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2022-2023学年宁夏银川市兴庆区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年宁夏银川市兴庆区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年宁夏银川市兴庆区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A. a−2>b−2 B. −2a>−2b C. 2a−1<2b−1 D. a2
A. B. C. D.
3. 下列从左到右的变形，其中是因式分解的是( )
A. 2(a−b)=2a−2b B. m2−4=(m+2)(m−2)
C. x2−2x+1=x(x−2)+1 D. a(a−b)(b+1)=(a2−ab)(b+1)
4. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A. AB//CD，AD//BC B. OA=OC，OB=OD
C. AD=BC，AB//CD D. AB=CD，AD=BC
5. 线段CD是由线段AB平移得到的，点A(−2,1)的对应点为C(1,−1)，点B(3,0)的对应点D的坐标为( )
A. (6,1) B. (−5,1) C. (6,−2) D. (−5,−2)
6. 不等式−3(x+1)>−6的解集表示在数轴上正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知关于x的分式方程2x+kx−6=−1有增根，则k=( )
A. −12 B. 6 C. 2 D. 24
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=6cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则AP的值为( )
A. 8cm B. 12cm C. 12cm或6cm D. 12cm或8cm
二、解答题（本大题共18小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
9. (本小题3.0分)
因式分解：3m2−6m+3= ______ ．
10. (本小题3.0分)
若分式a2−4a−2的值为0，则a的值为______ ．
11. (本小题3.0分)
若等腰三角形的两边分别为7和4，则它的周长是______ ．
12. (本小题3.0分)
已知关于x的不等式(3−a)x>2的解集为x<23−a，则a的取值范围是______ ．
13. (本小题3.0分)
一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
14. (本小题3.0分)
如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数．
15. (本小题3.0分)
已知直线y=3x+b和y=ax−3交于点P(−2,−5)，试画出这两条直线，并写出不等式3x+b>ax−3的解集．
16. (本小题3.0分)
如图，在▱ABCD中，利用尺规在BC，BA上分别截取BE、BF，使BE=BF；分别以E、F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点G；作射线BG交DC于点H.若AB=5，AD= 3+1，则DH的长为______ ．
17. (本小题6.0分)
解不等式组：3x+6≥5(x−2)x−52−4x−33<1．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(1+1x−1)÷xx2−1，其中x=−4．
19. (本小题6.0分)
解分式方程：1x−2−3=x−12−x．
20. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,5)，C(4,2)(每个方格的边长均为1个单位长度)
(1)将△ABC平移，使点A移动到点A1，请画出△A1B1C1；
(2)作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2的坐标；
(3)△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
21. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，
(1)尺规作图：作AB的垂直平分线，交AB、AC于点D、E；
(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，连接BE，若AC=27，△BCE的周长等于50，求BC的长．
22. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)当AD=BF时，求∠BEF的度数．
23. (本小题8.0分)
如图，△ABC中，AB=AC=4，D、E分别为AB、AC的中点，连接CD，过E作EF//DC交BC的延长线于F．
(1)求证：DE=CF；
(2)若∠B=60°，求EF的长．
24. (本小题8.0分)
某中学开展了关于“构建书香校园”的读书活动，以建设书香校园、和谐校园为目标，引领广大师生“走进五千年文明，品读祖国经典文章”.学校计划采购两类图书，通过市场了解到每套A类图书的价格是每套B类图书价格的1.5倍，用4000元购买的B类图书比用3000元购买的A类图书多20套．
(1)A、B两类图书每套分别是多少元？
(2)现学校计划采购60套图书，且A类图书的数量不低于B类图书数量的一半，该校应该如何采购两类图书才能使得总费用最低，并求出最低费用．
25. (本小题10.0分)
中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》指出，建设高质量教育体系，构建教育良好生态，促进学生德、智、体、美、劳全面发展.某校为了利用课余活动时间强健同学们的体魄，增设了羽毛球社团，深受同学们的喜爱，由于报名人数较多，现需要购买一批羽毛球拍和羽毛球.已知某知名品牌的羽毛球拍一副240元，羽毛球一个8元，甲、乙两个商店给出如下优惠方案：
