第03讲 导数中八大切线问题题型总结-【高考备考题型讲义】备战2024年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

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第3讲 导数中八大切线问题题型总结
【考点分析】
考点一：曲线在点处的切线方程
①把切点的横坐标带入导函数，得
②又因切点为，利用点斜式直接写出切线为
考点二：过一点的切线方程
①设切点为，则斜率
②利用切点和斜率写出切线方程为：，
③又因为切线方程过点，点入切线得然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目是在点处（为切点），还是过点的切线（不一定为切点）
【题型目录】
题型一：导数与切线斜率的关系
题型二：在点处切线（此类题目点即为切点）
题型三：过点的切线（此类题目点不一定为切点，需要设切点为）
题型四：已知切线求参数问题
题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）
题型六：公切线问题
题型七：切线平行、垂直、重合问题
题型八：与切线相关的最值问题
【典例例题】
题型一：导数与切线斜率的关系
【例1】（2022·全国·高三专题练习（文））函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（       ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.
【详解】
如图所示，根据导数的几何意义，可得表示切线斜率，
表示切线斜率，
又由平均变化率的定义，可得，表示割线的斜率，
结合图象，可得，即.
故选：C.

【例2】函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由导数的几何意义判断
【详解】

由图象可知在上单调递增，，
故，即
故选：B
【题型专练】
1.（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）（多选题）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义可得，记，，作直线AB，根据两点坐标求出直线AB的斜率，结合图形即可得出.
【详解】
由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以；
记，，作直线AB，则直线AB的斜率，由函数图象，可知，


即.
故选：AB
2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（       ）


A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由图象的变化趋势，结合导函数的定义有，即可得答案.
【详解】由图知：，即.
故选：A
题型二：在点处切线（此类题目点即为切点）
【例1】【2019年新课标3卷理科】已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】
详解：
，
将代入得，故选D．
【点睛】
本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
【例2】（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求导数得出，结合奇函数定义得函数解析式，然后计算即可．
【详解】
是奇函数，
恒成立，所以，
，，
所以，，即，
．
故选：A．
【例3】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线在处的切线方程为（       ）
A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0
C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0
【答案】B
【解析】
【分析】
将代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求解即可.
【详解】
解：因为，所以，所以．
又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为．
故选：B.
【例4】过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求得，根据指数函数的性质，得到，即切线的斜率，进而得到，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，
因为，所以，即切线的斜率，
设切线的倾斜角为，则
又因为，所以或，
即切线的倾斜角的范围为.
故选：B.
【例5】（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线在点处的切线方程为，则的值为（       ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
依据题意列出关于的方程组，即可求得的值
【详解】
由切点在曲线上，得①；
由切点在切线上，得②；
对曲线求导得，∴，即③，
联立①②③，解之得
故选：A.
【例6】（2022·江西·丰城九中高二期末（理））已知函数图像关于原点对称，则在处的切线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令先求出的值，再利用函数关于原点对称可求出,再利用导函数的几何意义即可求出在处的切线方程.
【详解】由题意知：.
所以;
令，则.
所以.
又函数图像关于原点对称，即.
所以当时，.
所以当时，.
,;
所以在处的切线方程为：.
故选：A.
【题型专练】
1．【2018年新课标1卷理科】设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.
详解：因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
2.【2021年甲卷理科】曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】
由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
3．【2019年新课标1卷理科】曲线在点处的切线方程为___________．
【答案】.
【解析】
【分析】
本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程
【详解】
详解：
所以，
所以，曲线在点处的切线方程为，即．
【点睛】
准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
4．【2018年新课标2卷理科】曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.
【详解】

