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2022-2023学年湖南省邵阳市新邵县八年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖南省邵阳市新邵县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省邵阳市新邵县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若x是 81的算术平方根，则x=( )
A. 3 B. ±3 C. 9 D. ±9
2. 下列判断不正确的是( )
A. 若a>b，则−4a<−4b B. 若2a>3a，则a<0
C. 若a>b，则ac2>bc2 D. 若ac2>bc2，则a>b
3. 分式−aa−b可变形为( )
A. a−a−b B. aa+b C. −aa−b D. −aa+b
4. 如图，△ABC中，DE是线段AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D，E，∠B=55°，∠C=40°，则∠BAD=( )
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 55°
5. 下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5 B. 914=312
C. ( 2−1)2022( 2+1)2022=1 D. 3 2− 2=3
6. 小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜.甲说：“至多15元.”乙说：“至少12元.”丙说：“至少10元.”小明说：“这本书的价格是你们三个人所说价格的公共部分”.则这本书的价格x(元)所在的范围为( )
A. 10
A. SAS B. AAS C. SSS D. SSA
8. 已知a，b均为有理数，且a+b 6=( 2− 3)2，则ab的值为( )
A. 25 B. −10 C. 125 D. −110
9. 用反证法证明：a，b至少有一个为0，应该假设( )
A. a，b没有一个为0 B. a，b只有一个为0
C. a，b至多一个为0 D. a，b两个都为0
10. 若关于x的分式方程3xx−2=m2−x+5的解为正数，则m的取值范围为( )
A. m<−10 B. m≤−10
C. m≥−10且m≠−6 D. m>−10且m≠−6
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 在实数范围内分解因式：4x2−8= ______ ．
12. 若 1−2xx+1有意义，则x的取值范围为______ ．
13. 据《央视网》报道，我国成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”.截至报道时，根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒，将0.00000023用科学记数法表示应为______ ．
14. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE=40°，∠CAD=30°，则∠B= ______ ．
15. 不等式(m−2)x>2−m的解集为x<−1，则m的取值范围是______ ．
16. 已知432=1849，442=1936，452=2025，462=2116.若n为整数且n< 2022
18. 已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a−1|− (a−2)2的结果是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算： 18+|1− 2|−(π+2021)0+(12)−1．
20. (本小题8.0分)
解不等式组：5x−1<3(x−1)2x3−x−22≥13，并把解集在数轴上表示出来．
21. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F．
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若AB=AC，CE=10，CF=14，求DB的长．
22. (本小题8.0分)
先化简，再求值：x2+2x+1x2−1−xx−1，其中x满足不等式组x−1≥0x−3<0，且x为整数．
23. (本小题8.0分)
已知分式方程2x−1+x1−x=■有解，其中“■”表示一个数．
(1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解；
(2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是−1或0，试确定“■”表示的数．
24. (本小题8.0分)
在疫情期间，某药店用4000元购进若干包医用口罩，很快售完，该店又用9000元钱购进第二批这种口罩，购进的包数是第一批的1.5倍，但每包的进价比第一批进价多1元，请解答下列问题：
(1)求购进第一批医用口罩有多少包？
(2)若两批医用口罩按相同的价格售出，且售完后总利润不高于7000元，那么每包口罩的最高售价是多少元？
25. (本小题8.0分)
对于任意两个非零实数a，b，定义运算⊕如下：a⊕b=ab(a>0)a+b(a<0)，如：2⊕3=23，(−2)⊕3=(−2)+3=1．
根据上述定义，解决下列问题：
(1) 6⊕ 2= ______ ，(− 5)⊕ 5= ______ ；
(2)如果(x2+2)⊕(x2−x)=1，那么x= ______ ；
(3)如果(x2−4)⊕x=(−2)⊕x，求x的值．
26. (本小题10.0分)
如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是射线AC、射线BC上的动点，点D从点A出发沿射线AC移动，点E从点C出发沿射线BC移动，点D、点E同时出发并且运动速度相同.连接BD、．
