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2022-2023学年江苏省南通市海安市七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江苏省南通市海安市七年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南通市海安市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 16的平方根是( )
A. ±4 B. 4 C. ±8 D. 8
2. 下列调查方式合理的是( )
A. 了解一批灯泡的使用寿命，选择全面调查
B. 检测神州十六号宇宙飞船零件质量情况，选择抽样调查
C. 了解某省居民对生活垃圾的处理情况，选择全面调查
D. 调查某市初中生对社会主义核心价值观的了解情况，选择抽样调查
3. 下列命题中，是真命题的是( )
A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
D. 同位角相等
4. 如果a
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形
6. 下列条件：①∠AEC=∠C，②∠C=∠BFD，③∠BEC+∠B=180°，其中能判断AB//CD的有个．( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 关于39，下列说法不正确的是( )
A. 是一个无理数
B. 可以用数轴上的一个点来表示
C. 可以表示体积为9的正方体的棱长
D. 若n<39
A. {7x−7=y9(x−1)=y B. {7x+7=y9(x−1)=y C. {7x+7=y9x−1=y D. {7x−7=y9x−1=y
9. 若x=3是关于x的不等式3x−m≥2x+3的一个整数解，而x=2不是其整数解，则m的取值范围为( )
A. −1
A. ∠P+2∠Q=360°
B. 2∠P+∠Q=360°
C. ∠Q=2∠P
D. ∠P+∠Q=180°
二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）
11. 化简： (−3)2=______．
12. 将方程2x−3y=7，用含y的代数式表示x为______ ．
13. 如图，将含有30°角的三角尺的直角顶点放在相互平行的两条直线的其中一条上，若∠1=50°，则∠2=______度．
14. 物体自由下落的高度h(单位：m)与下落时间t(单位：s)的关系是h=4.9t2.在一次实验中，一个物体从490m高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为______s.
15. 用长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，腰长是底边长的2倍，则腰长为______ cm．
16. 若b−k=2，k<−2，则关于x的不等式(k+2)x+b>0的解集是______ ．
17. 如图，△ABC中，∠B=50°，点D，E分别在边BC，AB上，DE//AC，∠EDC的平分线与∠BAC的平分线交于点F，则∠AFD= ______ 度.
18. 平面直角坐标系中，点A(−m,0)、B(4−m,0)、C(m,2)、D(m+6,2)，若线段CD上存在点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，点F恰好是线段AB的中点，则实数m的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
(1)计算： 3(3− 3)−( 3−2)；
(2)解方程组：x3+y4=13(x+y)=15．
20. (本小题10.0分)
(1)解不等式组3(x+1)≥5x−13x+22−x>−1；
(2)在数轴上表示(1)中不等式组的解集，并写出所有的负整数解．
21. (本小题10.0分)
按照国家视力健康标准，学生视力状况分为：视力正常、轻度视力不良、中度视力不良、重度视力不良四个类别，分别用A、B、C、D表示.某数学兴趣小组为了解本校学生的视力健康状况，从全校3000名学生中随机抽取部分学生，进行视力状况调查，根据调查结果，绘制如下统计图表．
抽取的学生视力状况统计表
类别
A
B
C
D
人数
70
m
n
25
(1)m= ______ ，n= ______ ；
(2)请估算该校中度视力不良和重度视力不良的人数和；
(3)为更好地保护视力，结合上述统计数据分析，请你提出一条合理化的建议．
22. (本小题10.0分)
△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，把△ABC向右平移3个单位，向下平移2个单位，得到△A′B′C′．
(1)在图中画出△A′B′C′；
(2)求△A′B′C′的面积；
(3)点M在x轴上，△A′B′M与△A′B′C′的面积相等，则点M的坐标为______ ．
23. (本小题12.0分)
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠BCD=∠BFE，∠D+∠FEC=180°．
(1)判断AD与CE的位置关系，并说明理由；
(2)若∠BCD=50°，CE平分∠BCD，BA⊥AD，求∠BEF的度数．
24. (本小题12.0分)
学完二元一次方程组的应用后，老师布置了一项作业：把方程组y−4x=56x−y=4赋予实际情境.以下是两位同学完成的作业：
小明：把一些书分给几个同学，如果每人分4本，则余5本；如果每人分6本，则差4本，求学生的人数和书的总本数．
小华：小王去买练习本，随身带的钱如果可以买4本练习本，还余5元；如果买6本，则差4元，求每本练习本的单价和小王随身带的钱数．
你认为两人所用的情境正确吗？请判断，并说明理由．
25. (本小题13.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=∠BAC.过点A作MN//BC．
(1)判断AC是否平分∠BAN，并说明理由；
(2)如图2，点D是射线CB上一动点(不与点B，C重合)，AE平分∠BAD交射线BC于E，过点E作EF⊥AC于F．
①当点D在点B左侧时，若∠AEF=20°，求∠ADB的度数；
②点D在运动过程中，∠AEF和∠ADB之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
26. (本小题13.0分)
