2022-2023学年河北省邢台市卓越联盟高二（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省邢台市卓越联盟高二（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河北省邢台市卓越联盟高二（下）第一次月考数学试卷（3月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在等差数列{an}中，a2+a8=10，则a5=(    )
A. 10 B. 5 C. 8 D. 6
2. 已知f′(x0)=3,Δx→0lim f(x0+2Δx)−f(x0)3Δx的值是(    )
A. 3 B. 1 C. 2 D. 32
3. 下列求导运算正确的是(    )
A. (x−1x)′=1−1x2 B. (log3x)′=1xln3
C. (5x)′=5xlog5e D. (x2cosx)′=−2xsinx
4. 如图是y=f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列说法正确的个数是(    )
①f(x)在区间[−2,−1]上是增函数；
②x=−1是f(x)的极小值点；
③f(x)在区间[−1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；
④x=1不是f(x)的极大值点．

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
5. 已知函数f(x)=xcosx−sinx+π2，则f′(π2)的值为(    )
A. π2 B. −π2 C. −1 D. −π
6. 若直线y=x−2a与曲线y=xlnx−x相切，则a=(    )
A. 1e B. e C. e2 D. e2
7. 若函数f(x)=x+3x,x≤013x3−4x+a,x>0，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为(    )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8. 已知f(x)=ex，g(x)=2 x，若f(x1)=g(x2)，d=|x2−x1|，则d的最小值为(    )
A. 1−ln22 B. 1−ln2 C. 14 D. 1e
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 可能把直线y=32x+b作为切线的曲线是(    )
A. y=−1x B. y=sinx C. y=lnx D. y=ex
10. 已知直线y=kx−2与抛物线x2=4y相切，则k=(    )
A. 2 B. − 2 C. 3 D. − 3
11. 已知函数f(x)=xln(1+x)，则(    )
A. f(x)在(0,+∞)单调递增
B. f(x)有两个零点
C. 曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线的斜率为0
D. f(x)是偶函数
12. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法⋅商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则(    )


A. S4=20 B. an+1−an=n
C. Sn−Sn−1=n(n+1)2,n≥2 D. 1a1+1a2+1a3+⋯+1a100=200101
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 曲线f(x)=3sinx+4x2+5在点(0,f(0))处切线的斜率为______ ．
14. 若函数f(x)=x3+mx2+x+2023在R上无极值点，则实数m的取值范围是______ ．
15. 已知等比数列{an}为递增数列，且a52=a10,2(an+an+2)=5an+1，则数列{an}的通项公式为______ ．
16. 已知函数f(x)=13x3−2x+ex−1ex，其中e是自然对数的底数，若f(2a−3)+f(a2)≤0，则实数a的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
设等差数列{an}公差为d，等比数列{bn}公比为q，已知a1=b1=1，b4=64，q=2d．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn=a2n−1+b2n，求数列{cn}的前n项和Sn．
18. (本小题12.0分)
设函数f(x)=−13x3+x2+(m2−1)x，其中m>0．
(1)当m=1时，求f(x)在区间[−3,2]上的最大值与最小值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
19. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=x+4x,g(x)=2x+a．
(1)求函数f(x)=x+4x在[12,1]上的值域；
(2)若∀x1∈[12,1]，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数a的取值范围．
20. (本小题12.0分)
在数列{an}中，a1=1，对∀n∈N*，nan+1−(n+1)an=n(n+1)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=1 anan+1，证明数列{bn}的前n项和Sn<1．
21. (本小题12.0分)
已知数列{an}满足an=2an−1+2,a1=2,n≥2,n∈N*．
(1)求证：数列{an+2}为等比数列；
(2)设bn=log2(an+2)，求数列{bn(an+2)}的前n项和Tn．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=lnx+ax2−3x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−2，求a值；
(2)若a=1，对于任意x1，x2∈[1,10]，当x1m(x2−x1)x1x2恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】
【分析】
根据题意和等差数列的性质求出a5的值．
本题考查等差数列的性质的应用，属于基础题．
【解答】
解：根据等差数列的性质得，a2+a8=2a5=10，
则a5=5，
故选B．  
2.【答案】C 
【解析】解：f′(x0)=3,Δx→0lim f(x0+2Δx)−f(x0)3Δx=23△x→0limf(x0+2△x)−f(x0)2△x=23f′(x0)=2．
故选：C．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．

