精品解析：湖南省常德市汉寿县第五中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

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这是一份精品解析：湖南省常德市汉寿县第五中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了设向量＝，在中，，则三角形的形状为，中，，则，下列结果为零向量的是，下列向量中与共线的是等内容，欢迎下载使用。

汉寿五中2022-2023学年下学期高一第一次月考数学
（试卷满分150分，考试时间120分钟；出卷人: 审卷人: ）
注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2.请将答案正确填写在答题卡上.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 已知，与的夹角是120°，则等于（　　）
A. 3 B. －3 C. －3 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由数量积的定义计算即可得出答案.
【详解】因为，与的夹角是120°，
由数量积的定义，得.
故选：B
2. 已知点和向量，且，则点B的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算直接求出点B的坐标.
【详解】因为向量，且，所以.
设，则，解得：，即.
故选：A
3. △ABC三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若a＝1，c＝2，B＝60°，则b=（）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件利用余弦定理直接求解即可
【详解】由余弦定理得

，
因，所以，
故选：D
4. 设向量＝（m+1，﹣4），＝（﹣m，2），若，则m＝（）
A 1 B. ﹣1 C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量平行的条件,计算求解.
【详解】根据向量平行的条件得,解得,
故选：A.
5. 已知点，，则与方向相反的单位向量是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出，即得解.
【详解】解：由题意有，所以，
所以与方向相反的单位向量是.
故选：C
6. 在中，，则三角形的形状为（）
A. 直角三角形 B. 等边三角形
C. 锐角三角形 D. 等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理结合两角差的正弦公式可得答案.
【详解】由正弦定理，因，
则，
又A，B为三角形内角，得B=A.
而对于A，B，C选项，因题目条件不足，所以无法判断，则根据现有条件可得该三角形为等腰三角形.
故选：D
7. 中，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】,
故选：A

8. 我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何?这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为75°时绳索未用尽，再退行米绳索用尽（绳索与地面接触），则绳索长为（）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】依题意画出图形，利用两角差的正切公式及锐角三角函数求出，最后利用勾股定理计算可得.
【详解】解：依题意可得如下图形：

则，，，所以，
所以
，
所以，所以，
所以绳索长为米.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9. 下列结果为零向量的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据向量加减法的运算方法即可逐项判断.
【详解】A项，；
B项，；
C项，；
D项，.
故选：BCD.
10. 下列向量中与共线的是（）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据给定向量，利用向量共线坐标表示判断作答.
【详解】向量，因，则与不共线，A不；
因，则与不共线，B不是；
而，，则与都共线，即C，D是.
故选：CD
11. 已知，，，，，那么（）
A.
B. 若，则，
C. 若A是BD中点，则B，C两点重合
D. 若点B，C，D共线，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据向量运算、向量平行（共线）等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项，
，A选项正确.
B选项，若，则，故可取，B选项错误.
C选项，若是的中点，则，即，
所以，所以两点重合，C选项正确.
D选项，由于三点共线，所以，
，
，
则或，所以D选项错误.
故选：AC
12. 在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，则下列结论中正确的是（）
A. 中，若，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则是直角三角形
D. 若，则是锐角三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】A：在中，若，根据大边对大角，所以，利用正弦定理，即可判断；B：由，得或，进一步整理即可判断；C：角化边即可判断；D：结合余弦定理以及三角形的分类即可判断.
【详解】在中，若，根据大边对大角，所以，利用正弦定理，所以，则，故选项A正确；对于选项B，∵，∴或，，即或，为等腰或直角三角形，即选项B错误；对于选项C，由余弦定理知，，化简整理得，∴为直角三角形，即选项C正确，(也可以化边为角)；对于选项D，只能说明C为锐角，而角A和B不确定，即选项D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，，则在方向上的投影向量的模长为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据向量线性运算的坐标表示求出的坐标，根据向量投影的概念即可求出在方向上的投影向量的模长为.
【详解】，
则在方向上的投影向量的模长为.
故答案为：.
14. 如图，在平行四边形中，为中点，交于点，且，则_____．

【答案】2
【解析】
【分析】根据三角形相似计算出与的关系，再利用和表示出向量,即可求出.
【详解】在平行四边形中有
因为为中点
所以
又因为
由
所以
所以
故答案为：2
15. 已知向量满足,，与的夹角为，，则_______．
【答案】2
【解析】
【分析】由已知条件可得的值，再由可得，通过计算即可求出的值.
【详解】因为，所以，即.
又，,与的夹角为，则，
所以．
故答案为：2.
16. 在中，分别是角的对边，若，则角___________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用正弦定理与余弦定理结合即可.
【详解】在中，因为，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
又因为，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共6大题.17题10分，其余每题12分.共70分
17. 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，求第四个顶点的坐标．
【答案】或或
【解析】
【分析】根据平行四边形的特征，对边平行且相等，即对边的向量相等，分类讨论求得第四个定点的坐标即可.
【详解】设，，，第四个顶点，
由题意，该平行四边形的四个顶点顺序不确定，讨论如下：
①若平行四边形为，则，
因为，，所以，解得；
②若平行四边形为，则，
因为，，所以，解得；
③若平行四边形为，则，
因为，，所以，解得；
综上第四个顶点的坐标为或或.
18. 如图，在梯形中，.

（1）用，表示，，；
（2）若，且，求的大小.
【答案】（1），，；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性运算直接求解即可；
（2）根据，结合向量数量积的定义和运算律可构造方程求得，由此求得.
【详解】（1），，
；
（2），，.
，且，，解得：，
，.
19. 已知向量，，．
（1）求
（2）若与共线，求与的夹角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出向量的坐标，再由向量的模长公式可得出答案；
（2）由与共线可求出，再由向量的夹角公式即可得出答案.
【小问1详解】
因为，，
所以，
所以；
【小问2详解】
因为，，
所以由与共线得，
解得，此时，
设，的夹角为θ，
则，又,
故与的夹角为．
20. 在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)在中，利用正弦定理可得：，结合角的取值范围和同角三角函数的基本关系即可求解；
(2)根据(1)的结论，得出，在中，利用余弦定理即可求解.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得.
由题设知，，所以.
由题设知，，所以；
【小问2详解】
由题设及（1）知，.
在中，由余弦定理得
，
所以.
21. 在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及余弦定理即可求解；
（2）根据（1）的结论及正弦定理，利用大边对大角及同角三角函数的平方关系，结合二倍角的正弦公式即可求解.
【小问1详解】
因为，且，
所以，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
因为，且，
所以.
因为，所以为锐角，
所以，
故.
22. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若△ABC的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值．
【答案】（1）；
（2）﹒
【解析】
【分析】(1)由题意和正余弦定理及和差角的三角函数公式，易得，由三角形内角的范围即可求解的值．
(2)利用三角形的面积公式的应用和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．
【小问1详解】
在中，，
由正弦定理可得，
，
，
，
，
由三角形内角的范围可得角．
【小问2详解】
由题意知，
得，
在中，由余弦定理得，
，
当且仅当且，即，时取等号，
∴的最小值为．