定义：在平面直角坐标系xOy中，若点M(a,b)与N(a′,b′)的坐标满足a′=a+kb，b′=b+ka(k为常数，k≠0)，则称点N是点M的“k系友好点”.例如，点(2,2)是点(2,0)的“1系友好点”．
(1)点(−1,4)的“2系友好点”的坐标是______ ，若一个点的“−2系友好点”的坐标是(−6,0)，则这个点的坐标是______ ；
(2)已知点A(x,y)在第二象限，且满足xy=−4，点A是点B(m,n)的“−1系友好点”，求m−n的值；
(3)点P(t,0)在x轴正半轴上，“k系友好点”为点P′，若无论t为何值，OP−k⋅PP′的值恒为0，求k的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵(±4)2=16，
∴16的平方根是：±4．
故选：A．
根据平方根的定义即可求解．
本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2.【答案】D
【解析】解：A.了解一批灯泡的使用寿命，适合采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
B.检测神州十六号宇宙飞船零件质量情况，适合采用全面调查方式，故本选项不合题意；
C.了解某省居民对生活垃圾的处理情况，适合采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
D.调查某市初中生对社会主义核心价值观的了解情况，适合采用抽样调查方式，故本选项符合题意；
故选：D．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3.【答案】C
【解析】解：A、平面内如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，正确，是真命题，符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：C．
利用平行线判定与垂线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
4.【答案】B
【解析】解：A、∵a
B、∵a
C、∵a
故C不符合题意；
D、∵0
故选：B．
根据不等式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
多边形的外角和是360°，则内角和是2×360°=720°.设这个多边形是n边形，内角和是(n−2)⋅180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
【解答】
解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
(n−2)×180°=2×360°，
解得：n=6．
即这个多边形为六边形．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：①∠AEC=∠C，由内错角相等，两直线平行，能判断AB//CD，
故①符合题意；
②③中的条件只能判定CE//BF，但不能判定AB//CD，
故②③不符合题意．
∴能判断AB//CD的有1个，
故选：B．
平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，由此即可判断．
本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
7.【答案】D
【解析】∵39不能完全开立方，
∴39是无理数，
故A符合题意；
∵39是一个实数，
∴实数与数轴上的点一一对应，
故B符合题意；
∵正方体的体积等于棱长的立方，
∴(39)3=9，
故C符合题意；
∵38<39<327，即2<39<3，
则n=2，
故D不符合题意．
故选：D．
根据无理数和立方根的概念估算立方根的大小及正方体体积与棱长之间的关系对四个选项逐一进行判断．
本题考查立方根的概念及相关的计算、无理数的概念、数轴，注意实数与数轴上的点是一一对应的．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意得出方程组是解决问题的关键．
设该店有客房x间，房客y人，根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．
【解答】
解：设该店有客房x间，房客y人，
根据题意得：{7x+7=y9(x−1)=y,
故选：B．
9.【答案】C
【解析】解：3x−m≥2x+3，
3x−2x≥3+m，
x≥3+m，
∵x=3是关于x的不等式3x−m≥2x+3的一个整数解，而x=2不是其整数解，
∴2<3+m≤3，
解得：−1
先解一元一次不等式，可得x≥3+m，然后根据已知可得2<3+m≤3，最后进行计算即可解答．
本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：过点P作PM//AB，过点Q作QN//AB，
∵AB//CD，
∴PM//CD，QN//CD，
∵PM//AB，
∴∠EPM=∠AEP，
∵PM//CD，
∴∠MPF=∠PFC，
∴∠EPF=∠EPM+∠MPF=∠AEP+∠PFC，
∵∠PEB和∠PFD的平分线交于点Q，
∴∠PEB=2∠1，∠PFD=2∠2，
∵∠AEP=180°−∠PEB，∠PFC=180°−∠PFD，
∴∠EPF=180°−∠PEB+180°−∠PFD=360°−2∠1−2∠2=360°−2(∠1+∠2)，
∵QN//AB，
∴∠EQN=∠1，
∵QN//CD，
∴∠NQF=∠2，
∴∠EQF=∠EQN+∠NQF=∠1+∠2，
∴∠EPF=360°−2∠EQF，
即∠EPF+2∠EQF=360°，
故选：A．
过点P作PM//AB，过点Q作QN//AB，根据AB//CD可得AB//PM//CD，AB//QN//CD，再根据平行线的性质可得∠EPF=∠AEP+∠PFC，∠EQF=∠1+∠2，再根据∠AEP+2∠1=180°，∠PFC+2∠2=180°，即可推出∠EPF+2∠EQF=360°，从而进行判断．
本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】解： (−3)2= 9=3，
故答案为：3．
先算出(−3)2的值，再根据算术平方根的定义直接进行计算即可．
本题考查的是算术平方根的定义，把 (−3)2化为 9的形式是解答此题的关键．
12.【答案】x=72+32y
【解析】解：移项得2x=7+3y，
两边都除以2得x=72+32y.
故答案为：x=72+32y.
