2022-2023学年湖南省娄底市新化县七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省娄底市新化县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省娄底市新化县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，是二元一次方程的是(    )
A. 2x−1y=0 B. x+xy=2 C. 3x+y=0 D. x2−x+1=0
2. 下面计算正确的是(    )
A. a3⋅a3=2a3 B. 2a2+a2=3a4
C. a9÷a3=a3 D. (−3a2)3=−27a6
3. 若a+b=7，ab=10，则a2b+ab2的值应是(    )
A. 7 B. 10 C. 70 D. 17
4. 某校在“学习二十大精神”演讲比赛活动中，7位评委给某位选手的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的5个评分与原始的7个评分相比一定不发生变化的是(    )
A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数
5. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是(    )
A. B. C. D.
6. 下列各式中，计算结果为x2−1的是(    )
A. (x+1)2 B. (x+1)(x−1) C. (−x+1)(x−1) D. (x−1)(x+2)
7. 如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，则∠BOD的大小为(    )
A. 22°
B. 34°
C. 56°
D. 90°
8. 雪花也称银粟、玉龙、玉尘，是一种晶体，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，结构随温度的变化而变化，多呈六角形，像花，如图所示的雪花绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，则n的最小值为(    )


A. 30 B. 60 C. 90 D. 120
9. 如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB//DE，测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C的度数为(    )


A. 120° B. 100° C. 140° D. 90°
10. 《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为(    )
A. x+12y=5023x+y=50 B. x+12y=50x+23y=50 C. 12x+y=5023x+y=50 D. 12x+y=50x+23y=50
11. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是(    )
A. 205 B. 250 C. 502 D. 520
12. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE//AB，EF是△DEC的角平分线，有下列四个结论：①∠BDE=∠DBE；②EF//BD；③∠CDE=∠ABC；④S四边形ABED=S△ABF.其中，正确的是(    )
A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 计算6x2⋅3xy=          ．
14. 计算：20232−2023×2022= ______ ．
15. 已知1，2，3，4，5的方差为2，则2021，2022，2023，2024，2025的方差为______ ．
16. 如图所示，要在竖直高AC为2米，水平宽BC为8米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要______米．


17. 如图，已知l1//l2，把一块含30°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，边BC在直线l2上，将△ABC绕点C顺时针旋转50°，则∠1的度数为______ ．


18. 定义一种新运算“※”，规定x※y=ax+by2，其中a、b为常数，且1※2=5，2※1=3，则2※3=          
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
如图，已知三角形ABC和直线MN，且三角形ABC的顶点在网格的交点上．
(1)画出三角形ABC向上平移4小格后的三角形A1B1C1；
(2)画出三角形ABC关于直线MN成轴对称的三角形A2B2C2．

20. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(x+2)2+(2x+1)(2x−1)−4x(x+1)，其中x=1．
21. (本小题8.0分)
本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩，整理如下：
小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分：
根据图表，解答问题：
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
7.5
7
7
2.8
八年级
a
8
b
2.35
(1)填空：表中的a=______，b=______；
(2)你认为______年级的成绩更加稳定，理由是______；
(3)若规定6分及6分以上为合格，该校八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？

22. (本小题8.0分)
下面是嘉淇同学把多项式−16my2+4mx2分解因式的具体步骤：
−16my2+4mx2
利用加法交换律变形：=4mx2−16my2……第一步
提取公因式m：=m(4x2−16y2)……第二步
逆用积的乘方公式=m[(2x)2−(4y)2]……第三步
运用平方差公式因式分解=m(2x+4y)(2x−4y)……第四步
(1)事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是______；
(2)请给出这个问题的正确解法．
23. (本小题9.0分)
如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE，垂足为点O.已知∠1=∠B，∠A+∠2=90°．
(1)求证：AB//CD；
(2)若AF=12，BF=5，AB=13，求点F到直线AB的距离．

24. (本小题9.0分)
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，请你帮助该公司设计购买方案．
25. (本小题10.0分)
如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF.将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得到折痕EC；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．
(1)若∠BEB′=110°，则∠BEC=______°，∠AEN=______°，∠BEC+∠AEN=______°.
(2)若∠BEB′=m°，则(1)中∠BEC+∠AEN的值是否改变？请说明你的理由．
(3)将∠ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠AEN的度数．(提示，长方形的四个角都是90°)

