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陕西省安康市2023届高三第三次质量联考数学（理）试卷（含答案）
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这是一份陕西省安康市2023届高三第三次质量联考数学（理）试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
陕西省安康市2023届高三第三次质量联考数学（理）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2、若复数满足为纯虚数，则( )
A.-2 B. C. D.2
3、已知等差数列的前n项和为，，则( )
A.6 B.12 C.18 D.24
4、已知向量，，若与b共线，则( )
A. B. C. D.5
5、党的二十大报告提出全面推进乡村振兴.为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场.该特色产品的热卖黄金时段为2023年3月1至5月31日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年3月1日至3月5日时段的相关数据，这5天的第x天到该电商平台专营店购物人数y（单位：万人）的数据如下表：
日期
3月1日
3月2日
3月3日
3月4日
3月5日
第x天
1
2
3
4
5
人数y（单位：万人）
75
84
93
98
100
依据表中的统计数据，经计算得y与x的线性回归方程为.请预测从2023年3月1日起的第58天到该专营店购物的人数（单位：万人）为( )
A.440 B.441 C.442 D.443
6、羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为( )
A. B. C. D.
7、在的展开式中，下列说法正确的是( )
A.所有项的二项式系数和为1
B.第4项和第5项的二项式系数最大
C.所有项的系数和为128
D.第4项的系数最大
8、已知方程的四个根组成以1为首项的等比数列，则( )
A.8 B.12 C.16 D.20
9、已知正三棱雉的顶点都在球O的球面上，其侧棱与底面所成角为，且，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
10、已知椭圆的左，右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，，点到直线的距离为，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
11、定义在R上的函数满足，且为奇函数，则( )
A.-2023 B.-2022 C.2022 D.2023
12、若，则( )
A. B. C. D.
二、填空题
13、已知x，y满足约束条件，则的最大值是______.
14、已知函数的图象关于点对称，且在区间单调，则的一个取值是______.
三、解答题
15、已知函数，则______.
16、《九章算术》中记载了我国古代数学家祖胆在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖唨原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知双曲线的右焦点到渐近线的距离记为d，双曲线C的两条渐近线与直线，以及双曲线C的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕y轴旋较一周所得儿何体的体积为（其中），则双曲线C的离心率为______.
17、已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
（1）求A;
（2）若，，求的面积.
18、某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的样本频率分布直方图.
（1）现从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生中恰有1名学生获奖的概率;
（2）估计这100名学生的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;
（3）若该市共有10000名学生参加了竞赛，所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，试估计参赛学生中成绩超过78分的学生人数（结果四舍五人到整数）.附：若随机变量X服从正态分布，则，，.
19、如图1，四边形ABCD是梯形，，，M是AB的中点，将沿DM折起至，如图2，点N在线段上.
（1）若N是的中点，证明：平面平面;
（2）若，二面角的余弦值为，求的值.
20、已知函数.
（1）若，求函数的极值;
（2）若恒成立，求m的取值范围.
21、已知抛物线的焦点为.
（1）求抛物线C的方程;
（2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，M为抛物线C上的点，且，，求的面积.
22、在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
（2）若射线（其中，且，）与曲线C在x轴上方交于点M，与直线l交于点N，求.
23、已知函数.
（1）求不等式的解集;
（2）若，，求a的取值范围.
参考答案
1、答案：D
解析：由题意得，解得或，故.
2、答案：A
解析：为纯虚数，，.
3、答案：B
解析：.
4、答案：A
解析：由题意可得，，解得，.
5、答案：C
解析：由题意，，，将代入，可得，解得，线性回归直线方程为，将代入上式，.
6、答案：C
解析：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为x，则大圆锥母线长为，由相似得，即，可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为.
7、答案：B
解析：展开式所有项的二项式系数和为，故A错误;展开式共有8项，
第4项和第5项二项式系数最大，故B正确;令得所有项的系数和为，故C错误;，，，均小于0，，，，第3项的系数最大，故D错误.
8、答案：C
解析：设方程的四个根由小到大依次为，，，.不妨设的一根为1，则另一根为27，.由等比数列的性质可知，，等比数列，，，的公比为，，，由韦达定理得，.
9、答案：C
解析：如图，设点Q为的中心，则平面ABC，
，，.球心O在直线PQ上，连接AO，设球的半径为r，则，，在中，，解得，球O的表面积为.
10、答案：A
解析：如图，由题意得，，，，由椭圆定义可得，，在中，由勾股定理得，可得.
11、答案：D
解析：，关于对称为奇函数，由平移可得关于对称，且，函数是以4为周期的周期函数.，，，.
12、答案：A
解析：由可得，，，比较a和b，构造函数，当，，在上单调递增，故，即.同理比较b和c，构造函数，当，，在上单调递增，，即.综上，.
13、答案：1
解析：作出可行域，易得目标函数在点处取得最大值1.
14、答案：1或3或5或7（写出其中一个即可）
解析：由已知可得，，，，.在区间上单调，，结合的图象可得，，或3或5或7.