用含y的代数式表示x，则可把2x−3y=7看作是关于x的一元一次方程，然后解关于x的方程即可．
本题考查了解二元一次方程，掌握把解二元一次方程转化为解一元一次方程是关键．
13.【答案】40
【解析】解：如图，
由题意得：∠ACB=90°，a//b，
∴∠3=∠1=50°，
∴∠2=180°−∠ACB−∠3=40°．
故答案为：40．
由题意可得∠ACB=90°，再由平行线的性质可得∠3=∠1=50°，利用平角的定义即可求∠2的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
14.【答案】10
【解析】解：把h=490代入h=4.9t2中，
4.9t2=490，
t2=100，
∵t>0，
∴t=10．
故答案是：10．
把h=490代入h=4.9t2即可求解．
本题运用了算术平方根求值的知识，关键实际问题时字母取值一般都是大于等于0．
15.【答案】7.2
【解析】解：设等腰三角形的底边长为x cm，
∵腰长是底边的2倍，
∴腰长为2x cm，
∵三角形的周长为18cm，
∴2x+2x+x=18，
解得x=3.6，
∴2x=2×3.6=7.2(cm)，
∴等腰三角形的一腰长为7.2cm，
故答案为：7.2．
设等腰三角形的底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得等腰三角形的一腰长．
本题考查了等腰三角形的性质，设出未知数列出一元一次方程是解题的关键．
16.【答案】x<−1
【解析】解：∵k<−2，
∴k+2<0，
∵(k+2)x+b>0，
∴(k+2)x>−b，
则x<−bk+2，
又b−k=2，
∴b=k+2，
∴x<−1，
故答案为：x<−1．
由k<−2，知k+2<0，据此可得x<−bk+2，结合b−k=2，知b=k+2，从而得出答案．
本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据．
17.【答案】155
【解析】解：延长DF交AC于点H，
∵DE//AC，
∴∠EDH=∠2，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDH=∠HDC，
∴∠2=∠HDC，
在△CDH中，∠C+∠2+∠HDC=180°，
即∠C+2∠2=180°①，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠1，
在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，∠B=50°，
∴∠C+2∠1=130°②，
①−②得，2∠2−2∠1=50°，
即∠2−∠1=25°，
∵∠2是△AFH的一个外角，
∴∠2=∠1+∠AFH，
即∠2−∠1=∠AFH，
∴∠AFH=25°，
∴∠AFD=180°−∠AFH=180°−25°=155°，
故答案为：155．
延长DF交AC于点H，根据平行线的性质得出∠EDH=∠2，结合角平分线的定义得出∠2=∠HDC，在△CDH中得出∠C+2∠2=180°①，在△ABC中得出∠C+2∠1=130°②，①−②得出∠2−∠1=25°，最后根据三角形外角的性质得出∠AFH的度数，即可求出∠AFD的度数．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键．
18.【答案】−2≤m≤1
【解析】解：∵点F恰好是线段AB的中点，A(−m,0)，B(4−m,0)，
∴F(2−m,0)；
∵线段CD上存在点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，
∴m≤2−m≤m+6，即−2≤m≤1；
故答案为：−2≤m≤1．
由于点F恰好是线段AB的中点，根据中点中点坐标公式，求出F的坐标；点E与F的横坐标相同并在C、D之间，列出不等式组，求出m的取值范围．
本题考查了中点坐标公式的应用，列不等式组，解这个不等式组，得到m的取值范围．
19.【答案】解：(1)由题意，原式=3 3−3− 3+2
=2 3−1．
(2)由题意，x3+y4=1①3(x+y)=15②，
∴①×12得，4x+3y=12③．
∴③−②得，x=−3．
把x=−3代入③得，4×(−3)+3y=12，
∴y=8．
∴原方程组的解为：x=−3y=8．
【解析】(1)依据题意，根据二次根式的混合运算进行计算可以得解；
(2)依据题意，由二元一次方程组的解法进行运算可以得解．
本题主要考查了二次根式的混合运算及二元一次方程的解法，解题时要熟练掌握并准确计算．
20.【答案】解：(1)由3(x+1)≥5x−1得：x≤2，
由3x+22−x>−1得：x>−4，
则不等式组的解集为−4
所以不等式组的负整数解有−3、−2、−1．
【解析】(1)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
(2)将解集表示在数轴上，结合数轴可得其负整数解．
本题主要考查一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21.【答案】55 50
【解析】解：(1)70÷35%=200(人)，
m=200×27.5%=55，
n=200−70−55−25=50；
故答案为：55；50；
(2)3000×50+25200=1125(人)；
答：估算该校中度视力不良和重度视力不良的人数和为1125人；
(3)该校学生视力正常的仅占35%，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加长学生户外运动时间(答案不唯一，有利于视力保护即可)．
(1)从所取样本中根据视力正常的人数和所占比例求出所抽取的学生总人数，由扇形统计图根据B类所占比例可得m，总数减去A、B、D三类的人数即可得n；
(2)用3000分别乘以中度视力不良和重度视力不良的百分比的和即可；
(3)建议合理即可．
本题考查扇形统计图、统计表以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据，最后的开放题要抓住题目的核心要求，给出正确的建议．
22.【答案】(−92,0)或(52,0)
