2023年北京高考数学真题试卷及答案

这是一份2023年北京高考数学真题试卷及答案，共42页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷满分 150 分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项.
1. 已知集合M ={x∣x+ 2 ³ 0}, N ={x∣x-1< 0}，则M ÇN =（ ）
A. {x∣-2 £ x <1} B. {x∣-2 < x £1}
C. {x∣x ³ -2} D. {x∣x <1}
2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1, 3)，则z的共轭复数 z =（
）
3
i
3
i
3
i
3
i
A. 1+B. 1-
C. -1+D. -1-
r r r r r r
3. 已知向量a，b 满足a +b = (2,3),ar -b = (-2,1) ，则| ar |2 - |b |2 = （
）
A. -2 B. -1
C. 0
D. 1
4. 下列函数中，在区间(0,+¥)上单调递增的是（
）

A f (x) = -ln x
.
B. f (x) = 1x 2

C. f (x) = - 1
x
5. æç2x - 1x ö÷ø5 的展开式中 x 的系数为（ ）．
è
D. f (x) = 3|x-1|

A. -80 B. -40
C. 40
D. 80
6. 已知抛物线C : y 2 = 8x 的焦点为F ，点 M 在C上．若 M 到直线 x = -3的距离为 5，则| MF |=（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
7. 在VABC中， (a+c)(sin A-sinC) = b(sin A-sin B) ，则ÐC =（ ）
A. B. C. D.
8. 若 xy ¹ 0，则“ x + y = 0”是“ y + x = -2 ”的（ ） x y
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若 AB= 25m, BC= AD=10m ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 ABCD的夹角的正
切值均为
1
4
5
，则该五面体的所有棱长之和为（
）

A. 102m B. 112m
C. 117m D. 125m
10. 已知数列{an}满足an+1 = 1 (an -6)3 + 6(n =1,2,3,L) ，则（ ）
4
A. 当a1 = 3时，{an}为递减数列，且存在常数M ≤0，使得an >M 恒成立
B. 当a1 = 5 时，{an}为递增数列，且存在常数M £ 6 ，使得an < M 恒成立
C. 当a1 = 7时，{an}为递减数列，且存在常数M > 6 ，使得an >M 恒成立
D. 当a1 = 9 时，{an}为递增数列，且存在常数M > 0 ，使得an < M 恒成立二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11. 已知函数 f (x) = 4x + log2 x ，则 f èçæ 12 ö÷ø = ____________．
12. 已知双曲线C的焦点为 (-2,0) 和(2,0) ，离心率为2 ，则C的方程为____________．
13. 已知命题 p :若a,b为第一象限角，且a>b，则 tana> tanb．能说明p为假命题的一组a,b的值
为a=__________，b= _________．
14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环
权”．已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列{an}，该数列的前 3 项成等差数列，
后7项成等比数列，且a1 =1,a5 =12,a9 =192 ，则a7 = ___________；数列{an}所有项的和为____________．
ìx + 2,x < -a,
ïï 2 - x2,-a £ x £ a, ，给出下列四个结论： 15. 设a > 0 ，函数 f (x) = í a
ïïî- x -1,x > a.
① f (x) 在区间(a -1,+¥)上单调递减；
②当a ³1时， f (x)存在最大值；
③设M (x1, f (x1))(x1 £ a), N(x2, f (x2))(x2 > a)，则| MN |>1；
④设P(x3, f (x3))(x3 < -a),Q(x4, f (x4))(x4 ³ -a)．若| PQ |存在最小值，则a的取值范围是çæè0, 12ùûú ．
其中所有正确结论的序号是____________．
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 如图，在三棱锥P - ABC 中， PA ^平面 ABC，PA = AB = BC =1，PC =3 ．

（1） 求证：BC^平面PAB；
（2） 求二面角 A- PC - B的大小．
17. 设函数 f (x) = sinwxcosj+ coswxsinjæçèw> 0,|j|< π2 ÷öø ．
（1） 若 f (0) = -3 ，求j的值．
2
（2） 已知 f (x)在区间 êëé- π3 , 23πúûù上单调递增， f èæç 23π ö÷ø =1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选
择一个作为已知，使函数 f (x)存在，求w,j的值．
f æçè π3 ö÷ø = 2 ；
条件①：
条件②： f çæè-π3ö÷ø=-1；
é- π ,- πùúû 上单调递减．条件③： f (x)在区间 êë 2 3
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段








价格变化








第 1 天到第 20 天
-
+
+
0
-
-
-
+
+
0
+
0
-
-
+
-
+
0
0
+
第 21 天到第 40 天
0
+
+
0
-
-
-
+
+
0
+
0
+
-
-
-
+
0
-
+
用频率估计概率．
（1） 试估计该农产品价格“上涨”的概率；
（2） 假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天“上涨”、1 天“下跌”、1 天“不变”的概率；
（3） 假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第 41 天该农产品价格“上涨”“下跌” 和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
19. 已知椭圆E : ax22 + by22 =1(a > b > 0) 的离心率为 35 ，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E 的
左、右顶点，| AC |= 4 ．
（1） 求E 的方程；
（2） 设P为第一象限内E上的动点，直线 PD与直线BC 交于点M ，直线PA与直线 y = -2 交于点 N ．求证：MN //CD．
20. 设函数 f (x) = x - x3eax+b ，曲线 y = f (x) 在点(1, f (1))处的切线方程为 y = -x +1．
（1） 求a,b的值；
（2） 设函数 g(x) = f ¢(x) ，求 g(x) 的单调区间；
（3） 求 f (x)的极值点个数．
21. 已知数列{an},{bn}的项数均为m(m > 2) ，且an,bn Î{1,2,L,m}, {an},{bn}的前n项和分别为 An,Bn，并规定 A0 = B0 = 0 ．对于k Î{0,1,2,L,m}，定义rk = max{i∣Bi £ Ak ,iÎ{0,1,2,L,m}}，其中，max M
表示数集M中最大的数.
（1） 若a1 = 2,a2 =1,a3 = 3,b1 =1,b2 = 3,b3 = 3 ，求r0 ,r1,r2 ,r3 的值；
（2） 若a1 ³ b1 ，且2rj £ rj+1 + rj-1, j =1,2,L,m -1, ，求rn ；
（3） 证明：存在 p,q,s,t Î{0,1,2,L,m}，满足 p > q,s > t, 使得 Ap + Bt = Aq + Bs ．

