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2022-2023学年上海市黄浦区重点中学高一（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年上海市黄浦区重点中学高一（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市黄浦区重点中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 与sin(θ−π2)一定相等的是( )
A. cos(π2−θ) B. sin(3π2+θ) C. cos(−θ) D. sin(θ+π2)
2. 如图，矩形ABCD的周长为4，设AB=x，AC=y，则y=f(x)的大致图像为( )
A.
B.
C.
D.
3. 已知α∈(0,π)，β∈(0,π)，sin(α−β)=34，tanαtanβ=−5，则α+β=( )
A. B. C. D. 56π
4. 设a∈R，A={(x,y)|y=f(x)，定义域为R}，B={(x,y)||x|+|y|=1或y=x}，实数集M中的任意实数a，总存在A⊆B，使得方程f(x)=a无实数解，则集合M可以是( )
①M={a|a>0}；②M={a|a≤0}；③M={a|a≤1}；④M={a|a>1}
A. ①④ B. ②③ C. ①② D. 以上皆不是
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
5. 设全集U={x|1≤x<10,x∈Z}，集合A={1,2,3,5,7}，则A−= ______ ．
6. 已知角α的终边经过点(−1,− 3)，则cosα= ______ ．
7. 若−32π<α<−π，则点(cotα,cosα)必在第______ 象限．
8. 若定义在R上的奇函数y=f(x)在区间[0,+∞)上的图像如图所示，则y=f(x)的单调减区间是______ ．
9. 已知圆O上的一段圆弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角的弧度为______ ．
10. 已知α是锐角，且cos(π6+α)cosα−sin(π6+α)sinα=12，则α= ______ ．
11. 已知定义在R上的奇函数y=f(x)，当x≥0时，f(x)=2x+x+a，则f(−1)= ______ ．
12. 已知1x−2≥1是|x−a|<2的充分非必要条件，则实数a的取值范围是______ ．
13. 已知α，β都为锐角，sinα=35,cos(α+β)=513，则cosβ的值为______ ．
14. 定义：区间[x1,x2](x1
16. 已知函数f(x)=2022x−3+(x−3)3−20223−x+2x，则不等式f(x2−4)+f(2−3x)≤12的解集为______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
(1)已知(164)x=81−x，求x的值；
(2)已知幂函数y=x−k2+k+2,k∈N满足f(1)
由于突发短时强降雨，某中学地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y(单位：m3)与时间t(单位：h)成正比，1小时后雨停，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y与t的函数关系式为y=k×(25)t(k为常数)，如图所示．
(1)求y关于t的函数表达式；
(2)已知该地下车库的面积为256m2，当积水深度小于等于0.05m时，师生方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，师生才能进入地下车库？
19. (本小题8.0分)
已知sinα+cosα3sinα−cosα=2．
(1)求tan(π−α)的值；
(2)求sinαcosα的值；
(3)若0<α<π，求sinα+cosα的值．
20. (本小题5.0分)
已知y=2x+a⋅2−x(a为常数，a∈R)
(1)讨论该函数的奇偶性；
(2)当该函数为偶函数时，记y=f(x)，若方程f(2x)−kf(x)=3在x∈[0,1)上有实根，求实数k的取值范围．
21. (本小题4.0分)
已知f1(x)=|x−2a+1|，f2(x)=|x−a|+1，x∈R．
(1)若a=3，求函数y=ef1(x)+ef2(x)在x∈[3,5]上的最小值；
(2)若|f1(x)−f2(x)|=f2(x)−f1(x)对于任意的实数x∈R恒成立，求a的取值范围；
(3)当0≤a≤6时，求函数g(x)=f1(x)+f2(x)2−|f1(x)−f2(x)|2在x∈[2,8]上的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：sin(θ−π2)=−cosθ，
