2022-2023学年江苏省南通市通州区、如东县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省南通市通州区、如东县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省南通市通州区、如东县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 一次函数y=2x−3与y轴的交点坐标为(    )
A. (0,−3) B. (0,3) C. (32,0) D. (−32,0)
3. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则此方程必有一个根为(    )
A. 0 B. 1 C. −1 D. ±1
4. 下列说法正确的是(    )
A. 若a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2=c2
B. 若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2
C. 若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2+b2=c2
D. 若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a2+b2=c2
5. 初二年级12位同学参加学校举行的诗歌朗诵比赛，其成绩各不相同，按成绩取前6进入决赛，小东已知自己的成绩，想判断能否进入决赛，还需知道这12位同学成绩(    )
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
6. 若平行四边形有两个内角的度数之比为1：2，则该平行四边形最大的内角为(    )
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
7. 均匀地向一个如图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度h随时间变化的函数图象大致是(    )
A. B. C. D.
8. 甲、乙两位同学在解一道二次项系数是1的一元二次方程时，甲同学看错了常数项，得到方程的两根是8和2，乙同学写错了一次项系数，得到方程的两根为−9和−1，则原来的方程是(    )
A. x2+10x+9=0 B. x2−10x+9=0
C. x2+10x+16=0 D. x2−10x+16=0
9. 如图，矩形纸片ABCD的边AB长为4，将这张纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，已知折痕EF长为2 5，则BC长为(    )
A. 4.8
B. 6.4
C. 8
D. 10
10. 如图，直线y=2x−6与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且CB=10，CD=OD.若点P为线段AB上的一个动点，且P关于x轴的对称点Q总在△OCD内(不包括边界)，则点P的横坐标m的取值范围为(    )
A. 13 B. 23 C. 23 D. 43 二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）
11. 方程5x2−x−3=0的一次项系数是______ ．
12. 数据2，3，5，5，5的平均数为______ ．
13. 若一次函数y=−x+b的图象过点(m,y1)(m+1,y2)，则y1 ______ y2(填“>”、“<”或“=”)．
14. 一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b>1的解集为______ ．


15. 已知△ABC中，∠C=90°，点D，点E分别是AB，BC的中点，若BC=6，DE=4，则AB= ______ ．


16. 读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同.诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄.若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程______ ．
17. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，点A到边CD的距离为5，则四边形ABCD的面积为______ ．


18. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线AC上，且AF=CE，过点E作CD的垂线，与边CD交于点G，连接DF.若AC=8，BD=6，则EG+DF的最小值为______ ．


三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
(1)解方程(x−2)2=3x−6；
(2)已知点(2,m)，(1,2)，(4,5)在同一直线上，求m的值．
20. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，A(1,1)，B(3,2)．
(1)线段AB长为______ ；
(2)将线段AB绕点P(0,−1)逆时针90°后得到线段A′B′，其中A的对应点为A′.请在图中画出线段A′B′，并直接写出点B′的坐标______ ．

21. (本小题10.0分)
如图，已知AD为△ABC的角平分线，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A，D为圆心，以大于12AD长为半径在AD两侧作弧，两弧交于点M，N；
第二步，作直线MN分别交AB，AC于点E，F；
第三步，连接DE，DF．
(1)由作图可知，直线MN是线段AD的______ ；
(2)判定四边形AEDF的形状并证明．

22. (本小题10.0分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+2m=0．
(1)求证无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根；
(2)设此方程的两个实数根分别为x1x2，若x12+x22=13，求m的值．
23. (本小题12.0分)
2022年10月31日15时37分，中国空间站梦天实验舱在长征五号B运载火箭的托举下顺利升空.某校为了解学生对航天知识的掌握情况，开展了“航天知识我来答”竞赛活动.现从七年级和八年级参与竞赛的同学中各随机选出20名学生的成绩进行分析，并给制了如下不完整的统计图：(数据分为4组：A组：0≤x<70，B组：70≤x<80，C组：80≤x<90，D组：90≤x≤100，x表示成绩，成绩为整数)，其中七年级成绩处于C组的有12人．
七年级C组成绩分别为：89，88，87，86，85，85，85，85，85，84，82，82；