(1)如图①，当点D移动到线段AC的中点时，求∠DEC度数．
(2)如图②，当点D在线段AC上移动但不是中点时，试探索DE与BD之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图③，当点D移动到线段AC的延长线上时，(2)中的结论是否仍然成立？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵x是 81=9的算术平方根，
∴x=3，
故选：A．
根据算术平方根的定义进行求解即可．
本题主要考查了一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、若a>b，则−4a<−4b，此选项正确；
B、若2a>3a，则a<0，此选项正确；
C、若a>b，则ac2>bc2，没有注明c≠0，此选项错误；
D、若ac2>bc2，则a>b，此选项正确．
故选：C．
利用不等式的性质，注意判定得出答案即可．
此题考查不等式的性质：性质1、不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个式，不等号的方向不变．
性质2、不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
性质3、不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变改变．
3.【答案】C
【解析】解：−aa−b可变形为−aa−b，
故选：C．
根据分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零数，分式的值不变，可得答案．
本题考查了分式基本性质，分子、分母、分式任意改变两项的符号，分式的值不变．
4.【答案】B
【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，
∴AD=CD，
∴∠C=∠DAC，
∵∠C=40°，
∴∠DAC=40°，
在△ABC中，∠B=55°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=85°，
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=85°−40°=45°，
故选：B．
根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，求出∠DAC的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC，即可得出答案．
本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出AD=CD是解此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A． 2和 3不是同类二次根式，不能合并，故此选项中计算错误，不符合题意；
B. 914= 374= 372，故此选项中计算错误，不符合题意；
C.( 2−1)2022( 2+1)2022=[( 2−1)( 2+1)]2022=1，故此选项中计算正确，符合题意；
D.3 2− 2=2 2，故此选项中计算错误，不符合题意，
故选：C．
根据二次根式的运算法则和二次根式的性质逐项计算判断即可．
本题考查二次根式的性质和运算，熟练掌握二次根式的性质和相关运算的运算法则是解答的关键．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意可得：x≤15x≥12x≥10，
可得：12≤x≤15，
∴这本书的价格x(元)所在的范围为12≤x≤15．
故选：D．
根据“这本书的价格是你们三个人所说价格的公共部分”得出不等式组解答即可．
此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组．
7.【答案】C
【解析】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，
在△D′O′C′与△DOC中，
OD=O′D′OC=O′C′CD=C′D′，
∴△D′O′C′≌△DOC(SSS)，
∴∠D′O′C′=∠DOC(全等三角形的对应角相等)．
故选：C．
由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS定理得到△D′O′C′≌△DOC，由全等三角形的对应角相等得到∠D′O′C′=∠DOC．
本题考查了作图−基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵a+b 6=( 2− 3)2，
∴a+b 6=( 2)2−2 6+( 3)2，
∴a+b 6=2+3−2 6，即a+b 6=5−2 6，
∵a，b均为有理数，
∴a=5，b=−2，
∴ab=5−2=125．
故选：C．
先求出a+b 6=5−2 6，再根据a，b均为有理数得到a=5，b=−2，由此代值计算即可．
本题考查的是实数的混合运算，涉及到代数式求值，负整数指数幂，正确根据题意求出a=5，b=−2是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：由于命题：“a、b至少有一个为0”的反面是：“a、b没有一个为0”，
故用反证法证明：“a、b至少有一个为0”，应假设“a、b没有一个为0”，
故选：A．
根据命题：“a、b至少有一个为0”的反面是：“a、b没有一个为0”，可得假设内容．
此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数且x≠2列式求出m的范围即可．
【解答】
解：去分母得：3x=−m+5(x−2)，
解得：x=m+102，
由方程的解为正数且x≠2，得到m+102>0，且m+102≠2，
解得m>−10且m≠−6，
故选：D
11.【答案】4(x+ 2)(x− 2)
【解析】解：4x2−8
=4(x2−2)
=4(x+ 2)(x− 2).
故答案为：4(x+ 2)(x− 2).