对于A，cos(π2−θ)=sinθ，不一定相等；
对于B，sin(3π2+θ)=−cosθ，一定相等；
对于C，cos(−θ)=cosθ，不一定相等；
对于D，sin(θ+π2)=cosθ，不一定相等．
故选：B．
由题意利用诱导公式即可求解．
本题考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为矩形ABCD的周长为4，所以AB+BC+CD+DA=4，
即2x+2BC=4，所以x+BC=2，即BC=2−x，
由勾股定理得：y2=x2+(2−x)2，
∴y2=2x2−2x+4，且x+y=2，即0
可进一步整理曲线方程：y22=x2−x+14+74，
∴y22=(x−12)2+74，∴2y27−(2x−1)27=1，
∴y=f(x)是一个双曲线函数，且图象只与y轴相交，
与x轴没有交点，所以可作出图：
故选：C．
先求出曲线对应的方程，根据方程的特点可判断选取哪个图象．
本题考查求曲线的方程，判断其图象，属于中档题．
3.【答案】D
【解析】解：∵α，β∈(0,π)，sin(α−β)=34，tanαtanβ=−5，
∴sinαcosβ−cosαsinβ=34，sinαcosβcosαsinβ=−5，
∴sinαcosβ=58，cosαsinβ=‐18，
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12，
且0<β<π2，，
∴π2<α+β<3π2，．
故选：D．
利用两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系求出sinαcosβ和cosαsinβ，再求出α+β即可．
本题考查了两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】解：如下图，
B集合中的点构成了一个正方形和一条直线，由于A⊆B，且定义域为R，
故y=x(x<−1或x>1)这两条射线上的点必在y=f(x)图像上，
当|a|>1时，f(x)=a必有解；
当|a|≤1时，可构造函数如下图：
挖去y=a与B集合中的图像交点，选择图像中实心点，
故存在A⊆B，使得方程f(x)=a无实数解；
综上所述：满足条件a的范围为|a|≤1．
故选：D．
根据题意结合函数的定义，利用数形结合的思想处理问题．
本题考查方程的根的问题，常用数形结合的方法处理，属中档题．
5.【答案】{4,6,8,9}
【解析】解：∵全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={1,2,3,5,7}，
∴A−={4,6,8,9}．
故答案为：{4,6,8,9}．
可求出全集U，然后根据补集的运算即可求出答案．
本题考查了集合的描述法和列举法的定义，补集的运算及定义，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】−12
【解析】解：因为角α的终边经过点(−1,− 3)，
所以cosα=−1 (−1)2+(− 3)2=−12．
故答案为：−12．
由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
7.【答案】三
【解析】解：−3π2<α<−π时，α是第二象限角，所以cotα<0，cosα<0，
点(cotα,cosα)在第三象限．
故答案为：三．
判断α是第二象限角，得出cotα与cosα的符号，即可得出结论．
本题考查了三角函数值的符号判断问题，是基础题．
8.【答案】(−∞,−1]和[1,+∞)
【解析】解：因为定义在R上的奇函数y=f(x)在区间[0,+∞)上的图像如图所示，
则当x≥0时，y=f(x)的单调减区间为[1,+∞)，
根据奇函数的对称性可知，当x<0时，函数的单调递减区间为(−∞,−1]，
故函数y=f(x)的单调递减区间为(−∞,−1]和[1,+∞)．
故答案为：(−∞,−1]和[1,+∞)．
由已知结合奇函数对称区间上单调性一致先求出x<0时的单调区间，进而可求．
本题主要考查了奇函数对称性单调性一致的性质的应用，属于基础题．
9.【答案】 2
【解析】解：设圆O的半径为r，则AC=2r，圆内接正方形的边长AB= 2r，
则圆弧长等于 2r时，这段圆弧所对的圆心角弧度为 2rr= 2．
故答案为： 2．
圆的半径表示出圆内接正方形的边长，由此求出圆弧长等于圆内接正方形的边长时，圆弧所对的圆心角弧度数．
本题考查了圆内接正方形以及圆弧所对的圆心角弧度计算问题，是基础题．
10.【答案】π12
【解析】解：∵α是锐角，且cos(π6+α)cosα−sin(π6+α)sinα=12=cos[(π6+α)+α]=cos(2α+π6)，
2α+π6∈(π6,7π6)，
∴2α+π6=π3，∴α=π12．
故答案为：π12．
由题意利用两角和的余弦公式，求得cos(2α+π6)的值，结合2α+π6的范围，可得2α+π6的值，从而得出结论．
本题主要考查两角和的余弦公式的应用，属于基础题．