甲：每副羽毛球拍打九五折，每个羽毛球打九折；
乙：买一副羽毛球拍送两个羽毛球．
(1)现需要购买羽毛球拍20副和羽毛球x个(x>40)．
①在甲、乙两个商店购买的总费用分别为y1元，y2元，求y1，y2与x的函数关系式；
②请你帮学校设计方案，说明在哪家商店购买更加划算；
(2)为了丰富同学们的课余生活，学校决定再增设乒乓球社团，同样需要购买一批乒乓球拍，已知乒乓球拍一副160元.若计划购买羽毛球拍和乒乓球拍一共38副，则在不打折的情况下，8000元至少可以购买多少副乒乓球拍？
26. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形OABC的顶点C(12,0)、B(16,5)，点D是OC的中点，点E在AB上由点B向点A运动．
(1)求点A的坐标；
(2)若点E运动速度为每秒2个单位长度，点E运动的时间为t秒，当四边形ADCE是平行四边形时，求t的值；
(3)当△ODE是等腰三角形时，直接写出点E的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.∵a>b，∴a−2>b−2，正确，符合题意；
B.∵a>b，∴−2a<−2b，不正确，不符合题意；
C.∵a>b，∴2a−1>2b−1，不正确，不符合题意；
D.∵a>b，∴a2>b2，不正确，不符合题意．
故选：A．
根据不等式的基本性质进行判断即可求解．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不变；不等式的性质2：不等式两边同时乘(或除)以同一个正数，不等号方向不变；不等式的性质3：不等式两边同时乘(或除)以同一个负数，不等号方向改变．
2.【答案】D
【解析】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
3.【答案】B
【解析】解：A.2(a−b)=2a−2b，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B.m2−4=(m+2)(m−2)，是因式分解，故此选项符合题意；
C.x2−2x+1=x(x−2)+1，右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意；
D.a(a−b)(b+1)=(a2−ab)(b+1)，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了因式分解的定义，要与整式的乘法区分开，二者是互逆运算，容易出错．
4.【答案】C
【解析】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；
C、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，故符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；
故选：C．
根据平行四边形的判定方法即可判断．
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
5.【答案】C
【解析】解：由点A(−2,1)的对应点为C(1,−1)，
所以线段CD是由线段AB向右平移3个单位，向下平移2个单位所得，
则点B(3,0)的对应点D的坐标为(3+3,0−2)，即(6,−2)．
故选：C．
先根据点A及其对应点C的坐标得出线段AB的平移方向及距离，再利用横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得．
此题主要考查了坐标与图形变化−平移，关键是掌握点的坐标平移后的变化规律．
6.【答案】A
【解析】解：−3(x+1)>−6，
x+1<2，
x<2−1，
x<1，
∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
故选：A．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：去分母得：2x+k=−x+6，
∵分式方程有增根，
∴x−6=0，
解得：x=6，
把x=6代入2x+k=−x+6，
解得：k=−12．
故选：A．
把分式方程化成整式方程得2x+k=−x+6，由分式方程有增根得出x=6，把x=6代入2x+k=−x+6，即可求出k的值．
本题考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根的含义是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：当△BCA≌△PAQ时，
∴AP=BC=6cm，
当△BCA≌△QAP时，
∴PA=AC=12cm，
∴AP的值是6cm或12cm．
故选：C．
分两种情况，由全等三角形对应边相等，即可解决问题．
本题考查全等三角形的性质，关键是要分两种情况讨论．
9.【答案】3(m−1)2
【解析】解：原式=3(m2−2m+1)
=3(m−1)2，
故答案为：3(m−1)2．
提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10.【答案】−2
【解析】解：∵分式a2−4a−2的值为0，
∴a2−4=0a−2≠0，
解得a=−2．
故答案为：−2．
先根据分式的值为零的条件列出关于a的不等式组，求出a的值即可．
本题考查的是分式的值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
11.【答案】18或15
【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为7，底边长为4时，它的周长=7+7+4=18；
当等腰三角形的腰长为4，底边长为7时，它的周长=4+4+7=15；
综上所述：它的周长是18或15，
故答案为：18或15．
分两种情况：当等腰三角形的腰长为7，底边长为4时；当等腰三角形的腰长为4，底边长为7时；然后分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
