第14讲 等差数列的通项求和及性质7大题型 -【高考备考题型讲义】备战2024年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

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第14讲 等差数列的通项求和及性质7大题型
【考点分析】
考点一：等差数列的基本概念及公式
①等差数列的定义：（或者）．
②等差数列的通项公式：，通项公式的推广：
③等差中项：若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有（）．
④等差数列的前项和公式：
考点二：等差数列的性质
①通项下标和性质：在等差数列中，当时，则．
特别地，当时，则．
②等差数列通项的性质：，所以当时，等差数列的通项为关于的一次函数，即．
③等差数列前n项和的常用性质：，所以当时，等差数列的前n项和为关于的二次函数且没有常数项，即
因为
当时，开口向上，有最小值；
当时，开口向下，有最大值；
【题型目录】
题型一：等差数列通项求和公式运用
题型二：等差中项及性质问题
题型三：等差数列前项和的性质
题型四：等差数列前n项和的最值
题型五：等差数列通项公共项及奇偶项和问题
题型六：等差数列新文化试题
题型七：对于含绝对值的数列求和问题
【典型例题】
题型一：等差数列通项求和公式运用
【例1】（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））在数列中，，，若，则（    ）
A．671 B．672 C．673 D．674

【例2】（2022·全国·高三专题练习）数列{an}满足，且，，是数列的前n项和，则（    ）
A． B． C． D．

【例3】（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（       ）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【例4】（2022·北京石景山·高二期末）等差数列的前项和为，前项积为，已知，，则（       ）
A．有最小值，有最小值 B．有最大值，有最大值
C．有最小值，有最大值 D．有最大值，有最小值
【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知数列均为等差数列，若，则（    ）
A． B． C． D．

【例6】（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则（    ）
A．18 B．16 C．14 D．12

【例7】（2021·福建省华安县第一中学高三期中）设等差数列的前n项和为，若，，，则m等于（       ）
A．8 B．7 C．6 D．5

【题型专练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知等差数列中，为数列的前项和，则（       ）
A．115 B．110 C． D．
2．（2022全国高二专题练习）在等差数列中，，且
（1）求数列的首项､公差；
（2）设，若，求正整数m的值.

3．（2022·山西吕梁·高二期末）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知每层圈数相同，共有9圈，则下层比上层多______块石板．

4．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知圆的半径为，，过点的条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，且公差，则的取值可能是（   ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列为递增数列，若，，则数列的公差d的值为______．


题型二：等差中项及性质问题
【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ）
A．8 B．6 C． D．3

【例2】（2022·辽宁·高三开学考试）设等差数列的前项和为，若则（    ）
A．150 B．120 C．75 D．60
【例3】（2022·全国·高三专题练习（理））数列{an}满足，且，是函数的两个零点，则的值为（    ）
A．4 B．－4 C．4040 D．－4040
【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为，，，，求项数的值．
【例5】（2022·河南焦作·一模（文））设和都是等差数列，前项和分别为和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【例6】（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列满足，且，则（    ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1．（2022·陕西·渭南市三贤中学高二阶段练习（理））已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为77，则项数的值为___________.

2.（2022·全国·高三专题练习）下列选项中，为“数列是等差数列”的一个充分不必要条件的是（    ）
A． B．
C．数列的通项公式为 D．

3．（2022·全国·高二单元测试）在等差数列中，已知，，，则______．

4.（2022·浙江宁波·高一期末）设等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．


5．（2022·四川省高县中学校高一阶段练习（理））等差数列的前项和为，若，满足，其中为边上任意一点，则（       ）
A．2020 B．1020 C．1010 D．2

6．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知等差数列中，、是的两根，则（    ）
A． B． C． D．

题型三：等差数列前项和的性质
【例1】（2022·广东·金山中学高三阶段练习）等差数列的前n项和为，若，，则（    ）．
A．27 B．45 C．18 D．36

【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（    ）
A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040

【例3】（2022·全国·高二多选题）下列结论中正确的有（    ）
A．若为等差数列，它的前项和为，则数列也是等差数列
B．若为等差数列，它的前项和为，则数列，，，也是等差数列
C．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则
D．若等差数列的项数为，它的偶数项和为，奇数项和为，则

【例4】（2023·全国·高三专题练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（    ）
A． B． C． D．
【例5】（2021·江苏·高二单元测试）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则使得为整数的正整数n的个数为（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【题型专练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则等于（    ）
A．110 B．150
C．210 D．280

2.（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（    ）
A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018

3.（2022·山西·忻州一中高三阶段练习）设等差数列的前项和分别是，且，则__________.

