四川省绵阳南山中学实验学校2023届高考数学（文）冲刺五试题（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳南山中学实验学校2023届高考数学（文）冲刺五试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
绵阳南山中学实验学校高2023届毕业班高考冲刺五
文科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 若复数为纯虚数，则a的值为（ ）
A. -1 B. 1 C. 0或1 D. -1或1
【答案】B
【解析】
【分析】纯虚数只需让复数的实部为0，虚部不为0，因此可以对应列式，解出即可.
【详解】由，
解得，
故选：B.
2. 设集合，B=，则（ ）
A. {-2，-1，1} B. {-2， 0， 1} C. {-2，-1} D. {-1， 1}
【答案】A
【解析】
【分析】由题知，再根据集合的补集运算与交集运算求解即可.
【详解】，则或，
所以.
故选：A.
3. 某中学领导采用系统抽样方法，从该校某年级全体1 200名学生中抽80名学生做视力检查．现将1 200名学生从1到1 200进行编号，在1～15中随机抽取一个数，如果抽到的是6，则从46～60这15个数中应抽取的数是(　　)
A. 47 B. 48 C. 51 D. 54
【答案】C
【解析】
【分析】利用系统抽样分析解答.
【详解】因为采取系统抽样，每15人随机抽取一个人，
在1～15中随机抽取一个数，
如果抽到的是6，
所以在k组抽到的是6＋15(k－1)，
所以46～60这15个数中应抽取的数是6＋15×3＝51，
故选C.
【点睛】本题主要考查系统抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4. 已知向量满足，与的夹角为，则等于（ ）
A. 3 B. C. 21 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数量积的定义求出，由，结合向量数量积的运算律计算可得.
【详解】，
.
故选：D.
5. 已知是双曲线：上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用两点间的距离公式表示，根据点M在双曲线上化简变形，即可得到所求范围.
【详解】因为，所以，所以，又，消去得，，所以.
【点睛】本题考查双曲线的应用，考查两点间距离公式，考查化简变形的能力和运算能力，属于基础题.
6. “”是“对任意的正数，均有”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据基本不等式可判断充分性，取特值可判断不必要性.
【详解】当，时，由基本不等式可知，
故“”是“对任意的正数，均有”的充分条件；
当时，成立，不成立，
故“”是“对任意的正数，均有”的不必要条件.
故选：A
7. 已知为等比数列，且，与的等差中项为，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 31 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件列出首项和公比的方程组可得答案.
【详解】由得，①
又，得，②
由①②得，，.
故选：A.
8. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简函数，再根据给定条件求出，并求出含数0的递增区间，然后列式计算作答.
【详解】依题意，函数，
于是得，由，得：，
因此，函数在上为增函数，而在上为增函数，
于是得，解得，有，
所以的最大值为2.
故选：C
9. 斗笠，用竹篾夹油纸或竹叶粽丝等编织，是人们遮阳光和雨的工具.某斗笠的三视图如图所示（单位：），若该斗笠水平放置，雨水垂直下落，则该斗笠被雨水打湿的面积为（ ）

A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，则所求面积积为圆锥的侧面积与圆环的面积之和
【详解】根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，所以该斗笠被雨水打湿的面积为
，
故选：A

10. 若数列满足且，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A. 20 B. 19 C. 21 D. 22
【答案】A
【解析】
【分析】由题意利用累乘法可得，解不等式即可得解.
【详解】,
当时，，
，
当时，，，
又 ，，解得，
又 ，故所求的最大值为.
故答案为：A.
【点睛】本题考查了累乘法求数列通项的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.
11. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件结合圆与圆的位置关系可得点到直线的距离小于等于2，列不等式求的取值范围.
【详解】圆的圆心的坐标为，半径为，
设直线上的点满足条件，
则以点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即两圆相交或相切，
所以，
所以点到点的距离小于等于，
所以点到直线的距离小于等于2，
所以 解得
所以k的取值范围为，
故选：A.

12. 已知函数的定义域为，且都有，则下列说法正确的命题是（ ）
①；②；
③关于点对称；④
A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】利用特殊值法，结合函数的奇偶性、对称性和周期性进行求解即可.
【详解】对于①，由于都有，
所以令，则，即，
因为，所以，所以①正确，
对于②，令，则，所以，即，
所以，所以②错误，
对于③，令，则，所以，
即，所以关于点对称，所以③正确，
对于④，因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以的周期为4，
在中，令，则
，因为，所以，
，
所以，
所以，所以④正确，
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数及其应用，利用函数的周期性是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某射箭运动员一次射箭击中10环、9环、8环的概率分别是0.2，0.3，0.3，那么他射箭一次低于8环的概率是________
【答案】0.2
【解析】
【分析】根据所求的独立事件与它的对立事件概率的关系计算即可.
【详解】由题意知，
(射箭一次不够8环)=1-P(射箭一次大于等于8环)=1-0.2-0.3-0.3=0.2
故答案为：0.2
14. 函数是定义在R上的奇函数，当时，，则______．
【答案】##-05
【解析】
【分析】根据奇函数的定义，结合指对数的运算法则，即可得答案.
【详解】因为，所以
由为奇函数得：．
故答案为：
15. 在边长为2的正方形中，分别为线段，的中点，连接，将分别沿折起，使三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥外接球的表面积为______.