【解析】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)△A′B′C′的面积=3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3=72；
(3)由题意得，12B′M×2=72，
∴B′M=72，
∴M(−92,0)或(52,0)，
故答案为：(−92,0)或(52,0)，
(1)根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
(2)根据割补法求解即可；
(3)根据三角形面积公式结合(2)的结果求解即可．
本题考查了作图−平移变换，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)AD//CE，
理由：∵∠BCD=∠BFE，
∴EF//CD，
∴∠FEC=∠ECD，
∵∠D+∠FEC=180°．
∴∠D+∠ECD=180°，
∴AD//CE；
(2)∵∠BCD=50°，CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠ECD=25°，
∴∠FEC=25°，
∵AD//CE，
∴∠BEC=∠A=90°，
∴∠BEF=90°−25°=65°．
【解析】(1)先判定EF//CD，可得∠D+∠ECD=180°，进而可证明结论；
(2)由角平分线的定义可求解∠FEC=25°，再利用平行线的性质可求解．
本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：两人所用的情境正确，理由如下：
小明：设学生x人，书总数y本，
则y−4x=56x−y=4，
∴小明所用的情境正确；
小华：设每本练习本的单价x元，小王随身带的钱y元，
则y−4x=56x−y=4，
∴小华所用的情境正确；
∴两人所用的情境正确．
【解析】根据二人所用情境，设未知数，列出方程组即可判断．
本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是把数学问题与实际生活结合起来．
25.【答案】解：(1)AC平分∠BAN，
∵MN//BC，
∴∠ACB=∠CAN，
∵∠ACB=∠BAC．
∴∠BAC=∠CAN，
∴AC平分∠BAN，
(2)∵EF⊥AC，
∴∠EAF=90°−∠EAF=70°，
∵AC、AE是角平分线，
∴∠DAE=∠BAE，∠BAC=∠CAN，
∴∠EAF=∠BAC+∠BAE=90°−20°=70°=∠DAE+∠CAN=12∠DAN，
∴∠DAN=140°，
∴∠ADB=40°．
②设∠AEF=α，
∵EF⊥AC，
∴∠EAF=90°−α，
如图2，当点D在点B左侧时，
由(1)知∠NAC=∠BAC=12∠BAN，
∵AE平分∠BAD交射线BC于E，
∴∠DAE=∠BAE=12∠BAD，
又∵∠EAF=∠BAE+∠BAC=12∠BAD+12∠BAN=12(∠BAD+∠BAN)=12∠DAN=90°−α，
∴∠DAN=180°−2α，
∵MN//BC，
∴∠ADB+∠DAN=180°，
∴∠ADB=180°−∠DAN=180°−(180°−2α)=2α，
∴∠ADB=2∠AEF；
当点D在点B右侧时，如图：
∵AC、AE是角平分线，
∴∠DAE=∠BAE=12∠BAD，∠BAC=∠CAN=12∠BAN，
∵∠EAF=∠BAC−∠BAE=12∠BAN−12∠BAD=12(∠BAN−∠BAD)=12∠DAN=90°−α，
∴∠DAN=180°−2α，
∵MN//BC，
∴∠ADB=∠DAN=180°−2α，
∴∠ADB=180°−2∠AEF．
综上，∠ADB=2∠AEF或180°−2∠AEF．
【解析】(1)根据MN//BC得∠ACB=∠CAN，结合已知条件得证；
(2)①在直角三角形AFE中，∠AEF=20°，则∠EAF=90°−∠EAF=70°，根据∠EAF=∠BAC+∠BAE=90°−20°=70°=∠DAE+∠CAN=12∠DAN，从而求出∠DAN=140°，即可求出∠ADB；
②分两种情况进行讨论，当点D在点B左侧时和点D在点B右侧时，数形结合即可解答．
本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角，利用角的和差关系进行推理论证．
26.【答案】(7,2) (2,4)
【解析】解：(1)∵−1+2×4=7，4+(−1)×2=2，
∴点(−1,4)的“2系友好点”的坐标是(7,2)；
设(m,n)的“−2系友好点”的坐标是(−6,0)，
则m−2n=−6n−2m=0，
解得m=2n=4，
∴(2,4)的“−2系友好点”的坐标是(−6,0)；
故答案为：(7,2)；(2,4)；
(2)∵点A(x,y)是点B(m,n)的“−1系友好点”，
∴m−n=xn−m=y，
∵xy=−4，
∴(m−n)(n−m)=−4，
∴(m−n)2=4，
∵点A(x,y)在第二象限，
∴x=m−n<0，
∴m−n=−2；
(3)∵P(t,0)在x轴正半轴上，“k系友好点”为点P′，
∴t>0，P′(t,kt)，
∴OP=t，PP′=|kt|，
∴OP−k⋅PP′=t−k⋅|kt|，
∵无论t为何值，OP−k⋅PP′的值恒为0，
∴t−k⋅|kt|=0对任意t都成立，
若k>0，则t−k2t=0对任意t都成立，
∴1−k2=0，
解得k=1或k=−1(舍去)；
若k<0，则t+k2t=0对任意t都成立，
∴1+k2=0，此时无解；
∴k的值为1．
(1)根据新定义可得(−1,4)的“2系友好点”的坐标是(7,2)；设(m,n)的“−2系友好点”的坐标是(−6,0)，可得m−2n=−6n−2m=0，即可解得答案；
(2)由点A(x,y)是点B(m,n)的“−1系友好点”，可得m−n=xn−m=y，而xy=−4，故(m−n)(n−m)=−4，由点A(x,y)在第二象限，得m−n=−2；
(3)由P(t,0)在x轴正半轴上，“k系友好点”为点P′，得t>0，P′(t,kt)，根据无论t为何值，OP−k⋅PP′的值恒为0，得t−k⋅|kt|=0对任意t都成立，分两种情况讨论即可．
本题考查点的坐标，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“k系友好点“的定义．
2022-2023学年江苏省南通市海安市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 16的平方根是( )