15、答案：
解析：.
16、答案：
解析：由题意知渐近线方程为，右焦点为，.由得;转一周所得几何体的体积等于底面积与截面面积相等，高为2的圆柱的体积，，即，，即，，解得，.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1），
（或）
，
，，或，解得或，
，，.
（2）由（1）知，，由正弦定理得，由余弦定理得，即，整理得，由得，.
18、答案：（1）
（2）64
（3）1587
解析：（1）由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖.
从该样本中随机抽取的2名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，
设“抽取的2名学生中恰有1名学生获奖”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为，
每个基本事件出现的可能性都相等，，即抽取的2名学生中恰有1名学生获奖的概率为.
（2）由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值
.
（3）由题意所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布.
，
故参赛学生中成绩超过78分的学生数为.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取DM中点O，连接，CO，则由已知可得，，，平面，，
，，
，平面DMN，
平面，平面平面DMN.
（2）由已知可求得，，，
，，以O为坐标原点，分别以OD，OC，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，.
设，则，
，，.
设平面DMN的一个法向量为，则，令，则.
易得平面CDM的一个法向量为.
设二面角的平面角为，由图可得为锐角，，解得或-1（舍去）.
.
20、答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）当时，，其定义域为，，
当时，;当时，，
在单调递增，在单调递减，
的极大值为，无极小值.
（2）由得，在上恒成立.
令，则，
令，易知在单调递增，
，，，使得，即，
当时，;当时，;
在单调递减，在上单调递增，.
由得，，，，
的取值范围是.
21、答案：（1）
（2）32
解析：（1）由已知可得，解得，抛物线C的方程为.
（2）设，，，
若轴，由得，，或，，此时不满足，不满足题意;设直线AB的方程为，直线MF的方程为，将代入抛物线方程得，，
，
将代入抛物线方程得①.
直线AM的斜率为，同理直线BM的斜率为.
，，，即②.
由①②解得，将其代入①可得，解得或，
当时，直线AB的方程为，，.
，满足.
同理可得，当时，直线AB的方程为，，，
，满足，，.
，
的面积为32.
22、答案：（1）；
（2）
解析：
（1）由，得，即.
故直线l的普通方程是.
由得，代入公式，得，，故曲线C的直角坐标方程是.
（2）由题可得射线（其中，且，）的直角坐标方程为.
联立，解得，则点.
联立解得，则点.
.
23、答案：（1）
（2）
解析：
①当时，，解得;
②当时，，解得;
③当时，，无解，
不等式的解集为.
（2），，，
由（1）知在递减，递增，递增，，，，解得
陕西省安康市2023届高三第三次质量联考数学（理）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2、若复数满足为纯虚数，则( )
A.-2 B. C. D.2
3、已知等差数列的前n项和为，，则( )
A.6 B.12 C.18 D.24
4、已知向量，，若与b共线，则( )
A. B. C. D.5
5、党的二十大报告提出全面推进乡村振兴.为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场.该特色产品的热卖黄金时段为2023年3月1至5月31日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年3月1日至3月5日时段的相关数据，这5天的第x天到该电商平台专营店购物人数y（单位：万人）的数据如下表：
日期
3月1日
3月2日
3月3日
3月4日
3月5日
第x天
1
2
3
4
5
人数y（单位：万人）
75
84
93
98
100
依据表中的统计数据，经计算得y与x的线性回归方程为.请预测从2023年3月1日起的第58天到该专营店购物的人数（单位：万人）为( )
A.440 B.441 C.442 D.443
6、羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为( )
A. B. C. D.
7、在的展开式中，下列说法正确的是( )
A.所有项的二项式系数和为1
B.第4项和第5项的二项式系数最大
C.所有项的系数和为128
D.第4项的系数最大
8、已知方程的四个根组成以1为首项的等比数列，则( )
A.8 B.12 C.16 D.20
9、已知正三棱雉的顶点都在球O的球面上，其侧棱与底面所成角为，且，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
10、已知椭圆的左，右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，，点到直线的距离为，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
11、定义在R上的函数满足，且为奇函数，则( )
A.-2023 B.-2022 C.2022 D.2023
12、若，则( )
A. B. C. D.
二、填空题
13、已知x，y满足约束条件，则的最大值是______.
14、已知函数的图象关于点对称，且在区间单调，则的一个取值是______.
三、解答题
15、已知函数，则______.
16、《九章算术》中记载了我国古代数学家祖胆在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖唨原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知双曲线的右焦点到渐近线的距离记为d，双曲线C的两条渐近线与直线，以及双曲线C的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕y轴旋较一周所得儿何体的体积为（其中），则双曲线C的离心率为______.
17、已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
（1）求A;
（2）若，，求的面积.
18、某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的样本频率分布直方图.
（1）现从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生中恰有1名学生获奖的概率;
（2）估计这100名学生的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;
（3）若该市共有10000名学生参加了竞赛，所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，试估计参赛学生中成绩超过78分的学生人数（结果四舍五人到整数）.附：若随机变量X服从正态分布，则，，.