七年级、八年级成绩的平均数、中位数、众数(单位：分)如下表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
83
n
85
八年级
83
87
87
(1)直接写出m，n的值，并补全条形统计图；
(2)通过以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对航天知识掌握得更好？说明理由(一条理由即可)；
(3)已知七、八年级各有800名学生参加竞赛，请估计两个年级成绩处于C组的学生共有多少人？
24. (本小题11.0分)
某商店购进一批单价为10元的文具，销售一段时间后，为获得更多利润，商店决定提高销售价格.经试验发现，若按每件12元的价格销售，每月能卖160件；若按每件18元的价格销售，每月只能卖40件.已知每月销售件数y是价格x(元/件)的一次函数．
(1)直接写出y与x之间的关系式______ ；
(2)若6月份该文具的销售利润为500元，求6月份该文具的销售件数．
25. (本小题13.0分)
如图1，点E是正方形ABCD内的一点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得线段CF；连接BE，DF，EF．
(1)如图1，
①求证：BE=DF；
②延长BE交线段DF于点P，若BC=2CE=4，PE=PF，求线段BP的长．
(2)如图2，EF交CD于点G，若B，E，F三点在同一条直线上，且AE⊥BF，求证：CG=DG．

26. (本小题14.0分)
【定义】如果在平面直角坐标系中，点P(x,y)在直线y=−x+m上，我们就把直线y=−x+m叫做点P的“依附线”，点P叫做这条直线的“依附点”，m叫做点P的“依附数”.例如，点P(−1,5)在直线y=−x+4上，所以直线y=−x+4为点P的“依附线”，点P的“依附数”为4．
【应用】
(1)已知点P(−2,7)，在A(0,4)，B(−1,4)，C(−5,10)中，与点P的“依附数”相同的点是______ ；
(2)已知矩形EFGH中，点E(−5,2)，F(−5,−2)，G(5,−2)，H(5,2).若矩形EFGH边上存在两个不同的点M，N都是直线y=−x+m的“依附点”，求m的取值范围；
(3)若直线y=kx−k+2上存在点M(a,b)，且点M的“依附数”为m，当a≤0，0≤m≤4时，求k的取值范围．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：A.该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．

2.【答案】A 
【解析】解：
在y=2x−3中，令x=0可得y=−3，
∴y=2x−3与y轴的交点坐标为(0,−3)，
故选：A．
令x=0可求得y的值，则可求得答案．
本题主要考查函数图象与坐标轴的交点，掌握函数图象与坐标轴交点的求法是解题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：∵a+b+c=0，
∴c=−a−b，代入ax2+bx+c=0得ax2+bx−a−b=0，
∴a(x2−1)+b(x−1)=0，
∴a(x+1)(x−1)+b(x−1)=0，
∴(x−1)(ax+a+b)=0，
∴x−1=0或ax+a+b=0，
∴x=1或x=−a+ba，
∵a，b不确定，
∴此方程必有一个根为x=1，
故选：B．
消元法，把c消掉，利用因式分解解方程．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，消掉c是关键．

4.【答案】D 
【解析】解：A、勾股定理只限于在直角三角形里应用，故A可排除；
B、虽然给出的是直角三角形，但没有给出哪一个是直角，故B可排除；
C、在Rt△ABC中，直角所对的边是斜边，C中的斜边应为a，得出的表达式应为b2+c2=a2，故C也排除；
D、符合勾股定理，正确．
故选：D．
根据勾股定理的内容，即可解答．
注意：利用勾股定理时，一定要找准直角边和斜边．

5.【答案】C 
【解析】解：因为6位进入决赛的同学的分数肯定是12名参赛选手中最高的，
而且12个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后共有7个数，
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛．
故选：C．
在这组数据中，有一半的数据比中位数大，有一半的数据比中位数小．
本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．

6.【答案】D 
【解析】解：∵平行四边形对角相等，
∴度数之比为1：2的两内角为平行四边形的邻角，
∵平行四边形对边平行，
∴平行四边形两邻角互补，
∴平行四边形度数之比为1：2的两内角的度数分别为60°和120°，
故该平行四边形最大的内角为120°．
故选：D．
由平行四边形的性质可知：内角的度数之比为1：2的两个角是平行四边形的邻角，根据邻角互补可求解平行四边形的最大内角的度数．
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．

7.【答案】A 
【解析】解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短．
故选A．
由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段．
此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器的高度相同，每部分的粗细不同得到用时的不同．

