2023年贵州省贵阳市观山湖区中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2023年贵州省贵阳市观山湖区中考数学模拟试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年贵州省贵阳市观山湖区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数−2，1，0，3中最小的是(    )
A. −2 B. 1 C. 0 D. 3
2. 下列数学符号中，是轴对称图形的是(    )
A. // B. ⊥ C. ≌ D. ≠
3. 2023年5月11日中国汽车工业协会发布数据显示，中国新能源汽车产量为2291000辆，同比增长42.8%，2291000这个数用科学记数法可表示为(    )
A. 0.2291×107 B. 2.291×106 C. 2.291×105 D. 2.291×104
4. 第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行.如图是大学生运动会的领奖台，它的俯视图是(    )
A.
B.
C.
D.
5. 如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=3OB，则△ABC与△DEF的面积之比是(    )

A. 1：2 B. 1：4 C. 1：3 D. 1：9
6. 下列各选项中正确的是(    )
A. a3⋅a2=a5 B. a2÷a2=a4 C. (a4)3=a7 D. a3+a2=a5
7. 若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为(    )
A. −4 B. −14 C. 14 D. 4
8. 如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C=90°，∠BAC=30°.直尺的一边DE经过顶点A，若DE//CB，则∠BAE的度数为(    )

A. 30° B. 50° C. 60° D. 70°
9. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小明.小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，将邮票洗匀后，让小明从中随机抽取两张，则小明抽到的两张邮票恰好是“立夏”和“秋分”的概率是(    )
A. 12 B. 23 C. 18 D. 16
10. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，利用尺规作图以点C为圆心，CB的长为半径作弧交AB边于点分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点E：作射线CE，交边AB于点F.若CF=4，则线段DF的长为(    )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11. 如图，下列图象能表示y是x的函数关系的是(    )
A. B.
C. D.
12. 抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(−1,0)，B(3,0)，交y轴的负半轴于C，对称轴与抛物线交于点D.根据以上信息得出下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③4a+2b+c<0；④当x<0时，y的值随x值的增大而减小；⑤当m≠1时，a+b

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 分解因式：2a−8= ______ ．
14. 为落实“双减”政策，我市某初中学校对学生的课外作业的时长进行了问卷调查.其中将抽查到的25名同学的作业时长统计如下表，则这组数据的众数是______ 分钟．
作业时长(单位：分钟)
50
60
70
80
90
人数(单位：人)
6
8
5
4
2

15. 如图，A，B是反比例函数y=kx(x>0)图象上的两点，连接OA，OB.过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D.若D为AC的中点，△COD的面积为5，点B的坐标为(m,2)，则m的值为______ ．

16. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是CD边上一点，连接BE，在BE上取一点F，使∠BAF=2∠CBE，过点F作FG⊥BE交CD于点G，若EG=2，∠BAF≠60°时，则DE= ______ ．


三、解答题（本大题共9小题，共98.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
(1)计算： 12+(−2)2−2tan45°(2)化简：a+2a−1÷a2−4a2−2a+1．
18. (本小题10.0分)
在2023年国际数学日当天，甲、乙两所学校联合举办九年级数学知识竞赛.为了解两校学生的答题情况，从中各随机抽取20名学生的得分，并对这些数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息．
【信息1】两校学生得分的数据的频数分布直方图如图所示：
(数据分成4组：20≤x<40，40≤x<60，60≤x<80，80≤x≤100)
【信息2】其中乙校学生得分在60≤x<80这一组的数据如下：
68，68，70，73，73，74，76，76，77，78，79

学校
平均数
中位数
甲校
68.35
71
乙校
68.35
m
【信息3】两组样本数据的平均数、中位数如上表所示：根据所给信息，解答下列问题：
(1)写出表中m的值：m= ______ ；
(2)一名学生的成绩为70分，在他所在的学校，他的成绩超过了一半以上被抽取的学生，他是哪所学校的学生？请说明理由；
(3)在这次数学知识竞赛中，你认为哪所学校的学生表现较好，为什么？
19. (本小题10.0分)
我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系.现有某学生利用一个最大电阻为200欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻R为6欧姆时，电流I为24安培．
(1)求电流I(安培)关于电阻R(欧姆)的函数表达式；
(2)若4≤R≤200，求电流I的变化范围．

20. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=AF，连接BF，O为BF中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF．