2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学
本试卷满分 150 分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项.
1. 已知集合M ={x∣x+ 2 ³ 0}, N ={x∣x-1< 0}，则M ÇN =（ ）
A. {x∣-2 £ x <1} B. {x∣-2 < x £1}
C. {x∣x ³ -2} D. {x∣x <1}
【答案】A
【解析】
【分析】先化简集合M, N ，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意，M ={x∣x + 2 ³ 0}={x | x ³ -2} ， N ={x∣x -1< 0}={x | x <1}，根据交集的运算可知，M I N ={x | -2 £ x <1}.
故选：A
2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,3)，则z的共轭复数 z =（ ）
3
i
3
i
3
i
3
i
A. 1+B. 1-
C. -1+D. -1-
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的几何意义先求出复数z，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】z在复平面对应的点是(-1,3)，根据复数的几何意义， z = -1+3i ，

由共轭复数的定义可知， z = -1- 3i .
故选：D
r r r r
3. 已知向量a，b 满足a +b = (2,3),ar -br = (-2,1) ，则| ar |2 - |br |2 = （ ）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
r r r r r r
【详解】向量a,b 满足a +b = (2,3),a -b = (-2,1) ，
r r r r r r
所以| a |2 - | b |2= (a+b)×(a-b) = 2´(-2) +3´1= -1.
故选：B
4. 下列函数中，在区间(0,+¥)上单调递增的是（ ）
A. f (x) = -ln x B. f (x) = 1x
2
C. f (x) = - 1 D. f (x) = 3|x-1|
x
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断 ABC，举反例排除 D 即可. 【详解】对于 A，因为 y = ln x在(0,+¥)上单调递增， y =-x在(0,+¥)上单调递减，所以 f (x) = -ln x 在(0,+¥)上单调递减，故 A 错误；
对于 B，因为 y = 2x 在(0,+¥)上单调递增， y= 1 在(0,+¥)上单调递减，
x
所以 f (x) = 1x 在(0,+¥)上单调递减，故 B 错误；
2
对于 C，因为 y= 1 在(0,+¥)上单调递减， y =-x在(0,+¥)上单调递减，
x
所以 f (x) = - 1 在(0,+¥)上单调递增，故 C 正确；
x
对于 D，因为 f æçè 12ö÷ø = 3 12-1 = 3 = 3 ， f (1) = 31-1 = 30 =1, f (2)= 32-1 = 3 ，显然 f (x) = 3x-1 在(0,+¥)上不单调，D 错误.
故选：C.
æ
5. çè2x - 1x ö÷ø5 的展开式中 x 的系数为（ ）．
A. -80 B. -40 C. 40 D. 80
【答案】D
【解析】
【分析】写出æçè2x - 1x ö÷ø5 的展开式的通项即可
【详解】æèç2x - 1x ö÷ø5 的展开式的通项为Tr+1 = C5r (2x)5-r èæç- 1x ÷øör = (-1)r 25-r C5r x5-2r
令5- 2r =1得r = 2
所以æç2x - 1x ö÷ø5 的展开式中 x 的系数为(-1) +b2 -c2 = ab ，故cosC = a2 +b2 -c2 = ab = 1 ，
则a
2ab 2ab 2
25-2 C52 = 80
è
故选：D
【点睛】本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单.
6. 已知抛物线C : y 2 = 8x 的焦点为F ，点 M 在C上．若 M 到直线 x = -3的距离为 5，则| MF |=（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线C : y2 = 8x 的焦点F(2,0)，准线方程为 x = -2，点 M 在C上，所以 M 到准线x = -2的距离为 MF ，又 M 到直线 x = -3的距离为5 ，所以 MF +1= 5，故 MF = 4.
故选：D.
7. 在VABC中， (a+c)(sin A-sinC) = b(sin A-sin B) ，则ÐC =（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为 (a+c)(sin A-sinC) = b(sin A-sin B) ，所以由正弦定理得(a +c)(a -c) = b(a -b) ，即a2 -c2 = ab -b2 ，又 0 < C < π ，所以C = .
故选：B.
8. 若 xy ¹ 0，则“ x + y = 0”是“ y + x = -2 ”的（ ） x y
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
x y x = -y ，
【分析】解法一：由 + = -2 化简得到 x + y = 0即可判断；解法二：证明充分性可由 x + y = 0得到 y x
代入 x + y 化简即可，证明必要性可由 x + y = -2 去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性 y x y x
可由 x + y 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 x + y = 0代入即可，证明必要性可由 x + y 通分后用 y x y x
配凑法得到完全平方公式，再把 x + y = 0代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为 xy ¹ 0，且 x + y = -2 ， y x
所以 x2 + y2 = -2xy，即x2 + y2 + 2xy = 0 ，即(x + y)2 = 0 ，所以 x + y = 0.
所以“ x + y = 0”是“ x + y = -2 ”的充要条件.
y x
解法二：
充分性：因为 xy ¹ 0，且 x + y = 0，所以 x = -y ，
x y -y y 所以 + = + = -1-1 = -2 ， y x y -y 所以充分性成立；
必要性：因为 xy ¹ 0，且 x + y = -2 ， y x
所以 x2 + y2 = -2xy，即x2 + y2 + 2xy = 0 ，即(x + y)2 = 0 ，所以 x + y = 0.
所以必要性成立.
所以“ x + y = 0”是“ x + y = -2 ”的充要条件.
y x
解法三：
充分性：因为 xy ¹ 0，且 x + y = 0，
所以 x + y = x2 + y2 = x2 + y2 + 2xy - 2xy (x + y)2 - 2xy = -2xy = -2 ，
=
y x xy xy xy xy
所以充分性成立；
必要性：因为 xy ¹ 0，且 x + y = -2 ， y x
所以 x + y = x2 + y2 = x2 + y2 + 2xy - 2xy = (x + y)2 - 2xy = (x + y)2 - 2 = -2 ，
y x xy xy xy xy
(x + y)2
所以 = 0 ，所以(x + y)2 = 0 ，所以 x + y = 0，
xy
所以必要性成立.
所以“ x + y = 0”是“ x + y = -2 ”的充要条件. y x
故选：C
9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若
AB= 25m, BC= AD=10m ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 ABCD的夹角的正
切值均为
1
4
5
，则该五面体的所有棱长之和为（
）

A. 102m B. 112m
C. 117m D. 125m
【答案】C
【解析】
【分析】先根据线面角的定义求得 tan ÐEMO = tan ÐEGO = 14 ，从而依次求EO，EG ，EB，EF ，再
5
把所有棱长相加即可得解.
【详解】如图，过E 做EO ^平面 ABCD，垂足为O，过E 分别做EG ^ BC，EM ^ AB ，垂足分别为
G ，M ，连接OG,OM ，