12.【答案】a>3
【解析】解：∵关于x的不等式(3−a)x>2的解集为x<23−a，
∴3−a<0，
解得a>3，
故答案为：a>3．
根据不等式性质可得3−a<0，即可解得答案．
本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的性质．
13.【答案】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得(n−2)·180°=3×360°−180°，
n−2=6−1，
n=7．
∴这个多边形的边数是7．
【解析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
14.【答案】解：∵△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，
∴∠ACA′=35°，
∵∠A′DC=90°
∴∠A′=55°，
∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，
∴∠A=55°．
【解析】根据旋转的性质，可得知∠ACA′=35°，从而求得∠A′的度数，又因为∠A的对应角是∠A′，即可求出∠A的度数．
此题考查了旋转的性质；图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角．
15.【答案】解：把P(−2,−5)代入y=3x+b得−6+b=−5，解得b=1，
把P(−2,−5)代入y=ax−3得−2a−3=−5，解得a=1，
两直线解析式为y=3x+1，y=x−3，
如图，
当x>−2时，3x+b>ax−3，
所以不等式3x+b>ax−3的解集为x>−2．
【解析】先把P点坐标代入两个解析式中得到b、a的值，然后画出两函数图象，利用函数图象，写出直线y=3x+b在直线y=ax−3上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．
16.【答案】4− 3
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD= 3+1，CD=AB=5，AB//CD，
∴∠CHB=∠ABH，
由作图知，BH平分∠ABC，
∴∠CBH=∠ABH，
∴∠CHB=∠CBF，
∴CH=BC= 3+1，
∴DH=CD−CH=4− 3，
故答案为：4− 3．
根据平行四边形的性质得到BC=AD= 3+1，CD=AB=5，AB//CD，求得∠CHB=∠ABH，根据角平分线的定义得到∠CBH=∠ABH，求得∠CHB=∠CBF，根据等腰三角形的性质得到CH=BC= 3+1，于是得到结论．
考查了作图−基本作图及角平分线的定义、矩形的性质等知识，解题的关键是根据图形确定BP平分∠ABD．
17.【答案】解：由3x+6≥5(x−2)，得：x≤8，
由x−52−4x−33<1，得：x>−3，
则不等式组的解集为−3
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：原式=x−1+1x−1⋅(x+1)(x−1)x
=xx−1⋅(x+1)(x−1)x
=x+1，
当x=−4时，原式=−4+1=−3．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=−4代入进行计算即可．
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】解：原方程两边同乘(x−2)，去分母得：1−3(x−2)=1−x，
去括号得：1−3x+6=1−x，
移项，合并同类项得：−2x=−6，
系数化为1得：x=3，
检验：将x=3代入(x−2)得3−2=1≠0，
则原分式方程的解为：x=3．
【解析】根据解分式方程的步骤解方程后进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，特别注意解分式方程时必须进行检验．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，△A2B2C2为所作；点A2，B2，C2的坐标分别为(−1,−3)，(−2,−5)，(−4,−2)；
(3)△A1B1C1与△A2B2C2关于点P中心对称，如图，
对称中心的坐标的坐标为(−2,−1)．
【解析】(1)利用点A和A1坐标的关系确定平移的方向与距离，关于利用此平移规律写出B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用关于点对称的点的坐标特征写出A2，B2，C2的坐标，然后描点即可；
(3)连接A1A2，B1B2，C1C2，它们都经过点P，从而可判断△A1B1C1与△A2B2C2关于点P中心对称，再写出P点坐标即可．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
21.【答案】解：(1)如图所示，直线DE即为所求，
；
(2)∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
∴BC=50−27=23．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的作法得出线段AB的垂直平分线即可；
(2)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△BCE的周长=AC+BC，然后代入数据进行计算即可得解．
本题考查了线段垂直平分线的尺规作图以及垂直平分线的性质，熟记性质并求出△BCE的周长=AC+BC是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB−∠DCB=90°−∠DCB，
∠BCE=∠DCE−∠DCB=90°−∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE
∴△ACD≌△BCE(SAS)
(2)∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
由(1)可知：∠A=∠CBE=45°，AD=BE，
∵AD=BF，
