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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质授课ppt课件
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质授课ppt课件，共35页。PPT课件主要包含了任意一个，f－x＝fx，增函数等内容，欢迎下载使用。
【课标要求】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系．3．会利用函数的奇偶性解决简单问题．【核心扫描】1．对函数奇偶性概念的理解．(难点)2．根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．(重点)3．函数奇偶性的应用．(难点、易错点)
新知导学1．偶函数(1)定义：对于函数f(x)定义域内 x，都有 ，那么函数f(x)叫做偶函数．(2)图象特征：图象关于 对称．2．奇函数(1)定义：对于函数f(x)定义域内 x，都有 ，那么函数f(x)叫做奇函数．(2)图象特征：图象关于 对称．
f(－x)＝－f(x)
3．奇偶性的应用中常用到的结论(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则必有f(0)＝ .(2)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是___函数，且有最小值 .(3)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是 ．温馨提示：函数的奇偶性相对于函数的定义域而言，反映函数的“整体”性质．
互动探究探究点1 奇函数、偶函数的定义域一定关于原点对称吗？为什么？提示 一定关于原点对称．由定义知，若x是定义域内的一个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域关于原点对称．探究点2 有没有既是奇函数又是偶函数的函数？提示 有．如f(x)＝0，x∈R.
[规律方法] 1.(1)首先考虑定义域是否是关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；(2)在定义域关于原点对称的前提下，进一步判定f(－x)是否等于±f(x)．2．分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性．
[规律方法] 若知道一个函数的奇偶性，则只需把它的定义域分成关于原点对称的两部分，得到函数在一部分上的性质和图象，利用图象的对称性就可以推出函数在另一部分上的性质和图象．
【活学活用2】 设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．
解析 由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)
类型三 利用函数的奇偶性求解析式【例3】 已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．[思路探索] 先将x＜0时的解析式转化到(0，＋∞)上求解．同时要注意f(x)是定义域为R的奇函数．
[规律方法] 1.本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x＝0的情形．若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0.2．利用奇偶性求解析式的思路：(1)在求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式．
【活学活用3】 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是( )． A．f(x)＝－x(x－2) B．f(x)＝x(|x|－2)C．f(x)＝|x|(x－2) D．f(x)＝|x|(|x|－2)
解析 ∵f(x)在R上是偶函数，且x≥0时，f(x)＝x2－2x，∴当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x，则f(x)＝f(－x)＝x2＋2x＝－x(－x－2)．又当x≥0时，f(x)＝x2－2x＝x(x－2)，因此f(x)＝|x|(|x|－2)．答案 D
[规律方法] 1.(1)先利用奇偶性将不等式两边变成只含“f”的式子(f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式)；(2)利用单调性，脱去“f”，列出关于参数的不等式．2．树立定义域优先的意识，注意定义域对参数取值的影响．
【活学活用4】 设定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递增，若g(1－m)
课堂达标1．已知y＝f(x)是偶函数，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值为( )． A．0 B．10 C．8 D．不确定解析 ∵y＝f(x)是偶函数，且f(4)＝5，∴f(－4)＝f(4)＝5，故f(4)＋f(－4)＝10.答案 B
2．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )．A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝－|x|解析 ∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴A不对．y＝ －x2＋1在定义域R上是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故C不对．D中y＝－|x|虽是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，只有B对．答案 B
4．若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.解析 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，又f(x)为偶函数，∴a－4＝0，则a＝4.答案 4
5．(1)如图①所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；(2)如图②所示，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1)与f(3)的大小，并试作出y轴右侧的图象．
解 (1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，如图①为补充后的图象．易知f(3)＝ －2.(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(x))关于y轴的对称点为P′(x，f(x))，如图②为补充后的图象．易知f(1)＞f(3)．
课堂小结1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数．2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化．
【课标要求】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系．3．会利用函数的奇偶性解决简单问题．【核心扫描】1．对函数奇偶性概念的理解．(难点)2．根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．(重点)3．函数奇偶性的应用．(难点、易错点)
新知导学1．偶函数(1)定义：对于函数f(x)定义域内 x，都有 ，那么函数f(x)叫做偶函数．(2)图象特征：图象关于 对称．2．奇函数(1)定义：对于函数f(x)定义域内 x，都有 ，那么函数f(x)叫做奇函数．(2)图象特征：图象关于 对称．
f(－x)＝－f(x)
3．奇偶性的应用中常用到的结论(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则必有f(0)＝ .(2)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是___函数，且有最小值 .(3)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是 ．温馨提示：函数的奇偶性相对于函数的定义域而言，反映函数的“整体”性质．
互动探究探究点1 奇函数、偶函数的定义域一定关于原点对称吗？为什么？提示 一定关于原点对称．由定义知，若x是定义域内的一个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域关于原点对称．探究点2 有没有既是奇函数又是偶函数的函数？提示 有．如f(x)＝0，x∈R.
[规律方法] 1.(1)首先考虑定义域是否是关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；(2)在定义域关于原点对称的前提下，进一步判定f(－x)是否等于±f(x)．2．分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性．
[规律方法] 若知道一个函数的奇偶性，则只需把它的定义域分成关于原点对称的两部分，得到函数在一部分上的性质和图象，利用图象的对称性就可以推出函数在另一部分上的性质和图象．
【活学活用2】 设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．
解析 由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)
类型三 利用函数的奇偶性求解析式【例3】 已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．[思路探索] 先将x＜0时的解析式转化到(0，＋∞)上求解．同时要注意f(x)是定义域为R的奇函数．
[规律方法] 1.本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x＝0的情形．若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0.2．利用奇偶性求解析式的思路：(1)在求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式．
【活学活用3】 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是( )． A．f(x)＝－x(x－2) B．f(x)＝x(|x|－2)C．f(x)＝|x|(x－2) D．f(x)＝|x|(|x|－2)
解析 ∵f(x)在R上是偶函数，且x≥0时，f(x)＝x2－2x，∴当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x，则f(x)＝f(－x)＝x2＋2x＝－x(－x－2)．又当x≥0时，f(x)＝x2－2x＝x(x－2)，因此f(x)＝|x|(|x|－2)．答案 D
[规律方法] 1.(1)先利用奇偶性将不等式两边变成只含“f”的式子(f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式)；(2)利用单调性，脱去“f”，列出关于参数的不等式．2．树立定义域优先的意识，注意定义域对参数取值的影响．
【活学活用4】 设定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递增，若g(1－m)
课堂达标1．已知y＝f(x)是偶函数，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值为( )． A．0 B．10 C．8 D．不确定解析 ∵y＝f(x)是偶函数，且f(4)＝5，∴f(－4)＝f(4)＝5，故f(4)＋f(－4)＝10.答案 B
2．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )．A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝－|x|解析 ∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴A不对．y＝ －x2＋1在定义域R上是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故C不对．D中y＝－|x|虽是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，只有B对．答案 B
4．若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.解析 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，又f(x)为偶函数，∴a－4＝0，则a＝4.答案 4
5．(1)如图①所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；(2)如图②所示，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1)与f(3)的大小，并试作出y轴右侧的图象．
解 (1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，如图①为补充后的图象．易知f(3)＝ －2.(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(x))关于y轴的对称点为P′(x，f(x))，如图②为补充后的图象．易知f(1)＞f(3)．
课堂小结1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数．2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化．
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