由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为ÐEMO和ÐEGO ，
所以 tan ÐEMO = tan ÐEGO = 14 .
5
1
4
E
O
=
，所以
5
O
G
=
，
(
)
2
2
2
2
5
3
1
4
9
+
=
(
)
2
2
2
2
3
9
5
8
+
=
，
因为EO ^平面 ABCD，BCÌ平面 ABCD，所以EO ^ BC，因为EG ^ BC，EO,EG Ì平面EOG，EO Ç EG = E，所以BC^平面EOG，因为OGÌ平面EOG，所以BC ^OG，. 同理：OM ^ BM ，又 BM ^ BG ，故四边形OMBG是矩形，所以由BC =10 得OM = 5，所以所以在直角三角形EOG中，EG = EO +OG = 在直角三角形EBG中，BG =OM = 5，EB = EG +BG =
又因为EF = AB- 5 - 5 = 25 - 5 - 5 =15 ，所有棱长之和为 2´ 25 + 2´10 +15 + 4´8 =117m . 故选：C
10. 已知数列{an}满足an+1 = 1 (an -6)3 + 6(n =1,2,3,L) ，则（ ）
4
A. 当a1 = 3时，{an}为递减数列，且存在常数M ≤0，使得an >M 恒成立
B. 当a1 = 5 时，{an}为递增数列，且存在常数M £ 6 ，使得an < M 恒成立
C. 当a1 = 7时，{an}为递减数列，且存在常数M > 6 ，使得an >M 恒成立
D. 当a1 = 9 时，{an}为递增数列，且存在常数M > 0 ，使得an < M 恒成立
【答案】B
【解析】
【分析】法1：利用数列归纳法可判断 ACD 正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断 B 的正误. 法2：构造 f (x) = (x-6)3 + 6 - x，利用导数求得 f (x)的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项an
所在区间，从而判断{an}的单调性；对于 A，构造 h(x) = 1 x3 - 9 x2 + 26x- 47(x £ 3) ，判断得
4 2
an+1 < an -1，进而取m = -[M]+ 4推得an >M 不恒成立；对于 B，证明an 所在区间同时证得后续结论；
é ù
对于 C ，记 m0 = log3 ê2log1 (M -6)+1ú ，取 m =[m0]+1 推得 an >M 不恒成立；对于 D，构造
ë 4 û
g(x) = 1 x3 - 9 x2 + 26x - 49(x ³ 9)，判断得an+1 > an +1，进而取m =[M]+1推得an < M 不恒成立.
4 2
【详解】法1：因为an+1 = 1 (an -6)3 + 6，故an+1 -6 = 1 (an -6)3 ，
4 4
对于 A ，若a1 = 3，可用数学归纳法证明：an -6 £ -3即an £ 3，证明：当n= 1时，a1 -6 = -3 £ -3，此时不等关系an £ 3成立；设当n = k 时，ak -6 £ -3成立，
则ak+1 -6 = 14 (ak -6)3 Îæçè-54,- 247 ö÷ø ，故ak+1 -6 £ -3成立，
由数学归纳法可得an £ 3成立.
而an+1 - an = 14 (an -6)3 -(an -6) = (an -6)êé14 (an -6)2 -1ùúû ，
ë
1 (an -6)2 -1³ -1= > 0，an -6 < 0 ，故an+1 -an < 0，故an+1 < an，
4
故{an}为减数列，注意ak+1 -6 £ -3< 0 故an+1 -6 1 (an 6)3 = (an -6) 1 (an 6)2 £ 9 (an 6)，结合an+1 -6 < 0，
4 4 4
所以6- an+1 ³ 9 (6- an )，故6- an+1 ³ 3çæ 94 ÷øön-1 ，故an+1 £ 6-3æçè 94 ø÷ön-1 ，
4 è
若存在常数M ≤0，使得an >M 恒成立，则6-3æçè 94 ö÷øn-1 > M ，
6- M æ 9 ön-1 ，故n <1+ log 6- M ，故an >M 恒成立仅对部分n成立，
故 > ç 4 ÷ø
3 è
故 A 不成立.
对于 B，若a1 = 5, 可用数学归纳法证明：-1£ an -6 < 0 即5 £ an < 6 ，证明：当n= 1时，-1£ a1 -6 = -1£ 0，此时不等关系5 £ an < 6 成立；设当n = k 时，5 £ ak < 6 成立，
则ak+1 -6 = 14 (ak -6)3 Îæçè- 14 ,0øö÷，故-1£ ak+1 -6 < 0成立即
由数学归纳法可得5 £ ak+1 < 6成立.
而an+1 - an = 14 (an -6)3 -(an -6) = (an -6)ëéê14 (an -6)2 -1ùúû ，
1 (an -6)2 -1< 0，an -6 < 0 ，故an+1 -an > 0 ，故an+1 >an，故{an}为增数列，
4
若M = 6，则an < 6恒成立，故 B 正确. 对于 C，当a1 = 7时， 可用数学归纳法证明：0 < an -6 £1即6 < an £ 7 ，证明：当n= 1时，0 < a1 -6 £1，此时不等关系成立；设当n = k 时，6 < ak £ 7成立，
则ak+1 -6 = 14 (ak -6)3 Îæçè0, 14úûù ，故0 < ak+1 -6 £1成立即6 < ak+1 £ 7
由数学归纳法可得6 < an £ 7 成立.
而an+1 - an = (an -6)éêë14 (an -6)2 -1ûùú < 0，故an+1 < an，故{an}为减数列，
n 又an+1 -6 = (an -6)´ 14 (an -6)2 £ 14 (an -6)，结合an+1 -6 > 0 可得：an+1 -6 £ (a1 -6)èçæ 14 ø÷ö ，所以
an+1 £ 6+æçè 14 ö÷øn ，
若an+1 £ 6+æçè 14 ö÷øn ，若存在常数M > 6 ，使得an >M 恒成立，
则M -6 £ æçè 14 ö÷øn 恒成立，故n £ log (M -6)，n的个数有限，矛盾，故 C 错误.
对于 D，当a1 = 9 时， 可用数学归纳法证明：an -6 ³ 3即an ³ 9，证明：当n= 1时，a1 -6 = 3³ 3，此时不等关系成立；设当n = k 时，ak ³ 9成立，则ak+1 -6 = 1 (ak -6)3 ³ > 3，故ak+1 ³ 9成立
4
由数学归纳法可得an ³ 9成立.
而an+1 - an = (an -6)êëé14 (an -6)2 -1ûúù > 0 ，故an+1 >an，故{an}为增数列，
又an+1 -6 = (an -6)´ 14 (an -6)2 > 94 (an -6)，结合an -6 > 0 可得：an+1 -6 > (a1 -6)çæè 94 ÷øön-1 = 3çæè 94 ÷øön-1 ，
所以an+1 ³ 6+3æçè 94 ö÷øn-1 ，
n-1
若存在常数M > 0 ，使得an < M 恒成立，则M > 6+3èæç 94 ö÷ø ，
故M > 6+3æç 94 ö÷øn-1 ，故n < log 94 çæè M3-6÷öø+1，这与n的个数有限矛盾，故 D 错误.
è
故选：B.
法2：因为an+1 -an = 1 (an -6)3 + 6 -an = 1 an3 - 9 an2 + 26an - 48 ，
4 4 2
令 f (x) = 1 x3 - 9 x2 + 26x- 48，则 f ¢(x) =x2 -9x+ 26 ，
4 2
令 f ¢(x)>0，得0 < x < 6- 2 3 或 x > 6+ 2 3 ；
3 3
令 f ¢(x) < 0，得6- 2
3
3
2
3
< x < 6+ 2
3
3
；
2
3

