高考圆锥曲线题型专题分析——第二讲 两直线的位置关系（全国通用）

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第二节 两直线间的位置关系
知识框架

知识点归纳
1.两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线)的位置关系如下表：
位置关系
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0
垂直
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
2.直线的交点与方程组解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2)两直线的位置关系与方程组解的关系
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝.
4.对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′.
[常用结论]
对于直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0：
(1)“两直线平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”；
(2)“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”.

题型归类
题型一 两直线的平行与垂直
例1 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值.
解　(1)法一　由A1B2－A2B1＝0，
得a(a－1)－1×2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，
所以l1∥l2⇔⇒可得a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2.
法二　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，
l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1：
y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
l1∥l2⇔
解得a＝－1，
综上，当a＝－1时，l1∥l2.
(2)法一　由A1A2＋B1B2＝0，
得a＋2(a－1)＝0，可得a＝.
法二　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，
l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，
l1不垂直于l2，故a＝0不成立；
当a≠1且a≠0时，l1：y＝－x－3，
l2：y＝x－(a＋1)，
由·＝－1，得a＝.
感悟提升　1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.

题型二 两直线的交点与距离问题
例2 (1)直线l经过原点，且经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为________________.
答案　2x－y＝0
解析　法一　联立方程解得
所以两直线的交点为(－1，－2)，
所以直线l的斜率为＝2，
则直线l的方程为2x－y＝0.
法二　设所求直线l的方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0(λ∈R)，
因为直线l经过原点，所以2×0＋3×0＋8＋λ(0－0－1)＝0，解得λ＝8.
所以直线l的方程为2x－y＝0.
(2)已知直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________________.
答案　4x－y－2＝0或x＝1
解析　若所求直线的斜率存在，则可设其方程为y－2＝k(x－1)，
即kx－y－k＋2＝0，
由题设有＝，
即|k－1|＝|7－k|，解得k＝4.
此时直线方程为4x－y－2＝0.
若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题设条件.
故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1.
感悟提升　(1)求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.

题型三 对称问题
角度1　关于点对称
例3 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________.
答案　x＋4y－4＝0
解析　设l1与l的交点为A(a，8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，
即点A(4，0)在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
角度2　关于线对称
例4 (1)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.
答案　6x－y－6＝0
解析　设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以解得a＝1，b＝0.
又反射光线经过点N(2，6)，
所以所求直线的方程为＝，
即6x－y－6＝0.
(2)在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点.光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示).若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为________.

答案　
解析　以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

由题意可知B(4，0)，C(0，4)，A(0，0)，
则直线BC的方程为x＋y－4＝0.
设P(t，0)(0＜t＜4)，可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4，4－t)，
点P关于y轴的对称点P2的坐标为(－t，0)，
根据反射定律可知直线P1P2就是光线RQ所在的直线，
由P1，P2两点的坐标可得直线P1P2的方程为y＝·(x＋t).
设△ABC的重心为G，易知G.
因为重心G在光线RQ上，
所以＝·，得t＝(t＝0舍去)，
即|AP|＝.
感悟提升　对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.

题型四 直线系方程的应用

角度1　与平行、垂直有关的直线系
例5 (1)过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为________________.
答案　2x＋3y＋10＝0
解析　设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，由题意知2×1＋3×(－4)＋c＝0，解得c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
(2)经过点A(2，1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为________________.
答案　x－2y＝0
解析　因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，
所以设该直线方程为x－2y＋c＝0.
又直线过点A(2，1)，
所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，
故所求直线方程为x－2y＝0.
角度2　过两直线交点的直线系
例6 已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.
解　法一　解l1与l2组成的方程组得到交点P(0，2)，
因为k3＝，所以直线l的斜率k＝－，
所以直线l的方程为y－2＝－x，
即4x＋3y－6＝0.
法二　设所求直线l的方程为4x＋3y＋c＝0，
由法一可知P(0，2)，将其代入方程，得c＝－6，
所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
法三　设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
因为直线l与l3垂直，
所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，
所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
感悟提升　几种常见的直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m≠C).
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0.
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.

