2022-2023学年广东省深圳市龙岗区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省深圳市龙岗区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省深圳市龙岗区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列标志中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 若分式x−1x+1的值为0，则x=(    )
A. −1 B. 1 C. ±1 D. 0
3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的(    )
A. x2+x−2=(x+2)(x−1) B. 2(x−3y)=2x−6y
C. (x+2)2=x2+4x+4 D. ax+bx+c=x(a+b)+c
4. 如图，足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成，其中黑皮的正五边形有12块，白皮的正六边形有20块.如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是(    )


A. 180° B. 360° C. 540° D. 720°
5. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图①，衣架杆OA=OB=18cm(O为衣架的固定点)；如图②，若衣架收拢时，∠AOB=60°，则此时A，B两点之间的距离是(    )

A. 9cm B. 9 3cm C. 18cm D. 18 3cm
6. 如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是(    )
A. −a<−b B. a+3>b+3 C. a2>b2 D. a−c 7. 下列命题中，假命题是(    )
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
C. 两组对角相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
8. 为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”的发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展.某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务.设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程正确的是(    )
A. 90x−90(1+25%)x=30 B. 90(1+25%)x−90x=30
C. 90x−9025%x=30 D. 90(1−25%)x−90x=30
9. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，请观察尺规作图的痕迹(D,E,F分别是连线与△ABC边的交点)，则∠DAE的度数是(    )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，D是BC边上一点，将△ACD沿AD折叠得△AED，连接BE，若四边形ABED为平行四边形，则AE的值是(    )
A. 3
B. 52
C. 2
D. 5


二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 分解因式：a3−9a=          ．
12. 如图，将一根有弹性的皮筋AB自然伸直固定在水平面上，然后把皮筋中点C竖直向上拉升5cm到点D，如果皮筋自然长度为24cm(即AB=24cm)，则此时AD= ______ cm．

13. 若关于x的方程m−1x−1−xx−1=0有增根，则m的值是______．
14. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠C=25°，将△ABC绕点B逆时针旋转至△DBE且点A的对应点D落在CA延长线上，则∠CBE= ______ ．


15. 如图，在△ABC中，E是AC的中点，D在AB上且AD=2BD，连接BE，CD相交于点F，则S△BCFS四边形ADFE= ______ ．


三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题6.0分)
解不等式组x−2≤2x①x−1<1+x3②，并把解集在数轴上表示出来．


17. (本小题7.0分)
先化简，再求值：(xx−1−1)÷x2−xx2−2x+1，再从不等式−1≤x≤1的整数解中选择一个适当的数代入求值．
18. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，E为AC上一点，且DE//BC．
(1)求证：DE=CE；
(2)若∠A=90°，AD=4，BC=12，求△BCD的面积．

19. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(−1,4)，B(−4,2)，C(−3,5)，(每个方格的边长均为1个单位长度)．
(1)若△A1B1C1和△ABC关于原点O成中心对称，请画出△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
(3)将△ABC进行平移得到△A3B3C3，若A3的坐标为(4,2)，则B3坐标为______ ；
(4)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点，则点D的坐标是______ ．

20. (本小题8.0分)
某超市用1200元购进一批甲玩具，用500元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．
(1)求甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
(2)玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具(甲、乙玩具的进货单价不变)，购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件，求该超市用不超过1400元最多可以采购甲玩具多少件？
21. (本小题10.0分)
数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题.他们确定以函数y=|x+1|为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系．
请根据以下探究过程，回答问题．
(1)作出函数y=|x+1|的图象．
①列表：
x
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
…
y
…
3
a
1
0
1
2
3
…
其中，表格中a的值为______ ；
②描点，连线：
根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(2)观察函数y=|x+1|的图象，回答下列问题：
①当x= ______ 时，函数y=|x+1|有最小值，最小值为______ ；
②当______ 时(填自变量x的取值范围)，y随x的增大而增大；
(3)已知直线y=−13x+1，请结合图象，直接写出不等式−13x+1>|x+1|的解集是______ ；
(4)若直线y=kx+12与y=|x+1|有2个交点，则k的取值范围是______ ．

