重庆市渝北中学2024届高三数学上学期7月月考试题（Word版附解析）

这是一份重庆市渝北中学2024届高三数学上学期7月月考试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔.等内容，欢迎下载使用。

重庆市渝北中学高2024级高三7月摸底月考
数学
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2．答题时请按要求用笔.
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单选题
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由补集、交集的概念运算
【详解】，则．
故选：B
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取特殊值，排除ABC；对于D，利用不等式的性质进行证明.
【详解】由，不妨取.
对于A：，故不成立；
对于B：，故不成立；
对于C：，故不成立；
对于D：因为，所以，所以，即.
故选：D
3. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由奇函数定义可求解
【详解】

故选：D
4. 如图，树人中学欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地面面积为，高度为3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为（ ）

A. 40000元 B. 42000元 C. 45000元 D. 48000元
【答案】B
【解析】
【分析】设房屋的长为，则宽为，则总造价
再利用基本不等式求出最小值即可得解；
【详解】解：设房屋的长为，则宽为，则总造价
，当且仅当，即时取等号；
故当长等于，宽等于时，房屋的最低总造价为元，
故选：
【点睛】本题考查函数的应用，基本不等式的应用，属于基础题.
5. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）
A. 存在x∈R，使得f(x)=0
B. 若a=c=0，则函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C. 若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(-∞，x0)上单调递减
D. 若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)=0
【答案】C
【解析】
【分析】由已知结合函数的值域、奇偶性、极值即可求解．
【详解】解：由三次函数值域为R知f(x)=0有解，故A项正确；
因为f(-x)=-x3+ax2-bx+c，则f(-x)+f(x)=2ax2+2c，当a=c=0时，f(-x)+f(x)=0，故B项正确；
若f(x)有极小值点，则f′(x)=0有两个不等实根x1，x2(x1 则f(x)在(-∞，x1)上是增加的，在(x1，x2)上是减少的，在(x2，+∞)上是增加的，即x0=x2，故C项错误；
若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)=0正确，D项正确，
故选：C．
6. 将一个各面均涂有油漆的正方体，锯成1000个同样大小的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅拌在一起，然后从中任取一个小正方体，则恰好是一个具有两面漆的正方体的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个同样大小的小正方体，可得基本事件的总数有1000个，然后计算出满足条件两面有油漆的基本事件个数，代入率公式即可得到结果．
【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个同样大小的小正方体，
其中满足两面漆有油漆的小正方体有个，
从中随机地取出一个小正方体，其两面漆有油漆的概率.
故选：A．
7. 下列命题正确的是（ ）
A. 与平面内无数条直线垂直的直线与该平面垂直
B. 过直线外一点可以作无数条直线与该直线平行
C. 正四面体的外接球球心和内切球球心恰好重合
D. 各面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥
【答案】C
【解析】
【分析】由线面垂直的定义可判断A；由平行公理可判断B；证明正四面体的外接球球心和内切球球心恰好重合可判断C ；举反例可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：与平面任意一条直线都垂直的直线与该平面垂直，故选项A不正确；
对于B：过直线外一点可以作一数条直线与该直线平行，故选项B不正确；
对于C：如图为棱长为的正四面体，设的中心为，连接，则面，设正四面体外接球的球心为，则点在上，如图，则，因为，所以四个小三棱锥，三棱锥、三棱锥、三棱锥、三棱锥全等，所以四个小三棱锥体积相等，因为四个等边三角形作为底面且面积相等，所以点到四个面的距离相等，所以外接球的球心为也即是内切球的球心，故选项C正确；
对于D：如图：三棱锥中，，，两两垂直且相等，则，
可满足各面都是等腰三角形，但不是正三棱锥，故选项D不正确，
故选：C.