(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若平行四边形ABCD的周长为18，CE=1，∠ABE=60°，求AE的长．
21. (本小题10.0分)
某学校准备到文化用品商店购买数学实验器材A和B，若购买4件器材A和3件器材B共需要580元，若购买3件器材A和3件器材B共需要450元．
(1)求每件器材A，B的销售价格；
(2)学校准备用不多于2680元的金额购买这两种器材共24件，还要求购买器材A不少于15件，则学校购买费用最少多少元？
22. (本小题10.0分)
如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东方向上，沿正东方向行走100米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西方向上.求A，B两点间的距离．
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33

23. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，连接DE，CD．

(1)求证：CD⊥AB；
(2)求证：DE是⊙O切线；
(3)连接OE交CD于点F，若AB=10，BC=6，求CF的长．
24. (本小题12.0分)
如图，有一张矩形纸条ABCD，AB=11cm，BC=4cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN=3cm.现将四边形BCNM沿MN折叠，点B，C的对应点分别为点B′，C．
(1)在图①中，当点B′恰好落在边CD上时，求线段NB′的长度；
(2)在图②中，点M从点A向点B运动的过程中，若线段MB′与边CD交于点E，在此运动过程中，求DE的最大值；
(3)在(2)的条件下，若O为MN的中点，猜想点O的运动路径并求出它的长度．


25. (本小题12.0分)
一个数学兴趣小组在上综合与实践课时发现：在大自然里，存在很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶子、刚生长出的幼苗的部分轮廓线，可以近似的看作由抛物线的一部分沿直线折叠而成，如图①与图②所示．

【问题发现】如图③，为了确定一片心形叶子的形状，建立平面直角坐标系，发现心形叶子下部轮廓线可以看作是二次函数y=mx2−4mx−20m+5图象的一部分，且过原点，求这个抛物线的表达式及顶点D的坐标．
【问题探究】如图③，心形叶片的对称轴直线y=x+2与坐标轴交于A，B两点，直线x=6分别交抛物线和直线AB于点E，F，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE交直线AB于点G.求叶片此处的宽度EE′的长．
【拓展应用】兴趣小组同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线也可以看作是二次函数y=mx2−4mx−20m+5图象的一部分，如图④，幼苗叶片下方轮廓线正好对应“问题发现”中的二次函数y=mx2−4mx−20m+5.若直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上(如图⑤所示).求此时一片幼苗叶子的长度和最大宽度．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：∵−2<0<1<3，
∴实数−2，1，0，3中最小的是−2．
故选：A．
根据实数的大小得出结论即可．
本题主要考查实数的大小，熟练掌握实数大小的比较是解题的关键．

2.【答案】B 
【解析】解：A、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题考查了轴对称图形的定义，掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是关键．

3.【答案】B 
【解析】解：2291000=2.291×106，
故选：B．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．

4.【答案】B 
【解析】解：领奖台的俯视图是：．
故选：B．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的定义是解题的关键．

5.【答案】D 
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC//EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴BCEF=OBOE=13，
∴△ABC与△DEF的面积之比为1：9，
故选：D．
根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，BC//EF，得出△OBC∽△OEF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

6.【答案】A 
【解析】解：A：a3⋅a2=a5，故A符合题意；
B：a2÷a2=1，故B不符合题意；
C：(a4)3=a12，故C不符合题意；
D：a3+a2=a3+a2，故D不符合题意；
故选：A．
分别根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、合并同类项、法则进行计算．
本题考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键．

7.【答案】C 
【解析】
【分析】
根据根的判别式的意义得到12−4m=0，然后解方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
【解答】
解：根据题意得Δ=12−4m=0，
解得m=14．
故选：C．  
8.【答案】C 
【解析】解：∵DE//CB，∠C=90°，
∴∠CAE=∠C=90°，
∵∠BAC=30°，
∴∠BAE=90°−30°=60°，
故选：C．
先根据平行线的性质求得∠DAC的度数，再根据角的和差关系求得结果．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同旁内角互补解答．

9.【答案】D 
【解析】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，画树状图如下，

由图可得，一共有12种等可能性的结果，
其中小明抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“立夏”的可能性有2种，
∴小明抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“立夏”的概率是212=16，
故选：D．
根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小明抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“立夏”的概率．
本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．

10.【答案】B 
【解析】解：由作图可知，CF垂直平分线段DB，
∴∠CFA=90°，DF=DB，
∵AB=AC=5，CF=4，
∴AF= CA2−CF2= 52−42=3，
∴BF=DF=AB−AF=5−3=2，
故选：B．
利用勾股定理求出AF，可得DF=BF=AB−AF=2．
本题考查等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．

11.【答案】B 
【解析】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故B符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故D不符合题意；
故选：B．
根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答．
本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．

