第11讲拓展四：导数中的隐零点问题(讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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第11讲 拓展四：导数中的隐零点问题 (精讲）

第一部分：知识点必背
1、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：
①关系式成立；②注意确定的合适范围.
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.
① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若，那么在不一定有零点
③ 若在有零点，则不一定必须异号
(2)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.
第二部分：高频考点一遍过
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.







例题2．（2023·江西南昌·统考一模）已知函数．
(1)若时，函数有2个极值点，求的取值范围；
(2)若，，方程有几个解？








例题3．（2023·青海西宁·统考一模）已知函数.
(1)若，证明：存在唯一的极值点.
(2)若，求的取值范围.







例题4．（2023·上海·高三专题练习）已知函数．
(1)设，求在 上的最大值；
(2)当时，求证：．







例题5．（2023秋·山东青岛·高二青岛二中校考期末）已知函数，．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)设，若，，都有，求实数的取值范围．





练透核心考点
1．（2023秋·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知函数（k为常数，且）．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若函数在区间上存在极值，求实数k的取值范围．







2．（2023·贵州·校联考二模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论在上的单调性．









3．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知函数
(1)若，求的极小值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，恒成立，求的最大整数值．








4．（2023秋·天津·高三统考期末）设函数，，，已知曲线在点处的切线与直线垂直．
(1)求a的值；
(2)求的单调区间；
(3)若对成立，求b的取值范围．








5．（2023春·宁夏·高三六盘山高级中学校考开学考试）已知函数．
(1)若，求的极小值．
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，证明：有且只有个零点．