∴BE=BF，
∴∠BEF=12(180°−45°)=67.5°．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．
(1)由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB−∠DCB，∠BCE=∠DCE−∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE(SAS)；
(2)由△ACD≌△BCE(SAS)可知：∠A=∠CBE=45°，AD=BE，可得BE=BF，从而可求出∠BEF的度数．
23.【答案】(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点
∴DE//CF
又∵EF//DC
∴四边形CDEF为平行四边形
∴DE=CF．
(2)∵AB=AC=4，∠B=60°
∴BC=AB=AC=4
又∵D为AB中点
∴CD⊥AB
∴在Rt△BCD中，
BD=12AB=2
∴CD= BC2−BD2=2 3
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴EF=CD=2 3．
【解析】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；
(2)得到△ABC为等边三角形，可得CD⊥AB，在Rt△BCD中求出CD，即可解决问题；
24.【答案】解：(1)设B种图书每套x元，则A种图书每套1.5x元，
根据题意得：4000x−30001.5x=20，
解得x=100，
经检验，x=100是原方程的解，
此时1.5x=150，
答：A种图书每套150元，B种图书每套100元；
(2)设学校购买A种图书a套，则购买B种图书(60−a)套，购买图书的总费用为y元，
由题意得：y=150a+100(60−a)=50a+6000，
∵50>0，
∴y随x的增大而增大，
∵A种图书数量不低于B种图书数量的一半，
∴a≥12(60−a)，
解得a≥20，
∴当a=20时，y最小，最小值为7000，
此时60−20=40(套)，
答：学校购买A种图书20套，则购买B种图书40套时，总费用最低，最低费用为7000元．
【解析】(1)设B种图书每套x元，则A种图书每套1.5x元，根据用4000元购买的B种图书比用3000元购买的A种图书多20套列出方程，解方程即可，注意验根；
(2：设学校购买A种图书a套，则购买B种图书(60−a)套，购买图书的总费用为y元，根据总费用=两种图书费用之和列出函数解析式，再根据A种图书数量不低于B种图书数量的一半求出a的取值范围，由函数的性质求最值．
本题考查一次函数的应用，分式方程的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系列出函数解析式或方程和不等式．
25.【答案】解：(1)①根据题意，得y1=20×240×0.95+8x×0.9=7.2x+4560；
y2=20×240+8×(x−20×2)=8x+4480．
②当y1>y2时，7.2x+4560>8x+4480，解得x<100；
当y1=y2时，7.2x+4560=8x+4480，解得x=100；
当y1100．
综上所述，当购买羽毛球个数大于40且小于100时，选择乙商店更加划算；当购买羽毛球个数为100时，选择甲、乙两个商店一样；当购买羽毛球个数大于100时，选择甲商店更加划算．
(2)设购买z副乒乓球拍，则购买(38−z)副羽毛球拍．
根据题意，得160z+240(38−z)≤8000．
解得z≥14．
又∵z为正整数，
∴z的最小值为14．
答：在不打折的情况下，8000元至少可以购买14副乒乓球拍．
【解析】(1)①根据总费用=单价×数量×折扣写出甲优惠方案函数关系式，根据总费用=单价×数量写出乙优惠方案函数关系式，注意实际购买羽毛球的个数=需要个数−送球个数；
②方法策略问题：分y1>y2，y1=y2，y1
本题主要考查一次函数的解析式，一元一次不等式，根据题意写出函数关系式是解题的关键．
26.【答案】解：(1)如图，过A作AM⊥OC于M，过B作BN⊥OC于N，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC，AB//OC，
∵C，B的坐标分别为(12,0)，(16,5)，
∴OC=AB=12，
∴OM=CN=4，
∴A(4,5)；
(2)设点E运动t秒时，四边形ADCE是平行四边形，
由题意得：EA=12−2t，
∵点D是OC的中点，
∴OD=CD=12OC=6，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AE=CD，即12−2t=6，
∴t=3，
∴当t=3秒时，四边形ADCE是平行四边形；
(3)①当ED=OD=6时，过E作EF⊥OC于点F，且点F在点D的右边，
则EF=5，
∴DF= 11，则OF=6+ 11，
∴点E的坐标为(6+ 11,5)；
当ED=OD=6时，过E作EF⊥OC于点F，且点F在点D的左边，
则OF=6− 11<4，
此时点E不在线段AB上，需舍去；
②当EO=OD=6时，过E作EF⊥OC于点F，
则EF=5，
∴OF= 11，但 11<4，
此时点E不在线段AB上，需舍去；
③当ED=OE时，过E作EF⊥OC于点F，
则OF=3<4，
此时点E不在线段AB上，需舍去；
综上，当△ODE是等腰三角形时，点E的坐标为(6+ 11,5)．
【解析】(1)由四边形OABC是平行四边形，得到AB=OC，AB//OC，于是得到 OC=AB=12，OM=CN=4，可求出点A的坐标；
(2)根据四边形ADCE是平行四边形，得到12−2t=6，解方程即可得到结论；
(3)如图2，可分三种情况：①当ED=OD=6时，②当EO=OD=6时，③当ED=OE时分别讨论计算即可．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
2022-2023学年宁夏银川市兴庆区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A. a−2>b−2 B. −2a>−2b C. 2a−1<2b−1 D. a2