8. 偶函数和奇函数的图象如图所示，若关于的方程，的实根个数分别为、，则

A. 16 B. 14 C. 12 D. 10
【答案】D
【解析】
【详解】由，得，
结合函数的图象可得有6个实根，
故；
同理，由得或，
结合函数的图象可得，有4个实根，
故．
所以．
故选：D．
二、多选题
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 集合有两个子集
B. 若，则
C. 集合里面有6个元素
D. 平面直角坐标系中第二、四象限的点的集合可以表示为
【答案】AD
【解析】
【分析】A解方程根据解集元素的个数判断正误即可；B当出现矛盾；C注意集合中的分数，若时集合有6个元素，而有无数个元素；D根据点在二、四象限的横纵坐标的符号即可判断正误.
【详解】A：，则有2个子集，正确；
B：当，则，故错误；
C：的自然数元素有，而，共有无数个元素，错误；
D：若点坐标为，第二象限的点有，第四象限的点有，故第二、四象限的点的集合可以表示为，正确.
故选：AD
10. 设，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据条件可得，的符号不能确定，然后依次判断即可.
【详解】因为，，所以，的符号不能确定，
当时，，故A错误，
因为，，所以，故B正确，
因为，所以，故C正确，
因为，所以，所以，所以，故D错误，
故选：BC
11. 若过点可以作出曲线的切线l，且l最多有n条，，则（ ）
A B. 当时，a值唯一
C. 当时， D. na的值可以取到﹣4
【答案】ABD
【解析】
【分析】设切线的切点为，得到，令，画出函数的图象分析得解.
【详解】解：由题得，
设切线的切点为，所以切线的斜率，
所以切线方程为，
因为，所以，
化简得，
令，所以，
令令或，
所以函数在单调递增，在，单调递减，
，当时，，当时，，
函数的图象如图所示，

过点可以作出曲线的切线l，所以,所以选项A正确；
当时，与图象有两个交点，，取值唯一，所以选项B正确；
当时，或，所以选项C不正确；
由于时，，所以的值可以取到﹣4，所以选项D正确.
故选：ABD
12. 已知定义在R上的偶函数满足：对任意，都有，若，，，则下面结论正确的是（ ）
A. 在上单调递增 B. 在上单调递减
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】结合函数的单调性和奇偶性确定正确选项.
【详解】依题意，是定义在上的偶函数，且：任意，都有，
所以在上递减，在上递增. A正确，B错误.
，，
所以，C正确，D错误.
故选：AC
三、填空题
13. 已知函数的图象恒过定点，则定点的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据指数函数图象恒过，利用平移变换即可求解.
【详解】因为恒过点，将图象向左平移个单位，再向下平移个单位，即可得的图象，则点平移后得到点，
所以恒过点，
故答案：
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记指数函数的图象恒过点，平移变换左加右减，上加下减即可求出平移后的定点.
14. 已知为偶函数，则，横线上的表达式为________．
【答案】.
【解析】
【分析】当时，则，由时，，结合偶函数的性质可得当时表达式，进而求得结果．
【详解】令，则，
又为偶函数，所以；
所以横线上的表达式为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质，函数解析式的求法，熟练掌握偶函数的性质是解答的关键．
15. 关于函数的性质描述，正确的是______.①定义域为；②值域为；③为定义域内的增函数；④的图象关于原点对称.
【答案】①②④
【解析】
【分析】由被开方式非负和分母不为零，解不等式组可得函数的定义域，可判断①；化简，讨论，，分别求出的范围，求并集可得的值域，可判断②；由，可判断③；由奇偶性的定义可判断④
【详解】解：对于①，由，解得且，所以函数的定义域为，所以①正确；
对于②，由①可得，
当时，，
当时，，
所以的值域为，所以②正确；
对于③，由，
则为定义域内的不是增函数，所以③错误；
对于④，由①可知的定义域关于原点对称，
因为，所以为奇函数，
所以的图象关于原点对称，所以④正确，
故答案：①②④
【点睛】此题考查函数的性质和应用，主要考查函数定义域和值域的求法、单调性的判断和图像的特征，考查分类思想，属于中档题
16. 已知是函数在上的所有零点之和，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先研究函数对称性，再确定零点个数，最后根据对称性求M.
【详解】因为，
所以函数关于对称，
如图可得曲线与有四个交点，所以函数 在上有8个零点，且两两关于对称，因此