A. ±4 B. 4 C. ±8 D. 8
2. 下列调查方式合理的是( )
A. 了解一批灯泡的使用寿命，选择全面调查
B. 检测神州十六号宇宙飞船零件质量情况，选择抽样调查
C. 了解某省居民对生活垃圾的处理情况，选择全面调查
D. 调查某市初中生对社会主义核心价值观的了解情况，选择抽样调查
3. 下列命题中，是真命题的是( )
A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
D. 同位角相等
4. 如果a
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形
6. 下列条件：①∠AEC=∠C，②∠C=∠BFD，③∠BEC+∠B=180°，其中能判断AB//CD的有个．( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 关于39，下列说法不正确的是( )
A. 是一个无理数
B. 可以用数轴上的一个点来表示
C. 可以表示体积为9的正方体的棱长
D. 若n<39
A. {7x−7=y9(x−1)=y B. {7x+7=y9(x−1)=y C. {7x+7=y9x−1=y D. {7x−7=y9x−1=y
9. 若x=3是关于x的不等式3x−m≥2x+3的一个整数解，而x=2不是其整数解，则m的取值范围为( )
A. −1
A. ∠P+2∠Q=360°
B. 2∠P+∠Q=360°
C. ∠Q=2∠P
D. ∠P+∠Q=180°
二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）
11. 化简： (−3)2=______．
12. 将方程2x−3y=7，用含y的代数式表示x为______ ．
13. 如图，将含有30°角的三角尺的直角顶点放在相互平行的两条直线的其中一条上，若∠1=50°，则∠2=______度．
14. 物体自由下落的高度h(单位：m)与下落时间t(单位：s)的关系是h=4.9t2.在一次实验中，一个物体从490m高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为______s.
15. 用长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，腰长是底边长的2倍，则腰长为______ cm．
16. 若b−k=2，k<−2，则关于x的不等式(k+2)x+b>0的解集是______ ．
17. 如图，△ABC中，∠B=50°，点D，E分别在边BC，AB上，DE//AC，∠EDC的平分线与∠BAC的平分线交于点F，则∠AFD= ______ 度.
18. 平面直角坐标系中，点A(−m,0)、B(4−m,0)、C(m,2)、D(m+6,2)，若线段CD上存在点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，点F恰好是线段AB的中点，则实数m的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
(1)计算： 3(3− 3)−( 3−2)；
(2)解方程组：x3+y4=13(x+y)=15．
20. (本小题10.0分)
(1)解不等式组3(x+1)≥5x−13x+22−x>−1；
(2)在数轴上表示(1)中不等式组的解集，并写出所有的负整数解．
21. (本小题10.0分)
按照国家视力健康标准，学生视力状况分为：视力正常、轻度视力不良、中度视力不良、重度视力不良四个类别，分别用A、B、C、D表示.某数学兴趣小组为了解本校学生的视力健康状况，从全校3000名学生中随机抽取部分学生，进行视力状况调查，根据调查结果，绘制如下统计图表．
抽取的学生视力状况统计表
类别
A
B
C
D
人数
70
m
n
25
(1)m= ______ ，n= ______ ；
(2)请估算该校中度视力不良和重度视力不良的人数和；
(3)为更好地保护视力，结合上述统计数据分析，请你提出一条合理化的建议．
22. (本小题10.0分)
△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，把△ABC向右平移3个单位，向下平移2个单位，得到△A′B′C′．
(1)在图中画出△A′B′C′；
(2)求△A′B′C′的面积；
(3)点M在x轴上，△A′B′M与△A′B′C′的面积相等，则点M的坐标为______ ．
23. (本小题12.0分)
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠BCD=∠BFE，∠D+∠FEC=180°．
(1)判断AD与CE的位置关系，并说明理由；
(2)若∠BCD=50°，CE平分∠BCD，BA⊥AD，求∠BEF的度数．
24. (本小题12.0分)
学完二元一次方程组的应用后，老师布置了一项作业：把方程组y−4x=56x−y=4赋予实际情境.以下是两位同学完成的作业：
小明：把一些书分给几个同学，如果每人分4本，则余5本；如果每人分6本，则差4本，求学生的人数和书的总本数．
小华：小王去买练习本，随身带的钱如果可以买4本练习本，还余5元；如果买6本，则差4元，求每本练习本的单价和小王随身带的钱数．
你认为两人所用的情境正确吗？请判断，并说明理由．
25. (本小题13.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=∠BAC.过点A作MN//BC．
(1)判断AC是否平分∠BAN，并说明理由；
(2)如图2，点D是射线CB上一动点(不与点B，C重合)，AE平分∠BAD交射线BC于E，过点E作EF⊥AC于F．
①当点D在点B左侧时，若∠AEF=20°，求∠ADB的度数；
②点D在运动过程中，∠AEF和∠ADB之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
26. (本小题13.0分)
定义：在平面直角坐标系xOy中，若点M(a,b)与N(a′,b′)的坐标满足a′=a+kb，b′=b+ka(k为常数，k≠0)，则称点N是点M的“k系友好点”.例如，点(2,2)是点(2,0)的“1系友好点”．