A. B. C. D.
3. 下列从左到右的变形，其中是因式分解的是( )
A. 2(a−b)=2a−2b B. m2−4=(m+2)(m−2)
C. x2−2x+1=x(x−2)+1 D. a(a−b)(b+1)=(a2−ab)(b+1)
4. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A. AB//CD，AD//BC B. OA=OC，OB=OD
C. AD=BC，AB//CD D. AB=CD，AD=BC
5. 线段CD是由线段AB平移得到的，点A(−2,1)的对应点为C(1,−1)，点B(3,0)的对应点D的坐标为( )
A. (6,1) B. (−5,1) C. (6,−2) D. (−5,−2)
6. 不等式−3(x+1)>−6的解集表示在数轴上正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知关于x的分式方程2x+kx−6=−1有增根，则k=( )
A. −12 B. 6 C. 2 D. 24
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=6cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则AP的值为( )
A. 8cm B. 12cm C. 12cm或6cm D. 12cm或8cm
二、解答题（本大题共18小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
9. (本小题3.0分)
因式分解：3m2−6m+3= ______ ．
10. (本小题3.0分)
若分式a2−4a−2的值为0，则a的值为______ ．
11. (本小题3.0分)
若等腰三角形的两边分别为7和4，则它的周长是______ ．
12. (本小题3.0分)
已知关于x的不等式(3−a)x>2的解集为x<23−a，则a的取值范围是______ ．
13. (本小题3.0分)
一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
14. (本小题3.0分)
如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数．
15. (本小题3.0分)
已知直线y=3x+b和y=ax−3交于点P(−2,−5)，试画出这两条直线，并写出不等式3x+b>ax−3的解集．
16. (本小题3.0分)
如图，在▱ABCD中，利用尺规在BC，BA上分别截取BE、BF，使BE=BF；分别以E、F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点G；作射线BG交DC于点H.若AB=5，AD= 3+1，则DH的长为______ ．
17. (本小题6.0分)
解不等式组：3x+6≥5(x−2)x−52−4x−33<1．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(1+1x−1)÷xx2−1，其中x=−4．
19. (本小题6.0分)
解分式方程：1x−2−3=x−12−x．
20. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,5)，C(4,2)(每个方格的边长均为1个单位长度)
(1)将△ABC平移，使点A移动到点A1，请画出△A1B1C1；
(2)作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2的坐标；
(3)△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
21. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，
(1)尺规作图：作AB的垂直平分线，交AB、AC于点D、E；
(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，连接BE，若AC=27，△BCE的周长等于50，求BC的长．
22. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)当AD=BF时，求∠BEF的度数．
23. (本小题8.0分)
如图，△ABC中，AB=AC=4，D、E分别为AB、AC的中点，连接CD，过E作EF//DC交BC的延长线于F．
(1)求证：DE=CF；
(2)若∠B=60°，求EF的长．
24. (本小题8.0分)
某中学开展了关于“构建书香校园”的读书活动，以建设书香校园、和谐校园为目标，引领广大师生“走进五千年文明，品读祖国经典文章”.学校计划采购两类图书，通过市场了解到每套A类图书的价格是每套B类图书价格的1.5倍，用4000元购买的B类图书比用3000元购买的A类图书多20套．
(1)A、B两类图书每套分别是多少元？
(2)现学校计划采购60套图书，且A类图书的数量不低于B类图书数量的一半，该校应该如何采购两类图书才能使得总费用最低，并求出最低费用．
25. (本小题10.0分)
中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》指出，建设高质量教育体系，构建教育良好生态，促进学生德、智、体、美、劳全面发展.某校为了利用课余活动时间强健同学们的体魄，增设了羽毛球社团，深受同学们的喜爱，由于报名人数较多，现需要购买一批羽毛球拍和羽毛球.已知某知名品牌的羽毛球拍一副240元，羽毛球一个8元，甲、乙两个商店给出如下优惠方案：
甲：每副羽毛球拍打九五折，每个羽毛球打九折；
乙：买一副羽毛球拍送两个羽毛球．
(1)现需要购买羽毛球拍20副和羽毛球x个(x>40)．
①在甲、乙两个商店购买的总费用分别为y1元，y2元，求y1，y2与x的函数关系式；
②请你帮学校设计方案，说明在哪家商店购买更加划算；