3.【答案】B 
【解析】解：(x−1x)′=1+1x2，A错误；
(log3x)′=1xln3，B正确；
(5x)′=5xln5，C错误；
(x2cosx)′=2xcosx−x2sinx，D错误．
故选：B．
由已知结合函数的求导公式分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．

4.【答案】D 
【解析】解：易知当−20，f(x)单调递增；
当20，f(x)单调递增；当x>4时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=−1时，函数f(x)取得极小值；当x=2时，函数f(x)取得极大值，当x=4时，函数f(x)取得极小值，
对于①：函数f(x)在区间[−2,−1]上是减函数，故①错误；
对于②：x=−1是f(x)的极小值点，故②正确；
对于③：f(x)在区间[−1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数，故③正确；
对于④：x=1不是f(x)的极大值点，故④正确，
综上，结论正确的有②③④．
故选：D．
由题意，根据导函数f′(x)的图象，得到函数f(x)的单调性和极值，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和数形结合能力．

5.【答案】B 
【解析】解：f(x)=xcosx−sinx+π2，
则f′(x)=cosx−xsinx−cosx=−xsinx，
故f′(π2)=−π2sinπ2=−π2．
故选：B．
根据已知条件，结合导数的运算，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．

6.【答案】C 
【解析】解：设切点P(x0,y0)，
由y=xlnx−x，得y′=lnx，
则lnx0=1x0−2a=x0lnx0−x0，解得x0=ea=e2．
故选：C．
设出切点坐标，求出y=xlnx−x在切点处的导数，由斜率相等及切点处的函数值相等列方程组求解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．

7.【答案】C 
【解析】解：根据指数函数性质可知y=3x在(−∞,0]上单调递增，
故当x≤0时，则f(x)=x+3x在(−∞,0]上单调递增，
又f(0)=1>0，f(−1)=−23<0，
根据零点存在定理，f(x)在(−∞,0]存在唯一零点，
则当x>0时，f(x)=13x3−4x+a无零点，
当x>0时，f′(x)=x2−4，
令f′(x)>0，则x>2，f′(x)<0时，则0 f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
于是x>0时，f(x)有最小值f(2)，
依题意，f(2)=a−163>0，
解得a>163，
所以最小整数为6．
故选：C．
先根据零点存在定理判断出在(−∞,0]上f(x)有唯一实数根，于是x>0时，f(x)无解，根据导数可判断x>0时，f(x)有最小值，只需最小值大于零即可．
本题考查零点存在性定理，以及导数的综合应用，属于基础题．

8.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了函数与方程的综合应用，利用导数研究函数的单调性以及最值问题，解题的关键是构造函数，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
令f(x1)=g(x2)=t>0，则x1=lnt，x2=t24，构造函数h(t)=x2−x1，利用导数研究函数h(t)的单调性，确定其最小值，即可得到答案．
【解答】
解：令f(x1)=g(x2)=t>0，则x1=lnt，x2=t24，
令h(t)=x2−x1，即h(t)=t24−lnt，
则h′(t)=t2−1t=t2−22t，
令h′(t)=0，解得t= 2，
当0 当t> 2时，h′(t)>0，则h(t)单调递增，
所以当t= 2时，h(t)取得最小值为h( 2)=( 2)24−ln 2=1−ln22，
故d的最小值为1−ln22．
故选：A．
  