22. (本小题10.0分)
数学活动课上，老师组织数学小组的同学进行以“三角形卡片拼接与变换”为主题的数学学习活动.他们准备若干个的特殊直角三角形卡片，其中在三角形卡片ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=30°，AD=2．
(1)如图1，将一个与△ABD全等的△CDB沿较长的直角边重合，拼成一个四边形ABCD．
①求证：四边形ABCD是平行四边形；
②连接AC交BD于点O，求△AOD的面积；
(2)在(1)的条件下，将一条直角边与AC重合的等腰直角三角形卡片ACE(∠ACE=90°)与四边形ABCD拼成如图2所示的平面图形，请求出点E到AB的距离；
(3)一个斜边长度与AD相等的30°三角板ADE(∠E=90°,∠ADE=30°)如图3摆放，将△ADE绕点A顺时针旋转，旋转角α(0°<α<180°)△ADE旋转后的三角形记为△AD′E′.在旋转过程中，直线D′E′所在的直线与直线BD，AB交于P，Q两点，当△BPQ为等腰三角形时，请直接写出E′Q的长．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

2.【答案】B 
【解析】解：由分式的值为零的条件得x−1=0，x+1≠0，解得，x=1．
故选：B．
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
此题考查分式的值为零的问题，若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．

3.【答案】A 
【解析】解：A.x2+x−2=(x+2)(x−1)，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
B.2(x−3y)=2x−6y，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.(x+2)2=x2+4x+4，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.ax+bx+c=x(a+b)+c，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据因式分解的定义判断即可．
本题主要考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

4.【答案】C 
【解析】解：∵黑皮是正五边形，
∴一块黑色皮块的内角和=(5−2)×180°=540°．
故选：C．
根据多边形的内角和公式可解答．
本题考查了多边形的内角和公式，确定黑色皮块是正五边形是解本题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：连接AB，
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=18cm，
故选：C．
根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．
此题考查等边三角形的应用，掌握有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形是解决问题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：A、∵a ∴−a>−b，
故A不符合题意；
B、∵a ∴a+3 故B不符合题意；
C、∵a ∴a2 故C不符合题意；
D、∵a ∴a−c 故D符合题意；
故选：D．
根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，数轴，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意，
故选：B．
利用平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定定理，难度不大．

8.【答案】A 
【解析】解：∵原计划每天绿化的面积为x万平方米，且实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，
∴实际工作时每天绿化的面积为(1+25%)x万平方米．
根据题意得：90x−90(1+25%)x=30．
故选：A．
根据原计划与实际工作工作效率间的关系，可得出实际工作时每天绿化的面积为(1+25%)x万平方米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前30天完成了任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

9.【答案】C 
【解析】解：由作图得：DF垂直平分AB，AE平分∠DAC，
∴AD=BD，∠DAE=12∠DAC，
∴∠BAD=∠B=30°，
∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=100°，
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=70°，
∴∠DAE=12∠DAC=35°，
故选：C．
由作图得：DF垂直平分AB，AE平分∠DAC，再根据线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和求解．
本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和定理是解题的关键．

10.【答案】D 
【解析】解：如图，设AE，BD交于点O，
∵四边形ABED为平行四边形，
∴OA=OE，OB=OD，AB=DE=1，
设OA=OE=x，OB=OD=y，
∵∠ABO=90°，AB=1，
∴AO2+OB2=AB2，
∴x2+y2=1，
由翻折可知：DC=DE=1，AC=AE=2OA=2x，
∴BC=BD+DC=2OB+DC=2y+1，
∵∠ABC=90°，
∴AB2+BC2=AC2，
∴12+(2y+1)2=(2x)2，
整理得x2−y2=y+12，
∴y+12=1，
∴y=12，
∴x= 52(负值已经舍去)，
∴AE=2x= 5．
故选：D．
设AE，BD交于点O，设OA=OE=x，OB=OD=y，根据勾股定理列出方程求解即可．
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．

