2022-2023学年四川省资阳市高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省资阳市高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年四川省资阳市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复数4−3i1+i=(    )
A. 72+12i B. 12+12i C. 12−72i D. 72−72i
2. 双曲线x28−y24=1的离心率为(    )
A. 62 B. 2 C. 3 D. 6
3. 函数f(x)=x−lnx的单调递减区间为(    )
A. (0,1) B. (1,+∞)
C. (0,+∞) D. (0,1)，(0,+∞)
4. 已知(1+i)2z=2+i，则z=(    )
A. −12−i B. 12+i C. −12+i D. 12−i
5. 研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法正确的是(    )
A. 两个变量的相关系数的绝对值越接近于1，它们的相关性越弱
B. 两个变量y与x的回归模型中，分别选择了甲、乙两个模型，其回归系数分别为R甲2=0.88，R乙2=0.98，则模型甲比模拟乙的拟合效果好
C. 在经验回归方程y =0.4+0.5x中，当解释变量x每增加1个单位时，相应观测值y增加0.5个单位
D. 经验回归直线经过样本中心点(x−,y−)
6. 抛物线C：y=ax2过点(1,2)，则C的焦点到准线的距离为(    )
A. 18 B. 14 C. 12 D. 1
7. 已知双曲线C：x2−y2m2=1(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2且与C的右支相交于A，B两点，若|AB|=2，则△ABF1的周长为(    )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
8. 已知函数y=x⋅tanx的导函数为(    )
A. y′=sinxcosx+xcos2x B. y′=sinxcosx+xcos2xcos2x
C. y′=sinxcosx+1cos2x D. y′=sinxcosx+cos2xcos2x
9. 曲线C的参数方程为x=et+e−ty=et−e−t(t为参数)，则C的普通方程为(    )
A. y2−x2=2 B. x2−y2=2 C. y2−x2=4 D. x2−y2=4
10. 已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2 33，则E的两条渐近线的夹角为(    )
A. π6 B. π4 C. π3 D. 5π12
11. 已知点A，B在抛物线C：y2=2x上，O为坐标原点，△OAB为等边三角形，则△OAB的面积为(    )
A. 12 3 B. 24 3 C. 36 3 D. 48 3
12. 过坐标原点可以作曲线y=(x+a)ex两条切线，则a的取值范围是(    )
A. (−e,0) B. (−4,0)
C. (−∞,−e)∪(0,+∞) D. (−∞,−4)∪(0,+∞)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数y=x+2cosx在区间[0,π2]上的最大值是______．
14. 已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ−π3)=2 3，则l的倾斜角为______ ．
15. 已知抛物线C：x2=2y的焦点为F，过点P(0,−2)作C的一条切线，切点为Q，则△FPQ的面积为______ ．
16. 已知点F1、F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点A是双曲线C的一条渐近线上一点，且F1A⊥F2A.若△F1AF2的面积为 32c2，则双曲线C的离心率为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x= 22ty=−1+ 22t(t为参数).以坐标原点为极点，m轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
(1)求C的直角坐标方程；
(2)设点M的直角坐标为(0,−1)，l与C的交点为A，B，求1|MA|+1|MB|的值．
18. (本小题12.0分)
中国茶文化源远流长，历久弥新，生生不息.某学校高中一年级某社团为了解人们喝茶习惯，利用课余时间随机对400个人进行了调查了解，得到如下列联表：

不经常喝茶
经常喝茶
合计
男
50
200
250
女
50
100
150
合计
100
300
400
(1)通过计算判断，有没有99%的把握认为是否“经常喝茶”与性别有关系？
(2)根据样本数据，在“经常喝茶”的人中按性别用分层抽样的方法抽取了6人.若从这6人中随机选择2人进行访谈，求所抽取的2人中至少有1名女性的概率．
附表及公式
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
其中K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
19. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ex−ax2+1．
(1)求曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程；
(2)若x∈(0,+∞)时，f(x)单调递增，求a的取值范围．
20. (本小题12.0分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)实轴长为2，左、右两顶点分别为A1，A2，C上的一点P(x0,y0)(y0≠0)分别与A1，A2连线的斜率之积为3．
(1)求C的方程；
(2)经过点(0,1)的直线l分别与C的左、右支交于M，N两点，O为坐标原点，△OMN的面积为 6，求l的方程．
21. (本小题12.0分)
已知抛物线G：x2=2py(p>0)焦点为F，R为G上的动点，K(1,2)位于G的上方区域，且|RK|+|RF|的最小值为3．
(1)求G的方程；
(2)过点P(0,2)作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交G于A，B两点，l2交G于C，D两点，且M，N分别为线段AB和CD的中点.直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=(x−1)ex+ax+1．
(1)若a=−e，求f(x)的极值；
(2)若x≥0，f(x)≥2sinx，求a的取值范围．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：4−3i1+i=(4−3i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−4i−3i+3i21−i2=1−7i2=12−72i，故A，B，D错误．
故选：C．
利用复数的四则运算计算求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

