广东省2021-2023三年中考数学真题分类汇编

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广东省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．二元一次方程组的应用（共1小题）
1．（2022•广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
二．一次函数综合题（共1小题）
2．（2023•广东）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F．
（1）当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF；（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）若点A（4，3），求FC的长；
（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，连接FN．将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2．设S＝S1﹣S2，AN＝n，求S关于n的函数表达式．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
四．二次函数综合题（共2小题）
4．（2022•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．

5．（2021•广东）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
五．正方形的性质（共1小题）
6．（2023•广东）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒．
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：（1）直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
（2）证明（1）中你发现的结论．

六．圆的综合题（共2小题）
7．（2023•广东）综合探究
如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．
（1）求证：AA'⊥CA'；
（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．
①如图2，⊙O与CD相切，求证：；
②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．

8．（2021•广东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．
（1）求证：CF⊥FB；
（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；
（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积．

七．作图—复杂作图（共1小题）
9．（2023•广东）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝30°．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长．

八．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
10．（2021•广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．


广东省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二元一次方程组的应用（共1小题）
1．（2022•广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
【答案】学生有7人，该书单价53元．
【解答】解：设学生有x人，该书单价y元，
根据题意得：，
解得：．
答：学生有7人，该书单价53元．
二．一次函数综合题（共1小题）
2．（2023•广东）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F．
（1）当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF；（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）若点A（4，3），求FC的长；
（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，连接FN．将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2．设S＝S1﹣S2，AN＝n，求S关于n的函数表达式．
【答案】（1）当旋转角为22.5°时，OE＝OF；
（2）FC的长为；
（3）S关于n的函数表达式为．
【解答】解：（1）当OE＝OF时，
在Rt△AOE和Rt△COF中，
，
∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL），
∴∠AOE＝∠COF（即∠AOE＝旋转角），
∴2∠AOE＝45°，
∴∠COF＝∠AOE＝22.5°，
∴当旋转角为22.5°时，OE＝OF；

（2）过点A作AG⊥x轴于点G，则有AG＝3，OG＝4，

∴，
∵四边形OABC是正方形，
∴OC＝OA＝5，∠AOC＝∠C＝90°，
又∵∠COF+∠FOA＝90°，∠AOG+∠FOA＝90°，
∴∠COG＝∠GOA，
∴Rt△AOG∽Rt△FOC，
∴，
∴，
∴FC的长为；

（3）过点N作直线PQ⊥BC于点P，交OA于点Q，

∵四边形OABC是正方形，
∴∠BCA＝∠OCA＝45°，BC∥OA，
又∠FON＝45°，
∴∠FCN＝∠FON＝45°，
∴F、C、O、N四点共圆，
∴∠OFN＝∠OCA＝45°，
∴∠OFN＝∠FON＝45°，
∴△FON是等腰直角三角形，
∴FN＝NO，∠FNO＝90°，
∴∠FNP+∠ONQ＝90°，

又∵∠NOQ+∠ONQ＝90°，
∴∠NOQ＝∠FNP，
∴△NOQ≌△FNP（AAS），
∴NP＝OQ，FP＝NQ，
∵四边形OQPC是矩形，
∴CP＝OQ，OC＝PQ，
∴，
＝，
，
＝，
＝，
＝，
∴，
又∵△ANQ为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴S关于n的函数表达式为．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【答案】（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2）y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利润为1750元．
【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，
则，
解得：a＝40，经检验a＝40是方程的解，
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，
（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，
当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，
∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，
配方，得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵x＜70时，y随x的增大而增大，
∴当x＝65时，y取最大值，最大值为：﹣2×（65﹣70）2+1800＝1750（元）．
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利润为1750元．
四．二次函数综合题（共2小题）
4．（2022•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）．
【解答】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，
∴B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；