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
此题主要考查了实属范围内分解因式，熟练利用平方差公式分解因式是解题关键．
12.【答案】x≤12且x≠−1
【解析】解：由题意得：1−2x≥0，且x+1≠0，
解得：x≤12且x≠−1，
故答案为：x≤12且x≠−1．
利用二次根式有意义的条件可得1−2x≥0，再利用分式有意义的条件可得x+1≠0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．
13.【答案】2.3×10−7
【解析】解：0.00000023=2.3×10−7，
故答案为：2.3×10−7．
绝对值小于1的利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．
14.【答案】40°
【解析】解：∵AE平分∠BAC，∠BAE=40°，
∴∠BAC=2∠BAE=80°，
∵AD⊥BC，∠CAD=30°，
∴∠C=90°−∠CAD=90°−30°=60°，
∴∠B=180°−∠BAC−∠C=180°−80°−60°=40°，
故答案为：40°．
根据角平分线的定义求出∠BAC的度数，根据直角三角形的性质得到∠C的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出答案．
本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，垂直的定义等知识点，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
15.【答案】m<2
【解析】解：不等式(m−2)x>2−m的解集为x<−1，
∴m−2<0，
m<2，
故答案为：m<2．
根据不等式的性质3，不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
本题考查了不等式的解集，由不等号方向改变，得出未知数的系数小于0．
16.【答案】44
【解析】解：∵442=1936，452=2025，
又∵1936<2022<2025，
∴44< 2022<45，
∵n为整数且n< 2022
故答案为：44．
估算出 2022的值即可解答．
本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键．
17.【答案】2
【解析】解：如图，延长CD交AB于E，
∵CD⊥AD，
∴∠ADE=∠ADC=90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠EAD=∠CAD，
∴90°−∠EAD=90°−∠CAD，
∴∠AED=∠ACD，
∴AE=AC=6，
∴DE=CD，
∵AB=10，
∴BE=10−6=4，
∵∠B=∠BCD，
∴BE=CE=4，
∴CD=12CE=2．
故答案为：2．
延长CD交AB于E，证明△ACE是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得CD=DE，再由等角对等边得CE=BE=4，进而可得答案．
本题考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是关键．
18.【答案】2a−3
【解析】解：由数轴可得，10，a−2<0，
∴|a−1|− (a−2)2=(a−1)−|a−2|=(a−1)−(2−a)=2a−3，
故答案为：2a−3．
根据a在数轴上的位置判断出其符号及a−1和a−2的符号，再化简绝对值和二次根式即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，解题的关键是熟知负数的绝对值等于它的相反数，非负数的绝对值等于它本身以及 a2=|a|．
19.【答案】解： 18+|1− 2|−(π+2021)0+(12)−1
=3 2+ 2−1−1+2
=4 2．
【解析】先分别化简每一项，再求和即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握零指数幂，负整数指数幂，绝对值，二次根式的运算是解题的关键．
20.【答案】解：由5x−1<3(x−1)得：5x−1<3x−3，
解得x<−1，
由2x3−x−22≥13得：4x−3x+6≥2，
解得x≥−4，
故原不等式组的解集为−4≤x<−1，
把解集在数轴上表示出来，如下图：
【解析】首先解每一个不等式，求得每一个不等式的解集，即可求得该不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．在数轴上表示解集时，“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
21.【答案】(1)证明：∵E是边AC的中点，
∴AE=EC，
∵CF//AB，
∴∠DAC=∠ACF，
在△ADE和△CFE中，
∠DAC=∠ACFAE=EC∠AED=∠FEC
∴△ADE≌△CFE(ASA)；
(2)解：∵△ADE≌△EFC，
∴AD=CF，
∵E是边AC的中点，
∴AC=2CE，
∵CE=10，
∴AC=2CE=20，
∵AB=AC，
∴AB=20，
∵CF=14，
∴AD=CF=14，
∴DB=AB−AD=20−14=6．
【解析】(1)根据平行可知角∠DAC=∠ACF，再根据中点和对顶角相等可知全等三角形；
(2)根据全等三角形的性质可知AD=CF，再根据线段的和差关系可以求出DB的长．
本题考查了全等三角形的性质和判定，中点的定义等相关知识点，熟记全等三角形的性质和判定是解题的关键．
22.【答案】解：x2+2x+1x2−1−xx−1
=(x+1)2(x+1)(x−1)−xx−1
=x+1x−1−xx−1