11.【答案】−2
【解析】解：∵y=f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2x+x+a，
∴f(0)=1+a=0，
∴a=−1，
∴f(−1)=−f(1)=−(21+1−1)=−2．
故答案为：−2．
依题意，可得f(0)=1+a=0，求得a，再利用f(−1)=−f(1)可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算能力，属于基础题．
12.【答案】(1,4]
【解析】解：由1x−2≥1可得，3−xx−2≥0，
解得2
所以{x|2
故答案为：(1,4]．
先求出两个不等式的解集，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
13.【答案】5665
【解析】解：因为α，β都是锐角，
所以0<α+β<π，cosα= 1−sin2α=45，sin(α+β)= 1−cos2(α+β)=1213，
所以cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=513×45+1213×35=5665．
故答案为：5665．
首先利用角的变换得cosβ=cos[(α+β)−α]，再结合两角差的余弦公式，以及同角三角函数基本关系式，即可求解．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
14.【答案】e−1e
【解析】解：函数y=|lnx|的值域为[0,1]，那么0≤lnx≤1或−1≤lnx<0，
解得1e≤x<1或1≤x≤e，即1e≤x≤e，
函数y=|lnx|的定义域为[1e,e]，
所以函数定义域区间的长度为e−1e．
故答案为：e−1e．
先由函数值域求出函数定义域的取值范围，然后求出区间[a,b]的长度的最大值．
本题考查对数函数的定义域和值域，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．
15.【答案】16
【解析】解：令x+1=t(t>0)，则y=(t+9)(t+1)t=t+9t+10≥2 t⋅9t+10=16，
当且仅当t=9t，即t=3，x=2时，函数y=(x+10)(x+2)x+1的最小值为16，
故答案为：16．
令x+1=t(t>0)，则y=(t+9)(t+1)t=t+9t+10，利用基本不等式，即可得出结论．
本题考查函数的最值，考查基本不等式的运用，正确换元、利用基本不等式是关键．
16.【答案】{x|3− 412≤x≤3+ 412}
【解析】解：令g(x)=2022x+x3−2022−x+2x，
则g(−x)=2022−x−x3−2022x−2x=−g(x)，即g(x)为奇函数且g(x)在R上单调递增，
又f(x)=2022x−3+(x−3)3−20223−x+2x=g(x−3)+6，
由f(x2−4)+f(2−3x)≤12可得g(x2−4−3)+g(2−3x−3)+12≤12，
即g(x2−7)≤g(1+3x)，
所以x2−7≤1+3x，
解得3− 412≤x≤3+ 412，
故答案为：{x|3− 412≤x≤3+ 412}.
令g(x)=2022x+x3−2022−x+2x，则f(x)=g(x−3)+6，在判断g(x)的单调性及奇偶性，结合奇偶性及单调性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵(164)x=81−x，即8−2x=81−x，∴−2x=1−x，求得x=−1．
(2)∵幂函数y=x−k2+k+2,k∈N，满足f(1)
(2)由题意，利用幂函数的定义和性质，求得k的值以及幂函数的表达式．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由图可知，当0≤t≤1时，y=200t；
当t>1时，y=k×(25)t，
∵图象经过点(1,200)，
∴k×25=200，解得k=500，
故y=200t,t∈[0,1]500×(25)t,t∈(1,+∞)．
(2)令500×(25)t≤256×0.05，
即(25)t≤1285000=16625，解得t≥4，
∵消防部门从t=1时开始排水，故至少需要3个小时以后，师生才能进入地下车库．
【解析】(1)该曲线是正比例函数和指数型函数连接而成，利用它们都经过(1,200)求解；
(2)当t≥1时，解不等式500×(25)t≤256×0.05即可得到进入车库的最快时间点．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
19.【答案】解：(1)sinα+cosα3sinα−cosα=2，
则tanα+13tanα−1=2，解得tanα=35，
故tan(π−α)=−tanα=−35；
(2)结合(1)中tanα=35，sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=1534；