8.【答案】B 
【解析】解：能．理由如下：
设此方程的两个根是α、β，根据题意得：
α+β=−ba=8+2=10，αβ=ca=−9×(−1)=9，
∵a=1，
∴b=−10，c=9，
∴原来的方程是x2−10x+9=0．
故选：B．
先设这个方程的两根是α、β，甲把常数项看错了，解得两根为8和2，则有α+β=−ba=10，由于乙把一次项系数看错了，而解得方程的两根为−9和−1，则有αβ=ca=9，那么关于α、β为根的一元二次方程即为所求．
本题主要考查了根与系数的关系及用配方法解一元二次方程，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q．

9.【答案】C 
【解析】解：由折叠可知：∠AEF=∠CEF，
∵AD//BC，
∴∠AFE=∠FEC，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
过点F作FG⊥BC于G，得矩形AFGB，
∴FG=AB=4，AF=BG，
在Rt△FEG中，EF=2 5，
∴EG= EF2−FG2= 20−16=2，
由折叠可知：AE=CE，
∴AE=AF=CE，
在Rt△ABE中，设AE=AF=BG=x，AB=4，
∴BE=BG−EG=x−2，
∴x2−42=(x−2)2，
∴x=5，
∴AE=AF=CE=5，BE=x−2=3，
∴BC=CE+BE=5+3=8．
故选：C．
利用翻折变换的知识，可得到AE=AF，过点F作FG⊥BC于G，得矩形AFGB，用勾股定理可求出EG，由翻折变换设AE=AF=BG=x，利用勾股定理可求出x的值，进而可以解决问题．
本题考查了折叠的知识，矩形的性质，勾股定理等知识点的理解和运用，关键是根据题意得出方程．

10.【答案】D 
【解析】解：在y=2x−6中，当x=0时，y=2x−6=−6，当y=2x−6=0时，x=3，
∴A(3,0)，B(0,−6)，
∵C在y轴的正半轴上，CB=10，
∴C(0,4)，
∵CD=OD．
∴点D在线段OC的垂直平分线上，即在直线y=2上，
在y=2x−6中，当y=2x−6=2时，x=4，
∴D(4,2)；
设直线CD解析式为y=kx+b，
4k+b=2b=4，
∴k=−12b=4
∴直线CD解析式为y=−12x+4．
同理可得直线OD的解析式为y=12x，
∵点P为线段AB上的一个动点，且其横坐标为m，
∴P(m,2m−6)，
∵P、Q关于x轴对称，
∴Q(m,6−2m)，
∵点Q总在△OCD内(不包括边界)，
∴12m<6−2m<−12m+4．
解得43 故选：D．
先求出A(3,0)、B(0,−6)，进而求出C(0,4)，再由CD=OD可知点D在线段OC的垂直平分线上，即在直线y=2上，则D(4,2)，利用待定系数法求出直线CD和直线OD的解析式，根据关于x轴对称的点横坐标相同及坐标互为相反数求出点Q的坐标，再根据点Q在△OCD内，则当x=m时，点Q的纵坐标在直线CD和直线OD二者的函数值之间，由此建立不等式求解即可．
本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化一轴对称，正确理解题意得到点Q在△OCD内，则当x=m时，点Q的纵坐标在直线CD和直线OD二者的函数值之间是解题的关键．

11.【答案】−1 
【解析】解：方程5x2−x−3=0的一次项系数是−1．
故答案为：−1．
一元二次方程的一般式：ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)，b叫一次项系数．根据方程可直接找到答案．
本题考查了一元二次方程的一般式：ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数).ax2叫二次项，a叫二次项系数；bx叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．

12.【答案】4 
【解析】解：数据2，3，5，5，5的平均数为：2+3+5+5+55=4，
故答案为：4．
根据算术平均数的定义计算即可．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
本题考查了算术平均数，掌握算术平均数的定义是解答本题的关键．

13.【答案】> 
【解析】解：∵−1<0，
∴y随x的增大而减小，
∵m ∴y1>y2，
故答案为：>．
根据一次函数图象的性质解答即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，对于一次函数y=kx+b(k≠0)，当k<0时y随x的增大而减小；当k>0时y随x的增大而增大．

14.【答案】x>0 
【解析】解：观察图象可知，y随x的增大而增大，且图象经过点(0,1)，
∴kx+b>1的解集是x>0，
故答案为：x>0．
先观察图象的增减性和经过的点，再根据条件即可求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是理解函数图象上点的坐标意义，能根据图象的增减性求解．