=1x−1，
由不等式组组x−1≥0x−3<0，得1≤x<3，
∵x为整数，x−1≠0，
∴x=2，
当x=2时，原式=12−1=1．
【解析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，再由x满足不等式组x−1≥0x−3<0且x为整数，确定x的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
23.【答案】解：(1)根据题意得：2x−1+x1−x=4，
去分母得：2−x=4x−4，
解得：x=65，
检验：把x=65代入得：x−1≠0，∴分式方程的解为x=65；
(2)解：当“■”是−1时，2x−1+x1−x=−1，解得0x=−1，此时方程无解；
当“■”是0时，2x−1+x1−x=0，解得x=2，经检验：x=2是分式方程的解，符合题意，
∴“■”表示的数是0．
【解析】(1)根据题意列出分式方程，求出解即可；
(2)把−1和0分别代入方程，求出解判断即可．
本题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)设第一批购进医用口罩x包，
依题意得90001.5x−4000x=1，
解得x=2000，
经检验：x=2000是原分式方程的解，且符合题意．
答：第一批购进医用口罩2000包．
(2)设每包口罩的售价为y元，
依题意得(2000+2000×1.5)y−(9000+4000)≤7000，
解得y≤4，
答：每包口罩的最高售价为4元．
【解析】(1)设第一批购进医用口罩x包，根据题意列方程计算即可；
(2)设每包口罩的售价为y元，根据题意列不等式计算即可．
本题考查了分式方程和不等式的实际应用，正确列出方程式，求出解后注意要检验是解题关键．
25.【答案】 3 0 −2
【解析】解：(1)∵ 6>0，
∴ 6⊕ 2= 6 2= 3，
∵− 5<0，
∴(− 5)⊕ 5=− 5+ 5=0，
故答案为： 3，0；
(2)∵x2+2>0，
∴(x2+2)⊕(x2−x)=x2+2x2−x=1，
∴x2+2=x2−x，
解得x=−2，
经检验：x=−2是原方程的解，
故答案为：−2；
(3)当x2−4>0时，
由原式可得：x2−4x=(−2)+x，
得x2−4=−2x+x2，
解得x=2，
经检验：x=2是原方程的解，但不符合x2−4>0，
∴x=2应舍去．
当x2−4<0时，(x2−4)+x=(−2)+x，
得x2=2，
解得x= 2或− 2，
经检验：x= 2或− 2是原方程的解，且符合x2−4<0，
综上，x= 2或− 2．
(1)根据题目已知的定义运算，进行计算，即可分别求得；
(2)根据题意可知x2+2>0，然后根据题目已知的定义运算，列出方程进行计算即可求解；
(3)分两种情况，x2−4>0和x2−4<0，根据新定义运算法则列分式方程求解即可．
本题考查的是解一元二次方程，解分式方程，理解题目已知的定义运算是解题的关键．
26.【答案】解：(1)根据题意，点D和点E分别从点A和点C同时出发并且运动速度相同，
∴AD=CE，
∵点D为AC的中点，
∴AD=CD，
∴CD=CE，
∴∠CDE=∠DEC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠CDE+∠DEC=60°，
∴∠DEC=30°；
(2)结论：DE=BD，理由如下：
如图②，过点D作DF//BC交AB于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠BFD=∠DCE=120°，
∵DF//BC，
∴∠AFD=∠ABC=60°，∠ADF=∠ACB=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AF=AD=DF，
∴AB−AF=AC−AD，
∴BF=CD，
∵AD=CE，
∴DF=CE，
在△BFD和△DCE中，
BF=CD∠BFD=∠DCEDF=CE，
∴△BFD≌△DCE( SAS)，
∴DE=BD；
(3)成立，理由如下：
如图③，过点D作DF//BC，交AB的延长线于点F，
同理可得，△AFD是等边三角形，
∴∠F=60°，AF=AD=DF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AB=AC，
∴AF−AB=AD−AC，
∴BF=CD，
∵∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠F=∠DCE，
∵AD=CE，
∴FD=CE，
在△BFD和△DCE中，
BF=CD∠F=∠DCEDF=CE，
∴△BFD≌△DCE( SAS)，
∴DE=BD．
【解析】(1)根据题意可知AD=CE，又点D为AC的中点，进而得到CD=CE，再利用等角对等边得到∠CDE=∠DEC，根据等边三角形性质得到∠ACB=60°，利用三角形外角的性质即可求出∠DEC度数；
(2)过点D作DF//BC，根据等边三角形的性质和平行线的性质可知△ADF是等边三角形，从而推出BF=CD，DF=CE，利用“SAS”证明△BFD≌△DCE( SAS)，即可得出结论；
(3)过点D作DF//BC，同理可得△AFD是等边三角形，进而推出BF=CD，∠F=∠DCE，利用“SAS”证明△BFD≌△DCE( SAS)，即可证明结论成立．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，准确作辅助线构造全等三角形是解题关键．
2022-2023学年湖南省邵阳市新邵县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若x是 81的算术平方根，则x=( )
A. 3 B. ±3 C. 9 D. ±9
2. 下列判断不正确的是( )