(2)为了丰富同学们的课余生活，学校决定再增设乒乓球社团，同样需要购买一批乒乓球拍，已知乒乓球拍一副160元.若计划购买羽毛球拍和乒乓球拍一共38副，则在不打折的情况下，8000元至少可以购买多少副乒乓球拍？
26. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形OABC的顶点C(12,0)、B(16,5)，点D是OC的中点，点E在AB上由点B向点A运动．
(1)求点A的坐标；
(2)若点E运动速度为每秒2个单位长度，点E运动的时间为t秒，当四边形ADCE是平行四边形时，求t的值；
(3)当△ODE是等腰三角形时，直接写出点E的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.∵a>b，∴a−2>b−2，正确，符合题意；
B.∵a>b，∴−2a<−2b，不正确，不符合题意；
C.∵a>b，∴2a−1>2b−1，不正确，不符合题意；
D.∵a>b，∴a2>b2，不正确，不符合题意．
故选：A．
根据不等式的基本性质进行判断即可求解．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不变；不等式的性质2：不等式两边同时乘(或除)以同一个正数，不等号方向不变；不等式的性质3：不等式两边同时乘(或除)以同一个负数，不等号方向改变．
2.【答案】D
【解析】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
3.【答案】B
【解析】解：A.2(a−b)=2a−2b，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B.m2−4=(m+2)(m−2)，是因式分解，故此选项符合题意；
C.x2−2x+1=x(x−2)+1，右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意；
D.a(a−b)(b+1)=(a2−ab)(b+1)，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了因式分解的定义，要与整式的乘法区分开，二者是互逆运算，容易出错．
4.【答案】C
【解析】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；
C、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，故符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；
故选：C．
根据平行四边形的判定方法即可判断．
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
5.【答案】C
【解析】解：由点A(−2,1)的对应点为C(1,−1)，
所以线段CD是由线段AB向右平移3个单位，向下平移2个单位所得，
则点B(3,0)的对应点D的坐标为(3+3,0−2)，即(6,−2)．
故选：C．
先根据点A及其对应点C的坐标得出线段AB的平移方向及距离，再利用横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得．
此题主要考查了坐标与图形变化−平移，关键是掌握点的坐标平移后的变化规律．
6.【答案】A
【解析】解：−3(x+1)>−6，
x+1<2，
x<2−1，
x<1，
∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
故选：A．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：去分母得：2x+k=−x+6，
∵分式方程有增根，
∴x−6=0，
解得：x=6，
把x=6代入2x+k=−x+6，
解得：k=−12．
故选：A．
把分式方程化成整式方程得2x+k=−x+6，由分式方程有增根得出x=6，把x=6代入2x+k=−x+6，即可求出k的值．
本题考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根的含义是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：当△BCA≌△PAQ时，
∴AP=BC=6cm，
当△BCA≌△QAP时，
∴PA=AC=12cm，
∴AP的值是6cm或12cm．
故选：C．
分两种情况，由全等三角形对应边相等，即可解决问题．
本题考查全等三角形的性质，关键是要分两种情况讨论．
9.【答案】3(m−1)2
【解析】解：原式=3(m2−2m+1)
=3(m−1)2，
故答案为：3(m−1)2．
提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10.【答案】−2
【解析】解：∵分式a2−4a−2的值为0，
∴a2−4=0a−2≠0，
解得a=−2．
故答案为：−2．
先根据分式的值为零的条件列出关于a的不等式组，求出a的值即可．
本题考查的是分式的值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
11.【答案】18或15
【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为7，底边长为4时，它的周长=7+7+4=18；
当等腰三角形的腰长为4，底边长为7时，它的周长=4+4+7=15；
综上所述：它的周长是18或15，
故答案为：18或15．
分两种情况：当等腰三角形的腰长为7，底边长为4时；当等腰三角形的腰长为4，底边长为7时；然后分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
12.【答案】a>3
【解析】解：∵关于x的不等式(3−a)x>2的解集为x<23−a，
∴3−a<0，
解得a>3，
故答案为：a>3．
根据不等式性质可得3−a<0，即可解得答案．
