面 PAD，AD⊂平面 PAD，∴BE∥平面 PAD.
(3)∵AB⊥AD，而且 ABED 为平行四边形.
∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知 PA ⊥底面 ABCD，CD⊂平面
∴PA ⊥CD，且 PA ∩AD＝A，PA ，AD⊂平面 PAD，∴CD⊥平面 PAD .
又∵PD⊂平面 PAD ，∴CD⊥PD.
∵E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又 BE⊥CD 且 EF∩BE＝E，∴CD⊥平面 BEF，又 CD⊂平面 PCD，∴平面 BEF⊥平面 PCD.
(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面
(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
【变式训练】如图 6-5-5，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，△ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，∠APC＝90°.(1)证明：平面 PAB ⊥平面 PAC；
(1)证明：如图 D35，连接 OA，OB，OC.∵D 为圆锥顶点，O 为底面圆心，∴OD⊥平面 ABC.∵P 在 DO 上，OA＝OB＝OC，∴PA ＝PB＝PC.
∵△ABC 是圆内接正三角形，∴AC＝BC，△PAC≌△PBC.
∴∠APC＝∠BPC＝90°，即 PA ⊥PC，PB⊥PC，PA ∩PB＝P，
∴PC⊥平面 PAB .∵PC⊂平面 PAC，
∴平面 PAB⊥平面 PAC.
考点三 垂直关系的综合应用[例 3]如图 6-5-6，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于 A，B 的一动点.(1)证明：△PBC 是直角三角形；(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为 时，求直线 AB 与平面PBC所
(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于 A，B 的一
动点.∴BC⊥AC，∵PA ⊥平面 ABC，∴BC⊥PA .
又 PA ∩AC＝A，PA ，AC⊂平面 PAC，∴BC⊥平面 PAC，∴BC⊥PC，
∴△BPC 是直角三角形.
(2)解：如图 6-5-7，过点 A 作 AH⊥PC 于点 H，
∵BC⊥平面 PAC，∴BC⊥AH.
又 PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面 PBC，∴AH⊥平面 PBC，∴∠ABH 是直线 AB 与平面 PBC 所成的角.
(1)证明垂直关系时，要充分利用定义、判定和性质实现线线
垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化.
(2)线面角的计算，首先要利用定义和题目中的线面垂直作出
所求角，然后在一个直角三角形中求解.
【变式训练】在四棱锥 P-ABCD 中，△PAD 是等边三角形，且平面 PAD ⊥平面 ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)在 AD 上是否存在一点 M，使得平面 PCM⊥平面 ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2)若△PCD 的面积为 8
，求四棱锥 P-ABCD 的体积.
解：(1)当 M 为 AD 的中点时，使得平面 PCM⊥平面 ABCD.证明如下：如图 D36，连接 CM，PM，由△PAD 是等边三角形，可得 PM⊥AD，而平面 PAD⊥平面 ABCD，PM⊂ 平面 PAD，AD 为平面 PAD 和平面 ABCD 的交线，可得PM⊥
又因为 PM⊂平面 PCM，可得平面 PCM⊥平面 ABCD.
⊙逻辑推理、直观想象在平行、垂直关系证明中的体现逻辑推理在该部分主要体现在空间平行、垂直关系的证明与探究，其理论根据就是空间垂直关系的判定定理和性质定理，需要掌握推理的基本形式，表述论证的过程.平行、垂直关系证明的起点就是平面图形中的线线平行、垂直关系.
[例 4](2022 年高台县校级月考)如图 6-5-8 所示，已知多面体PABCDE 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，PA ⊥底面 ABCD ，ED∥PA 且 PA ＝2ED＝2.(1)证明：CE∥平面 ABP；
(2)证明：平面 PAC⊥平面 BDE；
(3)若∠ABC＝60°，求棱锥 P-ACE 的体积.
(1)证明：因为 ED∥PA ，ED 平面 ABP，PA ⊂平面 ABP，所以 ED∥平面 ABP，
又因为 ABCD 是菱形，CD∥AB，同理可得 CD∥平面 ABP，因为 CD∩ED＝D，CD⊂平面 CDE，ED⊂平面 CDE，所以平面 CDE∥平面 ABP，因为 CE⊂平面 CDE，所以 CE∥平面 ABP.
(2)证明：如图 6-5-9，连接 BD，因为 PA ⊥底面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，所以 PA ⊥BD，又因为底面 ABCD 是菱形，
因为 PA ∩AC＝A，PA ⊂平面 PAC，AC⊂平面 PAC，所以 BD⊥平面 PAC ，又因为 BD⊂平面 BDE，所以平面 PAC⊥平面 BDE.
处理平行与垂直的综合问题的主要数学思想是转化，要熟练
掌握线线、线面、面面之间的平行与垂直的转化.
1.如图 6-5-10，在底面为菱形的四棱锥 P-ABCD 中，PA ⊥AD，
PA ⊥CD，E 为侧棱 PC 上一点.
(1)若 BE⊥PC，求证：PC⊥平面 BDE；
(2)若 PA ∥平面 BDE，求平面 BDE 把四棱锥 P-ABCD 分成两
(1)证明：如图 D37，连接 AC，因为四边形 ABCD 为菱形，
因为 PA ⊥AD，PA ⊥CD，且 AD∩CD＝D，所以 PA ⊥底面 ABCD，所以 PA ⊥BD.
又因为 PA ∩AC＝A，所以 BD⊥平面 PAC ，所以 BD⊥PC.又
因为 BE⊥PC，BD∩BE＝B，所以 PC⊥平面 BDE.
(2)解：设 AC∩BD＝O，如图 D37，连接 OE，因为四边形
ABCD为菱形，所以 AO＝OC.因为 PA∥平面 BDE，
平面 PAC∩平面 BDE＝OE，
所以平面 BDE 把四棱锥 P-ABCD 分成两部分的体积比为1∶3(或 3∶1).
2.(2021 年定远县模拟)如图 6-5-11，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，
AA1⊥底面 A1B1C1，D 是 AB 中点.
(1)证明：AC1∥平面 B1CD；
(2)若∠ACB＝90°，AA1＝BC，证明：平面A1C1B⊥平面B1CD.
证明：(1)如图 D38，设 BC1 与 B1C 相交于点 E，连接 DE，由题意可得，D，E 分别为 AB，BC1 的中点，所以 DE 是△ABC1 的中位线，所以 DE∥AC1，因为 DE⊂平面 B1CD，AC1 平面 B1CD，所以 AC1∥平面 B1CD.
(2)因为AA1⊥底面A1B1C1，所以CC1⊥底面A1B1C1，所以CC1⊥A1C1，因为∠ACB＝90°，即∠A1C1B1＝90°，所以A1C1⊥B1C1，又因为B1C1，CC1⊂平面BCC1B1且B1C1∩CC1＝C1，所以A1C1⊥平面BCC1B1，所以A1C1⊥B1C，因为AA1＝BC，AA1＝CC1，所以CC1＝BC，