【点睛】
求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
5．【2018年新课标3卷理科】曲线在点处的切线的斜率为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
求导，利用导数的几何意义计算即可．
【详解】
解：
则
所以
故答案为-3.
【点睛】
本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题
题型三：过点的切线（此类题目点不一定为切点，需要设切点为）
【例1】【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】     y=1ex     y=−1ex
【解析】
【分析】
分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为x0,lnx0，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x<0时同理可得；
【详解】
解： 因为y=lnx，
当x>0时y=lnx，设切点为x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切线方程为y−lnx0=1x0x−x0，
又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0−x0，解得x0=e，所以切线方程为y−1=1ex−e，即y=1ex；
当x<0时y=ln−x，设切点为x1,ln−x1，由y'=1x，所以y'|x=x1=1x1，所以切线方程为y−ln−x1=1x1x−x1，
又切线过坐标原点，所以−ln−x1=1x1−x1，解得x1=−e，所以切线方程为y−1=1−ex+e，即y=−1ex；
故答案为：y=1ex；y=−1ex
【例2】（2022·四川·广安二中二模（文））函数过点的切线方程为（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
设切点，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过代入求参数m，即可得切线方程.
【详解】
由题设，若切点为，则，
所以切线方程为，又切线过，
则，可得或，
当时，切线为；当时，切线为，整理得.
故选：C
【例3】（2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知，设出切点，写出切线方程，然后把点代入方程，解出切点坐标即可完成求解.
【详解】
因为函数，所以，
设切点为，则切线方程为：，
将点代入得，
即，解得或，
所以切点横坐标之和为
故选：D.
【例4】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）直线与曲线相切，则的值为（       ）
A．2 B．-2 C．-1 D．1
【答案】D
【分析】求出，设切点，由求出，代入可得答案.
【详解】，设切点，由，
所以，代入，得．
故选：D.
【题型专练】
1.（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线过点的切线方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设出切点，结合导数列方程，由此求出切点坐标并求出切线的斜率，进而可得切线方程.
【详解】
由题意可得点不在曲线上，
设切点为，因为，
所以所求切线的斜率，
所以.
因为点是切点，所以，
所以，即.
设，明显在上单调递增，且，
所以有唯一解，则所求切线的斜率，
故所求切线方程为.
故选：B.
2.（2022·广东茂名·二模）过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为（       ）
A．e B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设出切点，利用导数得到切线的斜率，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，解出即可.
【详解】
解：设切点，
由，得，所以，
∴曲线在点处的切线方程为，
又过（0，0），∴，解得，
∴切点，纵坐标为1．
故选：B．
3.过点(0，-1)作曲线的切线，则切线方程为
A．x+y+1=0 B．x-y-1=0
C．x+2y+2=0 D．2x-y-1=0
【答案】B
【解析】
设切点为，再求出切点坐标，即得切线的斜率，再写出切线的方程即得解.
【详解】
=ln x+1，
设切点为，∴,
∴=ln x0+1，
∴x0ln x0+1=x0ln x0+x0，∴x0=1，∴y0=0，
所以==1，
∴切线方程为y=x-1，即x-y-1=0，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4.已知，则过点P(-1，0)且与曲线相切的直线方程为（       ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】
设切点为则切线方程为，将点代入解，即可求切线方程.
【详解】
设切点为，则，切线斜率为
所以切线方程为，因为过点 则
解得或，所以切线方程为或
故选：C
题型四：已知切线求参数问题
【例1】．（2022·湖南·模拟预测）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a的范围即可.
【详解】
因为，所以，
因为曲线在M处的切线的倾斜角，
所以对于任意的恒成立，
即对任意恒成立，
即，又，当且仅当，
即时，等号成立，故，
所以a的取值范围是．
故选：D．
【例2】（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）若直线是曲线的切线，则________．
【答案】2
【分析】设切点，根据导数的几何意义列式求解即可.
【详解】对函数求导得，设直线与曲线相切于点，则，由点在切线上得，即，所以，解得，．
故答案为：2
【例3】（2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习（文））已知曲线在点处的切线方程为，则_____
【答案】
【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，列出方程，求解，即可得出，再由切点坐标，即可求出结果.
【详解】因为的导数为，
又函数在点处的切线方程为，
可得，解得，
又切点为，可得，即.
故答案为：.
【例4】（2022·江苏苏州·模拟预测）已知奇函数在点处的切线方程为，则（       ）
A．或1 B．或 C．或2 D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数为奇函数可得，根据切线的斜率为0建立方程求出即可得解.
【详解】
由可得，
因为，所以，解得.
所以，故切线斜率，
又，所以，解得或，
所以或.
故选：D
【题型专练】
1．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为_________．
【答案】
【分析】由已知可得切线斜率，根据导数的几何意义列方程求解即可．
【详解】因为，所以切线的斜率为，
而切线与直线垂直，所以，解得，
故答案为：．
2.（2022·云南昆明·模拟预测（文））若函数的图象在处的切线方程为，则（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义可求出结果.
【详解】
的定义域为，
，
由题意可得，即，解得，
故选：A
3.（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l的斜率为2，l与曲线：和圆：均相切，则（       ）
A．－4 B．－1 C．1 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
设曲线的切点，利用曲线的几何意义可得切点坐标，进而求得切线方程，再利用圆心到直线的距离等于半径即可求得值.
【详解】
设直线l：与曲线相切，切点为，因为的导数为，由，解得，所以切点为，代入得，所以切线方程为.将化为标准方程为，因为l与圆相切，所以，解得.
故选：D
题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）
【例1】（2022·河南洛阳·三模（文））若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（       ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【解析】
【分析】
设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据点在切线上，即可代入切线方程，解得，即可得解；
【详解】
解：设切点为，由，所以，所以，
所以切线方程为，即，因为切线过点，
所以，
解得或，
所以过点作曲线的切线可以作2条，
故选：C
【例2】（2022·全国·高三专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设切点坐标为，由切点坐标求出切线方程，代入坐标，关于的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.
【详解】