(3)由0<α<π，故sinα>0，又由(2)知sinαcosα>0，
故cosα>0，于是sinα+cosα>0，(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+3034=3217，
则sinα+cosα=4 3417．
【解析】(1)分子分母同时除以cosα，算出tanα，结合诱导公式计算即可；
(2)分母补上sin2α+cos2α，齐次化处理，分子分母同时除以cos2α，结合(1)中的tanα的值进行求解；
(3)先根据角度的范围确定sinα+cosα的符号，然后将其平方处理即可．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
20.【答案】解：(1)∵函数f(x)=2x+a⋅2−x的定义域为x∈R，又∵f(−x)=2−x+a⋅2x，
∴①当f(−x)=f(x)时，即2−x+a⋅2x=2x+a⋅2−x时，可得a=1，
即当a=1时，函数f(x)为偶函数；
②当f(−x)=−f(x)时，即2−x+a⋅2x=−(2x+a⋅2−x)=−2x−a⋅2−x时，
可得a=−1，即当a=−1时，函数f(x)为奇函数．
当a≠1且a≠−1时为非奇非偶函数．
(2)由(1)可得，当函数f(x)为偶函数时，a=1，即f(x)=2x+2−x时，
f(2x)=22x+2−2x=(2x+2−x)2−2，由题可得：(2x+2−x)2−2−k(2x+2−x)=3，
则有(2x+2−x)2−k(2x+2−x)−5=0，令t=2x+2−x，∵x∈[0,1)，
∴2x∈[1.2),2−x∈(12,1]，又∵2x+2−x=2x+12x≥2，当
且仅当2x=12x⇒x=0时，等号成立，
根据对勾函数的性质可知，2x+2−x∈[2,52)，即t∈[2,52),
于是原问题将转化成t2−kt−5=0在t∈[2.52)上有解的问题．
根据求根公式：t2−k−5=0⇒t1,2=k± k2+202，
根据韦达定理，t1t2=−5<0，说明两个根异号，
令t1=k+ k2+202，t2=k− k2+202，t1−t2= k2+20>0，
即t1>t2，说明t2是负数根，故只可能t1∈[2,52),
k+ k2+202≥2⇒ k2+20≥4−k⇒k2+20≥k2−8k+16⇒k≥−12，
k− k2+202<52⇒ k2+20<5−k⇒k2+20
【解析】(1)根据奇偶函数的定义，求出参数即可；(2)先换元，将指数方程转化成一元二次方程，然后转化为在某区间上方程有解的问题，可以结合二次方程的求根公式，韦达定理来处理．
本题考查函数与方程的关系，考查函数性质，属于难题．
21.【答案】解：(1)当a=3，3≤x≤5时，f(x)=e5−x+ex−2≥2 e5−x+x−2=2 e3=2e32，
当且仅当e5−x=ex−2，即5−x=x−2，x=72时，等号成立，
所以所求最小值为2e32；
(2)|f1(x)−f2(x)|=f2(x)−f1(x)对于任意的实数x∈R恒成立，
则f1(x)−f2(x)≤0对于任意的实数x∈R恒成立，
即|x−2a+1|−(|x−a|+1)=|x−2a+1|−|x−a|−1≤0对于任意的实数x∈R恒成立，
即|x−2a+1|−|x−a|≤1对于任意的实数x∈R恒成立，
又|x−2a+1|−|x−a|=|x−2a+1|−|a−x|≤|x−2a+1+a−x|=|1−a|，当且仅当(x−2a+1)(x−a)≥0时取等号，
则|1−a|≤1，
解得0≤a≤2，
所以实数a的取值范围为[0,2]；
(3)x−2a+1=0⇒x=2a−1，x−a=0⇒x=a，x的范围是[2,8]，
g(x)=f1(x)+f2(x)2−|f1(x)−f2(x)|2=f1(x),f1(x)≤f2(x)f2(x),f1(x)>f2(x)，
①当0≤a≤2时，由(2)得g(x)=f1(x)=|x−2a+1|，
故当2a−1≤2，即0≤a≤32时，g(x)min=f1(2)=|3−2a|=3−2a；
当2<2a−1≤8，即32
②当20，2a−1>a；由−(x−2a+1)=1，可得x=2a−2，
画出f1(x)和f2(x)的大致图象如下图所示：
故当2a−2≥8，即5≤a≤6时，g(x)min=f2(a)=1；
当2a−2<8，即2
当32
【解析】(1)将a=3代入，化简函数f(x)，再利用基本不等式即可得解；
(2)问题等价于|x−2a+1|−|x−a|≤1对于任意的实数x∈R恒成立，再利用绝对值不等式的性质即可得解；
(3)求出函数g(x)的表达式，然后分0
2022-2023学年上海市黄浦区重点中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 与sin(θ−π2)一定相等的是( )
A. cos(π2−θ) B. sin(3π2+θ) C. cos(−θ) D. sin(θ+π2)
2. 如图，矩形ABCD的周长为4，设AB=x，AC=y，则y=f(x)的大致图像为( )
A.