12.【答案】B 
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴a、b异号，即b<0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(−1,0)，B(3,0)，
∴对称轴为直线x=−1+32=1，
即x=−b2a=1，
∴b=−2a，
∴2a+b=0，
故②正确；
∵当x=2时，y<0，
∴4a+2b+c<0，
故③正确；
由图象可知，当x<0时，y的值随x值的增大而减小，
故④正确；
当x=1时，抛物线有最小值y=a+b+c，
当x=m，且m≠1时，y=am2+bm+c，
∴a+b+c ∴a+b 故⑤正确；
所以正确的有4个．
故选：B．
根据抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴交点位置便可确定a、b、c的正负，进而确定①正确与否；利用与x轴的交点坐标，求出抛物线的对称轴，再根据对称轴判断a与b之间的关系，即可判断②，当x=2时，y<0，即可判③，根据图象即可判断④，当x=1时，函数取最小值，进而判断⑤．
本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点坐标，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确．

13.【答案】2(a−4) 
【解析】解：2a−8
=2(a−4)．
故答案为：2(a−4)．
提公因式分解即可解答．
本题考查了提公因式法运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．

14.【答案】60 
【解析】解：这25名同学的作业时长中60分钟出现的次数最多，故众数是60分钟．
故答案为：60．
根据众数的意义求出众数即可．
本题考查众数，掌握众数的意义是解决问题的关键．

15.【答案】10 
【解析】解：∵D为AC的中点，△COD的面积为5，
∴△AOC的面积为10，
∵A，B是反比例函数y=kx图象上的两点，
∴12xy=10，即xy=20，
∴k=xy=2m=20，
解得：m=10．
故答案为：10．
应用k的几何意义及中线的性质求解．
本题考查了反比例函数中k的几何意义，关键是利用△AOD的面积转化为三角形AOC的面积．

16.【答案】 13−1 
【解析】解：在BC上取点K，使BK=CE，连接AK交BE于H，如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABK=∠BCE=90°，
∵BK=CE，
∴△ABK≌△BCE(SAS)，
∴∠BAK=∠CBE，BK=CE，AK=BE，
∵∠BAF=2∠CBE，
∴∠BAF=2∠BAK，
∴∠BAH=∠FAH，
∵∠BAK+∠AKB=90°，
∴∠CBE+∠AKB=90°，
∴∠AHB=90°=∠AHF，
∵AH=AH，
∴△ABH≌△AFH(ASA)，
∴BH=FH，
∵∠ABH=∠CEF，∠AHB=∠GFE=90°，
∴△GEF∽△ABH，
∴EFBH=EGAB=26=13，
∴BH=3EF，
设EF=x，则BH=3x=FH，
∴BE=7x=AK，
∴CE= BE2−BC2= 49x2−36，
∴BK= 49x2−36，
∵2S△ABK=AB⋅BK=AK⋅BH，
∴6 49x2−36=7x⋅3x，
∴49x4−196x2+144=0，
设49x2=y，则149y2−4y+144=0，
解得y=98±14 13，
∴CE= 49x2−36= y−36= 62±14 13= (7± 13)2=7± 13，
∵CE<6，
∴CE=7− 13，
∴DE=6−CE= 13−1．
故答案为： 13−1．
在BC上取点K，使BK=CE，连接AK交BE于H，证明△ABK≌△BCE(SAS)，得∠BAK=∠CBE，BK=CE，AK=BE，又∠BAF=2∠CBE，可知∠BAH=∠FAH，从而证明△ABH≌△AFH(ASA)，BH=FH，由△GEF∽△ABH，得EFBH=EGAB=26=13，设EF=x，则BH=3x=FH，BE=7x=AK，可得CE= BE2−BC2= 49x2−36，根据2S△ABK=AB⋅BK=AK⋅BH，得6 49x2−36=7x⋅3x，可解得CE=7− 13，DE=6−CE= 13−1．
本题考查正方形性质，解题的关键是掌握三角形相似的判定与性质，三角形全等的判定与性质．

17.【答案】解：(1) 12+(−2)2−2tan45°
=2 3+4−2×1
=2 3+4−2
=2 3+2；

(2)a+2a−1÷a2−4a2−2a+1
=a+2a−1⋅(a−1)2(a+2)(a−2)
=a−1a−2． 
【解析】(1)根据实数的运算法则进行计算即可；
(2)根据分式的乘除运算法则进行计算即可．
本题考查实数的运算及分式的运算，实数及分式的运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．

