2022-2023学年陕西省安康市汉滨区七校联考高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省安康市汉滨区七校联考高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析），共15页。试卷主要包含了 i是虚数单位，2i1+i=， 用分析法证明， 设双曲线C， 如图，阴影部分的面积为等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省安康市汉滨区七校联考高二（下）期末数学试卷（理科）
1. i是虚数单位，2i1+i=(    )
A. 1−i B. −1−i C. 1+i D. −1+i
2. 用分析法证明：欲使①A>B，只需②C0,b>0)的离心率为 7，则C的渐近线方程为(    )
A. y=± 5x B. y=± 6x C. y=± 55x D. y=± 66x
7. 如图，阴影部分的面积为(    )


A. 2 3 B. 2− 3 C. 323 D. 353
8. 函数y=1x−x2的图象大致是(    )
A. B.
C. D.
9. 王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成.已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该钉钉群人数的最小值为(    )
A. −18 B. 20 C. 22 D. 28
10. 已知k 6− 5， 6− 5> 7− 6．
(1)分析以上结论，试写出一个一般性的命题；
(2)判断该命题的真假，若为真，请用分析法给出证明；若为假，请说明理由．
19. 已知数列{an}中，a1=2，an=an−12an−1+1(n≥2)．
(1)求a2、a3、a4的值；
(2)猜测an的表达式，并用数学归纳法证明．
20. 已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB//CD，AC∩BD=O，AO=2OC=2，PA=PB=AB=2 2，AC⊥PB．
(1)证明：平面PBD⊥平面ABCD；
(2)求二面角A−PD−B的余弦值．

21. 已知椭圆C：x2a2+y23=1(a> 3)的离心率为 22．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l经过C的左焦点F1且与C相交于B、D两点，以线段BD为直径的圆经过椭圆C的右焦点F2，求l的方程．
22. 已知函数f(x)=12x2−alnx(a∈R)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当x>1时，12x2+lnxB，只需②C0)，可得p2=3，得2p=12，
∴抛物线的方程为y2=12x，即为点P的轨迹方程．
故选D．
  
6.【答案】B 
【解析】解：因为离心率e=ca= 7，所以ba= (ca)2−1= 6，
故C的渐近线方程为y=± 6x．
故选：B．
利用双曲线的离心率，转化求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．

7.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查定积分求面积，属于基础题．
确定积分区间与被积函数，求出原函数，即可求得定积分．
【解答】
解：由题意阴影部分的面积等于−3 1(3−x2−2x)dx
=(3x−13x3−x2)|−31=(3−13−1)−(−9+9−9)=323，
故选C．  
8.【答案】D 
【解析】解：当xg(x)min，结合导数可求．
本题主要考查了导数求解函数的单调性及利用分离参数法求解最值问题，属于中档试题．

13.【答案】∃x0∈R，使得sinx0>1 
【解析】解：∵命题：∀x∈R，sinx≤1，
∴命题的否定为：∃x0∈R，使得sinx0>1，
故答案为：∃x0∈R，使得sinx0>1
根据全称命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案．
本题考查的知识点是命题的否定，难度不大，属于基础题．

14.【答案】甲 
【解析】解：若p是真命题，则q，r都是假命题，
此时p∨q是真命题，(￢q)∨r是真命题成立，
若q是真命题，则p，r都是假命题，
此时p∨q是真命题，￢q是假命题，此时(￢q)∨r是真命题不成立，
若r是真命题，则p，q都是假命题，此时p∨q是真命题不成立，
故得第一名的是甲，
故答案为：甲．
分别讨论p，q，r是真命题，然后验证p∨q是真命题，(￢q)∨r是真命题是否成立即可．
本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合条件分别进行讨论是解决本题的关键，是基础题．

15.【答案】 5 
【解析】解：因为|a|=|b|=|c|=1，且a,b,c两两夹角为60°，
所以a⋅b=b⋅c=a⋅c=1×1×cos60°=12，
所以|a−b+2c|2=a2+b2+4c2−2a⋅b−4b⋅c+4a⋅c=1+1+4−2×12−4×12+4×12=5，
所以|a−b+2c|= 5．
故答案为： 5．
根据空间向量数量积的定义可求得a⋅b=b⋅c=a⋅c=12，进而求得|a−b+2c|2的值，从而求解．
本题主要考查向量的概念与向量的模，属于基础题．

16.【答案】4 
【解析】解：如图：

由x29−y24=1得a2=9，a=3，
c2=9+4=13，c= 13，
由题意：|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=52，|PF1|−|PF2|=2a=6，
|PF1|2+|PF2|2−(|PF1|−|PF2|)2=2|PF1||PF2|=52−62=16，
所以S△F1PF2=12|PF1||PF2|=4．
故答案为：4．
由双曲线定义和勾股定理可得2|PF1||PF2|=16，可得S△F1PF2=12|PF1||PF2|=4．
本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．