9.【答案】ACD 
【解析】解：对于A，由y=−1x，得：y′=1x2，
由1x2=32，得x2=23，解得：x=± 63，∴直线y=32x+b可以作为曲线y=−1x的切线方程；
对于B，由y=sinx，得：y′=cosx，
∵cosx≤1，∴直线y=32x+b不可以作为曲线y=sinx的切线方程；
对于C，由y=lnx，得：y′=1x，
由1x=32，得x=23，∴直线y=32x+b可以作为曲线y=lnx的切线方程；
对于D，由y=ex，得：y′=ex，
由ex=32，得x=ln32，∴直线y=32x+b可以作为曲线y=ex的切线方程．
∴可能把直线y=32x+b作为切线的曲线是ACD．
故选：ACD．
逐一求出四个选项中函数的导函数，由导函数等于32求解x的值，能求出x的即为可能把直线y=32x+b作为切线的曲线．
本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．

10.【答案】AB 
【解析】解：设切点坐标为(x0,y0)，
因为抛物线x2=4y，
所以y′=12x，
因为直线y=kx−2与抛物线x2=4y相切，
所以k=12x0y0=kx0−2x02=4y0，
解得x02=8，则k2=14x02=2，
即k=± 2，
故选：AB．
设切点坐标为(x0,y0)，求导得y′=12x，由直线y=kx−2与抛物线x2=4y相切，列方程组k=12x0y0=kx0−2x02=4y0，进而解得答案．
本题考查导数的几何意义，属于中档题．

11.【答案】AC 
【解析】解：由f(x)=xln(1+x)知函数的定义域为(−1,+∞)，
f′(x)=ln(1+x)+x1+x，
对于A：当x∈(0,+∞)时，ln(1+x)>0,x1+x>0，f′(x)>0，
所以f(x)在(0,+∞)单调递增，A正确；
对于B：由f(0)=0，
当−10，
当x>0时，ln(1+x)>0，f(x)>0，
所以f(x)只有一个零点，B错误；
对于C：曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线的斜率为0，故C正确；
对于D：因为函数的定义域为(−1,+∞)，
所以函数f(x)不关于原点对称，
所以f(x)不是偶函数，D错误．
故选：AC．
函数f(x)的定义域为(−1,+∞)，求导得f′(x)=ln(1+x)+x1+x，对于A：分析f′(x)的符号，进而可得f(x)的单调性，即可判断A是否正确；
对于B：分析f(x)的符号，即可判断B是否正确；对于C：由导数的几何意义可得曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线的斜率为0，即可判断C是否正确；对于D：函数的定义域为(−1,+∞)，则函数f(x)不关于原点对称，即可判断D是否正确．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．

12.【答案】ACD 
【解析】解：根据题意，由于a1=1，a2=3，a3=6，……，
分析可得：a2−a1=2，a3−a2=3，……，
依次类推，有an+1−an=n+1，
以上n个式子累加可得：an=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2，
由此分析选项：
对于A，S4=1+3+6+10=20，A正确；
对于B，由于an+1−an=n+1，B错误；
对于C，当n≥2，Sn−Sn−1=an=n(n+1)2，C正确；
对于D，由于an=n(n+1)2，则1an=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，
则有1a1+1a2+⋯+1a100=2(1−12)+2(12−13)+⋯+2(1100−1101)=2(1−1101)=200101，D正确．
故选：ACD．
根据题意，归纳数列{an}的递推公式和通项公式，由此分析选项，综合可得答案．
本题考查数列的求和以及数列的递推公式，涉及归纳推理的应用，属于基础题．

13.【答案】3 
【解析】解：∵f′(x)=3cosx+8x，
∴曲线f(x)=3sinx+4x2+5在点(0,f(0))处切线的斜率为f′(0)=3．
故答案为：3．
利用导数的几何意义求解．
本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题．