15.【答案】10 
【解析】解：∵点D，点E分别是AB，BC的中点，DE=4，
∴AC=2DE=8，
∵∠C=90°，BC=6，
∴AB= AC2+BC2= 82+62=10．
故答案为：10．
利用三角形的中位线定理求出AC的长，再利用勾股定理可求解．
本题主要考查三角形的中位线定理，勾股定理，掌握三角形的中位线定理及勾股定理是解题的关键．

16.【答案】x2=10(x−3)+x 
【解析】解：∵去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，他去世时年龄的个位数为x，
∴他去世时年龄的十位数为(x−3)．
根据题意得：x2=10(x−3)+x．
故答案为：x2=10(x−3)+x．
根据个位及十位数字间的关系，可得出他去世时年龄的十位数为x(x−3)，结合个位数的平方等于他去世时的年龄，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

17.【答案】25 
【解析】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，

∵∠BAD=∠C=90°，AE⊥CD，AE⊥AF，
∴四边形AECF是矩形，
∴∠F=90°，
∵AE⊥AF，BA⊥AD，
∴∠BAF+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BAF=∠DAE，
又∵AB=AD，∠F=∠AED=90°，
∴△ABF≌△ADE(AAS)，
∴AF=AE，S△ADE=S△ABF．
∴四边形AECF是正方形．
∴S正方形AECF=AE2=25，
∵S四边形ABCD=S△ADE+S四边形AECB=S△ABF+S四边形AECB．
∴S四边形ABCD=S正方形AECF=25，
故答案为：25．
过点A作AE⊥CD于点E，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，由题意可证△ABF≌△ADE，可得AE=AF，则可证四边形AECF是正方形，四边形ABCD的面积=正方形AECF的面积=25．
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．

18.【答案】4.8 
【解析】解：连接BE，
∵四边形ABCD为菱形．
∴AD=CD，AC垂直平分BD，
∴∠DAF=∠DCE，DE−BE，
在△DAF和△DCE中，
AD=CD∠DAF=∠DCEAF=CE，
∴△DAF≌△DCE(SAS)，
∴DF=DE，
∴DF=BE，
当点B、E、G三点共线时，EG+BE有最小值，即EG+DF有最小值，最小值为BG的长，
∵四边形ABCD为菱形．AC=8，BD=6，
∴∠BOC=90°，CO=4，BO=3，
∴CD=BC= CO2+BO2= 42+32=5，
∵BG2=BC2−CG2=BD2−DG2，
∴52−CG2=62−(5−CG)2，
解得CG=1.4，
∴BG= BC2−CG2= 52−1．42=4.8，
∴EG+DF的最小值为4.8．
故答案为：4.8．
连接BE，结合菱形的性质证明△DAF≌△DCE可得DF=BE，当点B、E、G三点共线时，EG+BE有最小值，即EG+DF有最小值，最小值为BG的长，由菱形的性质及勾股定理可求解菱形的边长，再利用勾股定理可求解CG的长，进而可求解．
本题主要考查菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明DF=BE是解题的关键．

19.【答案】解：(1)(x−2)2=3x−6，
(x−2)2=3(x−2)，
(x−2)2−3(x−2)=0，
(x−2)(x−2−3)=0，
x−2=0或x−5=0，
解得x1=2，x2=5；
(2)设解析式为y=kx+b，过(1,2)，(4,5)，则：
k+b=24k+b=5，
解得k=1b=1，
∴y=x+1，
∵点(2,m)，(1,2)，(4,5)在同一直线上，
∴m=2+1=3． 
【解析】(1)方程利用因式分解法求解即可；
(2)因为直线，所以可设解析式为y=kx+b，根据过A，C点，确定k和b的值，然后可求出m的值．
本题考查解一元二次方程以及待定系数法求一次函数解析式，关键设出函数式，代入已知点求出k和b的值，然后知道变量，可求函数的值．

20.【答案】 5  (3,−4) 
【解析】解：(1)AB= 12+22= 5．
故答案为： 5；
(2)如下图：线段A′B′即为所求；
B′(3,−4)，
故答案为：(3,−4)．

(1)根据勾股定理求解；
(2)根据旋转的性质及网格线的特点作图．
本题考查了复杂作图，掌握勾股定理及旋转的性质是解题的关键．

21.【答案】垂直平分线 
【解析】解：(1)由作图可知，直线MN是线段AD的垂直平分线，
故答案为：垂直平分线；
(2)四边形AEDF是菱形，
证明：∵直线MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠ADE=∠DAF，
∴AF//DE，
∴四边形AEDF是菱形．
(1)根据线段垂直平分线的定义即可得到结论，(2)根据线段垂直平分线的性质得到AE=DE，AF=DF，求得∠EAD=∠EDA，根据平行线的判定AF//DE，根据菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．