18.【答案】74 
【解析】解：(1)把乙校学生的得分按照从小到大排列，处在第10名和第11名的成绩为74，74，
∴乙校学生得分的中位数为74+742=74，即m=74，
故答案为：74；
(2)∵成绩为70分超过了该校一半以上被抽取的学生的成绩，
∴70分大于此学生所在学校的中位数，
∵69<70<74，
∴该学生是甲校的，
故答案为：甲校；
(3)甲校的成绩更好，理由如下：
从平均数看，甲校的平均数大于乙校的平均数，由统计图可知甲校的低分人数少于乙校的低分人数，但是高分人数与乙校几乎相同，
∴甲校的成绩更好．
(1)根据中位数的定义进行求解即可；
(2)根据题意可知此学生的成绩大于其所在学校的中位数，由此即可得到答案；
(3)从平均数和低分，高分的人数进行描述即可．
本题主要考查了中位线和平均数，熟知中位数和平均数的定义是解题的关键．

19.【答案】解：(1)设函数解析式为I=kR(k≠0)，
∵当R=6时，I=24，
∴24=k6，
解得：k=144，
∴电流I(安培)与电阻R(欧姆)之间的表达式为I=144R．
(2)∵I=144R中，144>0，R>0，
∴图象在第一象限，I随R的增大而减小，
∵4≤R≤200，
∴把电阻最小值R=4代入I=144R，得到电流的最大值i=36，
把电阻最大值R=200代入I=144200，得到电流的最小值，I=144200=0.72A，
∴电流I的变化范围是0.72≤I≤36． 
【解析】(1)设函数解析式为I=kR(k≠0)，把R=6时，I=24代入求出k值即可得答案；
(2)根据反比例函数性质，把R=2，R=200代入求出I的最大值和最小值即可得答案．
本题考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的性质是解题关键．

20.【答案】(1)证明：∵O为BF中点，
∴BO=FO，
∵在△ABO和△AFO中，
∴BO=FOAB=AFAO=AO，
∴△ABO≌△AFO(SSS)，
同理可得△BEO≌△FEO，△BEO≌△FAO，
∴BE=FE，BE=AF，
∴BE=FE=AF=AB，
∴四边形ABEF是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长为18，
∴AB+BC=9，
即AB+BE+CE=9，
∵AB=BE，CE=1，
∴AB=BE=4，
∵∠ABE=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=4，
即AE的长为4． 
【解析】(1)全等三角形的判定和性质得到BE=FE，BE=AF，然后由菱形的判定即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质得AB+BC=9，再证AB=BE=4，然后证△ABE是等边三角形，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

21.【答案】解：(1)设每件器材A为x元，每件器材B为y元，
由题可得方程组为：4x+3y=5803x+3y=450，
解得：x=130y=20，
所以每件器材A的销售价格为130元，每件器材B的销售价格为20元；
(2)设器材A买a件，器材B买b件，
由题可得方程组为：a+b=24a≥15130a+20b≤2680，
解得：15≤a≤204≤b≤9，
若要使学校购买费用最少，那么由于器材B的销售价格低于器材A的销售价格，所以当器材B的购买数量最大时，学校购买费用最少，
即当a=15b=9时，购买费用最少为：130×15+20×9=2130元． 
【解析】(1)设A、B价格的未知数，根据已知条件列方程组．
(2)设A、B数量的未知数，求出未知数的大小范围，根据要求选择合适的数量进行求和．
本题主要考查了一元一次方程和一元一次不等式组以及二元一次方程组的应用．

22.【答案】解：∵CE//AD，
∴∠A=∠ECA=37°，
∴∠CBD=∠A+∠ADB=37°+53°=90°，
∴∠ABD=90°，
在Rt△BCD中，∠BDC=90°−53°=37°，CD=100米，cos∠BDC=BDCD，
∴BD=CD⋅cos37°≈100×0.80=80(米)，
在Rt△ABD中，∠A=37°，BD=80米，tanA=BDAB，
∴AB=BDtan37∘≈800.75=107(米)．
答：A，B两点间的距离约107米． 
【解析】由三角形内角和定理证得△CBD和△ABD是直角三角形，解直角三角形即可求出AB．
本题主要考查了解直角三角形的应用，证得△CBD和△ABD是直角三角形是解决问题的关键．