14.【答案】[− 3, 3] 
【解析】解：函数f(x)=x3+mx2+x+2023在R上没有极值点，
即函数的导数等于0无解或有唯一解(但导数在点的两侧符号相同)．
函数f(x)=x3+mx2+x+1的导数为f′(x)=3x2+2mx+1，
∴Δ=4m2−12≤0，∴− 3≤m≤ 3，
故答案为：[− 3, 3].
函数f(x)=x3+mx2+x+2023在R上没有极值点，即函数的导数等于0无解或有唯一解(但导数在点的两侧符号相同)，又导数为f′(x)=3x2+2mx+1，故判别式△≤0，解不等式求得实数m的取值范围．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，化归转化思想，属中档题．

15.【答案】an=2n 
【解析】解：设数列的公比为q，首项为a1，则
∵a52=a10,2(an+an+2)=5an+1，
∴(a1q4)2=a1q9，2(1+q2)=5q，
∵等比数列{an}为递增数列，
∴q=2，a1=2
∴an=2n
故答案为：an=2n
利用条件确定数列的首项与公比，即可求得数列{an}的通项公式．
本题考查等比数列的通项，考查学生的计算能力，属于基础题．

16.【答案】[−3,1] 
【解析】解：由f(x)=13x3−2x+ex−1ex，
则f(−x)=13(−x)3−2(−x)+e−x−1e−x=−13x3+2x+1ex−ex=−f(x)，
即函数为R上的奇函数．
又f′(x)=x2−2+ex+1ex≥x2−2+2 ex⋅1ex=x2−2+2=x2≥0，函数f(x)为R上的增函数，
又f(2a−3)+f(a2)≤0，所以f(2a−3)≤f(−a2)，即2a−3≤−a2，
解得−3≤a≤1，即实数a的取值范围是[−3,1]．
故答案为：[−3,1]．
求出f(x)的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f(x)在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f(x)为奇函数，原不等式即为2a2≤1−a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．
本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．

17.【答案】解：(1)由题意，b4=b1q3=q3=64，解得q=4．
∵q=2d，∴d=2．
∴数列{an}的通项公式为an=1+(n−1)×2=2n−1，
数列{bn}的通项公式为bn=b1qn−1=4n−1．
(2)由(1)，知cn=a2n−1+b2n=2(2n−1)−1+42n−1=4n−3+42n−1．
故Sn=c1+c2+…+cn
=(1+41)+(5+43)+…+(4n−3+42n−1)
=(1+5+…+4n−3)+(41+43+…+42n−1)
=n(1+4n−3)2+4⋅(1−42n)1−42
=2n2−n+42n+1−415． 
【解析】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查了方程思想和分组求和法的应用，属于中档题．
(1)根据等差数列和等比数列的通项公式代入即可求出公差d和公比q，即可得到数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结论求出数列{cn}的通项公式，在求数列{cn}的前n项和Sn时，采用分组求和法利用等差数列和等比数列求和公式分别求和再相加即可得到结果．

18.【答案】解：(1)当m=1时，f(x)=−13x3+x2，
∴f′(x)=−x2+2x=−x(x−2)，
∴当x∈[−3,0)时，f′(x)<0；当x∈(0,2)时，f′(x)>0；
∴f(x)在[−3,0)上单调递减，在(0,2]上单调递增，
又f(−3)=9+9=18，f(2)=−83+4=43，f(0)=0，
∴f(x)max=f(−3)=18，f(x)min=f(0)=0．
(2)由题意知：f(x)定义域为R，f′(x)=−x2+2x+(m2−1)=−[x−(m+1)](x+m−1)；
令f′(x)=0，解得：x=m+1或x=1−m；
∵m>0，
∴1−m ∴当x∈(1−m,m+1)时，f′(x)>0，
∴f(x)的单调递增区间为(1−m,m+1)． 
【解析】(1)利用导数可确定f(x)在[−3,2]上的单调性，进而确定最值点和最值；
(2)求导后，根据f′(x)=0的两根可确定f′(x)>0的解集，由此可得单调递增区间．
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．