2.【答案】A 
【解析】解：因为双曲线x28−y24=1，所以a2=8，b2=4，
所以c2=a2+b2=12，的离心率e=ca= 128= 62，故B，C，D错误．
故选：A．
根据双曲线的方程以及离心率的概念计算求解．
本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．

3.【答案】A 
【解析】解：因为f(x)=x−lnx，所以函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
所以f′(x)=1−1x，由f′(x)=1−1x<0有：x<1，
所以函数f(x)=x−lnx的单调递减区间为(0,1)，故B，C，D错误．
故选：A．
利用导数公式对函数进行求导，再根据导数与函数单调性的关系计算求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题．

4.【答案】D 
【解析】解：∵(1+i)2z=2+i，
∴2iz=2+i，
∴(−i)⋅2iz=(−i)(2+i)，
则z=12−i，
故选：D．
利用复数的四则运算法则即可得出．
本题考查了复数的四则运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

5.【答案】D 
【解析】解：两个变量的相关系数的绝对值越接近于1，它们的相关性越强，故A错误；
两个变量y与x的回归模型中，分别选择了甲、乙两个模型，其回归系数分别为R甲2=0.88，R乙2=0.98，
∵0.88<0.98，∴模型甲比模拟乙的拟合效果差，故B错误；
在经验回归方程y =0.4+0.5x中，当解释变量x每增加1个单位时，相应观测值y平均增加0.5个单位，观测值y无法确定，故C错误；
经验回归直线经过样本中心点(x−,y−)，故D正确．
故选：D．
由相关系数的大小与相关性的关系判断A；由回归系数与拟合效果间的关系判断B；由经验回归方程的性质判断C与D．
本题考查经验回归方程与相关系数，是基础题．

6.【答案】B 
【解析】解：因为抛物线C：y=ax2过点(1,2)，所以a=2，
故抛物线C：x2=12y，
所以C的焦点到准线的距离为14．
故选：B．
根据条件求出a的值，从而得出抛物线的方程，进而可求出结果．
本题考查了抛物线的方程以及简单几何性质，属于基础题．

7.【答案】B 
【解析】解：双曲线x2−y2m2=1(m>0)的实半轴长a=1，

由双曲线的定义，可得|AF1|−|AF2|=2a=2，|BF1|−|BF2|=2a=2，
所以|AF1|=2+|AF2|，|BF1|=2+|BF2|，
则三角形ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF2|+|BF2|+6=|AB|+6=8．
故选：B．
结合双曲线的定义来解决即可．
本题考查双曲线的几何性质，数形结合思想，属中档题．

8.【答案】A 
【解析】解：y=x⋅tanx=x⋅sinxcosx=x⋅sinxcosx，
y′=(x⋅sinx)′cosx−x⋅sinx(cosx)′cos2x=(sinx+xcosx)cosx−x⋅sinx⋅(−sinx)cos2x
y′=sinxcosx+xcos2x+x⋅sin2xcos2x=sinxcosx+xcos2x．
故选：A．
先化简函数，再由导数求导公式和运算法则求解即可．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．

9.【答案】D 
【解析】解：曲线C的参数方程为x=et+e−ty=et−e−t(t为参数)，转换为普通方程为x2−y2=4．
故选：D．
直接利用转换关系，把参数方程转换为普通方程．
本题考查的知识要点：参数方程和普通方程之间的转换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．

10.【答案】C 
【解析】解：∵双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2 33，
∴ca=2 33，可得c2a2=a2+b2a2=43，
即ba= 33，则双曲线的渐近线y= 33x的倾斜角为π6，
可得E的两条渐近线的夹角为π3．
故选：C．
由双曲线的离心率可得ba的值，得到一条渐近线的倾斜角，进一步得答案．
本题考查双曲线的简单性质，是基础题．