设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，
设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，
当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，所以，结合图像知，即.
故选：D.
【例3】【2021年新高考1卷】若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】
在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.
【点睛】
解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
【例4】（2022·河南洛阳·三模（理））若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知，设出切点，然后写出切线方程，把点P带入切线方程中，然后对式子进行整理，分别设出两个函数，与，借助导数研究函数的单调性和极值，然后作图，看两个函数图象的交点情况即可完成求解.
【详解】
由已知，曲线，即令，则，
设切点为，切线方程的斜率为，
所以切线方程为：，将点代入方程得：，整理得，
设函数，过点可作出曲线的三条切线，
可知两个函数图像与有三个不同的交点，
又因为，由，可得或，
所以函数在，上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极大值为，函数的极小值为，
如图所示，


当时，两个函数图像有三个不同的交点.
故选：C.
【例5】（2022·河北·高三阶段练习）若过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题为过点的切线，切点为，可得切线方程，
代入点P坐标整理为，即与有三个交点．
【详解】
由，则，设切点为，则切线斜率
则在点的切线方程为，
代入点P坐标得
整理为，即这个方程有三个不等式实根，
令，则 ，
令则
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
故得，即，
故选：D．
【例6】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）过直线上一点可以作曲线的两条切线，则点横坐标的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义得出切线方程，再将方程的根的个数问题转化为函数与函数的图象的交点个数问题，结合图象，即可得出答案.
【详解】解：由题意得，设切点为，，
，，
则过点的切线方程为，整理得，
由点在切线上，则，即，
因为过直线上一点可以作曲线两条切线，
所以关于的方程有两个不等的实数根，
即函数与函数的图象有两个交点，
，
，
则函数在上单调递增，在上单调递减，且，
时，；时，，
则函数与函数的图象如下图所示：

由图可知，，
【题型专练】
1.（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））若过点可以作三条直线与曲线C：相切，则m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出导函数,利用导数的几何意义列出方程，即可求解.
【详解】
设切点为,过点P的切线方程为,代入点P坐标，化简为，即这个方程有三个不等根即可.
令,求导得：.
令，解得：，所以在上递增；令，解得：或，所以在和上递增.
要使方程有三个不等根即可.
只需,即.
故选：D
2.（2022·广东深圳·二模）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设切点为，切线方程为，求出函数的导函数，即可得到，整理得，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，依题意有三个零点，即可得到不等式组，从而得解；
【详解】
解：设切点为，切线方程为，由，所以，所以，
则，所以，
令，则，
因为，所以当或时，当时，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时取得极大值，当时取得极小值，即，，
依题意有三个零点，所以且，即；
故选：B
3.（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）若过点可以作曲线的三条切线，则（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设切点为，利用导数的几何意义及条件可得关于的方程有三个不同的解，构造函数，利用导数研究函数的性质利用数形结合即得.
【详解】由题可得，
设切点，则，整理得，
由题意知关于的方程有三个不同的解，
设，，
由，得或，又，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，单调递增，
当时，
当时，，且，，
函数的大致图像如图所示，

因为的图像与直线有三个交点，
所以，即.
故选：D.
【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
4．（2022·山东枣庄·高二期末）已知函数，过点M（1，t）可作3条与曲线相切的直线，则实数t的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，将点M的坐标代入切线方程，可得关于的方程有三个不同的解，利用参变分离可得，令，利用导数求出的单调性和极值，则根据与有三个不同的交点，即可求出实数t的取值范围
【详解】设切点为，
由，得，
所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
因为点M（1，t）在切线上，
所以，
化简整理得，
令，则，
所以当或时，，当时，，
所以在和上递减，在上递增，
所以的极小值为，极大值为，
当时，，
所以的图象如图所示，
因为过点M（1，t）可作3条与曲线相切的直线，
所以的图象与直线有三个不同的交点，
所以由图象可得，
故选：D