B.
C.
D.
3. 已知α∈(0,π)，β∈(0,π)，sin(α−β)=34，tanαtanβ=−5，则α+β=( )
A. B. C. D. 56π
4. 设a∈R，A={(x,y)|y=f(x)，定义域为R}，B={(x,y)||x|+|y|=1或y=x}，实数集M中的任意实数a，总存在A⊆B，使得方程f(x)=a无实数解，则集合M可以是( )
①M={a|a>0}；②M={a|a≤0}；③M={a|a≤1}；④M={a|a>1}
A. ①④ B. ②③ C. ①② D. 以上皆不是
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
5. 设全集U={x|1≤x<10,x∈Z}，集合A={1,2,3,5,7}，则A−= ______ ．
6. 已知角α的终边经过点(−1,− 3)，则cosα= ______ ．
7. 若−32π<α<−π，则点(cotα,cosα)必在第______ 象限．
8. 若定义在R上的奇函数y=f(x)在区间[0,+∞)上的图像如图所示，则y=f(x)的单调减区间是______ ．
9. 已知圆O上的一段圆弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角的弧度为______ ．
10. 已知α是锐角，且cos(π6+α)cosα−sin(π6+α)sinα=12，则α= ______ ．
11. 已知定义在R上的奇函数y=f(x)，当x≥0时，f(x)=2x+x+a，则f(−1)= ______ ．
12. 已知1x−2≥1是|x−a|<2的充分非必要条件，则实数a的取值范围是______ ．
13. 已知α，β都为锐角，sinα=35,cos(α+β)=513，则cosβ的值为______ ．
14. 定义：区间[x1,x2](x1
16. 已知函数f(x)=2022x−3+(x−3)3−20223−x+2x，则不等式f(x2−4)+f(2−3x)≤12的解集为______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
(1)已知(164)x=81−x，求x的值；
(2)已知幂函数y=x−k2+k+2,k∈N满足f(1)
由于突发短时强降雨，某中学地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y(单位：m3)与时间t(单位：h)成正比，1小时后雨停，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y与t的函数关系式为y=k×(25)t(k为常数)，如图所示．
(1)求y关于t的函数表达式；
(2)已知该地下车库的面积为256m2，当积水深度小于等于0.05m时，师生方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，师生才能进入地下车库？
19. (本小题8.0分)
已知sinα+cosα3sinα−cosα=2．
(1)求tan(π−α)的值；
(2)求sinαcosα的值；
(3)若0<α<π，求sinα+cosα的值．
20. (本小题5.0分)
已知y=2x+a⋅2−x(a为常数，a∈R)
(1)讨论该函数的奇偶性；
(2)当该函数为偶函数时，记y=f(x)，若方程f(2x)−kf(x)=3在x∈[0,1)上有实根，求实数k的取值范围．
21. (本小题4.0分)
已知f1(x)=|x−2a+1|，f2(x)=|x−a|+1，x∈R．
(1)若a=3，求函数y=ef1(x)+ef2(x)在x∈[3,5]上的最小值；
(2)若|f1(x)−f2(x)|=f2(x)−f1(x)对于任意的实数x∈R恒成立，求a的取值范围；
(3)当0≤a≤6时，求函数g(x)=f1(x)+f2(x)2−|f1(x)−f2(x)|2在x∈[2,8]上的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：sin(θ−π2)=−cosθ，
对于A，cos(π2−θ)=sinθ，不一定相等；
对于B，sin(3π2+θ)=−cosθ，一定相等；
对于C，cos(−θ)=cosθ，不一定相等；
对于D，sin(θ+π2)=cosθ，不一定相等．
故选：B．
由题意利用诱导公式即可求解．
本题考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为矩形ABCD的周长为4，所以AB+BC+CD+DA=4，
即2x+2BC=4，所以x+BC=2，即BC=2−x，
由勾股定理得：y2=x2+(2−x)2，
