2022-2023学年广东省深圳实验学校八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省深圳实验学校八年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省深圳实验学校八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 要使分式8a+3有意义，a应满足的条件是(    )
A. a<−3 B. a>−3 C. a=−3 D. a≠−3
3. 如图，在▱ABCD中，∠A=140°，则∠D的度数为(    )

A. 40° B. 70° C. 110° D. 140°
4. 若a>b，则下列结论不成立的是(    )
A. 2a>2b B. a2>b2 C. a+m>b+m D. −4a>−4b
5. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(    )
A. x(a+b)=ax+bx B. a2+4a+4=(a+2)(a−2)
C. 10a2+5a=5a(2a+1) D. a2−16+3a=(a+4)(a−4)+3a
6. 点M(3,−1)先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是(    )
A. (0,−3) B. (0,1) C. (6,−3) D. (6,1)
7. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在(    )

A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点
C. 三角形三个内角的角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点
8. 若函数y=ax和函数y=bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式ax−bx>c的解集是(    )



A. x<2
B. x<1
C. x>2
D. x>1
9. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌.工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌(    )
A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
10. 在如图所示的三角形纸片ABC中，∠C=90°，沿AD折叠三角形纸片，使点C落在AB边上的E点，若此时点D恰好为BC边靠近点C的三等分点，则下列结论：①∠B=30°；②△ACD≌△BED；③DE垂直平分AB；④S△ABC= 3AC2，其中正确的是(    )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 分解因式：x2−36= ______ ．
12. 正八边形每个外角的度数为______ ．
13. 若分式x2−4x+1的值为零，则x的值是______ ．
14. 如图，在△ABC中，两条角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，若PD=1，△ABC的周长为12，则△ABC的面积为______ ．
15. 关于x的不等式组x−a>02(x−1)≥3x−1恰有3个整数解，那么a的取值范围为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式组5x+2>4(x+1)12x−1≤5−32x．
17. (本小题8.0分)
先化简，再求值：x2x2−1÷(1x−1+1)，其中x=2．
18. (本小题8.0分)
解方程：2+1x−3=2−x3−x．
19. (本小题8.0分)
已知：如图，E、F是▱ABCD对角线AC上的两点．

(1)若AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，∠EDF=35°，求∠FBE的度数．
20. (本小题8.0分)
某学校为丰富大课间的体育活动，决定购买甲、乙两种型号的篮球.购买时发现，甲种篮球的单价比乙种篮球单价多20元，且用900元购买甲种篮球的个数与720元购买乙种篮球的个数相同．
(1)求甲、乙两种篮球的单价各是多少元？
(2)学校准备购买甲、乙两种篮球共16个，且购买的总费用不超过1500元，求最多可以购买多少个甲种篮球．
21. (本小题8.0分)
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为(−2,−1)．

(1)将△ABC向上平移6个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)以(0,−1)为对称中心，画出△ABC关于该点对称的△A2B2C2；
(3)经探究发现，△A1B1C1和△A2B2C2成中心对称，则对称中心坐标为______ ；
(4)已知点P为x轴上不同于O、D的动点，当PA+PC= ______ 时，∠OPC=∠DPA．
22. (本小题8.0分)
问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边△ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE．

(1)【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；
(2)【探究应用】如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC；
(3)【拓展提升】如图3，若△ABC是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE.点D在运动过程中，△DEC的周长最小值= ______ (直接写答案)．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

2.【答案】D 
【解析】解：∵分式8a+3有意义，
∴a+3≠0，
解得a≠−3，
∴a应满足的条件是a≠−3．
故选：D．
根据分式有意义的条件是分母不等于零，可得a+3≠0，据此求出a应满足的条件即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：分式有意义的条件是分母不等于零．

3.【答案】A 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=140°，
∴∠D=40°，
故选：A．
根据平行四边形的邻角互补，即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．

4.【答案】D 
【解析】解：A、∵a>b，∴2a>2b，正确，不符合题意；
B、∵a>b，∴a2>b2，正确，不符合题意；
C、∵a>b，∴a+m>b+m，正确，不符合题意；
D、∵a>b，∴−4a<−4b，原式变形错误，符合题意．
故选：D．
根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：A是整式乘法运算，不是因式分解，则A不符合题意；
B中左右两边不相等，则B不符合题意；
C符合因式分解的定义，它是因式分解，则C符合题意；
D中等号右边不是积的形式，它不是因式分解，则D不符合题意；
故选：C．
将一个多项式化成几个整式积的形式即为因式分解，据此进行判断即可．
本题考查因式分解的定义，熟练掌握并理解因式分解的定义是解题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：点M(3,−1)先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是(3−3,−1+2)，即(0,1)．
故选：B．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化−平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．

7.【答案】D 
【解析】解：∵该地铁站到三座商场的距离相等，
∴该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点处．
故选：D．
根据线段垂直平分线的性质进行判断．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

