第03讲 基本不等式(逐级突破）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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第03讲 基本不等式 (精练（分层练习）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·山西忻州·统考模拟预测）已知，则的最小值是（    ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【详解】因为，所以
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为.
故选：D
2．（2023春·新疆省直辖县级单位·高一校考开学考试）若，，且，则的最大值为（    ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【详解】因为，，且，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为9.
故选:D.
3．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）函数的最小值是（    ）
A．4 B．5 C．6 D．2
【答案】C
【详解】因为，所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以函数的最小值是.
故选：C.
4．（2023春·湖南邵阳·高一统考阶段练习）设，，若，则的最小值为（    ）
A． B．4 C．9 D．
【答案】D
【详解】
，
当且仅当时等号成立.
故选：D
5．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）若，且a≠b，则中的最大值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
根据基本不等式可知，当且仅当时等号成立，
因为，所以；同理，
综上所述，上述四个式子中最大值为.
故选：A
6．（2023秋·云南·高二统考期末）已知，则取得最小值时，（    ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【详解】∵，则，
∴，
当且仅当，即当时，等号成立.
故选：C.
7．（2023秋·河北承德·高一统考期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ）
A．6 B．5 C．12 D．10
【答案】B
【详解】因为，所以，而，
，当且仅当，即时，等号成立.
故选：B
8．（2023·甘肃武威·统考一模）随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资g（x）万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（    ）
A．1500万元 B．2100万元 C．2200万元 D．3800万元
【答案】C
【详解】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为（万元），由题意可知，
，
即，
当时，的对称轴，则；
当时，，当且仅当时，取得最大值2200.
综上，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为2200万元.
故选：C.

二、多选题
9．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）下列说法中，正确的有（    ）
A．若，则
B．若，则
C．若对恒成立，则实数m的最大值为2
D．已知，且，则的最小值为
【答案】ACD
【详解】对于A：，，左右两边同时乘以得，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，时等号成立，要使恒成立，
则，即，故实数m的最大值为2，故C正确；
对于D：，，时等号成立想，
故的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
10．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下面结论正确的是（    ）
A．若，则
B．若，则有最小值
C．若，则
D．若，则有最大值1
【答案】ABD
【详解】对于A，，则，即，A正确；
对于B，，，则，
当且仅当，即时取等号，B正确；
对于C，，由得：，有，则，C不正确；
对于D，，，则，当且仅当时取等号，D正确.
故选：ABD
三、填空题
11．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知，，若，则的最小值为______．
【答案】
【详解】由得，则，
所以，当且仅当，即，时，取得最小值为．
故答案为：
12．（2023秋·河北唐山·高一统考期末）已知正数满足，则的最小值为_______．
【答案】9
【详解】对于正数,有,当且仅当时取得等号，
故由得，即，
所以，故或（舍去）,
故，即的最小值为9，当且仅当时取最小值，
故答案为：9
四、解答题
13．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知.
(1)求的最小值；
(2)求的最小值；
(3)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）（法一）.
当即时取等号，所以.
（法二）

当即时取等号，所以.
（2）因为，所以，
所以
，
当即时取等号，
所以.
（3）由得，
所以.
当即时取等号.
所以，.
14．（2023秋·河北承德·高一统考期末）已知函数.
(1)当时，求在上的最小值；
(2)若，求的取值范围，并求的最大值.
【答案】(1)8
(2)的取值范围为，的最大值为
【详解】（1）当时，，
当时，.
当且仅当，即时，等号成立.
所以在上的最小值为8.
（2）因为，所以，解得，
所以，所以.
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最大值为.
综上所述：的取值范围为，的最大值为.
15．（2023秋·湖南永州·高一统考期末）如图为2022年卡塔尔足球世界杯吉祥物,其设计灵感来自于卡塔尔人的传统服饰,寓意自信与快乐,现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此吉祥物,已知生产这种吉祥物的年固定成本为20万元,每生产千件需另投入资金万元,其中与之间的关系为:,且函数的图象过,,三点,通过市场分析,当每千件吉祥物定价为10万元时,该厂年内生产的此吉祥物能全部销售完.

(1)求a,b,c的值,并写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂所获年利润最大?并求出最大年利润.
【答案】(1);
(2)产量为（千件）时,利润最大为（万元）
【详解】（1）解:将,,三点代入中有:
,解得,
故,
由题知;
（2）由(1)知,
当时,,
所以当（千件）时,（万元）,
当时,
,
当且仅当,即（千件）时取等,
所以（万元）,
综上: 当（千件）时,（万元）
所以当年产量为24千件时,该厂的年利润最大,最大年利润76万元.
B能力提升
1．（2023秋·浙江宁波·高一统考期末）已知，，则（    ）
A．的最大值为且的最大值为
B．的最大值为且的最小值为0
C．的最小值为且的最大值为
D．的最小值为且的最小值为0
【答案】C
【详解】利用，则，整理得，
当且仅当，即时取得等号，即的最小值为；
利用，，即，整理得，即，
当且仅当时取得等号，故的最大值为.
故选：C
2．（多选）（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知，，且，则下列说法正确的是（    ）
A．的最大值为 B．的最小值为8
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】ABD
【详解】，且，
对于A，，解得，当且仅当，即时取等号，A正确；
对于B，，当且仅当取等号，B正确；
对于C，，
当且仅当，即时取等号，C错误；
对于D，由得，令，
则，其中锐角由确定，显然，
因此当时，，D正确.
故选：ABD
3．（多选）（2023秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）设，已知，则下列说法正确的是（    ）
A．有最小值 B．没有最大值
C．有最大值为 D．有最小值为
【答案】ABD
【详解】时正确，
时，则错误，D正确；
故选：ABD.
4．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知，，，则的最小值为__________．
【答案】12
【详解】由题意，，，
则，
当且仅当，即时取等号，
即的最小值为12，
故答案为：12
C综合素养
1．（2023秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）当，时，则的最小值是__________．
【答案】
【详解】，且，而函数在上单调递增，
，即，且，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故答案为：

2．（2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知，分别是方程和的根，若，实数a，，则的最小值为（    ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【详解】；.
函数与函数的图象关于直线对称，
由解得，设，
则，即，
，
令，则，
则
，
当且仅当时等号成立.
故选：D
3．（2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）若，且，的最小值为m，的最大值为n，则mn为___________，
【答案】
【详解】由可得，
由可得，，
所以
，
当且仅当时，等号成立；
即的最小值为；
，
所以，即；
当且仅当时，等号成立；
即的最大值为；
所以.
故答案为：