∴y2=2x2−2x+4，且x+y=2，即0
可进一步整理曲线方程：y22=x2−x+14+74，
∴y22=(x−12)2+74，∴2y27−(2x−1)27=1，
∴y=f(x)是一个双曲线函数，且图象只与y轴相交，
与x轴没有交点，所以可作出图：
故选：C．
先求出曲线对应的方程，根据方程的特点可判断选取哪个图象．
本题考查求曲线的方程，判断其图象，属于中档题．
3.【答案】D
【解析】解：∵α，β∈(0,π)，sin(α−β)=34，tanαtanβ=−5，
∴sinαcosβ−cosαsinβ=34，sinαcosβcosαsinβ=−5，
∴sinαcosβ=58，cosαsinβ=‐18，
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12，
且0<β<π2，，
∴π2<α+β<3π2，．
故选：D．
利用两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系求出sinαcosβ和cosαsinβ，再求出α+β即可．
本题考查了两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】解：如下图，
B集合中的点构成了一个正方形和一条直线，由于A⊆B，且定义域为R，
故y=x(x<−1或x>1)这两条射线上的点必在y=f(x)图像上，
当|a|>1时，f(x)=a必有解；
当|a|≤1时，可构造函数如下图：
挖去y=a与B集合中的图像交点，选择图像中实心点，
故存在A⊆B，使得方程f(x)=a无实数解；
综上所述：满足条件a的范围为|a|≤1．
故选：D．
根据题意结合函数的定义，利用数形结合的思想处理问题．
本题考查方程的根的问题，常用数形结合的方法处理，属中档题．
5.【答案】{4,6,8,9}
【解析】解：∵全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={1,2,3,5,7}，
∴A−={4,6,8,9}．
故答案为：{4,6,8,9}．
可求出全集U，然后根据补集的运算即可求出答案．
本题考查了集合的描述法和列举法的定义，补集的运算及定义，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】−12
【解析】解：因为角α的终边经过点(−1,− 3)，
所以cosα=−1 (−1)2+(− 3)2=−12．
故答案为：−12．
由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
7.【答案】三
【解析】解：−3π2<α<−π时，α是第二象限角，所以cotα<0，cosα<0，
点(cotα,cosα)在第三象限．
故答案为：三．
判断α是第二象限角，得出cotα与cosα的符号，即可得出结论．
本题考查了三角函数值的符号判断问题，是基础题．
8.【答案】(−∞,−1]和[1,+∞)
【解析】解：因为定义在R上的奇函数y=f(x)在区间[0,+∞)上的图像如图所示，
则当x≥0时，y=f(x)的单调减区间为[1,+∞)，
根据奇函数的对称性可知，当x<0时，函数的单调递减区间为(−∞,−1]，
故函数y=f(x)的单调递减区间为(−∞,−1]和[1,+∞)．
故答案为：(−∞,−1]和[1,+∞)．
由已知结合奇函数对称区间上单调性一致先求出x<0时的单调区间，进而可求．
本题主要考查了奇函数对称性单调性一致的性质的应用，属于基础题．
9.【答案】 2
【解析】解：设圆O的半径为r，则AC=2r，圆内接正方形的边长AB= 2r，
则圆弧长等于 2r时，这段圆弧所对的圆心角弧度为 2rr= 2．
故答案为： 2．
圆的半径表示出圆内接正方形的边长，由此求出圆弧长等于圆内接正方形的边长时，圆弧所对的圆心角弧度数．
本题考查了圆内接正方形以及圆弧所对的圆心角弧度计算问题，是基础题．
10.【答案】π12
【解析】解：∵α是锐角，且cos(π6+α)cosα−sin(π6+α)sinα=12=cos[(π6+α)+α]=cos(2α+π6)，
2α+π6∈(π6,7π6)，
∴2α+π6=π3，∴α=π12．
故答案为：π12．
由题意利用两角和的余弦公式，求得cos(2α+π6)的值，结合2α+π6的范围，可得2α+π6的值，从而得出结论．
本题主要考查两角和的余弦公式的应用，属于基础题．
11.【答案】−2
【解析】解：∵y=f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2x+x+a，
∴f(0)=1+a=0，
∴a=−1，
