高考圆锥曲线题型专题分析——第八节 直线与圆锥曲线问题（全国通用）

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第八节 直线与圆锥曲线问题


知识点归纳
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点.
(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).
①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离.
②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.
2.圆锥曲线的弦长公式
设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝
或|AB|＝
＝ ，k为直线斜率且k≠0.
[常用结论]
与椭圆有关的结论：
(1)通径的长度为；
(2)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－；
(3)若点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1.

题型归类
题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断
例1 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点.





感悟提升　在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形.

题型二 弦的有关问题
角度1　焦点弦
例2 (2023·武汉质检)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为________.










角度2　中点弦
例3 已知P(1，1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________.







角度3　一般弦
例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.

(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程.











感悟提升　1.弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.
2.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
①|AB|＝|x1－x2|＝；
②|AB|＝|y1－y2|(k≠0)＝.

题型三 圆锥曲线的切线问题
例5 已知椭圆＋＝1，直线l：4x－5y＋40＝0，椭圆上是否存在一点，使得
它到直线l的距离最小或最大？并求最小值与最大值？





感悟提升　1.处理圆锥曲线的切线问题的常用方法为代数法，即联立直线与圆锥曲线的方程，根据Δ＝0来求解.
2.(1)过椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1；
(2)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上一点P(x0，y0)的切线方程为－＝1；
(3)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)的切线方程为y0y＝p(x＋x0).

题型四 　直线与圆锥曲线的综合
例6 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P(1，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为(O为坐标原点)，求直线l的方程.





感悟提升　(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解.
(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.

课时作业

一、单选题
1．P为椭圆上一点，、为左右焦点，若则△的面积为
A． B． C．1 D．3
2．若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为（    ）
A．0 B．1
C．2 D．需根据a，b的取值来确定
3．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ）
A． B． C． D．
4．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，又直线与圆交于，两点.若，则的值为（    ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线的焦点为F，若斜率为的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则线段的中点到准线的距离为（    ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则△的面积为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
7．若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则C的准线可能是（    ）．
A． B．
C． D．
8．已知，分别是椭圆：的左､右焦点，在上，为坐标原点，若，的面积为1，则（    ）
A．椭圆的离心率为 B．点在椭圆上
C．的内切圆半径为 D．椭圆上的点到直线的距离小于2

三、填空题
9．已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则______.
10．已知P(x，y)是椭圆上的一个动点，则x＋y的最大值是________．
11．已知椭圆的离心率为，上顶点为A，左顶点为B，，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为_______．
12．正方形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在直线上，则正方形的面积为______．

四、解答题
13．已知直线与抛物线.
(1)若直线与抛物线相切，求实数的值；
(2)若直线与抛物线相交于两点，且，求直线的方程；
14．已知椭圆的右焦点为，为短轴的一个端点，且，的面积为1（其中为坐标原点）．

（1）求椭圆的方程；
（2）若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，证明：为定值．
15．已知双曲线：（，）的离心率为，右焦点到的一条渐近线的距离为1.
(1)求的标准方程；
(2)过点的直线与交于，两点，点在上，且线段轴.问：直线是否经过轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由.
16．椭圆的左、右焦点分别是，且点在上，抛物线与椭圆交于四点
（I）求的方程；
（Ⅱ）试探究坐标平面上是否存在定点，满足?（若存在，求出的坐标；若不存在，需说明理由.）