11.【答案】a(a+3)(a−3) 
【解析】
【分析】
本题考查提公因式法与公式法的综合运用，一个多项式有公因式首先提取公因式，再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，要分解到不能分解为止．先提出公因式a，再运用平方差公式分解因式即可．
【解答】
解：a3−9a=a(a2−32)=a(a+3)(a−3)．  
12.【答案】13 
【解析】解：∵中点C竖直向上拉升5cm至D点，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD=90°，AC=BC=12AB=12cm，AD=BD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AD= AC2+CD2= 122+52=13(cm)，
故答案为：13．
根据题意可得CD是AB的垂直平分线，然后利用勾股定理求出AD长．
此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题抽象出直角三角形，并熟练掌握勾股定理．

13.【答案】2 
【解析】解：方程两边都乘(x−1)，得
m−1−x=0，
∵方程有增根，
∴最简公分母x−1=0，即增根是x=1，
把x=1代入整式方程，得m=2．
故答案为：2．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x−1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值．
增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

14.【答案】80° 
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=25°，
∴∠BAD=50°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转至△DBE，
∴AB=BD，∠ABC=∠DBE=25°，∠CBE=∠DBE，
∴∠BDA=∠BAD=50°，
∴∠DBA=80°，
∴∠CBE=∠DBE=80°，
故答案为：80°．
由等腰三角形的性质可求∠C=∠ABC=25°，由旋转的性质可得AB=BD，∠ABC=∠DBE=25°，∠CBE=∠DBE，由等腰三角形的性质可求∠BDA=∠BAD=50°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．

15.【答案】35 
【解析】解：取CD中点G，则EG是△ACD中位线，

∴EG=12AD，EG//AD，
∵AD=2BD，
∴BD=12AD=EG，
∵∠DFB=∠EFG，∠BDF=∠EGF
∴△BDF≌△EGF(AAS)，
∴DF=FG=12CG，BF=EF，
∴CF=3DF，
设S△BDF=1，
则S△BCF=S△CEF=S△AEF=3，S△ADF=2，
∴S△BCF S四边形ADFE=35，
故答案为：35．
取CD中点G可证得△BDF≌△EGF，进一步推出CF=3DF，即可得出结论．
本题考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识点，结合条件进行几何推导是解题关键．

16.【答案】解：x−2≤2x①x−1<1+x3②，
解不等式①得：x≥−2，
解不等式②得：x<2，
∴原不等式组的解集为：−2≤x<2，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
 
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．

17.【答案】解：原式=(xx−1−x−1x−1)⋅(x−1)2x(x−1)
=1x−1⋅x−1x
=1x，
在−1≤x≤1的整数解中，x为−1、0、1，
由题意得：x≠0和1，
当x=−1时，原式=1−1=−1． 
【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

18.【答案】(1)证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵DE//BC，
∴∠EDC=∠BCD，
∴∠ACD=∠EDC，
∴ED=EC．
(2)解：作DF⊥BC于F，
∵CD平分∠ACB，DA⊥AC，
∴DF=DA=4，
∵BC=12，
∴△DBC的面积=12BC⋅DF=12×12×4=24． 
【解析】(1)由角平分线定义，得到∠ACD=∠BCD，由平行线的性质，得到∠EDC=∠BCD，因此∠ACD=∠EDC，即可证明ED=EC．
(2)作DF⊥BC于F，由角平分线的性质得到DF=DA=4，由三角形面积公式即可求出△BCD的面积．
本题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，关键是由平行线的性质，角平分线定义的定义推出∠ACD=∠EDC；由角平分线的性质得到DF=DA．

19.【答案】(1,0)  (0,7) 
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)将△ABC进行平移得到△A3B3C3，若A3的坐标为(4,2)，则B3坐标为(1,0)．
故答案为：(1,0)；
(4)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点，则点D的坐标是(0,7)．
故答案为：(0,7)．

(1)利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
(3)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A3，B3，C3即可；
(4)根据平行四边形的判定和题目要求画出图形即可．
本题考查作图−旋转变换，平移变换，平行四边形的判定等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．

20.【答案】解：(1)设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为(x−1)元，
根据题意得：1200x=500x−1×2，
解得：x=6，经检验，x=6是原方程的解，
∴x−1=5．
答：甲种玩具的进货单价6元，则乙种玩具的进价为5元．
(2)设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具(2y+40)件，
根据题意得：6y+5(2y+40)≤1400，
解得：y≤75，
∵y为整数，
∴y最大值=75，
答：该超市用不超过1400元最多可以采购甲玩具75件． 
【解析】(1)设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为(x−1)元，根据数量=总价÷单价结合“用1200元购进一批甲玩具，用500元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具(2y+40)件，根据进货的总资金不超过1400元，即可得出关于y的一元一次不等式，解答取其中的整数，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．