17.【答案】解：z=2+4mi1−i=(2+4mi)(1+i)(1−i)(1+i)=(1−2m)+(1+2m)i．
(1)∵z是纯虚数，∴1−2m=01+2m≠0，即m=12；
(2)∵z=(1−2m)−(1+2m)i，
∴z+2z=(1−2m)−(1+2m)i+2(1−2m)+2(1+2m)i
=(3−6m)+(1+2m)i，
由复数z+2z在复平面上对应的点在第一象限，
得3−6m>01+2m>0，解得−121 n+2+ n+1，
∴ n+1− n> n+2− n+1． 
【解析】(1)根据所给结论，即可求解；
(2)根据已知条件，结合综合法，即可求证．
本题主要考查综合法的应用，属于基础题．

19.【答案】解：(1)∵数列{an}中，a1=2，an=an−12an−1+1(n≥2)，
∴a2=22×2+1=25，
a3=252×25+1=29，
a4=292×29+1=213．
(2)由(1)猜想an=21+4(n−1)．
下面用数学归纳法进行证明：
①当n=1时，a1=21+4(1−1)=2，成立；
②假设n=k时成立，即ak=21+4(k−1)，
则当n=k+1时，
ak+1=ak2ak+1=21+4(k−1)2×21+4(k−1)+1=21+4k，也成立，
∴an=21+4(n−1)． 
【解析】(1)由已知条件分别令n=1，2，3，能求出a2、a3、a4的值．
(2)由(1)猜想an=21+4(n−1).然后用数学归纳法进行证明．
本题考查数列的前4项的求法，考查数列的通项公式的猜想，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．

20.【答案】解：(1)在等腰梯形ABCD中，OA=OB=2，∵AB=2 2，∴AB2=OA2+OB2，所以OA⊥OB，即AC⊥BD，
又因为PB⊥AC，且BD∩PB=B，所以AC⊥平面PBD，
又因为AC⊂平面ABCD，因此平面PBD⊥平面ABCD．
(2)连接PO，由(1)知，AC⊥平面PBD，所以AC⊥PO，
所以PO= PA2−OA2=2，
所以PB2=PO2+OB2，即PO⊥OB，
又∵OA⊥OB，以OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，D(0,−1,0)，P(0,0,2)，
设平面PAD的法向量为n=(x,y,z)，因为PA=(2,0,−2)，PD=(0,−1,−2)，
令z=1，则x=1，y=−2，
所以平面PAD的一个法向量n=(1,−2,1)，∵AC⊥平面PBD，∴平面PBD的一个法向量m=(1,0,0)，
所以cos〈m,n〉=m⋅n|m||n|= 66，
所以二面角A−PD−B的余弦值为 66． 
【解析】(1)可得AB2=OA2+OB2，即AC⊥BD，即可得AC⊥平面PBD，即可证明平面PBD⊥平面ABCD．
(2)连接PO，以OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求得平面PAD的法向量和平面PAD的一个法向量即可得二面角A−PD−B的余弦值．
本题考查了空间面面垂直的判定、二面角的求解，属于中档题

21.【答案】解：(1)由题意得b= 3，ca= 22，a2=b2+c2，
解得a= 6，
∴椭圆C方程为x26+y23=1；
(2)由题目可知l不是直线y=0，且F1(− 3,0)、F2( 3,0)，
设直线l的方程为x=my− 3，点B(x1,y1)、D(x2,y2)，
代入椭圆方程，整理得：(m2+2)y2−2 3my−3=0，Δ>0恒成立，
∴y1+y2=2 3mm2+2①，y1⋅y2=−3m2+2②，
由x1=my1− 3，x2=my2− 3得：x1+x2=−4 3m2+2③，x1⋅x2=6−6m2m2+2④，
∵F2B=(x1− 3,y1),F2D=(x2− 3,y2)，
由题意知F2B⋅F2D=0，
∴x1⋅x2− 3(x1+x2)+y1⋅y2+3=0，
将①②③④代入上式并整理得m2=7，
∴m=± 7，
因此，直线l的方程为x− 7y+ 3=0或x+ 7y+ 3=0． 
【解析】(1)根据离心率求出b，即可得到方程；
(2)直线l的方程为x=my− 3，点B(x1,y1)、D(x2,y2)，利用向量F2B⋅F2D=0求解即可．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．

22.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，
由题意得f′(x)=x−ax>0(x>0)，
∴当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)．
当a>0时，f′(x)=x−ax=x2−ax=(x− a)(x+ a)x，
∴当00
当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为( a,+∞)，单调递减区间为(0, a).
(2)设g(x)=23x3−12x2−lnx(x>1)，
则g′(x)=2x2−x−1x，
∵当x>1时，g′(x)=(x−1)(2x2+x+1)x>0，
∴g(x)在(1,+∞)上是增函数．
∴g(x)>g(1)=16>0.即23x3−12x2−lnx>0，
∴12x2+lnx1时，12x2+lnx0)，讨论a的符号，判断单调性．
(2)构造函数g(x)=23x3−12x2−lnx(x>1)，利用导数求解最小值，转化为判断最小值的符号问题．