(x)在æèçç-¥,6- 3 ÷øö÷ 和ççèæ6+ 3 ,+¥÷÷øö上单调递增，在æççè6- 233 ,6+ 233 ö÷÷ø 上单调递减，
所以 f 令 f (x) = 0 ，则 1 x3 - 9 x2 + 26x- 48 = 0 ，即(x- 4)(x-6)(x-8) = 0 ，解得x= 4 或 x = 6 或x = 8，
4 2
注意到4 < 6- 2 3 < 5，7 < 6+ 2 3 < 8，
3 3
所以结合 f (x)的单调性可知在(-¥,4)和(6,8)上 f (x) < 0 ，在(4,6)和(8,+¥)上 f (x) > 0 ，
对于 A，因为an+1 = 1 (an -6)3 + 6，则an+1 -6 = 1 (an -6)3 ，
4 4
当n= 1时，a1 = 3，a2 - 6 = 1 (a1 - 6)3 < -3，则a2 < 3，
4

假设当n = k 时，ak < 3，
1 (ak -6)3 <(3-6)3 < -3，则ak+1 < 3，当n = k +1时，ak+1 -6 =
4
综上：an £ 3，即an Î(-¥,4)，因为在(-¥,4)上 f (x) < 0 ，所以an+1 < an，则{an}为递减数列，
因为an+1 -an +1= 1 (an -6)3 + 6-an +1= 1 an3 - 9 an2 + 26an - 47 ，
4 4 2
令h(x) = 1 x3 - 9 x2 + 26x- 47(x £ 3)，则h¢(x) =x2 -9x+ 26，
4 2
-9
因为h¢(x)开口向上，对称轴为 x = - 2´ 3 = 6，

4
所以h¢(x)在(-¥,3]上单调递减，故h¢(x) ³ h¢(3) = ´32 -9´3+ 26 > 0 ，
所以h(x)在(-¥,3]上单调递增，故h(x) £ h(3) = ´33 -´32 + 26´3- 47 < 0 ，
故an+1 -an +1< 0，即an+1 < an -1，
假设存在常数M ≤0，使得an >M 恒成立，取m = -[M]+ 4，其中M -1<[M]£ M ，且[M]ÎZ，
因为an+1 < an -1，所以a2 < a1 -1,a3 < a2 -1,L,a-[M]+4 < a-[M ]+3-1 ，上式相加得，a-[M]+4 < a1 -(-[M ]+3) £ 3+ M -3 = M ，则am = a[M]+4 < M ，与an >M 恒成立矛盾，故 A 错误；对于 B，因为a1 = 5 ，
当n= 1时，a1 = 5 < 6，a2 = 1 (a1 -6)3 + 6 = ´(5-6)3 + 6 < 6，
4
假设当n = k 时，ak < 6，当n = k +1时，因为ak < 6，所以ak -6 < 0 ，则(ak -6)3 < 0 ，
所以ak+1 = 1 (ak -6)3 + 6 < 6，
4
又当n= 1时，a2 -5 = 1 (a1 -6)3 +1= ´(5-6)3 +1> 0，即a2 > 5，
4
假设当n = k 时，ak ³ 5，当n = k +1时，因为ak ³ 5，所以ak -6 ³ -1，则(ak -6)3 ³ -1，
所以ak+1 = 1 (ak - 6)3 + 6 ³ 5， 4
综上：5 £ an < 6 ，因为在(4,6)上 f (x) > 0 ，所以an+1 >an，所以{an}为递增数列，
此时，取M = 6，满足题意，故 B 正确；
对于 C，因为an+1 = 1 (an -6)3 + 6，则an+1 -6 = 1 (an -6)3 ，
4 4
注意到当a1 = 7时，a2 = 14 (7 - 6)3 + 6 = 14 + 6 ，a3 = 1 æèç 14 + 6-6ø÷ö3 + 6 = æèç 14 ö÷ø4 + 6， 4
a4 = 1 éêæç 14 ö÷ø4 + 6- 6úùúû3 + 6 = çèæ 14 ÷öø13 +6 4 ëêè
1
猜想当n ³ 2 时，ak = æçè 14 öø2(3k -1) + 6，
÷
当n = 2 与n = 3时，a2 = 14 + 6 与a3 = çèæ 14 øö÷4 + 6满足an = èçæ 14 öø÷12(3n-1) + 6 ，
æ 1 ö12(3k -1) + 6，假设当n = k 时，ak = çè 4 ÷ø
é 1(
当n = k +1时，所以ak+1 = 1 (ak -6)3 + 6 = 1 êêæèç 14øö÷ 2 3k -1) + 6- 6úùú 3 + 6 = æçè 14÷øö12 (3k+1-1)+ 6 ，
4 4
ë û
1
综上：an = æ 1 ö 2(3n-1) + 6(n ³ 2)，
çè 4ø÷
易知3n -1> 0，则0 < çæè 14 ø÷ö12(3n-1) <1，故an = èæç 14÷øö12(3n-1) +6Î(6,7)(n ³ 2)，
所以an Î(6,7]，因为在(6,8)上 f (x) < 0 ，所以an+1 < an，则{an}为递减数列，假设存在常数M > 6 ，使得an >M 恒成立，
é ù *
记m0 = log3 ê2log1 (M -6)+1ú ，取m =[m0]+1，其中m0 -1<[m0]£ m0,m0 Î N ，
ë 4 û
则3m > 3m0 = 2log(M -6)+1，

1
故 (3m -1) > log(M -6)，所以æç 14 ø÷ö12(3m-1) < M -6 ，即èæç 14 ö÷ø12(3m-1) + 6 < M ，
2 è
所以am M 不恒成立，故 C 错误；对于 D，因为a1 = 9 ，
当n= 1时，a2 -6 = 1 (a1 -6)3 = > 3，则a2 > 9，
4
假设当n = k 时，ak ³ 3，
1 (ak - 6)3 ³(9 - 6)3 > 3，则ak+1 > 9，当n = k +1时，ak+1 - 6 =
4
综上：an ³ 9，因为在(8,+¥)上 f (x) > 0 ，所以an+1 >an，所以{an}为递增数列，
因为an+1 - an -1= 1 (an -6)3 + 6- an -1= 1 an3 - 9 an2 + 26an - 49，
4 4 2
令 g(x) = 1 x3 - 9 x2 + 26x - 49(x ³ 9)，则 g¢(x) =x2 -9x + 26 ，
4 2
-9
因为 g¢(x)开口向上，对称轴为 x = - 2´ 3 = 6，