A. 若a>b，则−4a<−4b B. 若2a>3a，则a<0
C. 若a>b，则ac2>bc2 D. 若ac2>bc2，则a>b
3. 分式−aa−b可变形为( )
A. a−a−b B. aa+b C. −aa−b D. −aa+b
4. 如图，△ABC中，DE是线段AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D，E，∠B=55°，∠C=40°，则∠BAD=( )
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 55°
5. 下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5 B. 914=312
C. ( 2−1)2022( 2+1)2022=1 D. 3 2− 2=3
6. 小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜.甲说：“至多15元.”乙说：“至少12元.”丙说：“至少10元.”小明说：“这本书的价格是你们三个人所说价格的公共部分”.则这本书的价格x(元)所在的范围为( )
A. 10
A. SAS B. AAS C. SSS D. SSA
8. 已知a，b均为有理数，且a+b 6=( 2− 3)2，则ab的值为( )
A. 25 B. −10 C. 125 D. −110
9. 用反证法证明：a，b至少有一个为0，应该假设( )
A. a，b没有一个为0 B. a，b只有一个为0
C. a，b至多一个为0 D. a，b两个都为0
10. 若关于x的分式方程3xx−2=m2−x+5的解为正数，则m的取值范围为( )
A. m<−10 B. m≤−10
C. m≥−10且m≠−6 D. m>−10且m≠−6
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 在实数范围内分解因式：4x2−8= ______ ．
12. 若 1−2xx+1有意义，则x的取值范围为______ ．
13. 据《央视网》报道，我国成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”.截至报道时，根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒，将0.00000023用科学记数法表示应为______ ．
14. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE=40°，∠CAD=30°，则∠B= ______ ．
15. 不等式(m−2)x>2−m的解集为x<−1，则m的取值范围是______ ．
16. 已知432=1849，442=1936，452=2025，462=2116.若n为整数且n< 2022
18. 已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a−1|− (a−2)2的结果是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算： 18+|1− 2|−(π+2021)0+(12)−1．
20. (本小题8.0分)
解不等式组：5x−1<3(x−1)2x3−x−22≥13，并把解集在数轴上表示出来．
21. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F．
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若AB=AC，CE=10，CF=14，求DB的长．
22. (本小题8.0分)
先化简，再求值：x2+2x+1x2−1−xx−1，其中x满足不等式组x−1≥0x−3<0，且x为整数．
23. (本小题8.0分)
已知分式方程2x−1+x1−x=■有解，其中“■”表示一个数．
(1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解；
(2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是−1或0，试确定“■”表示的数．
24. (本小题8.0分)
在疫情期间，某药店用4000元购进若干包医用口罩，很快售完，该店又用9000元钱购进第二批这种口罩，购进的包数是第一批的1.5倍，但每包的进价比第一批进价多1元，请解答下列问题：
(1)求购进第一批医用口罩有多少包？
(2)若两批医用口罩按相同的价格售出，且售完后总利润不高于7000元，那么每包口罩的最高售价是多少元？
25. (本小题8.0分)
对于任意两个非零实数a，b，定义运算⊕如下：a⊕b=ab(a>0)a+b(a<0)，如：2⊕3=23，(−2)⊕3=(−2)+3=1．
根据上述定义，解决下列问题：
(1) 6⊕ 2= ______ ，(− 5)⊕ 5= ______ ；
(2)如果(x2+2)⊕(x2−x)=1，那么x= ______ ；
(3)如果(x2−4)⊕x=(−2)⊕x，求x的值．
26. (本小题10.0分)
如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是射线AC、射线BC上的动点，点D从点A出发沿射线AC移动，点E从点C出发沿射线BC移动，点D、点E同时出发并且运动速度相同.连接BD、．
(1)如图①，当点D移动到线段AC的中点时，求∠DEC度数．
(2)如图②，当点D在线段AC上移动但不是中点时，试探索DE与BD之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图③，当点D移动到线段AC的延长线上时，(2)中的结论是否仍然成立？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵x是 81=9的算术平方根，
