第17讲 数列求和5种常考题型总结-【高考备考题型讲义】备战2024年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

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第17讲 数列求和5种常考题型总结
【题型目录】
题型一：分组求和法
题型二：裂项相消法求和
题型三：错位相减法求和
题型四：先求和，再证不等式
题型五：先放缩，再求和
【典型例题】
【例1】已知数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.


【例2】已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列，求数列中前40项的和.

【例3】设是各项为正的等比数列的前n项的和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，求的值．


【题型专练】
1.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，．
(1)求数列与数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．

2.已知数列的前项和为，且，请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是公比为2的等比数列，，求数列的前项和.


3．（2022·广东广州·一模）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式：
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值.


4.已知等差数列满足，设.
(1)求的通项公式，并证明数列为等比数列；
(2)将插入中，插入中，插入中，，依此规律得到新数列，求该数列前20项的和.




题型二：裂项相消法求和
【例1】首项为4的等比数列的前n项和记为，其中成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求．

【例2】已知数列的首项为正数，其前项和满足．
(1)求实数的值，使得是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．


【例3】数列的前n项和，.
(1)求；
(2)令，求数列的前n项和.



【例4】（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）已知等差数列的首项，记数列的前项和为，且数列为等差数列.
(1)证明：数列为常数列；
(2)设数列的前项和为，求的通项公式.




【例5】已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)，是数列的前项和，求．


【题型专练】
1．记为等比数列的前项和.已知，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若，求.


2．已知正项数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.



3.已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．





4.记为数列的前项和，已知，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：．
从①   ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.



5．已知数列前n项和为，且，记.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求.



题型三：错位相减法求和
【例1】已知数列满足，且，数列是各项均为正数的等比数列，为的前n项和，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前n项和为，求的取值范围.


【例2】已知各项均不为零的数列满足，且，，设.
(1)证明：为等比数列；
(2)求的前项和.

【例3】已知数列的首项.
(1)求；
(2)记，设数列的前项和为，求.


【例4】已知各项为正数的数列前n项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列前n项和为，求证：．


【例5】已知数列的前n项和满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．


【题型专练】
1．若公比为c的等比数列的首项且满足．
(1)求c的值；
(2)求数列的前n项和．

2．已知数列的前n项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前n项和为,若存在且,使得成立,求实数的最小值.

3．已知数列前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.


4.已知数列的前n项和为，且，.
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.


5.已知等差数列的前n项和为，，．正项等比数列中，，．
(1)求与的通项公式；
(2)求数列的前n项和．



题型四：先求和，再证不等式
【例1】设为数列{}的前n项和，已知，且．
(1)证明：{}是等比数列；
(2)若成等差数列，记，证明＜．





【例2】已知数列的前项和为，___________，.在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
①；②；③
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，是数列的前项和，若对任意的，，求实数的取值范围.




【例3】等差数列中，前三项分别为，前项和为，且.
(1)求和的值；
(2)求=
(3)证明:




【例4】已知数列满足，.
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.





【题型专练】
1．已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，求证：.


2.已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，证明：．



3．已知数列的首项，，.
(1)证明：为等比数列；
(2)证明：.



4．已知数列{}的前项和为，，
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设，为数列的前项和.证明：




5.已知数列的前项和，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，
（i）证明：数列为等差数列；
（ii）设数列的前项和为，求成立的的最小值.


6．已知数列满足且，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为，求证：.


题型五：先放缩，再求和
【例1】已知数列的前项和为， 当时，．
(1)求数列的通项公式;
(2)求证：．


【例2】已知数列单调递增且，前项和满足，数列满足，且，.
(1)求数列、的通项公式;
(2)若，求证：.

【例3】已知数列的前项和为，且满足，
(1)求和
(2)求证：．


【例4】已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求；
(2)求证：．


【题型专练】
1.已知数列满足：，，.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设，，求证：.




2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列前n项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求证：．




3.已知数列的前n项和为，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；
(2)设，证明：.




4．已知数列满足，且,是的前项和.
(1)求；
(2)若为数列的前项和，求证：.