23.【答案】(1)证明：∵以BC为直径的⊙O交AB于点D，
∴∠CDB=90°，
∴CD⊥AB；
(2)证明：连接OD，如图，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∵E为Rt△ADC的斜边AC的中点，
∴EA=ED，
∴∠1=∠A，
∵OB=OD，
∴∠B=∠2，
而∠B+∠A=90°
∴∠1+∠2=90°，
∴∠EDO=90°，
∴半径OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
(3)解：∵∠DBC=∠CBA，∠BDC=∠BCA，
∴△BCD∽△BAC，
∴BD：BC=BC：BA，
∴BD=6210=185，
∵OB=OC，EC=EA，
∴OE为△CAB的中位线，
∴OF//BD，
∴OF：BD=OC：CB，
∴OF=12BD=95．
∵ED、CE为⊙O的切线，
∴CD⊥OE，
∴CF= OC2−OF2= 32−(95)2=125． 
【解析】(1)根据直径所对的圆周角是直角可得结论；
(2)连接CD、OD，如图，利用圆周角定理得到∠BDC=90°，则根据斜边上的中线性质得到EA=ED，所以∠1=∠A，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法得到结论；
(3)证明△BCD∽△BAC，利用相似比计算出BD=185，再证明OE为△CAB的中位线得到OF//BD，然后利用相似比计算OF的长，最后利用勾股定理求得CF即可．
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了圆周角定理．

24.【答案】解：(1)①在矩形纸条ABCD中，CD//AB，
∴∠BMN=∠DNM，
由翻折变换的性质可知，∠BMN=∠NMB′，
∴∠NMB′=∠MNB′，
∴B′M=B′N，
∴△B′MN是等腰三角形，
由翻折变换的性质可知，CN=NC′=3cm，BC=B′C′=4cm，∠C′=∠C=90°，
∴NB′= B′C′2+NC′2=5(cm)，
∴BM=MB′=NB′=5cm；
(2)如图②−1中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE的值最大，DE=11−3−4=4(cm)，

∴DE的最大值为4cm；
(3)如图②−2中，猜想：点O的运动路径是一条线段，理由如下：

∵点M的运动路经为AB，
连接AN、BN，取AN，BN的中点P，Q，连接PQ，
∴PQ为△ABN的中位线，
∴PQ即为MN的中点O的运动路径，
∴PQ=12AB=5.5(cm)，
∴点O的运动路径是△ABN的中位线PQ的长，它的长度5.5cm． 
【解析】(1)证明∠NMB′=∠MNB′，可得B′M=B′N，得△B′MN是等腰三角形，利用翻折的性质和勾股定理求出NB′可得结论；
(2)当点M运动到MB′⊥AB时，DE的值最大；
(3)探究点O的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题．

25.【答案】解：【问题发现】∵二次函数y=mx2−4mx−20m+5过原点，
∴−20m+5=0，
解得：m=14，
则抛物线的表达式为：y=14x2−x，
则点D(2,−1)；

【问题探究】当x=6时，y=14x2−x=3，即点E(6,3)，
当x=6时，y=x+2=8，即点F(6,8)，
则EF=8−3=5，
过点E作x轴的平行线交AF于点T，连接TE′、E′F，

则点E、E′关于直线AF对称，
则点E′(1,8)，
则EE′= (6−1)2+(8−3)2=5 2；

【拓展应用】在QD′上取点M，过点M作MN//y轴交抛物线于点N，交过点D′与x轴的平行线于点L，过点N作NS⊥QD′于点S，
由抛物线的表达式知，点D(2,−1)，
∵直线PD与水平线的夹角为45°，则直线PD的表达式为：y=−x+1，
联立y=14x2−x和y=−x+1得：14x2−x=−x+1，
解得：x=−2，即点P(−2,3)，
则点D′(2,3)，
将点D′的坐标代入y=mx2−4mx−20m+5得：3=4m−8m−20m+5，
解得：m=112，
则抛物线的表达式为：y=112x2−13x+103，
由点P的坐标得，直线OP的表达式为：y=−32x，
联立上述两式得：112x2−13x+103=−32x，
解得：x=−4或−10(舍去)，
即点Q(−4,6)，
由点Q、D′的坐标得，D′Q=3 5，yQD′=−12x+4，
即叶子的长度为3 5；
设点M(x,−12x+4)，则点N(x,112x2−13x+103)，
则MN=−12x+4−(112x2−13x+103)=−112(x+1)2+34≤34，
即MN的最大值为34，
由直线D′Q的表达式知，tan∠MD′L=12，
则tan∠NMS=2，则sin∠NMS=2 55，
则叶子的最大宽度=2NS=2×MN⋅sin∠NMS=3 55． 
【解析】【问题发现】二次函数y=mx2−4mx−20m+5过原点，则−20m+5=0，即可求解；
【问题探究】点E、E′关于直线AF对称，求出点E′(1,8)，即可求解；
【拓展应用】求出点D′(2,3)，得到抛物线的表达式为：y=112x2−13x+103，进而求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、点的对称性、解直角三角形等，综合性强，难度适中．