∴x=3，
故选：A．
根据算术平方根的定义进行求解即可．
本题主要考查了一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、若a>b，则−4a<−4b，此选项正确；
B、若2a>3a，则a<0，此选项正确；
C、若a>b，则ac2>bc2，没有注明c≠0，此选项错误；
D、若ac2>bc2，则a>b，此选项正确．
故选：C．
利用不等式的性质，注意判定得出答案即可．
此题考查不等式的性质：性质1、不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个式，不等号的方向不变．
性质2、不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
性质3、不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变改变．
3.【答案】C
【解析】解：−aa−b可变形为−aa−b，
故选：C．
根据分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零数，分式的值不变，可得答案．
本题考查了分式基本性质，分子、分母、分式任意改变两项的符号，分式的值不变．
4.【答案】B
【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，
∴AD=CD，
∴∠C=∠DAC，
∵∠C=40°，
∴∠DAC=40°，
在△ABC中，∠B=55°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=85°，
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=85°−40°=45°，
故选：B．
根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，求出∠DAC的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC，即可得出答案．
本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出AD=CD是解此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A． 2和 3不是同类二次根式，不能合并，故此选项中计算错误，不符合题意；
B. 914= 374= 372，故此选项中计算错误，不符合题意；
C.( 2−1)2022( 2+1)2022=[( 2−1)( 2+1)]2022=1，故此选项中计算正确，符合题意；
D.3 2− 2=2 2，故此选项中计算错误，不符合题意，
故选：C．
根据二次根式的运算法则和二次根式的性质逐项计算判断即可．
本题考查二次根式的性质和运算，熟练掌握二次根式的性质和相关运算的运算法则是解答的关键．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意可得：x≤15x≥12x≥10，
可得：12≤x≤15，
∴这本书的价格x(元)所在的范围为12≤x≤15．
故选：D．
根据“这本书的价格是你们三个人所说价格的公共部分”得出不等式组解答即可．
此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组．
7.【答案】C
【解析】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，
在△D′O′C′与△DOC中，
OD=O′D′OC=O′C′CD=C′D′，
∴△D′O′C′≌△DOC(SSS)，
∴∠D′O′C′=∠DOC(全等三角形的对应角相等)．
故选：C．
由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS定理得到△D′O′C′≌△DOC，由全等三角形的对应角相等得到∠D′O′C′=∠DOC．
本题考查了作图−基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵a+b 6=( 2− 3)2，
∴a+b 6=( 2)2−2 6+( 3)2，
∴a+b 6=2+3−2 6，即a+b 6=5−2 6，
∵a，b均为有理数，
∴a=5，b=−2，
∴ab=5−2=125．
故选：C．
先求出a+b 6=5−2 6，再根据a，b均为有理数得到a=5，b=−2，由此代值计算即可．
本题考查的是实数的混合运算，涉及到代数式求值，负整数指数幂，正确根据题意求出a=5，b=−2是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：由于命题：“a、b至少有一个为0”的反面是：“a、b没有一个为0”，
故用反证法证明：“a、b至少有一个为0”，应假设“a、b没有一个为0”，
故选：A．
根据命题：“a、b至少有一个为0”的反面是：“a、b没有一个为0”，可得假设内容．
此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数且x≠2列式求出m的范围即可．
【解答】
解：去分母得：3x=−m+5(x−2)，
解得：x=m+102，
由方程的解为正数且x≠2，得到m+102>0，且m+102≠2，
解得m>−10且m≠−6，
故选：D
11.【答案】4(x+ 2)(x− 2)
【解析】解：4x2−8
=4(x2−2)
=4(x+ 2)(x− 2).
故答案为：4(x+ 2)(x− 2).