22.【答案】(1)证明：∵x2+(2m+1)x+2m=0，
∴Δ=(2m+1)2−4×1×2m=(2m−1)2≥0，
∴不无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根；
(2)解：∵该方程的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=−2m−1，x1x2=2m，
∵x12+x22=13，
∴(x1+x2)2−2x1x2=13，即(−2m−1)2−2×2m=13，
整理得：m2=3，
解得：m=− 3或m= 3，
则m的值为− 3或 3． 
【解析】(1)计算其判别式，判断出其符号即可；
(2)已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出m的值．
本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键．

23.【答案】解：(1)七年级C组人数所占百分比为1220×100%=60%，
则m%=100%−60%−20%−10%=10%，
所以m=10；
七年级D组的人数为10%×20=2(人)，
因为七年级成绩处于C组的有12人，
所以将七年级20名学生的成绩按从大到小排序后，第10个数和第11个数在C组，分别为85，85，
则其中位数n=85+852=85；
八年级B组的人数为：20−2−8−6=4(人)．
补全条形统计图如下：

(2)解：八年级的学生对航天知识掌握得更好，理由如下：
七、八年级学生竞赛成绩的平均数相同，但八年级学生竞赛成绩的中位数和众数都比七年级的大，所以八年级的学生对航天知识掌握得更好．
(3)800×1220+800×820−=800(人)，
答：估计两个年级成绩处于C组的学生共有800人． 
【解析】(1)先求出七年级C组人数所占百分比，再利用100%减去B，C，D三组人数所占百分比即可得m的值；先求出七年级组的人数，再根据中位数的定义即可得n的值；求出八年级B组的人数，据此补全条形统计图即可；
(2)根据平均数、中位数和众数的角度进行分析即可得；
(3)分别利用800乘以七、八年级C组人数所占百分比即可得．
本题考查频数分布直方图，用样本估算总体，加权平均数，中位数，掌握相关知识是解题的关键．

24.【答案】y=−20x+400 
【解析】解：(1)设y与x之间的关系式为y=kx+b(k≠0)，
将(12,160)，(18,40)代入y=kx+b得：12k+b=16018k+b=40，
解得：k=−20b=400，
∴y与x之间的关系式为y=−20x+400．
故答案为：y=−20x+400；
(2)根据题意得：(x−10)(−20x+400)=500，
整理得：x2−30x+225=0，
解得：x1=x2=15，
∴y=−20x+400=−20×15+400=100．
答：6月份该文具销售了100件．
(1)设y与x之间的关系式为y=kx+b(k≠0)，根据给定数据，利用待定系数法，即可求出y与x之间的关系式；
(2)利用6月份该文具的销售利润=每件该文具的销售利润×6月份该文具的销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其代入y=−20x+400中，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)利用待定系数法，求出y与x之间的关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．