课时训练
一、单选题
1．若直线a，b的斜率分别为方程x2－4x－1＝0的两个根，则a与b的位置关系为(　　)
A.互相平行 B.互相重合
C.互相垂直 D.无法确定
答案　C
解析　由根与系数的关系得ka·kb＝－1，
则a与b互相垂直.

2．已知直线，直线的交点为A，O为坐标原点，则点A到原点的距离AO的长度为（   ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】解方程组得点A的坐标，再利用两点间距离公式计算即得.
【详解】解方程组得，即直线与直线的交点，而O为坐标原点，
则，
所以点A到原点的距离AO的长度为.
故选：C
3．点(1,1)到直线x＋y－1＝0的距离为(　　)
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】直接利用点到直线的距离公式求解即可
【详解】由点到直线的距离公式
故选
【点睛】本题主要考查的是点到直线的距离公式，属于基础题
4．已知是直线：上一动点，、是圆：的两条切线，切点分别为、，若四边形的最小面积为，则（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意四边形的面积为==，根据面积的最小值，得到的最小值，再转化为点到直线的距离，即可解决问题.
【详解】由，即.
所以圆的圆心,半径为1.
根据条件、是圆的两条切线,如图：

则为两个全等的直角三角形.
所以四边形的面积为==
显然当最小时，四边形的面积最小.
由四边形的最小面积为,即=2.
即的最小值.
又是直线：上一动点.
所以的最小值为点到直线的距离： .
解得：.
故选： C.
【点睛】考查圆的切线的性质，点到直线的距离，本题找到四边形的面积最小的条件是解题的关键，结合图像分析，体现数形结合思想，属于中档题.
5．过定点的直线与过定点的直线交于点，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出定点，的坐标，再分和两种情况讨论，可判断两直线垂直，由即可求解.
【详解】由可得：，
由可得，所以定点，
直线可化为，
由可得，所以定点，
当时，直线方程为，，此时两直线垂直，
当时，由两直线的斜率之积为可知两直线垂直，
所以，所以，
故选：C.
6．设，为不同的两点，直线.记，则下列结论中正确的个数是（ ）
①不论为何值，点都不在直线上；
②若，则过的直线与直线相交；
③若，则直线经过的中点.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个.
【答案】C
【分析】①通过分母不为0，确定，可以判断①的对错；②③通过对条件整理变形，利用直线的相关性质判断.
【详解】因为，分母不为0，所以，所以不论为何值，点都不在直线上，①正确；
当时，设，（），则，为直线上的两个点，显然直线与直线平行，故过的直线与直线不会相交，②错误；
当时，设，整理得：，因为，，所以的中点坐标为，故若，则直线经过的中点.③正确；正确的个数为2个
故选：C

二、多选题
7．“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点，的曼哈顿距离为．若点，Q是圆上任意一点，则的取值可能为（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】ABC
【分析】结合曼哈顿距离的定义以及三角换元进行分析，由此确定正确选项.
【详解】依题意圆，
设，


当时，，
，，，
当时，,
，，.
综上所述，，ABC选项符合，D选项不符合.
故选：ABC
8．已知圆与直线，则下列说法中正确的是（    ）
A．若直线与圆相交，则
B．若直线与圆相切，则切线长为4
C．当直线与圆的相交弦最长时，
D．当圆心到直线的距离取最大值时，
【答案】ACD
【分析】A.由圆心到直线距离小于半径，列出不等式即可求得；B.先求出两切线交点到圆心的距离，然后利用勾股定理，即可求得；C.当直线与圆相交的弦最长时，此时直线经过圆心，代入圆心到直线方程，即可求得；D.当直线定点与圆心相连的直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，由两直线斜率之积为，列出等式即可求得.
【详解】，即，是以为圆心，以 1为半径的圆.
A.若直线与圆相交，则圆心到直线距离小于半径，即，解得，故正确；
B.因为直线与圆相切，所以圆心到直线距离等于半径，即，解得，所以两切线方程为，则它们的交点到圆心的距离，所以切线长，故错误；
C. 当直线与圆的相交的弦最长时，直线经过圆心，把圆心代入，得，故正确；
D. 因为直线恒过定点，圆心为，当圆心到直线的距离取最大值时，直线与直线垂直，此时，则直线的斜率为，所以，得，故正确.
故选：ACD