11.【答案】A 
【解析】解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，
∵|OA|=|OB|，
∴x12+y12=x22+y22．
又∵y12=2x1，y22=2x2，
∴x22−x12+2(x2−x1)=0，
即(x2−x1)(x1+x2+2)=0．
又∵x1，x2均为正数，
∴x1+x2+2≠0．
∴x2−x1=0，即x1=x2．
由抛物线对称性，知点A、B关于x轴对称．
∴∠AOx=30°，则y1= 33x1．
∴A(x1, 33x1)，将其代入抛物线方程中得( 33x1)2=2x1，
解得x1=6，
∵等边三角形OAB的边长为|OA|=2 33x1=4 3，
所以面积为12×(4 3)2× 32=12 3．
故选：A．
根据|OA|=|OB|和抛物线对称性，知点A、B关于x轴对称．可知∠AOx=30°，进而根据抛物线和直线方程求得点A的坐标，即可求解面积．
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．

12.【答案】D 
【解析】解：y′=ex+(x+a)ex，设切点坐标为(x0,(x0+a)ex0)，
∴切线的斜率k=ex0+(x0+a)ex0，
∴切线方程为y−(x0+a)ex0=(ex0+(x0+a)ex0)(x−x0)，
又∵切线过原点，∴−(x0+a)ex0=(ex0+(x0+a)ex0)(−x0)，
整理得：x02+ax0−a=0，
∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根，
∴Δ=a2+4a>0，解得a<−4或a>0，
即a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞)，
故选：D．
设切点坐标为(x0,(x0+a)ex0)，利用导数求出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得x02+ax0−a=0，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由Δ>0即可求出a的取值范围．
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．

13.【答案】π6+ 3 
【解析】解：∵y=x+2cosx，∴y′=1−2sinx
令y′=0而x∈[0,π2]则x=π6，
当x∈[0,π6]时，y′>0．
当x∈[π6,π2]时，y′<0．
所以当x=π6时取极大值，也是最大值；
故答案为π6+ 3
对函数y=x+2cosx进行求导，研究函数在区间[0,π2]上的极值，本题极大值就是最大值．
本题考查了利用导数求闭区间上函数的最大值问题，属于导数的基础题．

14.【答案】π3 
【解析】解：根据x=ρcosθ y=ρsinθ x2+y2=ρ2 直线ρsin(θ−π3)=2 3，
转换为直角坐标方程为12y− 32x=2 3，整理得 3x−y−4 3=0，
故直线的斜率k= 3，
设直线的倾斜角为α，所以tanα= 3(0≤α<π)，
故α=π3．
故答案为：π3．
首先把直线的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步求出直线的斜率和倾斜角．
本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．

15.【答案】52 
【解析】解：过点P(0,−2)作C的一条切线，该切线的斜率必定存在，可设为k，则切线方程为：y=kx−2，
由x2=2yy=kx−2可得x2=2kx−4，即x2−2kx+4=0，
所以Δ=4k2−16=0，故k=±2，
所以Q(±2,2)，
而F(0,12)，
故△FPQ的面积为12×2×(2+12)=52．
故答案为：52．
设出切线的方程并与抛物线的方程联立，求出切点坐标后可求△FPQ的面积．
本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于基础题．

16.【答案】2 
【解析】解：不妨设点A为第一象限内一点，双曲线C的渐近线方程为y=±bax，
设点A(x,bax)，其中x>0，易知F1(−c,0)、F2(c,0)，
F1A=(x+c,bxa)，F2A=(x−c,bxa)，
因为F1A⊥F2A，则F1A⋅F2A=(x+c)(x−c)+b2x2a2=x2+b2x2a2−c2=c2a2x2−c2=0，
因为x>0，解得x=a，即点A(a,b)，
所以，S△F1AF2=12|F1F2|⋅b=12×2c×b=bc= 32c2，所以，b= 32c，
所以，a= c2−b2= c2−34c2=12c，
因此，双曲线C的离心率为e=ca=2．
故答案为：2．
不妨设点A为第一象限内一点，设点A(x,bax)，其中x>0，由已知可得出F1A⋅F2A=0，求出点A的坐标，利用三角形面积公式可出b、c的等量关系式，即可求得双曲线C的离心率的值．
本题考查双曲线的性质，属于中档题．