25.【答案】(1)①证明：∵将线段CE绕点C顺时针旋转90°得线段CF，
∴∠ECF=90°，CE=CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，CB=CD，
∴∠BCE=∠DCF=90°−∠DCE，
在△BCE和△DCF中，
CB=CD∠BCE=∠DCFCE=CF，
∴△BCE≌△DCF(SAS)，
∴BE=DF．
②解：如图1，设BP交CD于点K，
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
∵∠BKC=∠DKP，
∴∠CDF+∠DKP=∠CBE+∠BKC=90°，
∴∠BPD=∠EPF=90°，
∵PE=PF，
∴∠PEF=∠PFE=45°，
∵∠ECF=90°，CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE=45°，
∴∠PEC=90°，
∴∠BEC=90°，
∵BC=2CE=4，
∴CE=2，
∴BE= BC2−CE2= 42−22=2 3，
∵∠EPF=∠ECF=∠BEC=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∵CE=CF，
∴四边形PECF是正方形，
∴PE=CE=2，
∴BP=BE+PE=2 3+2，
∴线段BP的长是2 3+2．
(2)证明：如图2，作AL⊥FD交FD的延长线于点L，
∵B，E，F三点在同一条直线上，且AE⊥BF，
∴∠AEF=∠AEB=∠L=90°，
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
∵∠BGC=∠DGF，
∴∠CDF+∠DGF=∠CBE+∠BGC=90°，
∴∠EFL=90°，
∴四边形AEFL是矩形，
∴∠EAL=∠BAD=90°，
∴∠DAL=∠BAE=90°−∠DAE，
在△DAL和△BAE中，
∠L=∠AEB∠DAL=∠BAEAD=AB，
∴△DAL≌△BAE(AAS)，
∴AL=AE，DL=BE，
∴四边形AEFL是正方形，
∴FL=EF，
作CH⊥EF于点F，则CH=EH=FH，∠CHF=∠BHC=∠ABC=∠AEB=90°，
∴∠BCH=∠ABE=90°−∠CBH，
在△CBH和△BAE中，
∠BHC=∠AEB∠BCH=∠ABEBC=AB，
∴△CBH≌△BAE(AAS)，
∴CH=BE=DL，
∵CH=12EF，
∴DL=12FL，
∴DF=DL=CH，
在△CGH和△DGF中，
∠CHG=∠DFG∠CGH=∠DGFCH=DF，
∴△CGH≌△DGF(AAS)，
∴CG=DG． 
【解析】(1)①由旋转得∠ECF=90°，CE=CF，由正方形的性质得∠BCD=90°，CB=CD，则∠BCE=∠DCF=90°−∠DCE，即可证明△BCE≌△DCF，得BE=DF；
②设BP交CD于点K，因为∠CBE=∠CDF，∠BKC=∠DKP，所以∠CDF+∠DKP=∠CBE+∠BKC=90°，则∠BPD=∠EPF=90°，所以PE=PF，则∠PEF=∠PFE=45°，而∠CEF=∠CFE=45°，所以∠PEC=90°，由BC=2CE=4，得CE=2，则BE= BC2−CE2=2 3，再证明四边形PECF是正方形，则PE=CE=2，即可求得线段BP的长是2 3+2；
(2)作AL⊥FD交FD的延长线于点L，则∠AEF=∠AEB=∠L=90°，可证明四边形AEFL是正方形，得FL=EF，作CH⊥EF于点F，则CH=EH=FH，再证明△CBH≌△BAE，得CH=BE=DL，因为CH=12EF，所以DL=12FL，则DF=DL=CH，再证明△CGH≌△DGF，得CG=DG．
此题重点考查正方形的判定与性质、同角的余角相等、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．

26.【答案】C 
【解析】解：(1)根据定义，点P(−2,7)在直线y=−x+m上，
∴7=2+m，
∴m=5，
∴y=−x+5，A(0,4)，B(−1,4)，C(−5,10)中，只有C点在直线y=−x+5，
∴与点P的“依附数”相同的点是C，
故答案为：C．
(2)直线y=−x+m表示斜率为−1的一组平行线，m表示直线在y轴上的截距．
当直线y=−x+m过点F(−5,−2)时，m=−7；当直线y=−x+m过点H(5,2)时，m=7．
∴当直线y=−x+m与矩形EFGH存在两个不同的交点M，N时，应满足−7 ∴若矩形EFGH边上的存在两个不同的点M，N都是直线y=−x+m的“依附点”，m的取值范围是−7
(3)对于直线y=kx−k+2，当x=1时，y=2，直线y=kx−k+2是过点(1,2)的一组直线，k表示斜率．
∵0≤m≤4，直线y=−x+m是斜率为−1的一组平行线，
∴直线y=−x+m在y=−x与y=−x+4之间移动，
∵直线y=kx−k+2上存在点M(a,b)，且点M的“依附数”为m，且a≤0，
∴直线y=kx−k+2与y=−x+m在y轴包括y轴左侧存在交点，也就是与阴影部分有交点．当直线y=kx−k+2过(0,4)时，k=−2，当直线y=kx−k+2过(0,0)时，k=2．
由图象知，k的取值范围为−2≤k≤2．

(1)先求出点P的“依附线”，在验证A(0,4)，B(−1,4)，C(−5,10)哪个点在线上；
(2)转化成直线y=−x+m与矩形EFGH有两个不同的交点问题，数形结合；
(3)先确定直线y=kx−k+2过(1,2)，再把题目转化成直线与区域的交点问题．
本题以新定义的形式考查了直线的斜率与截距，直线与图象的交点问题，体现了数形结合的思想．