三、填空题
9．已知抛物线，若点到其焦点的距离是5，则___________.
【答案】4
【分析】由题意得抛物线焦点坐标为，根据两点间距离公式，即可得答案.
【详解】由题意得抛物线焦点坐标为，
所以点到其焦点的距离为，
解得或（舍）.
故答案为：4
10．已知直线l经过2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，则点A(5,0)到l的距离的最大值为________．
【答案】
【分析】先求出交点坐标，进而求出点A(5,0)到l的距离的最大值.
【详解】联立方程，解得：，故交点坐标为，直线l经过点，则点A(5,0)到l的距离的最大值为AB的长，且,
故答案为：
11．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线相交于P点（点P与点不重合），则的面积的最大值为_________．
【答案】1
【分析】由题知，，，且两动直线互相垂直，P点的轨迹是以AB为直径的圆，P点到AB的距离的最大值为圆的半径，从而求得面积的最大值.
【详解】由题知，，，，且两动直线互相垂直，
则，P点的轨迹是以AB为直径的圆，
则P点到AB的距离的最大值为
故面积的最大值为
故答案为：1
12．已知点P是x轴上的任意一点，，，则的最小值为_________.
【答案】/
【分析】如图，过B点作倾斜角为的直线，过点P作，则，从而得，然后利用点到直线的距离公式求出A到直线的距离，进而可求出的最小值，
【详解】如图，过B点作倾斜角为的一条直线，过点P作于，则，即，
所以，A到直线的距离，
因此的最小值为.
故答案为：


四、解答题
13．求过点，圆心在直线上，且与直线相切的圆的方程．
【答案】．
【分析】设圆心、半径为r，根据圆心的位置、圆上的点坐标及直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程组求参数，写出圆的方程.
【详解】设圆心坐标为，半径为r，
由题意得：，解得，
故所求圆的方程为．
14．求直线关于直线对称的直线的一般式方程.
【答案】.
【分析】先求得两直线的交点，设所求得的直线方程为，运用对称的性质和点到直线的距离公式建立方程，解之可得答案.
【详解】由，可得交点为（2，0），
所以可设所求直线的方程为，即.
点（3，2）为直线上一点，所以，
解得（舍去）或.
所以所求直线的方程为，即.
故答案为：.
15．已知A（3，1），B（-1，2），若的平分线在上，求AC所在的直线方程．
【答案】
【分析】设点关于直线对称的点，，，则由题条件可求出．所以直线的方程为．由此知．从而得到直线的方程．
【详解】解：设点关于直线对称的点，，
则，解得，即．
所以直线的斜率为.
所以直线的方程为.
直线的方程为．
由得，
解得．
所以直线的斜率为.
所以直线的方程为
直线的方程为．
16．已知的顶点，AB边上的高所在的直线方程为．
(1)求直线AB的方程；
(2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．
①角A的平分线所在直线方程为
②BC边上的中线所在的直线方程为
______，求直线AC的方程．
【答案】(1)；
(2)若选①：直线AC的方程为；若选②：直线AC的方程为.

【分析】（1）由两直线垂直时，其斜率间的关系求得直线AB的斜率为，再由直线的点斜式方程可求得答案；
（2）若选①：由，求得点，再求得点B关于的对称点，由此可求得直线AC的方程；
若选②：由，求得点，设点，由BC的中点在直线上，和点C在直线上，求得点，由此可求得直线AC的方程.
【详解】（1）解：因为AB边上的高所在的直线方程为，所以直线AB的斜率为，
又因为的顶点，所以直线AB的方程为：，
所以直线AB的方程为： ；
（2）解：若选①：角A的平分线所在直线方程为，
由，解得，
所以点，
设点B关于的对称点，则，解得，所以，
又点在直线AC上，所以，
所以直线AC的方程为，
所以直线AC的方程为；
若选②：BC边上的中线所在的直线方程为，
由，解得，所以点，
设点，则BC的中点在直线上，所以，即，所以点C在直线上，
又点C在直线上，由解得，即，
所以，
所以直线AC的方程为，
所以直线AC的方程为.