(1)点(−1,4)的“2系友好点”的坐标是______ ，若一个点的“−2系友好点”的坐标是(−6,0)，则这个点的坐标是______ ；
(2)已知点A(x,y)在第二象限，且满足xy=−4，点A是点B(m,n)的“−1系友好点”，求m−n的值；
(3)点P(t,0)在x轴正半轴上，“k系友好点”为点P′，若无论t为何值，OP−k⋅PP′的值恒为0，求k的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵(±4)2=16，
∴16的平方根是：±4．
故选：A．
根据平方根的定义即可求解．
本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2.【答案】D
【解析】解：A.了解一批灯泡的使用寿命，适合采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
B.检测神州十六号宇宙飞船零件质量情况，适合采用全面调查方式，故本选项不合题意；
C.了解某省居民对生活垃圾的处理情况，适合采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
D.调查某市初中生对社会主义核心价值观的了解情况，适合采用抽样调查方式，故本选项符合题意；
故选：D．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3.【答案】C
【解析】解：A、平面内如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，正确，是真命题，符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：C．
利用平行线判定与垂线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
4.【答案】B
【解析】解：A、∵a
B、∵a
C、∵a
故C不符合题意；
D、∵0
故选：B．
根据不等式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
多边形的外角和是360°，则内角和是2×360°=720°.设这个多边形是n边形，内角和是(n−2)⋅180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
【解答】
解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
(n−2)×180°=2×360°，
解得：n=6．
即这个多边形为六边形．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：①∠AEC=∠C，由内错角相等，两直线平行，能判断AB//CD，
故①符合题意；
②③中的条件只能判定CE//BF，但不能判定AB//CD，
故②③不符合题意．
∴能判断AB//CD的有1个，
故选：B．
平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，由此即可判断．
本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
7.【答案】D
【解析】∵39不能完全开立方，
∴39是无理数，
故A符合题意；
∵39是一个实数，
∴实数与数轴上的点一一对应，
故B符合题意；
∵正方体的体积等于棱长的立方，
∴(39)3=9，
故C符合题意；
∵38<39<327，即2<39<3，
则n=2，
故D不符合题意．
故选：D．
根据无理数和立方根的概念估算立方根的大小及正方体体积与棱长之间的关系对四个选项逐一进行判断．
本题考查立方根的概念及相关的计算、无理数的概念、数轴，注意实数与数轴上的点是一一对应的．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意得出方程组是解决问题的关键．
设该店有客房x间，房客y人，根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．
【解答】
解：设该店有客房x间，房客y人，
根据题意得：{7x+7=y9(x−1)=y,
故选：B．
9.【答案】C
【解析】解：3x−m≥2x+3，
3x−2x≥3+m，
x≥3+m，
∵x=3是关于x的不等式3x−m≥2x+3的一个整数解，而x=2不是其整数解，
∴2<3+m≤3，
解得：−1
先解一元一次不等式，可得x≥3+m，然后根据已知可得2<3+m≤3，最后进行计算即可解答．
本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：过点P作PM//AB，过点Q作QN//AB，
∵AB//CD，
∴PM//CD，QN//CD，
∵PM//AB，
∴∠EPM=∠AEP，
∵PM//CD，
∴∠MPF=∠PFC，
∴∠EPF=∠EPM+∠MPF=∠AEP+∠PFC，
∵∠PEB和∠PFD的平分线交于点Q，
∴∠PEB=2∠1，∠PFD=2∠2，
∵∠AEP=180°−∠PEB，∠PFC=180°−∠PFD，
∴∠EPF=180°−∠PEB+180°−∠PFD=360°−2∠1−2∠2=360°−2(∠1+∠2)，
∵QN//AB，
∴∠EQN=∠1，
∵QN//CD，
∴∠NQF=∠2，
∴∠EQF=∠EQN+∠NQF=∠1+∠2，
∴∠EPF=360°−2∠EQF，
即∠EPF+2∠EQF=360°，
故选：A．
过点P作PM//AB，过点Q作QN//AB，根据AB//CD可得AB//PM//CD，AB//QN//CD，再根据平行线的性质可得∠EPF=∠AEP+∠PFC，∠EQF=∠1+∠2，再根据∠AEP+2∠1=180°，∠PFC+2∠2=180°，即可推出∠EPF+2∠EQF=360°，从而进行判断．
本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】解： (−3)2= 9=3，
故答案为：3．
先算出(−3)2的值，再根据算术平方根的定义直接进行计算即可．
本题考查的是算术平方根的定义，把 (−3)2化为 9的形式是解答此题的关键．
12.【答案】x=72+32y
【解析】解：移项得2x=7+3y，
两边都除以2得x=72+32y.
故答案为：x=72+32y.