∴f(−1)=−f(1)=−(21+1−1)=−2．
故答案为：−2．
依题意，可得f(0)=1+a=0，求得a，再利用f(−1)=−f(1)可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算能力，属于基础题．
12.【答案】(1,4]
【解析】解：由1x−2≥1可得，3−xx−2≥0，
解得2
所以{x|2
故答案为：(1,4]．
先求出两个不等式的解集，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
13.【答案】5665
【解析】解：因为α，β都是锐角，
所以0<α+β<π，cosα= 1−sin2α=45，sin(α+β)= 1−cos2(α+β)=1213，
所以cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=513×45+1213×35=5665．
故答案为：5665．
首先利用角的变换得cosβ=cos[(α+β)−α]，再结合两角差的余弦公式，以及同角三角函数基本关系式，即可求解．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
14.【答案】e−1e
【解析】解：函数y=|lnx|的值域为[0,1]，那么0≤lnx≤1或−1≤lnx<0，
解得1e≤x<1或1≤x≤e，即1e≤x≤e，
函数y=|lnx|的定义域为[1e,e]，
所以函数定义域区间的长度为e−1e．
故答案为：e−1e．
先由函数值域求出函数定义域的取值范围，然后求出区间[a,b]的长度的最大值．
本题考查对数函数的定义域和值域，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．
15.【答案】16
【解析】解：令x+1=t(t>0)，则y=(t+9)(t+1)t=t+9t+10≥2 t⋅9t+10=16，
当且仅当t=9t，即t=3，x=2时，函数y=(x+10)(x+2)x+1的最小值为16，
故答案为：16．
令x+1=t(t>0)，则y=(t+9)(t+1)t=t+9t+10，利用基本不等式，即可得出结论．
本题考查函数的最值，考查基本不等式的运用，正确换元、利用基本不等式是关键．
16.【答案】{x|3− 412≤x≤3+ 412}
【解析】解：令g(x)=2022x+x3−2022−x+2x，
则g(−x)=2022−x−x3−2022x−2x=−g(x)，即g(x)为奇函数且g(x)在R上单调递增，
又f(x)=2022x−3+(x−3)3−20223−x+2x=g(x−3)+6，
由f(x2−4)+f(2−3x)≤12可得g(x2−4−3)+g(2−3x−3)+12≤12，
即g(x2−7)≤g(1+3x)，
所以x2−7≤1+3x，
解得3− 412≤x≤3+ 412，
故答案为：{x|3− 412≤x≤3+ 412}.
令g(x)=2022x+x3−2022−x+2x，则f(x)=g(x−3)+6，在判断g(x)的单调性及奇偶性，结合奇偶性及单调性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵(164)x=81−x，即8−2x=81−x，∴−2x=1−x，求得x=−1．
(2)∵幂函数y=x−k2+k+2,k∈N，满足f(1)
(2)由题意，利用幂函数的定义和性质，求得k的值以及幂函数的表达式．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由图可知，当0≤t≤1时，y=200t；
当t>1时，y=k×(25)t，
∵图象经过点(1,200)，
∴k×25=200，解得k=500，
故y=200t,t∈[0,1]500×(25)t,t∈(1,+∞)．
(2)令500×(25)t≤256×0.05，
即(25)t≤1285000=16625，解得t≥4，
∵消防部门从t=1时开始排水，故至少需要3个小时以后，师生才能进入地下车库．
【解析】(1)该曲线是正比例函数和指数型函数连接而成，利用它们都经过(1,200)求解；
(2)当t≥1时，解不等式500×(25)t≤256×0.05即可得到进入车库的最快时间点．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
19.【答案】解：(1)sinα+cosα3sinα−cosα=2，
则tanα+13tanα−1=2，解得tanα=35，
故tan(π−α)=−tanα=−35；