【答案】
【解析】
【分析】由题意可知两两垂直，所以将三棱锥补成一个长方体，则长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，求出体对角线的长，则可求出外接球的表面积.
【详解】由题意可知两两垂直，且，
将三棱锥补成一个长方体，如图所示，
则长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，设外接球的半径为，
，得，
所以三棱锥外接球的表面积为，
故答案为：

16. 已知点是抛物线上的一点，是的焦点，是的中点，，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】设点，由向量坐标运算可得，利用基本不等式求其最小值即可.
【详解】依题意，，设，则，
因为在抛物线上，所以得，
即，由，得，
，，
所以，
令，，则，，
当即时，，；
当即时，，
当且仅当，即时取等号，
此时.
综上所述，的最小值为.
故答案为：

三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17. 如图，在平面四边形中，对角线平分，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（1）求B；
（2）若，的面积为2，求
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可得到，从而求出；
（2）由三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出，依题意，最后利用余弦定理得到方程，解得即可；
【小问1详解】
解：因为，
由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以
所以
所以
【小问2详解】
解：因为的面积，所以，
即，所以，
由余弦定理得，
所以，
因为平分，所以，
所以，
所以，所以，
所以
18. 新型冠状病毒肺炎COVID-19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延.在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制.然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长.下表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数.
日期代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
累计确诊人数y
4
8
16
31
51
71
97
122
为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两杆模型：①，②对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下(注：残差)：经过计算得，，，，其中，.

（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型?并简要说明理由；
（2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留两位小数）；
（3）由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布.小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数做出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少?（结果保留整数）
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
【答案】（1）选择模型①，理由见解析
（2）
（3）157
【解析】
【分析】（1）选择模型①.根据残差的意义直接判断；（2）套公式求出系数，即可得到y关于x的回归方程；（3）将代入，即可求得.
【小问1详解】
选择模型①.理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好
【小问2详解】
由（1），知y关于x的回归方程为，令，则.
由所给数据得：，
，.
，∴y关于x的回归方程为，
【小问3详解】
将代入上式，得(人)，
所以预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为157人.
19. 如图，在四棱锥中，，底面是边长为2的菱形.

（1）证明：平面平面；
（2）若，且，求四棱锥的体积
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于点，连接，根据是菱形，得到，且为的中点，再由，得到，进而得到平面，然后利用面面垂直的判定定理证明；
（2）解法一：由（1）知平面平面，利用面面垂直的性质定理得到平面，从而由求解；解法二：易得三棱锥是为棱长为2的正四面体，而它所对应的正方体的棱长为，从而由求解；解法三：取中点，连接交于点，连接.由是等边三角形，得到，再由，得到平面，从而，再由，得到平面，然后由四棱锥的体积为求解.
【小问1详解】
证明：如图所示：

连接交于点，连接，
因为是菱形，所以，且为的中点，
因为，所以，
又因为平面，且平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
【小问2详解】
解法一：由（1）可知，平面平面，
又平面平面平面，所以平面，
所以，由已知可得，
又，且为的中点.所以，
又，所以，
所以，
所以.
解法二：由已知可得：为正三角形，且，
又，且为的中点，
所以，又，
所以，
从而，
所以三棱锥是为棱长为2的正四面体，而它所对应的正方体的棱长为，
所以.
解法三：如图所示：

取中点，连接交于点，连接.
因为，所以是等边三角形，所以，
又因平面，
所以平面平面，所以，
由（1）知，且平面，所以平面.
由是边长为2的菱形，
在中，，
由，在中，，所以.
所以四棱锥的体积为.
20. 设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）平面上点B满足，过与平行的直线交于两点，若，求椭圆的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出点坐标，即可求出的方程，利用点到直线的距离公式得到，整理即可求出离心率；
（2）由（1）问可设椭圆方程为，即可得到点坐标，从而得到的斜率，即可得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式求出，即可求出、，即可得到方程.
【小问1详解】
由题设及，不妨设，
所以，，解得或（舍去），从而，
直线的方程为，整理得，
原点到直线的距离为，将代入整理得，
即，
所以离心率.
【小问2详解】
由（1）问可设椭圆方程为，则，
因为，所以为平行四边形，
所以直线过点，则斜率为，
则设直线方程为，
联立椭圆方程得，显然，则，
则，解得（负值舍去），
所以，所以椭圆方程为.

21. 已知函数.
(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；
(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）由,通过讨论确定的单调性,再由单调性确定极值.
试题解析：（Ⅰ）由题意，
所以，当时，，，
所以，
因此，曲线在点处的切线方程是，
即.
（Ⅱ）因为，
所以，

，
令，
则，
所以在上单调递增，
因为，
所以，当时，；当时，.
（1）当时，，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
所以当时取到极大值，极大值是，
当时取到极小值，极小值.
（2）当时，，
当时，，单调递增；
所以在上单调递增，无极大值也无极小值.
（3）当时，，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
所以当时取到极大值，极大值是；
当时取到极小值，极小值是.
综上所述：
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是；
当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.
【考点】导数的几何意义及导数的应用
【名师点睛】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.若多做，则按所做的第一题计分.
22. 在平面直角坐标系中，圆普通方程为.在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程.
（1）求曲线与轴交点（非极点）的极坐标；
（2）若射线与圆和曲线分别交于点，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别令、代入曲线的极坐标方程即可计算得曲线与轴交点（非极点）的极坐标；（2）写出圆的极坐标方程，将代入圆和曲线的极坐标方程，从而根据的几何意义表示出并利用二倍角公式化简得，利用换元法令，再构造新函数，判断函数的单调性，从而可求解出的最大值.
【小问1详解】
在曲线中，令，则；
令，则.
因为和重合，
则曲线与轴交点的极坐标为；
【小问2详解】
圆的普通方程为，所以圆的极坐标方程为，
则
所以.
令，，∴，
令，则函数在上单调递增，
所以当，即时，取得最大值
23. 已知函数的值域为.
（1）求；
（2）证明：当时，.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由绝对值不等式的性质即可求解.
（2）利用平方后作差,转化成的形式,然后根据第一问的范围即可证明差与0的关系,即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以的值域为，即.
【小问2详解】
证明：由
，
由有，，可得，，