8.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式(组)之间的内在联系及数形结合思想是解决本题的关键．
利用函数图象，写出直线y=ax在直线y=bx+c上方所对应的自变量的取值范围即可．
【解答】
解：观察函数图象得x>1时，ax>bx+c，
即x>1时，ax−bx>c，
所以关于x的不等式ax−bx>c的解集为x>1．
故选：D．  
9.【答案】C 
【解析】解：A选项，等边三角形的内角为60°，360°÷60°=6(个)，所以6个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
B选项，正方形的内角为90°，360°÷90°=4(个)，所以4个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
C选项，正五边形的内角为108°，360÷108°=313，所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360°，符合题意；
D选项，正六边形的内角为120°，360°÷120°=3(个)，所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
故选：C．
正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．

10.【答案】A 
【解析】解：取BD中点F，连接EF，
由折叠得∠AED=∠C=90°，ED=CD，
∴∠BED=90°，DE⊥AB，
∴EF=DF=BF=12BD，
∵点D为BC边靠近点C的三等分点，
∴CD=13BC，
∴CD=12BD，
∴ED=CD=EF=DF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=60°，
∴∠B=30°，
故①正确；
∵∠CDE=180°−∠EDF=120°，
∴∠CDA=∠EDA=12∠CDE=60°，
∴∠CDA=∠EDB，
在△ACD和△BED中，
∠C=∠BEDCD=ED∠CDA=∠EDB，
∴△ACD≌△BED(ASA)，
故②正确；
∴BE=AC，
∵AE=AC，
∴AE=BE，
∴DE垂直平分AB，
故③正确；
∵AE=BE=AC，
∴AB=2AE=2AC，
∴BC= AB2−AC2= (2AC)2−AC2= 3AC，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12AC× 3AC= 32AC2≠ 3AC2，
故④错误，
故选：A．
取BD中点F，连接EF，可证明△DEF是等边三角形，则∠EDF=60°，所以∠B=30°，可判断①正确；由∠CDE=120°，得∠CDA=∠EDA=60°，则∠CDA=∠EDB，而∠C=∠BED，CD=ED，即可证明△ACD≌△BED，可判断②正确；由BE=AC，AE=AC，得AE=BE，所以DE垂直平分AB，可判断③正确；由AE=BE=AC，得AB=2AC，则BC= AB2−AC2= 3AC，所以S△ABC=12AC⋅BC= 32AC2≠ 3AC2，可判断④错误，于是得到问题的答案．
此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大．

11.【答案】(x+6)(x−6) 
【解析】
【分析】
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.原式利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式=(x+6)(x−6)．
故答案为(x+6)(x−6)．
  
12.【答案】45° 
【解析】解：因为任何一个多边形的外角和都是360°，
所以正八边形的每个外角的度数是：360°÷8=45°．
故答案为：45°．
利用多边形的外角和等于360度即可得出答案．
本题主要考查了多边形的外角和定理，熟记任何一个多边形的外角和都是360°是解题的关键．

13.【答案】±2 
【解析】解：根据题意得：x2−4=0且x+1≠0，
解得：x=±2．
故答案是：±2．
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
本题考查了分式的值是0的条件：若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．

14.【答案】6 
【解析】解：连接PA，过点P分别作AB，AC的垂线段PE，PF，

∵BP，CP是△ABC的角平分线，PD⊥BC，
∴PD=PE=PF=1，
∵△ABC的周长为12，
∴AB+BC+AC=12，
∴S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC
=12AB⋅PE+12BC⋅PD+12AC⋅PF
=12(AB+BC+AC)
=12×12
=6，
故答案为：6．
过点P分别作AB，AC的垂线段PE，PF，连接PA，△ABC的面积等于△PAB的面积，△PBC的面积，△PAC的面积和，利用角平分线性质和三角形面积公式将△ABC的面积用△ABC的周长表示出来，即可求出面积．
本题考查角平分线的性质，解题时用到整体思想，能熟练运用整体思想是解题的关键．

15.【答案】−4≤a<−3 
【解析】解：x−a>0①2(x−1)≥3x−1②，
解不等式①，得：x>a，
解不等式②，得：x≤−1，
∵不等式组x−a>02(x−1)≥3x−1恰有3个整数解，
∴这三个整数解为−1，−2，−3，
∴−4≤a<−3，
故答案为：−4≤a<−3．
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，再根据不等式组x−a>02(x−1)≥3x−1恰有3个整数解，即可得到a的取值范围．
本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．

16.【答案】解：5x+2>4(x+1)①12x−1≤5−32x②，
解不等式①，得：x>2，
解不等式②，得：x≤3，
∴该不等式组的解集为2 【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．

17.【答案】解：x2x2−1÷(1x−1+1)
=x2(x+1)(x−1)÷1+x−1x−1
=x2(x+1)(x−1)÷xx−1
=x2(x+1)(x−1)⋅x−1x
=xx+1，
当x=2时，原式=22+1=23． 
【解析】先根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．