4
所以 g¢(x)在[9,+¥)上单调递增，故 g¢(x) ³ g¢(9) = ´92 -9´9+ 26 > 0 ，所以 g(x) ³ g(9) = ´93 - ´92 + 26´9- 49 > 0，故an+1 -an -1> 0，即an+1 > an +1，
假设存在常数M > 0 ，使得an < M 恒成立，取m =[M]+1，其中M -1<[M]£ M ，且[M]ÎZ，
因为an+1 > an +1，所以a2 > a1 +1,a3 > a2 +1,L,a[M]+1 > a[M ] +1，
上式相加得，a[M]+1 > a1 +[M ] > 9+ M -1> M ，
则am = a[M]+1 > M ，与an < M 恒成立矛盾，故 D 错误.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11. 已知函数 f (x) = 4x + log2 x ，则 f èçæ 12 ö÷ø = ____________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据给定条件，把 x = 代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数 f (x) = 4x + log2 x ，所以 f ( ) = 4 + log2 1 = 2-1=1.
2 故答案为：1
12. 已知双曲线C的焦点为 (-2,0) 和(2,0) ，离心率为2 ，则C的方程为____________．
x2 y2
【答案】 - =1
2 2
【解析】
【分析】根据给定条件，求出双曲线C的实半轴、虚半轴长，再写出C的方程作答.
【详解】令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a,b，显然双曲线C 的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距c = 2，
c2 -a2 = 2 ，由双曲线C的离心率为 2 ，得 = 2 ，解得a =2 ，则b = c a x2 y2
所以双曲线C的方程为 - =1.
2 2
x2 y2
故答案为： - =1
2 2
13. 已知命题 p :若a,b为第一象限角，且a>b，则 tana> tanb．能说明p为假命题的一组a,b的值
为a=__________，b= _________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
【详解】因为 f (x) = tan x在æçè0, π2 ÷øö上单调递增，若0 k2 ，则a-b=(2k1π+a0)-(2k2π+b0) = 2(k1 -k2)π+(a0 -b0)，因为 2(k1 -k2 ) π ³ 2π,-> 0 ，即k1 > k2 ，则a>b.
不妨取k1 = 1,k2 = 0,a0 =,b0 =，即a= ,b= 满足题意. 故答案为：; .
14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列{an}，该数列的前 3 项成等差数列，
后7项成等比数列，且a1 =1,a5 =12,a9 =192 ，则a7 = ___________；数列{an}所有项的和为____________．
【答案】 ①. 48 ②. 384
【解析】
【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解d,q，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求a7 , a3 ，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 【详解】方法一：设前 3 项的公差为d，后 7 项公比为q>0，
则q4 = a9 =192=16，且q>0，可得q = 2， a5 12 则a3 =1+2d = qa52 ，即1+ 2d = 3 ，可得d =1，空 1：可得a3 =3,a7 =a3q4 =48，
6 3(1- 27 )
空 2：a1 + a2 +L + a9 =1+ 2+3+3´2+×××+3´2 = 3+ = 384
1- 2
方法二：空 1：因为{an},3 £ n £ 7 为等比数列，则a72 = a5a9 =12´192 = 482，且an > 0，所以a7 = 48；又因为a52 = a3a7 ，则a3 = a52 = 3；
a7
空 2：设后 7 项公比为q>0，则q2 = a5 = 4 ，解得q = 2，
a3
+ a2 + a3 = 3(a1 + a3 ) = 6,a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 = a3 -a9q = 3-192´2= 381 ，
可得a1
2 1 - q 1 -2
所以a1 + a2 +L + a9 = 6+381- a3 = 384. 故答案为：48；384.
ìx + 2,x < -a,
ïï 2 - x2,-a £ x £ a, ，给出下列四个结论： 15. 设a > 0 ，函数 f (x) = í a
ïïî- x -1,x > a.
① f (x)在区间(a -1,+¥) 上单调递减；
②当a ³1时， f (x)存在最大值；
③设M (x1, f (x1))(x1 £ a), N(x2, f (x2))(x2 > a)，则| MN |>1；
④设P(x3, f (x3))(x3 < -a),Q(x4, f (x4))(x4 ³ -a)．若| PQ |存在最小值，则a的取值范围是çæè0, 12ùûú ．
其中所有正确结论的序号是____________．
【答案】②③
【解析】
【分析】先分析 f (x)的图像，再逐一分析各结论；对于①，取a = ，结合图像即可判断；对于②，分段讨论 f (x)的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知 MN 的范围；对于④，取a = ，结合图像可知此时 PQ 存在最小值，从而得以判断. 【详解】依题意，a > 0 ，当 x < -a时， f (x) = x + 2 ，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当-a £ x £ a时， f (x) = a 2 - x 2 ，易知其图像是，圆心为(0,0)，半径为a的圆在 x 轴上方的图像（即半圆）；当 x > a时， f (x) = -x -1，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取a = ，则 f (x)的图像如下，

显然，当 xÎ(a -1,+¥) ，即 xÎæçè- 12 ,+¥öø÷ 时， f (x)在æçè- 12 ,0øö÷ 上单调递增，故①错误；
对于②，当a ³1时，当 x < -a时， f (x) = x + 2 < -a + 2 £1；当-a £ x £ a时， f (x) = a 2 - x 2 显然取得最大值a；当 x > a时， f (x) = - x -1< - a -1£ -2 ，综上： f (x)取得最大值a，故②正确；对于③，结合图像，易知在 x1 = a， x2 > a 且接近于 x = a处，
M (x1, f (x1))(x1 £ a), N(x2, f (x2))(x2 > a)的距离最小，

当 x1 = a时， y = f (x1 ) = 0，当 x2 > a 且接近于 x = a处， y2 = f (x2 )< - a -1，此时， MN > y1- y2 >a +1>1，故③正确；对于④，取a = ，则 f (x)的图像如下，