用含y的代数式表示x，则可把2x−3y=7看作是关于x的一元一次方程，然后解关于x的方程即可．
本题考查了解二元一次方程，掌握把解二元一次方程转化为解一元一次方程是关键．
13.【答案】40
【解析】解：如图，
由题意得：∠ACB=90°，a//b，
∴∠3=∠1=50°，
∴∠2=180°−∠ACB−∠3=40°．
故答案为：40．
由题意可得∠ACB=90°，再由平行线的性质可得∠3=∠1=50°，利用平角的定义即可求∠2的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
14.【答案】10
【解析】解：把h=490代入h=4.9t2中，
4.9t2=490，
t2=100，
∵t>0，
∴t=10．
故答案是：10．
把h=490代入h=4.9t2即可求解．
本题运用了算术平方根求值的知识，关键实际问题时字母取值一般都是大于等于0．
15.【答案】7.2
【解析】解：设等腰三角形的底边长为x cm，
∵腰长是底边的2倍，
∴腰长为2x cm，
∵三角形的周长为18cm，
∴2x+2x+x=18，
解得x=3.6，
∴2x=2×3.6=7.2(cm)，
∴等腰三角形的一腰长为7.2cm，
故答案为：7.2．
设等腰三角形的底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得等腰三角形的一腰长．
本题考查了等腰三角形的性质，设出未知数列出一元一次方程是解题的关键．
16.【答案】x<−1
【解析】解：∵k<−2，
∴k+2<0，
∵(k+2)x+b>0，
∴(k+2)x>−b，
则x<−bk+2，
又b−k=2，
∴b=k+2，
∴x<−1，
故答案为：x<−1．
由k<−2，知k+2<0，据此可得x<−bk+2，结合b−k=2，知b=k+2，从而得出答案．
本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据．
17.【答案】155
【解析】解：延长DF交AC于点H，
∵DE//AC，
∴∠EDH=∠2，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDH=∠HDC，
∴∠2=∠HDC，
在△CDH中，∠C+∠2+∠HDC=180°，
即∠C+2∠2=180°①，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠1，
在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，∠B=50°，
∴∠C+2∠1=130°②，
①−②得，2∠2−2∠1=50°，
即∠2−∠1=25°，
∵∠2是△AFH的一个外角，
∴∠2=∠1+∠AFH，
即∠2−∠1=∠AFH，
∴∠AFH=25°，
∴∠AFD=180°−∠AFH=180°−25°=155°，
故答案为：155．
延长DF交AC于点H，根据平行线的性质得出∠EDH=∠2，结合角平分线的定义得出∠2=∠HDC，在△CDH中得出∠C+2∠2=180°①，在△ABC中得出∠C+2∠1=130°②，①−②得出∠2−∠1=25°，最后根据三角形外角的性质得出∠AFH的度数，即可求出∠AFD的度数．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键．
18.【答案】−2≤m≤1
【解析】解：∵点F恰好是线段AB的中点，A(−m,0)，B(4−m,0)，
∴F(2−m,0)；
∵线段CD上存在点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，
∴m≤2−m≤m+6，即−2≤m≤1；
故答案为：−2≤m≤1．
由于点F恰好是线段AB的中点，根据中点中点坐标公式，求出F的坐标；点E与F的横坐标相同并在C、D之间，列出不等式组，求出m的取值范围．
本题考查了中点坐标公式的应用，列不等式组，解这个不等式组，得到m的取值范围．
19.【答案】解：(1)由题意，原式=3 3−3− 3+2
=2 3−1．
(2)由题意，x3+y4=1①3(x+y)=15②，
∴①×12得，4x+3y=12③．
∴③−②得，x=−3．
把x=−3代入③得，4×(−3)+3y=12，
∴y=8．
∴原方程组的解为：x=−3y=8．
【解析】(1)依据题意，根据二次根式的混合运算进行计算可以得解；
(2)依据题意，由二元一次方程组的解法进行运算可以得解．
本题主要考查了二次根式的混合运算及二元一次方程的解法，解题时要熟练掌握并准确计算．
20.【答案】解：(1)由3(x+1)≥5x−1得：x≤2，
由3x+22−x>−1得：x>−4，
则不等式组的解集为−4
所以不等式组的负整数解有−3、−2、−1．
【解析】(1)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
(2)将解集表示在数轴上，结合数轴可得其负整数解．
本题主要考查一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21.【答案】55 50
【解析】解：(1)70÷35%=200(人)，
m=200×27.5%=55，
n=200−70−55−25=50；
故答案为：55；50；
(2)3000×50+25200=1125(人)；
答：估算该校中度视力不良和重度视力不良的人数和为1125人；
(3)该校学生视力正常的仅占35%，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加长学生户外运动时间(答案不唯一，有利于视力保护即可)．
(1)从所取样本中根据视力正常的人数和所占比例求出所抽取的学生总人数，由扇形统计图根据B类所占比例可得m，总数减去A、B、D三类的人数即可得n；
(2)用3000分别乘以中度视力不良和重度视力不良的百分比的和即可；
(3)建议合理即可．
本题考查扇形统计图、统计表以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据，最后的开放题要抓住题目的核心要求，给出正确的建议．
22.【答案】(−92,0)或(52,0)