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
此题主要考查了实属范围内分解因式，熟练利用平方差公式分解因式是解题关键．
12.【答案】x≤12且x≠−1
【解析】解：由题意得：1−2x≥0，且x+1≠0，
解得：x≤12且x≠−1，
故答案为：x≤12且x≠−1．
利用二次根式有意义的条件可得1−2x≥0，再利用分式有意义的条件可得x+1≠0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．
13.【答案】2.3×10−7
【解析】解：0.00000023=2.3×10−7，
故答案为：2.3×10−7．
绝对值小于1的利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．
14.【答案】40°
【解析】解：∵AE平分∠BAC，∠BAE=40°，
∴∠BAC=2∠BAE=80°，
∵AD⊥BC，∠CAD=30°，
∴∠C=90°−∠CAD=90°−30°=60°，
∴∠B=180°−∠BAC−∠C=180°−80°−60°=40°，
故答案为：40°．
根据角平分线的定义求出∠BAC的度数，根据直角三角形的性质得到∠C的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出答案．
本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，垂直的定义等知识点，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
15.【答案】m<2
【解析】解：不等式(m−2)x>2−m的解集为x<−1，
∴m−2<0，
m<2，
故答案为：m<2．
根据不等式的性质3，不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
本题考查了不等式的解集，由不等号方向改变，得出未知数的系数小于0．
16.【答案】44
【解析】解：∵442=1936，452=2025，
又∵1936<2022<2025，
∴44< 2022<45，
∵n为整数且n< 2022
故答案为：44．
估算出 2022的值即可解答．
本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键．
17.【答案】2
【解析】解：如图，延长CD交AB于E，
∵CD⊥AD，
∴∠ADE=∠ADC=90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠EAD=∠CAD，
∴90°−∠EAD=90°−∠CAD，
∴∠AED=∠ACD，
∴AE=AC=6，
∴DE=CD，
∵AB=10，
∴BE=10−6=4，
∵∠B=∠BCD，
∴BE=CE=4，
∴CD=12CE=2．
故答案为：2．
延长CD交AB于E，证明△ACE是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得CD=DE，再由等角对等边得CE=BE=4，进而可得答案．
本题考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是关键．
18.【答案】2a−3
【解析】解：由数轴可得，1
∴|a−1|− (a−2)2=(a−1)−|a−2|=(a−1)−(2−a)=2a−3，
故答案为：2a−3．
根据a在数轴上的位置判断出其符号及a−1和a−2的符号，再化简绝对值和二次根式即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，解题的关键是熟知负数的绝对值等于它的相反数，非负数的绝对值等于它本身以及 a2=|a|．
19.【答案】解： 18+|1− 2|−(π+2021)0+(12)−1
=3 2+ 2−1−1+2
=4 2．
【解析】先分别化简每一项，再求和即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握零指数幂，负整数指数幂，绝对值，二次根式的运算是解题的关键．
20.【答案】解：由5x−1<3(x−1)得：5x−1<3x−3，
解得x<−1，
由2x3−x−22≥13得：4x−3x+6≥2，
解得x≥−4，
故原不等式组的解集为−4≤x<−1，
把解集在数轴上表示出来，如下图：
【解析】首先解每一个不等式，求得每一个不等式的解集，即可求得该不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．在数轴上表示解集时，“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
21.【答案】(1)证明：∵E是边AC的中点，
∴AE=EC，
∵CF//AB，
∴∠DAC=∠ACF，
在△ADE和△CFE中，
∠DAC=∠ACFAE=EC∠AED=∠FEC
∴△ADE≌△CFE(ASA)；
(2)解：∵△ADE≌△EFC，
∴AD=CF，
∵E是边AC的中点，
∴AC=2CE，
∵CE=10，
∴AC=2CE=20，
∵AB=AC，
∴AB=20，
∵CF=14，
∴AD=CF=14，
∴DB=AB−AD=20−14=6．
【解析】(1)根据平行可知角∠DAC=∠ACF，再根据中点和对顶角相等可知全等三角形；
(2)根据全等三角形的性质可知AD=CF，再根据线段的和差关系可以求出DB的长．
本题考查了全等三角形的性质和判定，中点的定义等相关知识点，熟记全等三角形的性质和判定是解题的关键．
22.【答案】解：x2+2x+1x2−1−xx−1
