2024年高考数学一轮复习第九章第八讲离散型随机变量的数字特征课件

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1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量 X 的分布列为
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X).(a，b 为常数)3.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
【名师点睛】均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b 为常数).【常用结论】
均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中 k 为常数.(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2).(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(4)若 X1，X2 相互独立，则 E(X1X2)＝E(X1)·E(X2).
考点一 离散型随机变量的均值与方差
[例1](1)(2022年石河子校级月考)“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，在中国思想史上产生过深远影响.为弘扬中华优秀传统文化，某校计划开展“四书”诵读比赛活动，某班有4 名同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这 4本书中选取 1 本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这
4 名同学从这 4 本书中随机抽取 1 本选择其中的内容诵读，则抽到
自己准备的书的学生人数的数学期望为(
解析：记抽到自己准备的书的学生人数为 Y，则 Y 所有可能取值为 0，1，2，4，
(2)(2023 年奉贤区期中)2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动，某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了 100 名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：
(1)如果规定竞赛得分在(80，90]为“良好”，竞赛得分在(90，100]为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取 10 个学生，问各抽取多少人？
(2)在(1)条件下，再从这 10 个学生中抽取 6 人进行座谈，求至
少有 3 人竞赛得分都是“优秀”的概率；
(3)以这 100 名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率.现从该校学生中随机抽取 3 人，记竞赛得分为“优秀”的人数为 X，求随机变量 X 的分布列及数学期望.
(2)抽取的 6 人中至少有 3 人竞赛得分都是“优秀”可以分成两类：3 个“优秀”和 3 个“良好”；4 个“优秀”和 2 个“良好”，故至少有 3 人竞赛得分都是“优秀”的概率
【题后反思】求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部取值.(2)求ξ取每个值的概率.(3)写出ξ的分布列.
(4)由均值、方差的定义求 E(ξ)，D(ξ).
1.(一题两空)(2022 年浙江)现有 7 张卡片，分别写上数字 1，2，2，3，4，5，6.从这 7 张卡片中随机抽取 3 张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则 P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________.
2.(2022 年邯郸市模拟)小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品(充话费等)的金额分别进行积分，详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如表 1 和表 2 所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立.
(1)求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于 100 元的
(2)求小张一个月积分不低于 8 分的概率；
(3)若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于 100
元，求他这个月的积分 X 的分布列与均值.
(2)根据条件，积分不低于 8 分有以下两种情况，①购买实物商品积分为 6 分，购买虚拟商品的积分为 2，3，4 分；②购买实物商品积分为 4 分，购买虚拟商品的积分为 4 分.故小张一个月积分不低于 8 分的概率为
(3)由条件可知 X 的可能取值为 3，4，5.
考点二 均值与方差在决策问题中的应用
[例 2]为了进一步宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从 8 道备选题中随机抽取 4 道题目进行
道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中 6 道题且另外 2道题不能完成.
(1)求小明至少正确完成其中 3 道题的概率；
(2)设随机变量 X 表示小宇正确完成题目的个数，求 X 的分布
(3)现规定至少完成其中 3 道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛(活动规则不变)会更好，并说明理由.
因为 P(B)＞P(A)，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛.
【题后反思】随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.
(2023 年安徽省月考)国庆节期间，某大型服装团购会举办了一次“你消费我促销”活动，顾客消费满 300 元(含 300 元)可抽奖一次，抽奖方案有两种(顾客只能选择其中的一种).
方案一：从装有 5 个形状、大小完全相同的小球(其中红球 1个，黑球 4 个)的抽奖盒中，有放回地摸出 3 个球，每摸出 1 次红球，立减 100 元.
方案二：从装有 10 个形状，大小完全相同的小球(其中红球 2个，白球 1 个，黑球 7 个)的抽奖盒中，不放回地摸出 3 个球.若摸出 2 个红球，1 个白球，享受免单优惠；若摸出 2 个红球和 1 个黑球则打 5 折；若摸出 1 个红球，1 个白球和 1 个黑球，则打 7.5 折；其余情况不打折.
(1)某顾客恰好消费 300 元，选择抽奖方案一，求他实付金额
(2)若顾客消费 500 元，试从实付金额的期望值分析顾客选择
解：(1)设实付金额为 X 元，X 可能的取值为 0，100，200，300，
(2)若选择方案一，设摸到红球的个数为 Y，实付金额为φ，则
所以E(φ)＝E(500－100Y)＝500－100E(Y)＝500－60＝440(元)；若选择方案二，设实付金额为η元，η可能的取值为 0，250，375，500，
466.67(元).因为 E(φ)＜E(η)，故从实付金额的期望值分析顾客选择方案一更合理.
⊙利用分类讨论思想求数学期望
(1)求该企业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概率；
(2)在正常生产的情况下，每条生产线每月的利润是 12 万元；如果一条生产线出现故障能及时维修，还能创造 8 万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线就没有利润.为提高生产效益，企业决定安排维修工人对出现故障的生产线进行维修.如果一名维修工人每月只能及时维修一条生产线，且一名工人每月所需费用为 1 万元，以该企业每月实际利润的期望值为决策依据，你选择安排几名维修工？(实际利润＝生产线创造利润－维修工人费用)
解：(1)设 3 条生产线中出现故障的条数为 X，
(2)①安排一名维修工时，设该企业每月的实际获利为 Y1 万元.若 X＝0，则 Y1＝12×3－1＝35；若 X＝1，则 Y1＝12×2＋8×1－1＝31；
④安排三名维修工时，设该企业每月的实际获利为 Y3 万元.若 X＝0，则 Y3＝12×3－3＝33；若 X＝1，则 Y3＝12×2＋8×1－3＝29；若 X＝2，则 Y3＝12×1＋8×2－3＝25；若 X＝3，则 Y3＝12×0＋8×3＋0×1－3＝21；
(2022 年肥城市模拟)“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积 3 分，第二、三名各积 2分，第四名积 1 分，每局比赛相互独立.在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分，获胜者得 2 分，失败者得 1 分，每局比赛相互独立.已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、
(1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动(两项活动均只参加一局)的总得分为 X，求 X 的分布列与数学期望；
(2)“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答 5道题，在答对的情况下可以持续答题，若第一次答错时，答题结束，积分为 0 分，只有全部答对 5 道题可以获得 5 个积分.某市某部门为了吸引更多职工参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从 1 阶到 n(n≥10)阶，规定每轮答题获得 5 个积分进 2 阶，没有获得积分进 1 阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记乙每