5.（2022·山东潍坊·三模）过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求导分析的图象可得，再设切点坐标为，由题可得有三根，再构造函数求导分析图象单调性与最值即可
【详解】
由，，故当时，，单调递减，且；当时，，单调递增，结合图象易得，过点至多有3条直线与函数的图像相切，故.

此时，设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为，将代入得，存在三条切线即函数有三个不同的根，又，易得在上，，单调递增；在和上，，单调递减，画出图象可得当，即时符合题意

故选：B
【点睛】
本题主要考查了利用导数解决切线的问题，同时也考查了构造函数，求导分析单调性，进而确定根的个数与参数取值范围的问题，属于难题
题型六：公切线问题
【例1】（2023届贵州省遵义市新高考协作体高三上学期入学质量监测数学（理）试题）若直线是曲线的切线，也是的切线，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设直线与和的切点分别为，，
分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到的值.
【详解】设直线与和的切点分别为，，
则切线方程分别为，
，
，
化简得，


依题意上述两直线与是同一条直线，
所以，，解得，
所以．
故选：C．
【例2】（2022·全国·高三专题练习）若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得出两个切线方程，由两个切线方程可整理成关于一个变量的函数，利用导数求出函数的取值范围即可求解.
【详解】
设公切线与函数切于点，
，切线的斜率为，
则切线方程为，即
设公切线与函数切于点，
，切线的斜率为，
则切线方程为，即
所以有
因为，所以，可得，，即，
由可得：，
所以，
令，则，，
设，则，
所以在上为减函数，
则，所以，
所以实数的取值范围是，
故选：B．
【点睛】
方法点睛：求曲线过点的切线的方程的一般步骤是：
（1）设切点
（2）求出在处的导数，即在点处的切线斜率；
（3）构建关系解得；
（4）由点斜式求得切线方程.
【例3】（2022·河北石家庄·高二期末）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（       ）
A．1.2 B．4 C．5.6 D．
【答案】ABD
【分析】分别设切点分别为，，由导数的几何意义分别写出切线方程，由题意切线方程相同，从而可得出，设由导数求出其值域即可.
【详解】由，则，由，则
设切线与曲线相切于点，则斜率为，
所以切线方程为，即   ①
设切线与曲线相切于点，则斜率为：，
则切线方程为，即，②
根据题意方程①，②表示同一条直线，则
所以，令（），
则，所以在上单调递增，在上单调递减，，由题意.
故答案为：ABD
【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为1即导数值为1分别求出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得与的关系式，再根据二次函数性质可求出b的取值范围．
【详解】
，，设斜率为的切线在，上的切点横坐标分别为，，
由题知，∴，，
两点处的切线方程分别为和，
故，即.
故选：D.
【例5】（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求的单调区间、极值、最值即可得出a的取值范围.
【详解】
设
切线：，即
切线：，即，
令