19、如图1，四边形ABCD是梯形，，，M是AB的中点，将沿DM折起至，如图2，点N在线段上.
（1）若N是的中点，证明：平面平面;
（2）若，二面角的余弦值为，求的值.
20、已知函数.
（1）若，求函数的极值;
（2）若恒成立，求m的取值范围.
21、已知抛物线的焦点为.
（1）求抛物线C的方程;
（2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，M为抛物线C上的点，且，，求的面积.
22、在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
（2）若射线（其中，且，）与曲线C在x轴上方交于点M，与直线l交于点N，求.
23、已知函数.
（1）求不等式的解集;
（2）若，，求a的取值范围.
参考答案
1、答案：D
解析：由题意得，解得或，故.
2、答案：A
解析：为纯虚数，，.
3、答案：B
解析：.
4、答案：A
解析：由题意可得，，解得，.
5、答案：C
解析：由题意，，，将代入，可得，解得，线性回归直线方程为，将代入上式，.
6、答案：C
解析：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为x，则大圆锥母线长为，由相似得，即，可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为.
7、答案：B
解析：展开式所有项的二项式系数和为，故A错误;展开式共有8项，
第4项和第5项二项式系数最大，故B正确;令得所有项的系数和为，故C错误;，，，均小于0，，，，第3项的系数最大，故D错误.
8、答案：C
解析：设方程的四个根由小到大依次为，，，.不妨设的一根为1，则另一根为27，.由等比数列的性质可知，，等比数列，，，的公比为，，，由韦达定理得，.
9、答案：C
解析：如图，设点Q为的中心，则平面ABC，
，，.球心O在直线PQ上，连接AO，设球的半径为r，则，，在中，，解得，球O的表面积为.
10、答案：A
解析：如图，由题意得，，，，由椭圆定义可得，，在中，由勾股定理得，可得.
11、答案：D
解析：，关于对称为奇函数，由平移可得关于对称，且，函数是以4为周期的周期函数.，，，.
12、答案：A
解析：由可得，，，比较a和b，构造函数，当，，在上单调递增，故，即.同理比较b和c，构造函数，当，，在上单调递增，，即.综上，.
13、答案：1
解析：作出可行域，易得目标函数在点处取得最大值1.
14、答案：1或3或5或7（写出其中一个即可）
解析：由已知可得，，，，.在区间上单调，，结合的图象可得，，或3或5或7.
15、答案：
解析：.
16、答案：
解析：由题意知渐近线方程为，右焦点为，.由得;转一周所得几何体的体积等于底面积与截面面积相等，高为2的圆柱的体积，，即，，即，，解得，.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1），
（或）
，
，，或，解得或，
，，.
（2）由（1）知，，由正弦定理得，由余弦定理得，即，整理得，由得，.
18、答案：（1）
（2）64
（3）1587
解析：（1）由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖.
从该样本中随机抽取的2名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，
设“抽取的2名学生中恰有1名学生获奖”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为，
每个基本事件出现的可能性都相等，，即抽取的2名学生中恰有1名学生获奖的概率为.
（2）由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值
.
（3）由题意所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布.
，
故参赛学生中成绩超过78分的学生数为.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取DM中点O，连接，CO，则由已知可得，，，平面，，
，，
，平面DMN，
平面，平面平面DMN.
（2）由已知可求得，，，
，，以O为坐标原点，分别以OD，OC，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，.
设，则，
，，.
设平面DMN的一个法向量为，则，令，则.
易得平面CDM的一个法向量为.
设二面角的平面角为，由图可得为锐角，，解得或-1（舍去）.
.
20、答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）当时，，其定义域为，，
当时，;当时，，
在单调递增，在单调递减，
的极大值为，无极小值.
（2）由得，在上恒成立.
令，则，
令，易知在单调递增，
，，，使得，即，
当时，;当时，;
在单调递减，在上单调递增，.
由得，，，，
的取值范围是.
21、答案：（1）
（2）32
解析：（1）由已知可得，解得，抛物线C的方程为.
（2）设，，，
若轴，由得，，或，，此时不满足，不满足题意;设直线AB的方程为，直线MF的方程为，将代入抛物线方程得，，
，
将代入抛物线方程得①.
直线AM的斜率为，同理直线BM的斜率为.
，，，即②.
由①②解得，将其代入①可得，解得或，
当时，直线AB的方程为，，.
，满足.
同理可得，当时，直线AB的方程为，，，
，满足，，.
，
的面积为32.
22、答案：（1）；
（2）
解析：
（1）由，得，即.
故直线l的普通方程是.
由得，代入公式，得，，故曲线C的直角坐标方程是.
（2）由题可得射线（其中，且，）的直角坐标方程为.
联立，解得，则点.
联立解得，则点.
.
23、答案：（1）
（2）
解析：
①当时，，解得;
②当时，，解得;
③当时，，无解，
不等式的解集为.
（2），，，
由（1）知在递减，递增，递增，，，，解得
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