本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的性质．
13.【答案】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得(n−2)·180°=3×360°−180°，
n−2=6−1，
n=7．
∴这个多边形的边数是7．
【解析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
14.【答案】解：∵△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，
∴∠ACA′=35°，
∵∠A′DC=90°
∴∠A′=55°，
∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，
∴∠A=55°．
【解析】根据旋转的性质，可得知∠ACA′=35°，从而求得∠A′的度数，又因为∠A的对应角是∠A′，即可求出∠A的度数．
此题考查了旋转的性质；图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角．
15.【答案】解：把P(−2,−5)代入y=3x+b得−6+b=−5，解得b=1，
把P(−2,−5)代入y=ax−3得−2a−3=−5，解得a=1，
两直线解析式为y=3x+1，y=x−3，
如图，
当x>−2时，3x+b>ax−3，
所以不等式3x+b>ax−3的解集为x>−2．
【解析】先把P点坐标代入两个解析式中得到b、a的值，然后画出两函数图象，利用函数图象，写出直线y=3x+b在直线y=ax−3上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．
16.【答案】4− 3
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD= 3+1，CD=AB=5，AB//CD，
∴∠CHB=∠ABH，
由作图知，BH平分∠ABC，
∴∠CBH=∠ABH，
∴∠CHB=∠CBF，
∴CH=BC= 3+1，
∴DH=CD−CH=4− 3，
故答案为：4− 3．
根据平行四边形的性质得到BC=AD= 3+1，CD=AB=5，AB//CD，求得∠CHB=∠ABH，根据角平分线的定义得到∠CBH=∠ABH，求得∠CHB=∠CBF，根据等腰三角形的性质得到CH=BC= 3+1，于是得到结论．
考查了作图−基本作图及角平分线的定义、矩形的性质等知识，解题的关键是根据图形确定BP平分∠ABD．
17.【答案】解：由3x+6≥5(x−2)，得：x≤8，
由x−52−4x−33<1，得：x>−3，
则不等式组的解集为−3
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：原式=x−1+1x−1⋅(x+1)(x−1)x
=xx−1⋅(x+1)(x−1)x
=x+1，
当x=−4时，原式=−4+1=−3．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=−4代入进行计算即可．
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】解：原方程两边同乘(x−2)，去分母得：1−3(x−2)=1−x，
去括号得：1−3x+6=1−x，
移项，合并同类项得：−2x=−6，
系数化为1得：x=3，
检验：将x=3代入(x−2)得3−2=1≠0，
则原分式方程的解为：x=3．
【解析】根据解分式方程的步骤解方程后进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，特别注意解分式方程时必须进行检验．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，△A2B2C2为所作；点A2，B2，C2的坐标分别为(−1,−3)，(−2,−5)，(−4,−2)；
(3)△A1B1C1与△A2B2C2关于点P中心对称，如图，
对称中心的坐标的坐标为(−2,−1)．
【解析】(1)利用点A和A1坐标的关系确定平移的方向与距离，关于利用此平移规律写出B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用关于点对称的点的坐标特征写出A2，B2，C2的坐标，然后描点即可；
(3)连接A1A2，B1B2，C1C2，它们都经过点P，从而可判断△A1B1C1与△A2B2C2关于点P中心对称，再写出P点坐标即可．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
21.【答案】解：(1)如图所示，直线DE即为所求，
；
(2)∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
∴BC=50−27=23．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的作法得出线段AB的垂直平分线即可；
(2)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△BCE的周长=AC+BC，然后代入数据进行计算即可得解．
本题考查了线段垂直平分线的尺规作图以及垂直平分线的性质，熟记性质并求出△BCE的周长=AC+BC是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB−∠DCB=90°−∠DCB，
∠BCE=∠DCE−∠DCB=90°−∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE
∴△ACD≌△BCE(SAS)
(2)∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
由(1)可知：∠A=∠CBE=45°，AD=BE，
∵AD=BF，
∴BE=BF，