(2)结合(1)中tanα=35，sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=1534；
(3)由0<α<π，故sinα>0，又由(2)知sinαcosα>0，
故cosα>0，于是sinα+cosα>0，(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+3034=3217，
则sinα+cosα=4 3417．
【解析】(1)分子分母同时除以cosα，算出tanα，结合诱导公式计算即可；
(2)分母补上sin2α+cos2α，齐次化处理，分子分母同时除以cos2α，结合(1)中的tanα的值进行求解；
(3)先根据角度的范围确定sinα+cosα的符号，然后将其平方处理即可．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
20.【答案】解：(1)∵函数f(x)=2x+a⋅2−x的定义域为x∈R，又∵f(−x)=2−x+a⋅2x，
∴①当f(−x)=f(x)时，即2−x+a⋅2x=2x+a⋅2−x时，可得a=1，
即当a=1时，函数f(x)为偶函数；
②当f(−x)=−f(x)时，即2−x+a⋅2x=−(2x+a⋅2−x)=−2x−a⋅2−x时，
可得a=−1，即当a=−1时，函数f(x)为奇函数．
当a≠1且a≠−1时为非奇非偶函数．
(2)由(1)可得，当函数f(x)为偶函数时，a=1，即f(x)=2x+2−x时，
f(2x)=22x+2−2x=(2x+2−x)2−2，由题可得：(2x+2−x)2−2−k(2x+2−x)=3，
则有(2x+2−x)2−k(2x+2−x)−5=0，令t=2x+2−x，∵x∈[0,1)，
∴2x∈[1.2),2−x∈(12,1]，又∵2x+2−x=2x+12x≥2，当
且仅当2x=12x⇒x=0时，等号成立，
根据对勾函数的性质可知，2x+2−x∈[2,52)，即t∈[2,52),
于是原问题将转化成t2−kt−5=0在t∈[2.52)上有解的问题．
根据求根公式：t2−k−5=0⇒t1,2=k± k2+202，
根据韦达定理，t1t2=−5<0，说明两个根异号，
令t1=k+ k2+202，t2=k− k2+202，t1−t2= k2+20>0，
即t1>t2，说明t2是负数根，故只可能t1∈[2,52),
k+ k2+202≥2⇒ k2+20≥4−k⇒k2+20≥k2−8k+16⇒k≥−12，
k− k2+202<52⇒ k2+20<5−k⇒k2+20
【解析】(1)根据奇偶函数的定义，求出参数即可；(2)先换元，将指数方程转化成一元二次方程，然后转化为在某区间上方程有解的问题，可以结合二次方程的求根公式，韦达定理来处理．
本题考查函数与方程的关系，考查函数性质，属于难题．
21.【答案】解：(1)当a=3，3≤x≤5时，f(x)=e5−x+ex−2≥2 e5−x+x−2=2 e3=2e32，
当且仅当e5−x=ex−2，即5−x=x−2，x=72时，等号成立，
所以所求最小值为2e32；
(2)|f1(x)−f2(x)|=f2(x)−f1(x)对于任意的实数x∈R恒成立，
则f1(x)−f2(x)≤0对于任意的实数x∈R恒成立，
即|x−2a+1|−(|x−a|+1)=|x−2a+1|−|x−a|−1≤0对于任意的实数x∈R恒成立，
即|x−2a+1|−|x−a|≤1对于任意的实数x∈R恒成立，
又|x−2a+1|−|x−a|=|x−2a+1|−|a−x|≤|x−2a+1+a−x|=|1−a|，当且仅当(x−2a+1)(x−a)≥0时取等号，
则|1−a|≤1，
解得0≤a≤2，
所以实数a的取值范围为[0,2]；
(3)x−2a+1=0⇒x=2a−1，x−a=0⇒x=a，x的范围是[2,8]，
g(x)=f1(x)+f2(x)2−|f1(x)−f2(x)|2=f1(x),f1(x)≤f2(x)f2(x),f1(x)>f2(x)，
①当0≤a≤2时，由(2)得g(x)=f1(x)=|x−2a+1|，
故当2a−1≤2，即0≤a≤32时，g(x)min=f1(2)=|3−2a|=3−2a；
当2<2a−1≤8，即32
②当2
画出f1(x)和f2(x)的大致图象如下图所示：
故当2a−2≥8，即5≤a≤6时，g(x)min=f2(a)=1；
当2a−2<8，即2
当32
【解析】(1)将a=3代入，化简函数f(x)，再利用基本不等式即可得解；
(2)问题等价于|x−2a+1|−|x−a|≤1对于任意的实数x∈R恒成立，再利用绝对值不等式的性质即可得解；
(3)求出函数g(x)的表达式，然后分0
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