17.【答案】解：(1)根据x=ρcosθ y=ρsinθ x2+y2=ρ2 ，把曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ转换为直角坐标方程为(x−2)2+y2=4．
(2)把直线l的参数方程为x= 22ty=−1+ 22t(t为参数)，
代入(x−2)2+y2=4，得到t2−3 2t+1=0；
所以t1+t2=3 2，t1t2=1；
故1|MA|+1|MB|=|t1+t2||t1t2|=3 2． 
【解析】(1)直接利用转换关系，在极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2)利用直线参数方程的几何意义结合一元二次方程根与系数的关系求解．
本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．

18.【答案】解：(1)根据列联表中数据可得：
K2=400×(50×100−200×50)2100×300×250×150≈8.889>6.635，
∴有99%的把握认为是否“经常喝茶”与性别有关系；
(2)∵在“经常喝茶”的人中按性别用分层抽样的方法抽取了6人，
∴由表可得这6人中男性4人，女性2人，
∴所求概率P=1−C42C62=35． 
【解析】(1)先计算随机变量K2的值，再根据独立性检验原理，即可求解；
(2)根据古典概型的概率公式，计算即可求解．
本题考查独立性检验原理的应用，古典概型的概率公式的应用，属基础题．

19.【答案】解：(1)由f(x)=ex−ax2+1，得f′(x)=ex−2ax，
则f′(0)=1，又f(0)=2，
所以曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y−2=x−0，
即y=x+2．
(2)因为x∈(0,+∞)时，f(x)单调递增，
所以x∈(0,+∞)时，f′(x)=ex−2ax≥0恒成立，
即2a≤exx在x∈(0,+∞)时恒成立，
设g(x)=exx，则g′(x)=(x−1)exx2，
则01时，g′(x)>0，
可知x=1时，g(x)取极小值g(1)=e，该极小值也即为(0,+∞)上的最小值，
所以2a≤e，即a≤e2，
所以x∈(0,+∞)，f(x)单调递增时，a的取值范围是(−∞,e2]． 
【解析】(1)利用导数公式、导数的几何意义以及直线的点斜式方程求解．
(2)f(x)在x∈(0,+∞)单调递增时，则f′(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立，再利用分离参数法、导数计算求解．
本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的切线问题，利用导数研究函数的单调性，属中档题．

20.【答案】解：(1)由题a=1，不妨设点A1(−1,0)，A2(1,0)，C的方程为x2−y2b2=1．
因为P(x0,y0)在C上，
则x02−y02b2=1，
即有y02=b2(x02−1)，
则P(x0,y0)分别与A1，A2连线的斜率之积为y0x0+1⋅y0x0−1=y02x02−1=b2(x02−1)x02−1=b2=3，
所以C的方程为x2−y23=1．

(2)由题知，直线l的斜率存在，设为k，则l的方程为y=kx+1，
联立方程组y=kx+1,x2−y23=1,消去y，得(3−k2)x2−2kx−4=0，
令M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则x1+x2=2k3−k2,x1x2=−43−k2，
因为直线l分别交C的左、右支于M，N两点，

则Δ=4k2+16(3−k2)>0，x1x2=−43−k2<0，
则− 3 则|x1−x2|2=(x1+x2)2−4x1x2=(2k3−k2)2+163−k2=24，
解得k2=2或72(舍去)，则k=± 2，
所以l的方程为y=± 2x+1． 
【解析】(1)由题意设x2−y2b2=1，表示出P(x0,y0)分别与A1，A2连线的斜率之积，再将y02=b2(x02−1)化简即可得出答案；
(2)联立直线PQ方程与双曲线方程，结合题意由韦达定理求出k的范围，表示出△OMN的面积S=12|x1−x2|= 6，将韦达定理代入化简即可得出答案．
本题主要考查了直线与双曲线相交问题以及双曲线中三角形面积问题，解答本题的关键在于由韦达定理表示出x1−x2代入△OMN的面积，然后通过计算得到k的值．