【解析】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)△A′B′C′的面积=3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3=72；
(3)由题意得，12B′M×2=72，
∴B′M=72，
∴M(−92,0)或(52,0)，
故答案为：(−92,0)或(52,0)，
(1)根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
(2)根据割补法求解即可；
(3)根据三角形面积公式结合(2)的结果求解即可．
本题考查了作图−平移变换，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)AD//CE，
理由：∵∠BCD=∠BFE，
∴EF//CD，
∴∠FEC=∠ECD，
∵∠D+∠FEC=180°．
∴∠D+∠ECD=180°，
∴AD//CE；
(2)∵∠BCD=50°，CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠ECD=25°，
∴∠FEC=25°，
∵AD//CE，
∴∠BEC=∠A=90°，
∴∠BEF=90°−25°=65°．
【解析】(1)先判定EF//CD，可得∠D+∠ECD=180°，进而可证明结论；
(2)由角平分线的定义可求解∠FEC=25°，再利用平行线的性质可求解．
本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：两人所用的情境正确，理由如下：
小明：设学生x人，书总数y本，
则y−4x=56x−y=4，
∴小明所用的情境正确；
小华：设每本练习本的单价x元，小王随身带的钱y元，
则y−4x=56x−y=4，
∴小华所用的情境正确；
∴两人所用的情境正确．
【解析】根据二人所用情境，设未知数，列出方程组即可判断．
本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是把数学问题与实际生活结合起来．
25.【答案】解：(1)AC平分∠BAN，
∵MN//BC，
∴∠ACB=∠CAN，
∵∠ACB=∠BAC．
∴∠BAC=∠CAN，
∴AC平分∠BAN，
(2)∵EF⊥AC，
∴∠EAF=90°−∠EAF=70°，
∵AC、AE是角平分线，
∴∠DAE=∠BAE，∠BAC=∠CAN，
∴∠EAF=∠BAC+∠BAE=90°−20°=70°=∠DAE+∠CAN=12∠DAN，
∴∠DAN=140°，
∴∠ADB=40°．
②设∠AEF=α，
∵EF⊥AC，
∴∠EAF=90°−α，
如图2，当点D在点B左侧时，
由(1)知∠NAC=∠BAC=12∠BAN，
∵AE平分∠BAD交射线BC于E，
∴∠DAE=∠BAE=12∠BAD，
又∵∠EAF=∠BAE+∠BAC=12∠BAD+12∠BAN=12(∠BAD+∠BAN)=12∠DAN=90°−α，
∴∠DAN=180°−2α，
∵MN//BC，
∴∠ADB+∠DAN=180°，
∴∠ADB=180°−∠DAN=180°−(180°−2α)=2α，
∴∠ADB=2∠AEF；
当点D在点B右侧时，如图：
∵AC、AE是角平分线，
∴∠DAE=∠BAE=12∠BAD，∠BAC=∠CAN=12∠BAN，
∵∠EAF=∠BAC−∠BAE=12∠BAN−12∠BAD=12(∠BAN−∠BAD)=12∠DAN=90°−α，
∴∠DAN=180°−2α，
∵MN//BC，
∴∠ADB=∠DAN=180°−2α，
∴∠ADB=180°−2∠AEF．
综上，∠ADB=2∠AEF或180°−2∠AEF．
【解析】(1)根据MN//BC得∠ACB=∠CAN，结合已知条件得证；
(2)①在直角三角形AFE中，∠AEF=20°，则∠EAF=90°−∠EAF=70°，根据∠EAF=∠BAC+∠BAE=90°−20°=70°=∠DAE+∠CAN=12∠DAN，从而求出∠DAN=140°，即可求出∠ADB；
②分两种情况进行讨论，当点D在点B左侧时和点D在点B右侧时，数形结合即可解答．
本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角，利用角的和差关系进行推理论证．
26.【答案】(7,2) (2,4)
【解析】解：(1)∵−1+2×4=7，4+(−1)×2=2，
∴点(−1,4)的“2系友好点”的坐标是(7,2)；
设(m,n)的“−2系友好点”的坐标是(−6,0)，
则m−2n=−6n−2m=0，
解得m=2n=4，
∴(2,4)的“−2系友好点”的坐标是(−6,0)；
故答案为：(7,2)；(2,4)；
(2)∵点A(x,y)是点B(m,n)的“−1系友好点”，
∴m−n=xn−m=y，
∵xy=−4，
∴(m−n)(n−m)=−4，
∴(m−n)2=4，
∵点A(x,y)在第二象限，
∴x=m−n<0，
∴m−n=−2；
(3)∵P(t,0)在x轴正半轴上，“k系友好点”为点P′，
∴t>0，P′(t,kt)，
∴OP=t，PP′=|kt|，
∴OP−k⋅PP′=t−k⋅|kt|，
∵无论t为何值，OP−k⋅PP′的值恒为0，
∴t−k⋅|kt|=0对任意t都成立，
若k>0，则t−k2t=0对任意t都成立，
∴1−k2=0，
解得k=1或k=−1(舍去)；
若k<0，则t+k2t=0对任意t都成立，
∴1+k2=0，此时无解；
∴k的值为1．
(1)根据新定义可得(−1,4)的“2系友好点”的坐标是(7,2)；设(m,n)的“−2系友好点”的坐标是(−6,0)，可得m−2n=−6n−2m=0，即可解得答案；
(2)由点A(x,y)是点B(m,n)的“−1系友好点”，可得m−n=xn−m=y，而xy=−4，故(m−n)(n−m)=−4，由点A(x,y)在第二象限，得m−n=−2；
(3)由P(t,0)在x轴正半轴上，“k系友好点”为点P′，得t>0，P′(t,kt)，根据无论t为何值，OP−k⋅PP′的值恒为0，得t−k⋅|kt|=0对任意t都成立，分两种情况讨论即可．
本题考查点的坐标，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“k系友好点“的定义．
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