【点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先研究函数的单调性、对称性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
四、解答题
17. 求下列不等式的解集.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）或
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）利用二次不等式的解法解之即可；
（2）将原不等式变形为，利用二次不等式的解法解之即可；
（3）将原不等式变形为，即可得出原不等式的解集；
（4）计算出，可得出原不等式的解集.
【小问1详解】
解：原不等式即为，解得，
故原不等式的解集为；
【小问2详解】
解：将原不等式变形为，
即，解得或，
故原不等式的解集为或；
【小问3详解】
解：将原不等式变形为，解得，
故原不等式的解集为；
【小问4详解】
解：对于不等式，，
故原不等式的解集为.
18. 为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下表：

经常应用
偶尔应用或者不应用
总计
农村学校
40


城市学校


80
总计
100

160
（1）补全上面的列联表；
（2）通过计算判断能否有99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关．
附：，其中．

0.500
0.050
0.005

0.445
3.841
7.879

【答案】（1）填表见解析；（2）能有99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关．
【解析】
【分析】（1）根据总计的值进行填表即可；
（2）根据题中所给的公式和表格进行求解、判断即可.
【详解】解：（1）补全列联表如下：

经常应用
偶尔应用或者不应用
总计
农村学校
40
40
80
城市学校
60
20
80
总计
100
60
160
（2）计算，
∴能有99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关．
19. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面．

【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】由题可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得，然后利用线面垂直的判定定理即得.
【详解】∵在中，D是AB的中点，，
∴,
∵E是PB的中点，D是AB的中点，
∴，
∴，
又，，平面，平面，
∴平面，
∵平面，
∴，
又，，平面，平面，
∴平面．
20. 已知在上是单调递减的一次函数，且.
(1)求；
(2)求函数在上的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）先由题意，设，根据，得到，由对应系数相等，求出，即可得出结果；
（2）先由（1）得，分别讨论，，三种情况，根据二次函数的性质，即可得出结果.
【详解】（1）因为在上是单调递减的一次函数，
所以设，
又，所以，
即，所以，解得：，
因此；
（2）由（1）可得：是开口向上，对称轴为的二次函数，
当时，函数在上单调递增，所以；
当，即时，函数在上单调递减，所以；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以；
综上，函数在上的最小值为.
【点睛】本题主要考查求一次函数解析式，以及二次函数的值域，利用待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.
21. 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）.如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.
（1）将该厂家2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
（2）该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？
【答案】（1）；（2）该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.
【解析】
【分析】（1）根据题意，当时，x=1，进而代入已知等式解出k，然后求出每件产品的销售价格，最后得到函数的解析式；
（2）根据（1）中的式子，结合基本不等式即可得到答案.
【详解】（1）由题意，当时，x=1，则，于，所以.
（2）由（1），，
当且仅当时“=”成立.
所以，该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.
22.
已知函数（是自然对数的底数）.
（1）若曲线在处的切线也是抛物线的切线，求的值；
（2）若对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）或；（2）（3）相等，一个.
【解析】
【分析】（1）求出在的切线，与联立，根据切线与抛物线只有一个交点，则；（2）分，，根据导数讨论；（3）转化为函数的零点通过导数求解.
【详解】（1），
所以在处的切线为
即：
与联立，消去得，
由知，或
（2）
①当时，在上单调递增，且当时，，
，故不恒成立，所以不合题意 ；
②当时，对恒成立，所以符合题意；
③当时令，得，
当时，，
当时，，
故在上是单调递减，在上是单调递增,
所以
又，，
综上：
(3)当时，
由（2）知，
设，
则，
假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等，即为方程的解，
令得：，
因为， 所以.
令，则，
当是，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
,故方程有唯一解为1，
所以存在符合条件的，且仅有一个.
【点睛】本题考查导数的综合应用. 复杂方程的根问题：1、转化为函数的交点求解；2、转化为函数的零点求解.