∴∠BEF=12(180°−45°)=67.5°．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．
(1)由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB−∠DCB，∠BCE=∠DCE−∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE(SAS)；
(2)由△ACD≌△BCE(SAS)可知：∠A=∠CBE=45°，AD=BE，可得BE=BF，从而可求出∠BEF的度数．
23.【答案】(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点
∴DE//CF
又∵EF//DC
∴四边形CDEF为平行四边形
∴DE=CF．
(2)∵AB=AC=4，∠B=60°
∴BC=AB=AC=4
又∵D为AB中点
∴CD⊥AB
∴在Rt△BCD中，
BD=12AB=2
∴CD= BC2−BD2=2 3
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴EF=CD=2 3．
【解析】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；
(2)得到△ABC为等边三角形，可得CD⊥AB，在Rt△BCD中求出CD，即可解决问题；
24.【答案】解：(1)设B种图书每套x元，则A种图书每套1.5x元，
根据题意得：4000x−30001.5x=20，
解得x=100，
经检验，x=100是原方程的解，
此时1.5x=150，
答：A种图书每套150元，B种图书每套100元；
(2)设学校购买A种图书a套，则购买B种图书(60−a)套，购买图书的总费用为y元，
由题意得：y=150a+100(60−a)=50a+6000，
∵50>0，
∴y随x的增大而增大，
∵A种图书数量不低于B种图书数量的一半，
∴a≥12(60−a)，
解得a≥20，
∴当a=20时，y最小，最小值为7000，
此时60−20=40(套)，
答：学校购买A种图书20套，则购买B种图书40套时，总费用最低，最低费用为7000元．
【解析】(1)设B种图书每套x元，则A种图书每套1.5x元，根据用4000元购买的B种图书比用3000元购买的A种图书多20套列出方程，解方程即可，注意验根；
(2：设学校购买A种图书a套，则购买B种图书(60−a)套，购买图书的总费用为y元，根据总费用=两种图书费用之和列出函数解析式，再根据A种图书数量不低于B种图书数量的一半求出a的取值范围，由函数的性质求最值．
本题考查一次函数的应用，分式方程的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系列出函数解析式或方程和不等式．
25.【答案】解：(1)①根据题意，得y1=20×240×0.95+8x×0.9=7.2x+4560；
y2=20×240+8×(x−20×2)=8x+4480．
②当y1>y2时，7.2x+4560>8x+4480，解得x<100；
当y1=y2时，7.2x+4560=8x+4480，解得x=100；
当y1
综上所述，当购买羽毛球个数大于40且小于100时，选择乙商店更加划算；当购买羽毛球个数为100时，选择甲、乙两个商店一样；当购买羽毛球个数大于100时，选择甲商店更加划算．
(2)设购买z副乒乓球拍，则购买(38−z)副羽毛球拍．
根据题意，得160z+240(38−z)≤8000．
解得z≥14．
又∵z为正整数，
∴z的最小值为14．
答：在不打折的情况下，8000元至少可以购买14副乒乓球拍．
【解析】(1)①根据总费用=单价×数量×折扣写出甲优惠方案函数关系式，根据总费用=单价×数量写出乙优惠方案函数关系式，注意实际购买羽毛球的个数=需要个数−送球个数；
②方法策略问题：分y1>y2，y1=y2，y1
本题主要考查一次函数的解析式，一元一次不等式，根据题意写出函数关系式是解题的关键．
26.【答案】解：(1)如图，过A作AM⊥OC于M，过B作BN⊥OC于N，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC，AB//OC，
∵C，B的坐标分别为(12,0)，(16,5)，
∴OC=AB=12，
∴OM=CN=4，
∴A(4,5)；
(2)设点E运动t秒时，四边形ADCE是平行四边形，
由题意得：EA=12−2t，
∵点D是OC的中点，
∴OD=CD=12OC=6，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AE=CD，即12−2t=6，
∴t=3，
∴当t=3秒时，四边形ADCE是平行四边形；
(3)①当ED=OD=6时，过E作EF⊥OC于点F，且点F在点D的右边，
则EF=5，
∴DF= 11，则OF=6+ 11，
∴点E的坐标为(6+ 11,5)；
当ED=OD=6时，过E作EF⊥OC于点F，且点F在点D的左边，
则OF=6− 11<4，
此时点E不在线段AB上，需舍去；
②当EO=OD=6时，过E作EF⊥OC于点F，
则EF=5，
∴OF= 11，但 11<4，
此时点E不在线段AB上，需舍去；
③当ED=OE时，过E作EF⊥OC于点F，
则OF=3<4，
此时点E不在线段AB上，需舍去；
综上，当△ODE是等腰三角形时，点E的坐标为(6+ 11,5)．
【解析】(1)由四边形OABC是平行四边形，得到AB=OC，AB//OC，于是得到 OC=AB=12，OM=CN=4，可求出点A的坐标；
(2)根据四边形ADCE是平行四边形，得到12−2t=6，解方程即可得到结论；
(3)如图2，可分三种情况：①当ED=OD=6时，②当EO=OD=6时，③当ED=OE时分别讨论计算即可．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
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