因为P(x3, f (x3))(x3 < -a),Q(x4, f (x4))(x4 ³ -a)，
结合图像可知，要使 PQ 取得最小值，则点P在 f (x) = x + 2æçè x < - 54 ö÷ø上，点Q在
f (x) = 1625 - x 2 æçè- 54 £ x £ 54 ÷øö ，
同时 PQ 的最小值为点O到 f (x) = x + 2æçè x < - 54 ö÷ø的距离减去半圆的半径a，
此时，因为 f (x) = y = x + 2æçè x < - 54 öø÷的斜率为1，则kOP = -1，故直线OP 的方程为 y =-x，
ìy = -x ìx = -1
联立íy = x + 2 ，解得íîy =1 ，则P(-1,1)，
î
显然P(-1,1)在 f (x) = x + 2æçè x < - 54 ö÷ø上，满足 PQ 取得最小值，
即a = 54 也满足 PQ 存在最小值，故a的取值范围不仅仅是æçè0, 12ùúû ，故④错误. 故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得 f (x)的图像，特别是当-a £ x £ a时， f (x) = a 2 - x 2 的
图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 如图，在三棱锥P - ABC 中， PA ^平面 ABC，PA = AB = BC =1，PC =3 ．

（1） 求证：BC^平面PAB；
（2） 求二面角 A- PC - B的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先由线面垂直的性质证得 PA ^ BC，再利用勾股定理证得 BC ^ PB，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；
（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 与平面PBC 的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.
【小问 1 详解】
因为 PA ^平面 ABC, BC Ì平面 ABC，
所以PA ^ BC，同理PA ^ AB ，所以VPAB 为直角三角形，
又因为PB = PA2 + AB2 = 2 ，BC =1,PC =3 ，
所以PB2 + BC 2 = PC 2 ，则VPBC 为直角三角形，故BC ^ PB，
又因为BC^PA， PAI PB = P ，所以BC^平面 PAB .
【小问 2 详解】
由（1）BC^平面 PAB，又 ABÌ平面 PAB，则BC ^ AB，以 A 为原点， AB 为 x轴，过A 且与BC 平行的直线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则 A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(1,0,0)，
uuur uuur uuur uuur
所以 AP = (0,0,1), AC = (1,1,0),BC = (0,1,0),PC = (1,1,-1)，
uuur
ur ì
设平面PAC 的法向量为m = (x1, y1,z1 )，则îíïïmm××uAAuPCur ==00，即ìîízx11 += 0y1, = 0,
ur
令 x1 =1，则 y1 = -1，所以m = (1,-1,0) ，
uuur
r (x2 , y2 ,z2 )，则ìïîïínn××uBPuCCur == 00，即íîìxy22 +=y02 - z2 = 0，设平面PBC 的法向量为n =
r
令 x2 =1，则 z2 =1，所以n = (1,0,1)，
ur r
ur r m×n 1 1
所以 cos m,n = ur r = = ， m n 2 ´ 2 2
又因为二面角 A- PC - B为锐二面角，所以二面角 A- PC - B的大小为 .
17. 设函数 f (x) = sinwxcosj+ coswxsinjæçèw> 0,|j|< π2 öø÷ ．
（1） 若 f (0) = - 3 ，求j的值．
2
é- π , 2πùûú上单调递增， f æèç 23π ÷øö =1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选
（2） 已知 f (x)在区间 êë 3 3
择一个作为已知，使函数 f (x)存在，求w,j的值．
f æçè π3 ö÷ø = 2 ；
条件①：
条件②： f çæè-π3ö÷ø=-1；
é- π ,- πùúû 上单调递减．条件③： f (x)在区间 êë 2 3
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）j= - .
（2）条件①不能使函数 f (x)存在；条件②或条件③可解得w=1，j= - .
【解析】
【分析】（1）把 x = 0 代入 f (x)的解析式求出sinj，再由|j|< 即可求出j的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把 f (x)的解析式化简，根据 f (x) 在 éêë- π3 , 23πùúû上的单调性及
函数的最值可求出T ，从而求出w的值；把w的值代入 f (x)的解析式，由 f çæè-π3ö÷ø=-1和|j|< 即可求出
j的值；若选条件③：由 f (x) 的单调性可知 f (x) 在x=-处取得最小值-1，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【小问 1 详解】
因为 f (x) = sinwxcosj+ coswxsinj,w> 0,|j|<
所以 f (0) = sin(w×0)cosj+ cos(w×0)sinj= sinj= -3 ， 2
因为|j|< ，所以j= - .
【小问 2 详解】
因为 f (x) = sinwxcosj+ coswxsinj,w> 0,|j|< ，
所以 f (x) = sin(wx+j),w> 0,|j|< ，所以 f (x) 的最大值为1，最小值为-1.
若选条件①：因为 f (x) = sin(wx+j)的最大值为1，最小值为-1，所以 f æçè π3 ÷øö = 2 无解，故条件①不能使函数 f (x)存在；
若选条件②：因为 f (x) 在 êé- π3 , 23πùûú上单调递增，且 f æçè 23π ÷øö =1， f æèç-π3öø÷=-1
ë
所以T2 = 23π -çèæ- π3 ö÷ø = π ,所以T = 2π ,w= 2Tπ =1,
所以 f (x) = sin(x+j)，
又因为 f çæè-π3ö÷ø=-1，所以sinèçæ- π3 +jö÷ø = -1，
所以- +j= - + 2kπ,kÎ Z，
所以j= - π + 2kπ,kÎ Z ，因为|j|< p ，所以j= - π .
6 2 6 所以w=1，j= -；
f (x) 在 éêë- π3 , 23πùúû上单调递增，在ëéê- π2 ,- π3ùúû 上单调递减，若选条件③：因为
所以 f (x) 在x=-处取得最小值-1，即 f çæè-π3ö÷ø=-1.
以下与条件②相同．
18. 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段