（2）过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，

设P（m，0），则PA＝1﹣m，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴C（﹣1，﹣4），
∴CF＝4，
∵PQ∥BC，
∴△PQA∽△BCA，
∴，即，
∴QE＝1﹣m，
∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA
＝PA•CF﹣PA•QE
＝（1﹣m）×4﹣（1﹣m）（1﹣m）
＝﹣（m+1）2+2，
∵﹣3≤m≤1，
∴当m＝﹣1时 S△CPQ有最大值2，
∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）．
5．（2021•广东）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，N点的坐标为（1，0）或（5，0）或（，0）或（﹣2﹣，0）．
【解答】解：（1）不妨令4x﹣12＝2x2﹣8x+6，解得：x1＝x2＝3，
当x＝3时，4x﹣12＝2x2﹣8x+6＝0．
∴y＝ax2+bx+c必过（3，0），
又∵y＝ax2+bx+c过（﹣1，0），
∴，解得：，
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a，
又∵ax2﹣2ax﹣3a≥4x﹣12，
∴ax2﹣2ax﹣3a﹣4x+12≥0，
整理得：ax2﹣2ax﹣4x+12﹣3a≥0，
∴a＞0且Δ＝0，
∴（2a+4）2﹣4a（12﹣3a）＝0，
∴（a﹣1）2＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3．
∴该二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）存在，理由如下：
令y＝x2﹣2x﹣3中y＝0，得x＝3，则A点坐标为（3，0）；
令x＝0，得y＝﹣3，则点C坐标为（0，﹣3）．
设点M坐标为（m，m2﹣2m﹣3），N（n，0），
根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式可得：
①当AC为对角线时，，
即，解得：m1＝0（舍去），m2＝2，
∴n＝1，即N1（1，0）．
②当AM为对角线时，，
即，解得：m1＝0（舍去），m2＝2，
∴n＝5，即N2（5，0）．
③当AN为对角线时，，
即，解得：m1＝1+，m2＝1﹣，
∴n＝或﹣2﹣，
∴N3（，0），N4（﹣2﹣，0）．
综上所述，N点坐标为（1，0）或（5，0）或（，0）或（﹣2﹣，0）．
五．正方形的性质（共1小题）
6．（2023•广东）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒．
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：（1）直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
（2）证明（1）中你发现的结论．

【答案】（1）∠ABC＝∠A1B1C1；
（2）证明过程见解答．
【解答】解：（1）∠ABC＝∠A1B1C1；
（2）∵A1B1为正方形对角线，
∴∠A1B1C1＝45°，
设每个方格的边长为1，
则AB＝＝，
AC＝BC＝＝，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠A1B1C1．
六．圆的综合题（共2小题）
7．（2023•广东）综合探究
如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．
（1）求证：AA'⊥CA'；
（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．
①如图2，⊙O与CD相切，求证：；
②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．

【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）①证明过程详见解答；
②．
【解答】（1）证明：∵点A关于BD的对称点为A′，
∴AE＝A′E，AA′⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
∴OE∥A′C，
∴AA′⊥CA′；
（2）①证明：如图2，
设CD⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长交AB于点G，
∴OF⊥CD，OF＝OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD＝BD，AB∥CD，AC＝BD，OA＝AC，
∴OG⊥AB，∠FDO＝∠BOG，OA＝OB，
∴∠GAO＝∠GBO，
∵∠DOF＝∠BOG，
∴△DOF≌△BOG（ASA），
∴OG＝OF，
∴OG＝OE，
由（1）知：AA′⊥BD，
∴∠EAO＝∠GAO，
∵∠EAB+∠GBO＝90°，
∴∠EAO+∠GAO+∠GBO＝90°，
∴3∠EAO＝90°，
∴∠EAO＝30°，
由（1）知：AA′⊥CA′，
∴tan∠EAO＝，
∴tan30°＝，
∴；
②解：如图3，
设⊙O切CA′于点H，连接OH，
∴OH⊥CA′，
由（1）知：AA′⊥CA′，AA′⊥CA′，OA＝OC，
∴OH∥AA′，OE∥CA′，
∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′，
∴，
∴AA′＝2OH，CA′＝2OE，
∴AA′＝CA′，
∴∠A′AC＝∠A′CA＝45°，
∴∠AOE＝∠ACA′＝45°，
∴AE＝OE，OD＝OA＝AE，
设AE＝OE＝x，则OD＝OA＝，
∴DE＝OD﹣OE＝（）x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
＝1，
∴x2＝，
∴S⊙O＝π•OE2＝．