26. (本小题10.0分)
我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成：
(1)算法赏析：若x满足(1−x)(x−5)=2，求(1−x)2+(x−5)2的值．
解：设(1−x)=a，(x−5)=b，则(1−x)(x−5)=ab=2，a+b=(1−x)+(x−5)=−4．
∴(1−x)2+(x−5)2=a2+b2….
请继续完成计算．
(2)算法体验：若x满足(30−x)(x−20)=−580，求(30−x)2+(x−20)2的值；
(3)算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13.以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，延长ED交FC于P.若正方形ACFG与正方形ABDE面积的和为117，求长方形AEPC的面积．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A.方程是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B.方程是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C.方程是二元一次方程，故本选项符合题意；
D.方程是一元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程．

2.【答案】D 
【解析】解：因为a3⋅a3=a6≠2a3，故选项A计算不正确；
2a2+a2=3a2≠3a4，故选项B计算不正确；
a9÷a3=a6≠a3，故选项C计算不正确；
(−3a2)3=−27a6，故选项D计算正确；
故选：D．
用同底数幂的乘法法则计算A，用合并同类项法则计算B，用同底数幂的除法法则计算C，用积和幂的乘方法则计算D．
本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项及积和幂的乘方法则．题目难度较小，熟练掌握整式的运算法则是解决本题的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：∵a+b=7，ab=10，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=10×7=70．
故选：C．
提取公因式ab，再代入数值进行求解．
主要考查了提公因式法分解因式的运用．

4.【答案】B 
【解析】解：根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到5个有效评分，5个有效评分与7个原始评分相比，
中位数一定不发生变化．
故选：B．
根据平均数、中位数、方差、众数的意义即可求解．
本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，掌握平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数).一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差是关键．

5.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念求解．
【解答】
解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．  
6.【答案】B 
【解析】解：(x+1)(x−1)=x2−1．
故选B．
原式利用完全平方公式，平方差公式计算即可得到结果．
此题考查了平方差公式，多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

7.【答案】A 
【解析】解：∵∠COE是直角，∠COF=34°，
∴∠EOF=90°−34°=56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=56°，
∴∠AOC=56°−34°=22°，
∴∠BOD=∠AOC=22°．
故选A．
先根据∠COE是直角，∠COF=34°求出∠EOF的度数，再根据OF平分∠AOE求出∠AOC的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、直角的定义等知识是解答此题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：如图所示：雪花绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，则n的最小值为：360°6=60°．
故选：B．
直接利用旋转对称图形的性质得出答案．
此题主要考查了旋转对称图形，正确掌握相关性质是解题关键．

9.【答案】B 
【解析】解：过点C作CF//AB，
∵AB//DE，
∴AB//DE//CF，
∴∠B+∠1=180°，∠D+∠2=180°；
故∠B+∠1+∠D+∠2=360°，即∠B+∠BCD+∠D=360°，
故∠BCD=360°−140°−120°=100°．
故选B．
先作辅助线CF//AB，再根据平行线的性质解答即可．
注意此类题要作出辅助线，运用平行线的性质探求三个角的关系．

10.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设甲的钱数为x，人数为y，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】
解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，
依题意，得：x+12y=5023x+y=50．
故选：A．  
11.【答案】D 
【解析】
【分析】
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
设较小的奇数为x，较大的为x+2，根据题意列出方程，求出解判断即可．
【解答】
解：设较小的奇数为x，较大的为x+2，
根据题意得：(x+2)2−x2=(x+2−x)(x+2+x)=4x+4，
若4x+4=205，即x=2014，不为整数，不符合题意；
若4x+4=250，即x=2464，不为整数，不符合题意；
若4x+4=502，即x=4984，不为整数，不符合题意；
若4x+4=520，即x=129，符合题意．
故选：D．  
12.【答案】D 
【解析】解：∵DE//AB，
∴∠ABD=∠BDE，∠ABC=∠DEC，
∵BD平分∠ABC，EF平分∠DEC，
∴∠ABD=∠DBE，∠DEF=∠FEC，
∴∠BDE=∠DBE，∠FEC=∠DBC，
∴BE=DE，EF//BD，
故①②选项正确；
∵∠A与∠ABC不一定相等，
∴∠CDE=∠ABC不一定相等，故③选项错误；
∵EF//BD，
∴△BDF与△BDE是等底等高的三角形，
∴S△BDF=S△BDE，
∴S四边形ABED=S△ABF，故④选项正确．
所以①②④选项正确．
故选：D．
根据平行线的性质和角平分线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要利用平行线的性质和角平分线的定义求解，熟练掌握性质和概念并灵活运用是解题的关键．