价格变化








第 1 天到第 20 天
-
+
+
0
-
-
-
+
+
0
+
0
-
-
+
-
+
0
0
+
第 21 天到第 40 天
0
+
+
0
-
-
-
+
+
0
+
0
+
-
-
-
+
0
-
+
用频率估计概率．
（1） 试估计该农产品价格“上涨”的概率；
（2） 假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天“上涨”、1 天“下跌”、1 天“不变”的概率；
（3） 假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第 41 天该农产品价格“上涨”“下跌” 和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
【答案】（1）0.4
（2）0.168
（3）不变
【解析】
【分析】（1）计算表格中的+ 的次数，然后根据古典概型进行计算；
（2） 分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算；
（3） 通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第41天的情况.
【小问 1 详解】
根据表格数据可以看出， 40 天里，有16个+ ，也就是有16天是上涨的，根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为： = 0.4
【小问 2 详解】在这 40 天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是0.4 ，0.35，
0.25，
于是未来任取 4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是C24 ´0.42 ´C12 ´0.35´0.25 = 0.168
【小问 3 详解】由于第 40 天处于上涨状态，从前39次的15 次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有 4次，不变的有9次，下跌的有2次，
因此估计第41次不变的概率最大.
已知椭圆E : x22 + by22 =1(a > b > 0) 的离心率为 35 ，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E 的
19.
a
左、右顶点，| AC |= 4 ．
（1） 求E 的方程；
（2） 设P为第一象限内E上的动点，直线 PD与直线BC 交于点M ，直线PA与直线 y = -2 交于点 N ．求证：MN //CD．
x2 y2
【答案】（1） + =1
9 4
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）结合题意得到 c = 5 ， 2b= 4 ，再结合a2 -c2 =b2，解之即可； a 3
（2）依题意求得直线BC 、 PD与PA的方程，从而求得点M, N 的坐标，进而求得kMN ，再根据题意求
得kCD，得到kMN = kCD ，由此得解.
【小问 1 详解】
依题意，得e = c = 5 ，则c = 5 a ， a 3 3
又 A,C 分别为椭圆上下顶点， AC = 4 ，所以 2b= 4，即b = 2 ，
所以a2 -c2 = b2 = 4，即a2 - 5 a2 = 4 a2 = 4，则a2 = 9 ，
9 9
所以椭圆E 的方程为 x2 + y2 =1.
9 4
【小问 2 详解】
因为椭圆E 的方程为 x2 + y2 =1，所以 A(0,2),C (0,-2),B (-3,0),D (3,0)，
9 4
因为P为第一象限E 上的动点，设P(m,n)(0 < m < 3,0 < n < 2)，则 m2 + n2 =1，
9 4
易得
2
3
k
=
0+ 2
C = - ，则直线BC的方程为 y = -x - 2， B -3-0
kPD = n -0 = n ，则直线 PD的方程为 y = n (x -3)， m -3 m -3 m-3
联立ìïïí = - 23nx - 2 ìïïíx = 3(33n-n+-22mm-+66) ，即M çæ 3(33nn+-22mm-+66) ,3n +-122mn-6ø÷ö ， y
，解得
ïïîy = m-3(x -3) ïïy = 3n +122mn-6 è
î
而kPA = n - 2 = n - 2 ，则直线PA的方程为 y = n-2 x+ 2 ， m -0 m m
令 y=-2 ，则-2 = nm- 2 x + 2，解得 x = n-4m ，即 N çæ n-4-m2 ,-2ö÷ø ，
- 2 è
m2 n2 2 = 9 - 9n2 ，8m2 = 72 -18n2 ，又 + =1，则m
9 4 4
-12n
+ 2 (-6n+ 4m-12)(n- 2)
所以kMN = 3n + 2m -6 =
3(3n -2m +6) - -4m (9n -6m +18)(n -2)+ 4m(3n + 2m -6 )
3n + 2m -6 n -2
-6n2 + 4mn-8m+ 24 -6n2 + 4mn-8m+ 24
= 9n2 +8m2 + 6mn-12m-36 = 9n2 + 72 -18n2 + 6mn-12m-36
= -6n22 + 4mn-8m+ 24 = 2((-3n22 + 2mn-4m+12))= 2 ，
-9n + 6mn-12m+36 3 -3n + 2mn-4m+12 3
又kCD = 0+ 2 = 2 ，即kMN = kCD ， 3-0 3 显然，MN 与CD 不重合，所以MN //CD.
20. 设函数 f (x) = x - x3eax+b ，曲线 y = f (x) 在点(1, f (1))处的切线方程为 y = -x +1．
（1） 求a,b的值；
（2） 设函数 g(x) = f ¢(x) ，求 g(x) 的单调区间；
（3） 求 f (x)的极值点个数．
【答案】（1）a = -1,b =1
（2）答案见解析 （3）3 个
【解析】
【分析】（1）先对 f (x)求导，利用导数的几何意义得到 f (1) = 0， f ¢(1) = -1，从而得到关于a,b的方程组，解之即可；
（2） 由（1）得 g(x)的解析式，从而求得 g¢(x)，利用数轴穿根法求得g¢(x) < 0与g¢(x) > 0的解，由此求得 g(x)的单调区间；
（3） 结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间(-¥,0)，(0, x1)，(x1,x2 )与(x2,+¥)上 f ¢(x)
的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得 f (x)的极值点个数.
【小问 1 详解】
因为 f (x) = x- x3eax+b, xÎR ，所以 f ¢(x) =1-(3x2 + ax3)eax+b ，因为 f (x)在(1, f (1))处的切线方程为 y = -x +1，
所以 f (1) = -1+1= 0， f ¢(1) = -1，
ìï1-13 ´ea+b = 0 ìa = -1
则íïî1-(3+ a)ea+b = -1，解得íîb =1 ，所以a = -1,b =1.
【小问 2 详解】
由（1）得 g(x) = f ¢(x) =1-(3x2 -x3)e-x+1(xÎ R)，则 g¢(x) = -x(x2 -6x +6)e-x+1，
令 x2 -6x + 6 = 0，解得 x = 3±3 ，不妨设 x1 = 3-3 ， x2 = 3+3 ，则0< x1 < x2 ，
易知e-x+1 > 0恒成立，所以令 g¢(x) < 0，解得0 < x < x1 或x> x2 ；令 g¢(x) > 0，解得x< 0 或x1 < x< x2 ；所以 g(x)在(0, x1)，(x2,+¥)上单调递减，在(-¥,0)，(x1,x2 )上单调递增，即 g(x)的单调递减区间为(0,3-3)和(3+3,+¥)，单调递增区间为(-¥,0)和(3- 3,3+ 3).
【小问 3 详解】