21.【答案】解：(1)抛物线G：x2=2py(p>0)的焦点(0,p2)，准线l的方程为y=−p2，
过点R作RQ⊥l，垂直为Q，
所以|RK|+|RF|=|RF|+|RQ|最小值为点K(1,2)到直线l：y=−p2的距离2+p2=3，
解得p=2，
所以抛物线G的方程为：x2=4y．
(2)设直线l1的斜率为k，直线l1的方程为y=kx+2，
A(x1,y1)，B(x2,y2)，则M(x1+x22,y1+y22)，
联立x2=4yy=kx+2，得x2−4kx−8=0，
所以Δ=16k2+4>0，x1+x2=2k，y1+y2=k(x1+x2)+4=2k2+4，
所以M(2k,2k2+4)，
因为l1⊥l2，
所以直线l2的斜率为−1k，则直线y=−1kx+2，
同理可得N(−2k,2k2+2)，
直线MN的斜率为2k2+2−2+2k2k22k+2k=2k4+2k2−2−2k2k2⋅k2k2+2=k4−1k(k2+1)=k2−1k，
所以直线MN的方程为y−2+2k2k2=k2−1k(x+2k)，
所以k2y−(2+2k2)=k(k2−1)x+2k2−2，
所以k2y=k(k2−1)x+4k2，
所以ky=(k2−1)y+4k，
所以y=k2−1kx+4，
所以直线MN过点(0,4)，
所以直线MN恒过定点(0,4)． 
【解析】(1)抛物线准线l的方程为y=−p2，过点R作RQ⊥l，垂直为Q，则|RK|+|RF|=|RF|+|RQ|最小值为点K(1,2)到直线l：y=−p2的距离2+p2=3，解得p，即可得出答案．
(2)设直线l1的斜率为k，直线l1的方程为y=kx+2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则M(x1+x22,y1+y22)，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得x1+x2，y1+y2，则M(2k,2k2+4)，同理可得N(−2k,2k2+2)，写出直线MN的方程，即可得出答案．
本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．

22.【答案】解：(1)已知f(x)=(x−1)ex+ax+1，函数定义域为R，
当a=−e时，f(x)=(x−1)ex−ex+1，
可得f′(x)=xex−e，
不妨设g(x)=f′(x)=xex−e，函数定义域为R
可得g′(x)=(x+1)ex，
又g(1)=0，
当x<−1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x>−1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以当x<1时，g(x)<0，f′(x)<0；
当x>1时，g(x)>0，f′(x)>0，
所以f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
则当x=1时，函数f(x)取得极小值，极小值f(1)=1−e，无极大值；
(2)若x≥0，f(x)≥2sinx，
不妨设h(x)=f(x)−2sinx=(x−1)ex+ax−2sinx+1，函数定义域为[0,+∞)，
可得h′(x)=xex+a−2cosx，
不妨设k(x)=h′(x)=xex+a−2cosx，函数定义域为[0,+∞)，
可得k′(x)=(x+1)ex+2sinx，
不妨设m(x)=(x+1)ex，函数定义域为[0,+∞)，
可得m′(x)=(x+2)ex>0，
所以函数m(x)在定义域上单调递增，
此时m(x)≥m(0)=1，
当0≤x<π时，(x+1)ex>0，sinx≥0，所以k′(x)>0，
当x>π，+∞时，(x+1)ex≥(π+1)eπ>2，所以k′(x)>0，
此时k′(x)>0在[0,+∞)上恒成立，
则函数k(x)在定义域上恒成立，
所以h′(x)在[0,+∞)上单调递增，
当a−2≥0，即a≥2时，h′(x)≥h′(0)≥0，
所以函数h(x)单调递增，
则h(x)≥h(0)=0恒成立，符合题意；
当a−2<0，即a<2时，
因为h′(0)<0，h′(3−a)=(3−a)e3−a+a−2cos(3−a)≥3−a+a−2cos(3−a)>0，
所以在区间(0,3−a)上存在一点x0，使得h′(x0)=0，
当0 当x00，h(x)单调递增，
所以当x=x0时，函数h(x)取得极小值也是最小值，最小值h(x0) 综上，满足条件的a的取值范围为[2,+∞)． 
【解析】(1)由题意，将a=−e代入函数f(x)解析式中，对函数f(x)进行求导，利用导数得到函数f(x)的单调性，进而即可求解；
(2)构造函数h(x)=f(x)−2sinx，此时问题转化成h(x)≥0在x≥0上恒成立，对函数h(x)进行求导，分别讨论当a−2≥0和a−2<0这两种情况，结合导数的几何意义进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．