在上单调递增，在上单调递减，
所以
故选：A．
【例6】（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线（）为曲线与曲线的公切线，则l的纵截距（       ）
A．0 B．1 C．e D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设切点分别为，，分别求出切线方程，再令切线方程相等；
【详解】
设l与的切点为，则由，有.
同理，设l与的切点为，由，有.
故 解得 或 则或.
因，所以l为时不成立.故，
故选：D.
【例7】（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（       ）
A． B．1 C．e D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设出切点，求出，，根据斜率列出方程，得到，，构造，利用函数单调性和图象特征，求出，从而求出答案.
【详解】
设直线与曲线相切于点，
直线与曲线相切于点，
则，且，所以，
，且，所以，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且，，所以当时，，
因为，，即，
所以，
所以，故
故选：B
【点睛】
对于不知道切点的切线方程问题，要设出切点，再根据斜率列出方程，进行求解.
【题型专练】
1.已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（       ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得 在 处的切线方程，然后与联立，由 求解
【详解】
解析：∵，∴，∴，∴，∴曲线在处的切线方程为，由得，由，解得．
故选：B
2.【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（       ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】
设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
3.（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知函数，，若直线与函数，的图象都相切，则的最小值为（       ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义分别得到、，再运用基本不等式即可求解.
【详解】
设直线与函数，的图象相切的切点分别为，.
由，有，解得，.
又由，有，解得，，可得，当且仅当，时取“=”.
故选：B
4.（2022·全国·高三专题练习）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设公切线与曲线的切点为，，利用导数的几何意义分别求和上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.
【详解】
设公切线与曲线和的交点分别为，，其中，
对于有，则上的切线方程为，即，
对于有，则上的切线方程为，即，
所以，有，即，
令，，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，故，即.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：应用导数几何意义求两条曲线的含参切线方程，由公切线对应系数相等得到相关参数方程，进而构造函数研究单调性求参数范围.
5.（2022·全国·高三专题练习）若仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，则实数（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出函数上切点处的切线方程和上切点处的切线方程，消去，得，该问题转化为有唯一的值时，求值，即可通过导数研究函数的单调性即可得到答案.
【详解】
设直线与的切点为，
由可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为，
即为，
设直线与的切点为，
由可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为，
即为，
∵仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，
∴ ，∴即，
令，则，
当时，即，当时，即，
即在上单调递增，在上单调递减，则在处取得最大值，，图像为

∵切线只有一条，即的值唯一，∴只有，
故选：.
6.若曲线与曲线：有公切线，则实数的最大值为（       ）
A．+ B．- C．+ D．+
【答案】C
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义求出两曲线在切点的切线方程，可得，整理得，利用导数研究函数的单调性求出即可得出结果.
【详解】
设在曲线上的切点为，则切线斜率为，
在曲线上的切点为，切线斜率为，
所以切线方程分别为、，
即、，
有，整理得，
设，则，
令，令，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上，如图，

由图可知，即k的最大值为.
故选：C.
题型七：切线平行、垂直、重合问题
【例1】（2023·全国·高三专题练习）函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求导数，利用导数的几何意义可求答案.
【详解】函数存在与直线平行的切线，即在上有解，
而，所以，因为，所以，所以．
所以的取值范围是．
当直线就是的切线时，设切点坐标，
可得，解得．
所以实数的取值范围是：．
故选：B．
【例2】（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由得，然后求得，由求得，设，由得及，再由得，解得后可得．
【详解】
设，

，
设，则，即……①
又，即
……②
由①②可得，
.
故选：B.
【例3】（2022·全国·高三专题练习）若直线与两曲线分别交于两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论：
①，使得；②当时，取得最小值；
③的最小值为2；④最小值小于．
其中正确的个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用导数求得两条切线方程，令,可知，故存在零点，①正确；，通过求导讨论单调性可知有最小值，进而可以判断最小值范围，可以判断②正确，③错误，④正确.
【详解】
解：由直线与两曲线分别交于两点可知：
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率，可知切线：.
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率.
令，则，令，，
由零点存在定理，使，即，使，即，故①正确.
，令，由同理可知有，使，令，在处取最小值，即当时，取得最小值，故②正确.
是对勾函数，在上是减函数，，故③错误，④正确.
故选：C
【题型专练】
1.（2022·山西太原·二模（理））已知函数图象上存在两条互相垂直的切线，且，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件用换元法令，利用导数及三角函数的差的正弦公式即可得出导函数的范围，根据已知条件得出，再利用辅助角公式及三角函数的性质即可求解.
【详解】
由，令，
由，
得
，所以
由题意可知，存在，使得，
只需要，即，所以，，

所以的最大值为.
故选: D.
【点睛】
解决此题的关键是用换元思想，再利用存在两条互想垂直的直线进而得出，再利用三角函数的性质即可求解.
2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为（       ）
A． B．1
C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
求出导函数，由切线垂直斜率乘积为得的关系，计算，用基本不等式求最小值得结论．
【详解】
因为x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x，
所以f′(x)＝2x＋2，
所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f′(x1)，f′(x2)，
因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，
所以f′(x1)f′(x2)＝－1．
所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，
所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，
所以x2－x1＝ [－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，
即x1＝－，x2＝－时等号成立．
所以x2－x1的最小值为1．
故选：B．
3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据导数的几何意义写出函数在点、处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出，判断单调性，可得出的取值范围．
【详解】
解：当时，的导数为；
当时，的导数为，
设，，，为该函数图象上的两点，且，
当，或时，，故，
当时，函数在点，处的切线方程为：
；
当时，函数在点，处的切线方程为．
两直线重合的充要条件是①，②，
由①及得，由①②令，则，
且，记
导数为，且在恒成立，
则函数在为减函数，
，
∴实数的取值范围是．
故选：B
题型八：与切线相关的最值问题
【例1】（2022·全国·高三专题练习）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】
设平行于直线且与曲线相切的切线对应切点为，