13.【答案】18x3y 
【解析】
【分析】
本题主要考查单项式乘单项式，解题的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
【解答】
解：6x2⋅3xy=18x3y.
故答案为：18x3y.  
14.【答案】2023 
【解析】解：20232−2023×2022
=2023×(2023−2022)
=2023×1
=2023．
故答案为：2023．
运用提公因式法进行简便运算．
本题主要考查提公因式法简便运算，熟练掌握运用提公因式法进行因式分解是解决本题的关键．

15.【答案】2 
【解析】解：∵1，2，3，4，5的方差为2，
∴2021，2022，2023，2024，2025的方差为2，
故答案为：2．
将第二组数据中的每一个数据均减去2020后得到一组新数据与原数据相等，由此可以得到两组数据的方差相同．
本题考查了方差的定义，牢记方差的变化规律是解决此类问题的关键．

16.【答案】10 
【解析】解：由题意可知，
地毯的水平长度与BC的长度相等，垂直长度与AC的长度相等，
所以地毯的长度至少需要8+2=10(米)．
故答案为：10．
根据平移的性质可得，地毯的水平长度与BC的长度相等，垂直长度与AC的长度相等，计算即可得出答案．
本题主要考查了平移现象，熟练应用平移的性质进行求解是解决本题的关键．

17.【答案】80° 
【解析】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转50°，
∴∠ACA′=50°，
∴∠A′CB=80°，
∵l1//l2，
∴∠1=∠A′CB=80°．
故答案为：80°．
先利用旋转的性质得到∠ACA′=50°，然后利用平行线的性质得到∠1的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的性质．

18.【答案】11 
【解析】
【分析】
此题主要考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，掌握新定义的运算方法是解本题的关键．
由已知条件，根据所给定义可得到关于a、b的方程组，求得a、b的值，再代入计算即可．
【解答】
解：根据题意，得：a+4b=52a+b=3,
解得：a=1b=1,
则x※y=x+y2，
∴2※3=2+32=11，
故答案为11．  
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；

(2)如图，△A2B2C2即为所求． 
【解析】(1)根据图形平移的性质画出△A1B1C1即可；
(2)根据轴对称的性质画出△A2B2C2即可．
本题考查的是作图−轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．

20.【答案】解：(x+2)2+(2x+1)(2x−1)−4x(x+1)
=x2+4x+4+4x2−1−4x2−4x
=x2+3，
当x=1时，原式=12+3
=1+3
=4． 
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

21.【答案】(1)7.5；7.5；
(2)  八；八年级成绩的方差小于七年级；
(3)估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是1200×40−440=1080(人)． 
【解析】
【分析】
本题考查条形统计图、中位数、众数、方差、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
(1)根据平均数和中位数的定义求解即可；
(2)根据方差的意义求解即可；
(3)用总人数乘以样本中6分及6分以上人数所占比例即可．
【解答】
解：(1)由表可知，八年级成绩的平均数a=4×5+8×6+8×7+10×8+4×9+6×1040=7.5，
所以其平均数a=7.5；
八年级成绩最中间的2个数分别为7、8，
所以其中位数b=7+82=7.5，
故答案为：7.5，7.5；
(2)八年级的成绩更加稳定，理由是八年级成绩的方差小于七年级，
故答案为：八；八年级成绩的方差小于七年级；
(3)见答案．  
22.【答案】公因式没有提取完 
【解析】解：(1)事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是公因式没有提取完；
故答案为：公因式没有提取完；
(2)原式=4m(x2−4y2)
=4m(x+2y)(x−2y)．
(1)观察嘉淇的解法，找出错误的原因即可；
(2)写出正确的解法即可．
此题考查了因式分解−运用公式法，以及有理数的混合运算，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．