19.【答案】解：(1)f(x)=x+4x，f′(x)=1−4x2=(x+2)(x−2)x2，
∵x∈[12,1]，∴x+2>0，x−2<0，
∴f′(x)<0，f(x)在[12,1]递减，
∴f(x)max=f(12)=172，f(x)min=f(1)=5，
∴f(x)的值域是[5,172]；
(2)若∀x1∈[12,1]，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，
等价为f(x1)min≥g(x2)min，
由(1)得：f(x)min=5，
由g(x)=2x+a在[2,3]递增，
可得g(x)的最小值为g(2)=4+a，
则4+a≤5，解得：a≤1，
故a的取值范围是(−∞,1]． 
【解析】(1)求出函数的导数，求出函数的单调区间，求出函数的值域即可；
(2)由题意可得f(x1)min≥g(x2)min，运用对勾函数的单调性可得f(x)的最小值；由指数函数的单调性可得g(x)的最小值，解不等式可得所求范围．
本题考查了函数的单调性，值域问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是中档题．

20.【答案】解：(1)∵nan+1−(n+1)an=n(n+1)，
∴an+1n+1−ann=1，
又a11=1，
∴数列{ann)是首项、公差均为1的等差数列，
∴ann=1+(n−1)×1=n，
所以an=n2；
证明：(2)由(1)得an=n2，
∴bn=1 anan+1=1n(n+1)=1n−1n+1，
∴Sn=(1−12)+(12−13)+…+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1<1． 
【解析】(1)先由nan+1−(n+1)an=n(n+1)⇒an+1n+1−ann=1，进而说明数列{ann)是首项、公差均为1的等差数列，求出ann，即可求得an；
(2)先由(1)中求得的an求出bn，再利用裂项相消法即可求得其前n项和Sn．
本题主要考查了等差数列的性质，考查了裂项相消法求和，属于中档题．

21.【答案】解：(1)证明：数列{an}满足an=2an−1+2,a1=2,n≥2,n∈N*，
可得an+2=2an−1+4=2(an−1+2)，
又a1+2=2+2=4，
可得数列{an+2}是首项为4，公比为2的等比数列；
(2)由(1)知an+2=4⋅2n−1=2n+1，bn=log22n+1=n+1，
∴bn(an+2)=(n+1)⋅2n+1，
∴Tn=2⋅22+3⋅23+4⋅24+⋯+n⋅2n+(n+1)⋅2n+1①，
2Tn=2⋅23+3⋅24+⋯+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1+(n+1)⋅2n+2②，
①−②得
−Tn=8+23+24+⋯+2n+1−(n+1)⋅2n+2
=8+8⋅(1−2n−1)1−2−(n+1)⋅2n+2=−n⋅2n+2，
∴Tn=n⋅2n+2． 
【解析】(1)将已知递推式两边同时加上2，由等比数列的定义可得证明；
(2)由对数的运算性质求得bn，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．

22.【答案】解：(1)函数定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x+2ax−3，
由函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−2，
得f′(1)=1+2a−3=0，解得a=1；
  (2)a=1时，f(x)=lnx+x2−3x．
不等式f(x1)−f(x2)>m(x2−x1)x1x2可变形为f(x1)−f(x2)>mx1−mx2，
即f(x1)−mx1>f(x2)−mx2，
因为x1，x2∈[1,10]，x1 所以函数y=f(x)−mx在[1,10]上单调递减，
  令h(x)=f(x)−mx=lnx+x2−3x−mx,x∈[1,10]，
则h′(x)=1x+2x−3+mx2≤0在x∈[1,10]上恒成立，
即m⩽−2x3+3x2−x在x∈[1,10]上恒成立，
设F(x)=−2x3+3x2−x，则F′(x)=−6x2+6x−1=−6(x−12)2+12．
因为当x∈[1,10]时，F′(x)<0，
所以函数F(x)在[1,10]上单调递减，
所以F(x)min=F(10)=−1710，
所以m⩽−1710，
即实数m的取值范围为(−∞,−1710]． 
【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义及已知切线斜率可求a；
(2)由已知不等式进行变形，结合不等式特点合理的构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系及不等式恒成立与最值关系的转化可求．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．