由，则，
令，
解得或（舍去），
故点P的坐标为，
故点P到直线的最小值为：.
故选：A.
【例2】（2022·山东省淄博第一中学高三开学考试）动直线分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
当点处的切线和直线平行时，的值最小，结合导数和解析式求得点，再由点到直线距离公式即可求解.
【详解】
设点是直线上任意一点﹐点是曲线上任意一点，当点处的切线和直线平行时，这两条平行线间的距离的值最小﹐
因为直线的斜率等于，
曲线的导数，令，
可得或(舍去)，故此时点的坐标为，，
故选：A.
【例3】（2022·河南·许昌高中高三开学考试（理））已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由于为函数图象上任意一点，关于直线的对称点为在的图象上，所以函数的图象与的图象关于直线对称，从而将问题转化为这两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍，然后利用导求出与直线平行，且与曲线相切的直线，从而可求得答案
【详解】
设为函数图象上任意一点，则，关于直线的对称点为，
设，，则，，所以，
所以，即函数的图象与的图象关于直线对称，
所以这两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍.
函数在点处的切线斜率为，令得,，，
所以点P到直线距离的最小值为，
所以这两点之间距离的最小值为.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的几何意义的应用，考查函数图象的对称问题，考查数学转化思想和计算能力，解题的关键是得到函数的图象与的图象关于直线对称，从而将问题转化为这两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍，属于较难题
【例4】（2022·山东聊城·二模）实数，，，满足：，，则的最小值为（       ）
A．0 B． C． D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
由题设，将问题转化为求上的点与上的点的距离的平方的最小值，利用导数的几何意义求上与平行的切线方程，应用点线距离公式求目标式的最值即可.
【详解】
由，则，又，
的最小值转化为：
上的点与上的点的距离的平方的最小值，
由，得：，
与平行的直线的斜率为1，
∴，解得或（舍，可得切点为，
切点到直线之间的距离的平方，即为的最小值，
的最小值为：.
故选：D.
【题型专练】
1．（2022·山西·高二期末）已知点P是曲线上一点，若点P到直线的距离最小，则点P的坐标为___________.
【答案】
【分析】求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，此时曲线上的点P到直线的距离最小.
【详解】解：由题意知，曲线，，令，得（舍），所以函数在上单调递减，在上单调递增，如下图所示，为曲线与直线在坐标系中的位置.


在点P的切线与直线平行时，此时曲线上的点P到直线的距离最小.设，则，则，解得（舍去），所以.
故答案为：
2.（2022·江苏·高三专题练习）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（）
A． B． C． D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得，结合目标式有，构造并研究单调性，进而求值域即可.
【详解】
函数的导数为，则，
∴切点为，代入，得，
、为正实数，即，
∴，令且，则，即为增函数，
．
故选：C．
3.（2022·全国·高三专题练习）曲线上的点到直线的最短距离是（       ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可知曲线上的点到直线的最短距离即与平行的切线的切点到直线的距离，因此根据导数的几何意义先求出切点即可求出结果.
【详解】
，所以，设曲线在处的切线与直线平行，则，所以，切点，曲线上的点到直线的最短距离即为切点P到直线的距离，
故选：A．
4.（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数在处的切线为l，第一象限内的点在切线l上，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出x=1处的导数值，根据点斜式直线方程写出l的方程，从而得出a，b之间的关系，运用基本不等式即可求解.
【详解】
函数，
，
，，
由点斜式直线方程得：切线l的方程为， ，
由于点P在直线l上，则且，即，
则
，当且仅当，即时取等号；
故选：C.
5.（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知直线是曲线的切线，则的最小值为（       ）
A． B．0 C． D．3
【答案】A
【分析】
对曲线求导，求出其在处的切线方程，从而得到了切线中的关系，然后将所求进行构造，与已知条件建立联系，再用均值不等式求解最小值即可.
【详解】
设直线与曲线相切于点，
当时，直线不是曲线的切线，故，
由得，所以切线方程为，即，
所以，所以，所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.故选：A