高考圆锥曲线题型专题分析——第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系（全国通用）

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第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
知识点归纳
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.

位置关系
相离
相切
相交
图形



量化
方程观点

Δ＝0

几何观点

d＝r

2.圆与圆的位置关系
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，
则圆心距d＝|C1C2|＝ .
则两圆C1，C2有以下位置关系：
位置关系
外离
内含
相交
内切
外切
圆心距与半径的关系
d>r1＋r2



d＝r1＋r2
图示





公切线条数
4



3
[常用结论]
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝·.


题型归类
题型一 　直线与圆的位置关系
例1 (1)已知直线l：xcos α＋ysin α＝1(α∈R)与圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)相交，则r的取值范围是(　　)
A.0＜r≤1 B.0＜r＜1
C.r≥1 D.r＞1


(2)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定



感悟提升　判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

题型二 圆的弦长、切线问题
角度1　弦长问题
例2 (1)已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点.若|AB|＝6，则r的值为__________.




(2)已知圆C的圆心为直线x＋y＝0与x－y＋2＝0的交点，半径为，且圆C截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数m＝________.




感悟提升　弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得到方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，得到根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
角度2　切线问题
例3 (1)过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为______________________________.




(2)(2023·衡水模拟)已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于________.









感悟提升　求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
角度3　最值(范围)问题
例4 已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，点A是直线x－y＋2＝0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围为________.






感悟提升　涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.

题型三 　圆与圆的位置关系
例5 已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.










感悟提升　1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.

题型四 阿波罗尼斯圆问题
若点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|，则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ＞0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆.
例6 (1)已知点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为，求点M的轨迹方程.




(2)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.


训练 (1)已知平面直角坐标系中，A(－2，0)，B(2，0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心坐标为________.


(2)已知圆O：x2＋y2＝1和点A，若定点B(b，0)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝________，△MAB面积的最大值为________.



课时训练


一、单选题
1．已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是
A．相交 B．相离 C．内切 D．外切
2．直线截圆所得的线段长为（    ）
A．2 B． C．1 D．
3．已知直线过点，则（    ）
A． B．
C． D．
4．以圆C1：与圆C2：的公共弦为直径的圆的方程为（  ）
A． B．
C． D．
5．设直线与圆交于，两点，若圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在圆的劣弧上，则圆的半径的最大值是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知圆的弦的中点，点，则的面积为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
7．已知，圆，，则（    ）
A．两圆可能外离 B．两圆可能相交
C．两圆可能内切 D．两圆可能内含
8．已知圆，点是圆上的动点，则下列说法正确的有（    ）
A．圆关于直线对称 B．直线与的相交弦长为
C．的最大值为 D．的最大值为

三、填空题
9．已知直线被圆截得的弦长为2，则____
10．已知圆：与圆：有四条公共切线，则实数的取值可能是___________.（填序号）
①；②；③；④.
11．已知点和圆：，从点发出的一束光线经过轴反射到圆周的最短路程________．
12．设圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，交y轴于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为________．

四、解答题
13．当k为何值时，直线与圆：
(1)相交？
(2)相切？
(3)相离？
14．已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)直线过点且与点的轨迹交于A，两点，若，求直线的方程.
15．已知椭圆为其左右焦点，为其上下顶点，四边形的面积为.点为椭圆上任意一点，以为圆心的圆（记为圆）总经过坐标原点.
（1）求椭圆的长轴的最小值，并确定此时椭圆的方程；
（2）对于（1）中确定的椭圆，若给定圆，则圆和圆的公共弦的长是否为定值？如果是，求的值；如果不是，请说明理由.
16．（1）已知圆的方程为，求过点且与圆相切的直线的方程；
（2）过点作一直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程.