8．（2021•广东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．
（1）求证：CF⊥FB；
（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；
（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积．

【答案】（1）（2）证明见解答；（3）
【解答】（1）证明：∵CD＝DF，
∴∠DCF＝∠DFC，
∵EF∥CD，
∴∠DCF＝∠EFC，
∴∠DFC＝∠EFC，
∴∠DFE＝2∠EFC，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵CD∥EF，CD∥AB，
∴AB∥EF，
∴∠EFB＝∠AFB，
∴∠AFE＝2∠BFE，
∵∠AFE+∠DFE＝180°，
∴2∠BFE+2∠EFC＝180°，
∴∠BFE+∠EFC＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴CF⊥BF；

（2）证明：如图1，取AD的中点O，过点O作OH⊥BC于H，
∴∠OHC＝90°＝∠ABC，
∴OH∥AB，
∵AB∥CD，
∴OH∥AB∥CD，
∵AB∥CD，AB≠CD，
∴四边形ABCD是梯形，
∴点H是BC的中点，
∴OH＝（AB+CD），
连接CO并延长交BA的延长线于G，
∴∠G＝∠DCO，
∵∠AOG＝∠DOC，OA＝OD，
∴△AOG≌△DOC（AAS），
∴AG＝CD，OC＝OG，
∴OH是△BCG的中位线，
∴OH＝BG＝（AB+AG）＝（AF+DF）＝AD，
∵OH⊥BC，
∴以AD为直径的圆与BC相切；

（3）如图2，
由（1）知，∠DFE＝2∠EFC，
∵∠DFE＝120°，
∴∠CFE＝60°，
在Rt△CEF中，EF＝2，∠ECF＝90°﹣∠CFE＝30°，
∴CF＝2EF＝4，
∴CE＝＝2，
∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠ECD＝∠CEF＝90°，
过点D作DM⊥EF，交EF的延长线于M，
∴∠M＝90°，
∴∠M＝∠ECD＝∠CEF＝90°，
∴四边形CEMD是矩形，
∴DM＝CE＝2，
过点A作AN⊥EF于N，
∴四边形ABEN是矩形，
∴AN＝BE，
由（1）知，∠CFB＝90°，
∵∠CFE＝60°，
∴∠BFE＝30°，
在Rt△BEF中，EF＝2，
∴BE＝EF•tan30°＝，
∴AN＝，
∴S△ADE＝S△AEF+S△DEF
＝EF•AN+EF•DM
＝EF（AN+DM）
＝×2×（+2）
＝．


七．作图—复杂作图（共1小题）
9．（2023•广东）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝30°．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长．

【答案】（1）见作图；（2）6﹣2．
【解答】解：（1）如图E即为所求作的点；
（2）∵cos∠DAB＝，
∴AE＝AD•cos30°＝4×＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2．

八．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
10．（2021•广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．

【答案】．
【解答】解：延长BF交CD于H，连接EH．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠D＝∠DAB＝90°，AD＝CD＝AB＝1，
∴AC＝＝＝，
由翻折的性质可知，AE＝EF，∠EAB＝∠EFB＝90°，∠AEB＝∠FEB，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE＝EF，
∵∠D＝∠EFH＝90°，
在Rt△EHD和Rt△EHF中，
，
∴Rt△EHD≌Rt△EHF（HL），
∴∠DEH＝∠FEH，
∵∠DEF+∠AEF＝180°，
∴2∠DEH+2∠AEB＝180°，
∴∠DEH+∠AEB＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠DEH＝∠ABE，
∴△EDH∽△BAE，
∴＝＝，
∴DH＝，CH＝，
∵CH∥AB，
∴＝＝，
∴CG＝AC＝．