23.【答案】(1)证明：因为∠1=∠B(已知)，
所以CE//BF(同位角相等，两直线平行)，
因为AF⊥CE(已知)，
所以AF⊥BF(垂直的性质)，
所以∠AFB=90°(垂直的定义)，
又因为∠AFC+∠AFB+∠2=180°(平角的定义)．
即∠AFC+∠2=90°，
又因为∠A+∠2=90，
所以∠AFC=∠A(同角的余角相等)，
所以AB//CD(内错角相等，两直线平行)；
(2)解：因为AF⊥BF，且AF=12，BF=5，AB=13．
设点F到直线AB的距离为h．
所以S△AFB=12AF⋅FB=12AB⋅h，
所以12×12×5=12×13h，
即h=6013，
所以点F到直线AB的距离为6013． 
【解析】(1)应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案；
(2)设点F到直线AB的距离为h，根据等面积法可得S△AFB=12AF⋅FB=12AB⋅h，代入计算即可得出h的值，即可得出答案．
本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键．

24.【答案】解：(1)设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：2x+3y=803x+2y=95，
解得：x=25y=10．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．
(2)设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
依题意，得：25m+10n=200，
∴m=8−25n.
∵m，n均为正整数，
∴n为5的倍数，
∴m1=6n1=5，m2=4n2=10，m3=2n3=15，
∴共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车2辆，B型车15辆． 
【解析】(1)设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．

25.【答案】55  35  90 
【解析】解：(1)∵将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得到折痕EC；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．
∴∠BEC=∠B′EC=12∠BEB′=55°，∠AEN=∠AEN=12∠AEA′=12(180°−110°)=35°，
∴∠BEC+∠AEN=90°，
故答案为：55，35，90；
(2)若∠BEB′=m°，则(1)中∠BEC+∠AEN的值不改变，理由如下：
同(1)得：∠BEC=∠B′EC=12∠BEB′，∠AEN=∠AEN=12∠AEA′，
∴∠BEC+∠AEN=12∠BEB′+12(180°−∠BEB′)=90°；
(3)∵长方形纸片ABCD，
∴AB//CD，∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠ECB′+∠B′CF=90°，
∵将∠ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，
∴∠BCE=∠ECB′=∠B′CF=30°，
∴∠FCE=60°，
∵AB//CD，
∴∠BEC=∠FCE=60°，
由(2)得：∠BEC+∠AEN=90°，
∴∠AEN=90°−∠BEC=90°−60°=30°．
(1)由题意得出∠BEC=∠B′EC=12∠BEB′=55°，∠AEN=∠AEN=12∠AEA′=12(180°−110°)=35°，得出∠BEC+∠AEN=90°即可；
(2)同(1)得出∠BEC=∠B′EC=12∠BEB′，∠AEN=∠AEN=12∠AEA′，得出∠BEC+∠AEN=12∠BEB′+12(180°−∠BEB′)=90°；
(3)由平行线的性质得出∠BCE+∠ECB′+∠B′CF=90°，由对折得出∠BCE=∠ECB′=∠B′CF=30°，求出∠FCE=60°，由平行线的性质得出∠BEC=∠FCE=60°，由(2)得出∠BEC+∠AEN=90°，即可得出答案．
本题考查了角的计算、对折的性质以及平行线的性质等知识；熟练掌握对折和平行线的性质是解题的关键．

26.【答案】解：(1)设(1−x)=a，(x−5)=b，则ab=(1−x)(x−5)=2，a+b=(1−x)+(x−5)=−4，
∴(1−x)2+(x−5)2
=a2+b2
=(a+b)2−2ab
=(−4)2−2×2
=16−4
=12；
(2)设(30−x)=m，(x−20)=n，则mn=(30−x)(x−20)=ab=−580，m+n=30−x+x−20=10，
∴(30−x)2+(x−20)2
=m2+n2
=(m+n)2−2mn
=100+2×580
=1260；
(3)正方形ACFG的边长为13−m，面积为(13−m)2，正方形ABDE的边长为10−m，面积为(10−m)2，
则有(13−m)2+(10−m)2=117，
设13−m=p，10−m=q，则p2+q2=(13−m)2+(10−m)2=117，p−q=13−m−10+m=3，
所以长方形AEPC的面积为：
pq=(p2+q2)−(p−q)22
=117−92
=54，
答：长方形AEPC的面积为54． 
【解析】(1)根据完全平方公式可得a2+b2=(a+b)2−2ab可求得此题结果；
(2)按(1)方法进行求解；
(3)正方形ACFG的边长为13−m，面积为(13−m)2，正方形ABDE的边长为10−m，面积为(10−m)2，可得(13−m)2+(10−m)2=117，设13−m=p，10−m=q，则p2+q2=(13−m)2+(10−m)2=117，p−q=13−m−10+m=3，利用pq=(p2+q2)−(p−q)22可求出答案．
本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．