由（1）得 f (x) = x - x3e-x+1(xÎR)， f ¢(x) =1-(3x2 -x3)e-x+1，由（2）知 f ¢(x) 在(0, x1)，(x2,+¥)上单调递减，在(-¥,0)，(x1,x2 )上单调递增，当x< 0 时， f ¢(-1) =1- 4e2 < 0， f ¢(0) =1> 0 ，即 f ¢(-1) f ¢(0) < 0 所以 f ¢(x)在(-¥,0)上存在唯一零点，不妨设为 x3 ，则-1< x3 < 0 ，此时，当 x < x3时， f ¢(x) < 0，则 f (x)单调递减；当 x3 < x < 0 时， f ¢(x)>0，则 f (x)单调递增；所以 f (x)在(-¥,0)上有一个极小值点；当 xÎ(0, x1)时， f ¢(x)在(0, x1)上单调递减，则 f ¢(x1 ) = f ¢(3-3) < f ¢(1) =1- 2 < 0 ，故 f ¢(0) f ¢(x1) < 0，所以 f ¢(x)在(0, x1)上存在唯一零点，不妨设为 x4，则 0 < x4 < x1，此时，当0 < x < x4 时， f ¢(x)>0，则 f (x)单调递增；当 x4 < x < x1时， f ¢(x) < 0，则 f (x)单调递减；所以 f (x)在(0, x1)上有一个极大值点；
当 xÎ(x1, x2)时， f ¢(x)在(x1,x2 )上单调递增，则 f ¢(x2 ) = f ¢(3+3) > f ¢(3) =1> 0 ，故 f ¢(x1) f ¢(x2) < 0，所以 f ¢(x)在(x1,x2 )上存在唯一零点，不妨设为 x5 ，则 x1 < x5 < x2，此时，当 x1 < x < x5时， f ¢(x) < 0，则 f (x)单调递减；当 x5 < x < x2时， f ¢(x) < 0，则 f (x)单调递增；所以 f (x)在(x1,x2 )上有一个极小值点；当 x > x2 = 3+3 > 3时，3x2 - x3 = x2 (3- x)< 0 ，所以 f ¢(x) =1-(3x2 - x3)e-x+1 > 0，则 f (x)单调递增，所以 f (x)在(x2,+¥)上无极值点；综上： f (x)在(-¥,0)和(x1,x2 )上各有一个极小值点，在(0, x1)上有一个极大值点，共有3个极值点.
【点睛】关键点睛：本题第 3 小题的解题关键是判断 f ¢(x1 )与 f ¢(x2)的正负情况，充分利用 f ¢(x)的单调性，寻找特殊点判断即可得解.
21. 已知数列{an},{bn}的项数均为m(m > 2) ，且an,bn Î{1,2,L,m}, {an},{bn}的前n项和分别为 An,Bn，并规定 A0 = B0 = 0 ．对于k Î{0,1,2,L,m}，定义rk = max{i∣Bi £ Ak ,iÎ{0,1,2,L,m}}，其中，max M
表示数集M中最大的数.
（1） 若a1 = 2,a2 =1,a3 = 3,b1 =1,b2 = 3,b3 = 3 ，求r0 ,r1,r2 ,r3 的值；
（2） 若a1 ³ b1 ，且2rj £ rj+1 + rj-1, j =1,2,L,m -1, ，求rn ；
（3） 证明：存在 p,q,s,t Î{0,1,2,L,m}，满足 p > q,s > t, 使得 Ap + Bt = Aq + Bs ．
【答案】（1）r0 = 0 ，r1 =1，r2 = 2，r3 = 3
（2） rn = n, n Î N
（3） 证明见详解
【解析】
【分析】（1）先求 A0 , A1, A2 , A3 , B0 , B1, B2 , B3 ，根据题意分析求解；
（2） 根据题意题意分析可得 ri+1 - ri ³ 1 ，利用反证可得 ri+1 - ri = 1 ，在结合等差数列运算求解；
（3） 讨论 Am , B m 的大小，根据题意结合反证法分析证明.
【小问 1 详解】
由题意可知： A0 = 0, A1 = 2, A2 = 3, A3 = 6, B0 = 0, B1 = 1, B2 = 3, B3 = 6 ，当k = 0时，则 B0 = A0 = 0, Bi > A0 ,i = 1, 2,3 ，故r0 = 0 ；当k =1时，则 B0 < A1, B1 < A1, Bi > A1, i = 2, 3 ，故r1 =1；当k = 2时，则 Bi £ A2 ,i = 0,1, 2, B3 > A2 , 故r2 = 2；当k = 3时，则 Bi £ A3 , i = 0,1, 2, 3 ，故r3 = 3；综上所述：r0 = 0 ，r1 =1，r2 = 2，r3 = 3.
【小问 2 详解】由题意可知： rn £ m ，且 rn Î N ，因为an ³ 1,bn ³ 1 ，则 An ³ a1 = 1, B n ³ b1 = 1 ，当且仅当n= 1时，等号成立，所以 r0 = 0, r1 = 1 ，又因为 2ri £ ri-1 + ri+1，则 ri+1 - ri ³ ri - ri-1 ，即 rm - rm -1 ³ rm -1 - rm -2 ³ ××× ³ r1 - r0 = 1 ，可得 ri+1 - ri ³ 1 ，
反证：假设满足 rn +1 - rn > 1 的最小正整数为1 £ j £ m -1，当i ³ j时，则 ri+1 - ri ³ 2 ；当i £ j -1时，则ri+1 - ri = 1 ，则rm =(rm -rm-1)+(rm-1 -rm-2)+×××+(r1 -r)0 +r0 ³2(m- j)+ j =2m- j，
又因为1 £ j £ m -1，则rm ³2m- j ³2m-(m-1)=m+1>m，
假设不成立，故 rn +1 - rn = 1 ，即数列{rn}是以首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以 rn = 0 + 1´ n = n, n Î N .
【小问 3 详解】
（ⅰ）若 Am ³ B m ，构建Sn =An -Brn,1£n£m，由题意可得：Sn ³ 0 ，且Sn 为整数，反证，假设存在正整数K ，使得SK ³ m ，
则 AK - BrK ³ m, AK - BrK+1 < 0，可得brK+1 = BrK+1 - BrK = (AK - BrK )-(AK - BrK+1) > m，这与brK +1 Î{1,2,×××,m}相矛盾，故对任意1 £ n £ m, n Î N，均有 S n £ m - 1 . ①若存在正整数 N ，使得SN =AN -BrN =0，即AN =BrN ，可取 r = p = 0, q = N , s = rN ，使得Ap +Bs =Aq +Br；
②若不存在正整数 N ，使得 S N = 0 ，
因为Sn Î{1,2m×××,m-1}，且1£ n £ m，
所以必存在1£ X < Y £ m ，使得SX = SY ，
即 AX - BrX = AY - BrY ，可得 AX + BrY = AY + BrX ，可取 p = X,s = rY ,q =Y,r = rX ，使得Ap +Bs =Aq +Br；
（ⅱ）若 Am < Bm ，构建Sn =Brn -An,1£n£m，由题意可得：Sn £ 0 ，且Sn 为整数，反证，假设存在正整数K ，使得SK £ -m ，
则BrK - AK £ -m, BrK+1 - AK > 0，可得brK+1 = BrK+1 - BrK = (BrK+1 - AK )-(BrK - AK ) > m，这与brK +1 Î{1,2,×××,m}相矛盾，故对任意1 £ n £ m, n Î N，均有 S n ³ 1 - m . ①若存在正整数 N ，使得SN =BrN -AN =0，即AN =BrN ，可取 r = p = 0, q = N , s = rN ，使得Ap +Bs =Aq +Br；
②若不存在正整数 N ，使得 S N = 0 ，
因为Sn Î{-1,-2,×××,1-m}，且1£ n £ m，
所以必存在1£ X < Y £ m ，使得SX = SY ，
即BrX - AX = BrY - AY ，可得 AX + BrY = AY + BrX ，可取 p = X,s = rY ,q =Y,r = rX ，使得Ap +Bs =Aq +Br；综上所述：存在 0 £ p < q £ m,0 £ r < s £ m使得Ap +Bs =Aq +Br ．
【点睛】方法点睛：对于一些直接说明比较困难的问题，可以尝试利用反证法分析证明.