=(x+1)2(x+1)(x−1)−xx−1
=x+1x−1−xx−1
=1x−1，
由不等式组组x−1≥0x−3<0，得1≤x<3，
∵x为整数，x−1≠0，
∴x=2，
当x=2时，原式=12−1=1．
【解析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，再由x满足不等式组x−1≥0x−3<0且x为整数，确定x的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
23.【答案】解：(1)根据题意得：2x−1+x1−x=4，
去分母得：2−x=4x−4，
解得：x=65，
检验：把x=65代入得：x−1≠0，∴分式方程的解为x=65；
(2)解：当“■”是−1时，2x−1+x1−x=−1，解得0x=−1，此时方程无解；
当“■”是0时，2x−1+x1−x=0，解得x=2，经检验：x=2是分式方程的解，符合题意，
∴“■”表示的数是0．
【解析】(1)根据题意列出分式方程，求出解即可；
(2)把−1和0分别代入方程，求出解判断即可．
本题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)设第一批购进医用口罩x包，
依题意得90001.5x−4000x=1，
解得x=2000，
经检验：x=2000是原分式方程的解，且符合题意．
答：第一批购进医用口罩2000包．
(2)设每包口罩的售价为y元，
依题意得(2000+2000×1.5)y−(9000+4000)≤7000，
解得y≤4，
答：每包口罩的最高售价为4元．
【解析】(1)设第一批购进医用口罩x包，根据题意列方程计算即可；
(2)设每包口罩的售价为y元，根据题意列不等式计算即可．
本题考查了分式方程和不等式的实际应用，正确列出方程式，求出解后注意要检验是解题关键．
25.【答案】 3 0 −2
【解析】解：(1)∵ 6>0，
∴ 6⊕ 2= 6 2= 3，
∵− 5<0，
∴(− 5)⊕ 5=− 5+ 5=0，
故答案为： 3，0；
(2)∵x2+2>0，
∴(x2+2)⊕(x2−x)=x2+2x2−x=1，
∴x2+2=x2−x，
解得x=−2，
经检验：x=−2是原方程的解，
故答案为：−2；
(3)当x2−4>0时，
由原式可得：x2−4x=(−2)+x，
得x2−4=−2x+x2，
解得x=2，
经检验：x=2是原方程的解，但不符合x2−4>0，
∴x=2应舍去．
当x2−4<0时，(x2−4)+x=(−2)+x，
得x2=2，
解得x= 2或− 2，
经检验：x= 2或− 2是原方程的解，且符合x2−4<0，
综上，x= 2或− 2．
(1)根据题目已知的定义运算，进行计算，即可分别求得；
(2)根据题意可知x2+2>0，然后根据题目已知的定义运算，列出方程进行计算即可求解；
(3)分两种情况，x2−4>0和x2−4<0，根据新定义运算法则列分式方程求解即可．
本题考查的是解一元二次方程，解分式方程，理解题目已知的定义运算是解题的关键．
26.【答案】解：(1)根据题意，点D和点E分别从点A和点C同时出发并且运动速度相同，
∴AD=CE，
∵点D为AC的中点，
∴AD=CD，
∴CD=CE，
∴∠CDE=∠DEC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠CDE+∠DEC=60°，
∴∠DEC=30°；
(2)结论：DE=BD，理由如下：
如图②，过点D作DF//BC交AB于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠BFD=∠DCE=120°，
∵DF//BC，
∴∠AFD=∠ABC=60°，∠ADF=∠ACB=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AF=AD=DF，
∴AB−AF=AC−AD，
∴BF=CD，
∵AD=CE，
∴DF=CE，
在△BFD和△DCE中，
BF=CD∠BFD=∠DCEDF=CE，
∴△BFD≌△DCE( SAS)，
∴DE=BD；
(3)成立，理由如下：
如图③，过点D作DF//BC，交AB的延长线于点F，
同理可得，△AFD是等边三角形，
∴∠F=60°，AF=AD=DF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AB=AC，
∴AF−AB=AD−AC，
∴BF=CD，
∵∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠F=∠DCE，
∵AD=CE，
∴FD=CE，
在△BFD和△DCE中，
BF=CD∠F=∠DCEDF=CE，
∴△BFD≌△DCE( SAS)，
∴DE=BD．
【解析】(1)根据题意可知AD=CE，又点D为AC的中点，进而得到CD=CE，再利用等角对等边得到∠CDE=∠DEC，根据等边三角形性质得到∠ACB=60°，利用三角形外角的性质即可求出∠DEC度数；
(2)过点D作DF//BC，根据等边三角形的性质和平行线的性质可知△ADF是等边三角形，从而推出BF=CD，DF=CE，利用“SAS”证明△BFD≌△DCE( SAS)，即可得出结论；
(3)过点D作DF//BC，同理可得△AFD是等边三角形，进而推出BF=CD，∠F=∠DCE，利用“SAS”证明△BFD≌△DCE( SAS)，即可证明结论成立．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，准确作辅助线构造全等三角形是解题关键．
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