18.【答案】解：方程两边同乘以x−3得：
2(x−3)+1=−(2−x)，
2x−6+1=−2+x，
解得：x=3，
检验：当x=3时，x−3=0，
故此方程无解． 
【解析】直接去分母，进而解方程，再检验得出答案．
此题主要考查了解分式方程，正确去分母是解题关键．

19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，
即OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)解：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BEO=∠DFO=90°，BE//DF，
∴∠OBE=∠ODF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴△BOE≌△DOF(AAS)，
∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴∠FBE=∠EDF=90°−35°=55°． 
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到OA=OC，OB=OD，进而得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可；
(2)先根据直角三角形两锐角互余求出∠EDF的度数，再证明四边形BEDF是平行四边形，利用平行四边形的对角相等得出答案．
本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质和判定方法是正确解答的前提．

20.【答案】解：(1)设甲种篮球的单价是x元，则乙种篮球的单价是(x−20)元，
根据题意得：900x=720x−20，
解得：x=100，
经检验，x=100是所列方程的解，且符合题意，
∴x−20=100−20=80．
答：甲种篮球的单价是100元，乙种篮球的单价是80元；
(2)设购买m个甲种篮球，则购买(16−m)个乙种篮球，
根据题意得：100m+80(16−m)≤1500，
解得：m≤11，
∴m的最大值为11．
答：最多可以购买11个甲种篮球． 
【解析】(1)设甲种篮球的单价是x元，则乙种篮球的单价是(x−20)元，利用数量=总价÷单价，结合用900元购买甲种篮球的个数与720元购买乙种篮球的个数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲种篮球的单价，再将其代入(x−20)中，即可求出乙种篮球的单价；
(2)设购买m个甲种篮球，则购买(16−m)个乙种篮球，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1500元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

21.【答案】(−1,3)  34 
【解析】(1)分别作出点A、B、C向上平移6个单位的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1，如图，

(2)如图，分别作出点A、B、C关于(0,−1)的对称点A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2，如图，

(3)连接A1A2、B1B2、C1C2，交于点Q，如图，

则Q(−1,3)，即对称中心坐标为(−1,3)；
故答案为：(−1,3)；
(4)过点C作关于x轴的对称点C′，连接AC交x轴于点P，连接CP，如图，

则CP=CP，∠OPC=∠OPC′，
∵∠DPA=∠OPC′，
∴∠OPC=∠DPA，
此时，PA+PC=PA+PC′=AC′，
∵点C与点C′关于x轴对称，(−2,−1)，
∴C′(−2,1)，
∵A(−5,−4)，
∴AC′= (−2+5)2+(1+4)2= 34，即PA+PC= 34，
∴当PA+PC= 34时，∠OPC=∠DPA．
故答案为： 34．
(1)先分别作出点A、B、C向上平移6个单位的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可画出图形；
(2)先分别作出点A、B、C关于(0,−1)的对称点A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2即可画出图形；
(3)连接A1A2、B1B2、C1C2，交点坐标即为对称中心坐标；
(4)过点C作关于x轴的对称点C′，连接AC交x轴于点P，连接CP，易得CP=CP，∠OPC=∠OPC′，以此可得∠OPC=∠DPA，此时PA+PC=PA+PC′=AC′，利用两点间的距离公式计算即可求解．
本题主要考查旋转变换和平移变换作图、轴对称的性质，解题关键是：(1)(2)利用网格结构作出平移或旋转后对应的点；(3)连接对应点得出对称中心的坐标；(4)利用轴对称找出点P的位置，熟知两点间的距离公式．

22.【答案】2+ 3 
【解析】(1)解：BD=CE，理由如下：
∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)证明：∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴∠ADB=120°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ADB=∠AEC=120°，
∴∠BEC=60°，
∴∠BEC=∠AED=60°，
∴EB平分∠AEC；
(3)解：当点D在线段BC上时，△DEC的周长存在最小值，最小值为2+ 3，
理由如下：

∵△ABD≌△ACE，
∴CE=BD，
∴△DEC的周长=DE+CE+DC=BD+CD+DE，
∴当点D在线段BC上时，△DEC的周长=BC+DE，
∵△ADE为等边三角形，
∴DE=AD，
∴AD的最小时，△DEC的周长最小，此时AD⊥BC，
∴BD=12AB=1，AD= 3BD= 3=DE，
∴△DEC的周长的最小值为2+ 3．
故答案为：2+ 3．
(1)证明△ABD≌△ACE，即可得BD=CE；
(2)证明△ABD≌△ACE(SAS)，可得∠ADB=∠AEC=120°，故∠BEC=60°，从而EB平分∠AEC；
(3)由△ABD≌△ACE，得CE=BD，可得△DEC的周长=BC+DE，而DE=AD，知AD的最小时，△DEC的周长最小，此时AD⊥BC，即可求得答案．
本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．