4.（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（   ）
A． B． C． D．

5.（2021·全国·高二单元测试）已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且若对任意的恒成立，则实数的最大值为（    ）
A． B． C．-2 D．2

6.（2022·全国·高二课时练习）(多选)已知两个等差数列和的前项和分别为，，且，则使得为整数的正整数可能是（    ）
A． B． C． D．


题型四：等差数列前n项和的最值
【例1】（2022·四川省武胜烈面中学校高二开学考试（文））记为等差数列的前项和，且，，则取最大值时的值为（    ）
A．12 B．12或11 C．11或10 D．10

【例2】（2022·四川乐山·高一期末）已知数列为等差数列，公差为d，为其前n项和，若满足，给出下列说法：
①；②；③；④当且仅当时，取得最大值．
其中正确说法的个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4

【例3】（2023·全国·高三专题练习）等差数列的前n项和为，已知，，则的最小值为______．

【例4】（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））设为等差数列的前n项和，若，则满足的最大的正整数n的值为__________．

【例5】（2022·山东·德州市教育科学研究院高二期中）在等差数列中，前n项和为，若，，则在，，…，中最大的是（    ）
A． B． C． D．

【题型专练】
1.（2022·河北·石家庄二中高二期末多选题）等差数列中，，则下列命题中为真命题的是（    ）
A．公差 B．
C．是各项中最大的项 D．是中最大的值
2．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（    ）
A．若有最大值，则数列的公差小于0
B．若，则使的最大的n为18
C．若，，则中最大
D．若，，则数列中的最小项是第9项

3．（2022·四川眉山·高一期末（理））设等差数列的前n项和为，，，取最小值时，n的值为（    ）
A．11或12 B．12 C．13 D．12或13

4．（2022·山西·怀仁市第一中学校模拟预测（文））数列是递增的整数数列，若，，则的最大值为（    ）
A．25 B．22 C．24 D．23


题型五：等差数列通项公共项及奇偶项和问题
【例1】（2022·重庆市实验中学高二期末）已知数列中，，，，则（       ）
A． B． C． D．

【例2】（2022全国高二单元测试）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为（    ）
A． B． C． D．
【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，.
(1)记，求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.


【例4】（2022·四川·成都七中高一期末）已知数列的通项公式为，Sn为数列的前n项和，则的值为（       ）
A．672 B．1011 C．2022 D．6066

【题型专练】
1.（2022·全国·高二课时练习）在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列，则等于（    ）
A．289 B．295 C．301 D．307

2.（2022·海南中学高三）已知数列满足，则（       ）
A．50 B．75 C．100 D．150


3.（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（    ）
A． B． C． D．

4.（2022·重庆·三模）已知数列的前项和为，，则（       ）
A． B．0 C． D．


题型六：等差数列新文化试题
【例1】（2022·云南·弥勒市一中高二阶段练习）斐波那契数列（Fibonacci Sequence）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多，斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列满足：，现从数列的前2022项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（       ）
A． B． C． D．

【例2】（2022·全国·高三专题练习）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为85.5寸，问大暑的日影长为（       ）
A．4.5寸 B．3.5寸 C．2.5寸 D．1.5寸

【例3】（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为（    ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱

【题型专练】
1．（2022·全国·高三专题练习（理））斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第n项，则数列满足： . ，记，则下列结论不正确的是（       ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）2021年是中国共产党建党100周年，《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种，这五种规格党旗的长、、、、（单位：）成等差数列，对应的宽为、、、、（单位：），且长与宽之比都相等，已知，，，则（    ）
A．124 B．126 C．128 D．130


题型七：对于含绝对值的数列求和问题
【例1】（2022·辽宁·高二期中）已知在前n项和为的等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项和．

【例2】（2022·福建省漳州第一中学高三阶段练习）已知数列为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)求数列的前项和.

【题型专练】
1.（2022·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）数列中，，，且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求．

2.（2022·全国·高三专题练习（文））记为等差数列的前n项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值．