21.【答案】2  −1  0  x>−1  −3 【解析】解：(1)当x=−3时，y=|−3+1|=2，
∴a=2．
函数图象如图所示．

故答案为：2；
(2)观察函数y=|x+1|的图象，
①当x=−1时，函数y=|x+1|有最小值，最小值为0；
②当x>−1时，y随x的增大而增大；
故答案为：−1，x>−1；
(3)观察图象，不等式−13x+1>|x+1|的解集是−3 故答案为：−3 (4)若直线y=kx+12与y=|x+1|有2个交点，则k的取值范围是−1 故答案为：−1 (1)把x=−3代入解析式即可求得a=2，描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线．
(2)根据图象即可求得；
(3)观察图象即可得到答案；
(4)根据图象即可求得．
本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解决本题关键．

22.【答案】(1)①证明：∵△ABD≌△CDB，
∴AB=CD，AD=CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
②解：∵∠ADB=90°，∠ABD=30°，AD=2，
∴AB=2AD=4，
∴BD= AB2−AD2= 42−22=2 3，
由(1)可知，四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD=12BD= 3，
∴S△AOD=12AD⋅OD=12×2× 3= 3；
(2)解：如图2，过点E作EF⊥AB于点F，交CD于点G，交AC于点O，过点C作CM⊥AB于点M，

则EF//CM，
由(1)可知，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，
∴AB//CD，AD//BC，BC=AD=2，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴四边形GFMC是矩形，
∴GF=CM，
∴S平行四边形ABCD=2S△ADB=2×12AD⋅BD=2×12×2×2 3=4 3，
∵S平行四边形ABCD=CM⋅AB，
∴GF=CM=4 3AB=4 34= 3，
∵∠DAB=90°−∠ABD=90°−30°=60°，AD//BC，
∴∠CBM=60°，
∴∠BCM=30°，
∴BM=12BC=1，
∵△ACE是等腰直角三角形，∠ACE=90°，
∴CE=AC，
∵∠CAM+∠AOF=90°，∠CEG+∠COE=90°，∠AOF=∠COE，
∴∠CEG=∠CAM，
又∵∠EGC=∠AMC=90°，CE=CA，
∴△EGC≌△AMC(AAS)，
∴EG=AM=AB+BM=4+1=5，
∴EF=EG+GF=5+ 3，
∴点E到AB的距离为：5+ 3；
(3)解：∵∠E=90°，∠ADE=30°，
∴AE=12AD=12×2=1，
由旋转的性质得：AE′=AE=1，∠AE′Q=∠E=90°，
∵△BPQ为等腰三角形，
∴∠QBP=∠BPQ=30°，
∴∠E′QA=∠QBP+∠BPQ=30°+30°=60°，
∴∠E′AQ=90°−60°=30°，
∴AQ=2E′Q，
∵AQ2=E′Q2+AE′2，
∴(2E′Q)2=E′Q2+12，
解得：E′Q= 33(负值已舍去)，
即E′Q的长为 33． 
【解析】(1)①由全等三角形的性质得AB=CD，AD=CB，再由平行四边形的判定即可得出结论；
②由含30°角的直角三角形的性质得AB=2AD=4，再由勾股定理得BD=2 3，然后由平行四边形的性质得OB=OD=12BD= 3，即可解决问题；
(2)过点E作EF⊥AB于点F，交CD于点G，交AC于点O，过点C作CM⊥AB于点M，由平行四边形的面积得GF=CM= 3，再证△EGC≌△AMC(AAS)，得EG=AM=AB+BM=5，得EF=EG+GF=5+ 3，即可得出结论；
(3)由含30°角的直角三角形的性质得AE=1，再由旋转的性质得AE′=AE=1，∠AE′Q=∠E=90°，然后证AQ=2E′Q，进而由勾股定理得出方程，即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．