辽宁省铁岭市六校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题

这是一份辽宁省铁岭市六校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

辽宁省铁岭市六校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．命题“，”的否定是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知数列，则该数列的第2024项为（    ）
A． B．
C． D．
3．函数的导数（    ）
A． B．
C． D．
4．若公比为的等比数列的前2项和为10，则该等比数列的第3项为（    ）
A．15 B．－15 C．45 D．－45
5．已知函数，，则下图对应的函数解析式可能是（    ）
    
A． B．
C． D．
6．设是数列的前项积，则“”是“是等差数列”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若存在直线，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，，若和存在唯一的“隔离直线”，则（    ）
A． B． C． D．
8．已知数列满足，．设，若对于任意的，．恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．设数列、都是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（    ）
A． B． C． D．
10．已知，，，则（    ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则（    ）
A．当时，为增函数 B．
C．当时，的极值点为0 D．
12．已知函数，的定义域均为，为偶函数，，且当时，，则（    ）
A．为偶函数
B．的图象关于点对称
C．
D．8是函数的一个周期

三、解答题
13．已知集合，，则 ．

四、填空题
14．若数列是首项为，公比为的等比数列，则 ．
15．已知函数若，则 ．
16．已知，，且，则的最小值为 ．

五、解答题
17．记等差数列的前项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求以及的最小值．
18．已知函数.
(1)若是的极值点，求；
(2)当时，在区间上恒成立，求的取值范围.
19．已知函数，满足．
(1)求的值；
(2)若，求的解析式与最小值．
20．已知是定义在上的奇函数，且当时，．
(1)求；
(2)解不等式．
21．已知公差为的等差数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式;
(2)若数列的前项和为,证明:为定值.
22．已知函数．
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)证明：．

参考答案：
1．B
【分析】根据存在量词命题的否定求解作答.
【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题“，”的否定是：，.
故选：B
2．D
【分析】求得数列的通项公式，即可得出结果.
【详解】该数列的通项公式为，
所以.
故选：D.
3．B
【分析】根据导数公式可得.
【详解】由知

故选：B
4．D
【分析】先设等比数列为，根据前两项和求出首项，从而找到等比数列的第3项.
【详解】设该等比数列为，则，
所以．
故选：D.
5．D
【分析】根据给定的函数，借助对勾函数的单调性、取特值判断AB；利用奇偶函数性质判断C；推理判断D作答.
【详解】对于A，函数在上单调递增，而在上单调递增，
因此函数在上单调递增，不符合题意，A不是；
对于B，因为，因此是函数的零点，不符合题意，B不是；
对于C，，显然函数是偶函数，而函数是偶函数，
因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意，C不是；
对于D，，因此，定义域为，
且在上单调递减，并且是奇函数，图象在第一 、三象限，符合题意，D是.
故选：D
6．A
【分析】由求出的表达式，结合等差数列的定义可判断充分条件；举特例可判断必要条件，综合可得结论.
【详解】若，则；当时，.
所以，对任意的，，则，此时，数列是等差数列，
故“”能得出“是等差数列”；
若“是等差数列”，不妨设，则，
即“是等差数列”不能得出“”.
所以“”是“是等差数列”的充分不必要条件.
故选：A.
7．D
【分析】设出切点坐标，由公切线列出等量关系，求解即可.
【详解】当与相切时，只有唯一的“隔离直线”，
且“隔离直线”为公切线.设切点为，
则即所以.
故选：D.
8．A
【分析】根据给定条件，求出数列，的通项，再求出数列的最大项作答.
【详解】由数列满足，，得是首项为1，公比为的等比数列，，
于是，，
当，时，当且仅当时取等号，当时，，
因此当时，数列单调递增，当时，数列单调递减，
则当或时，，而任意的，恒成立，则，
所以实数的取值范围是.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及求数列最大项问题，探讨数列的单调性是解题的关键，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答.
9．BD
【分析】取，，可判断A选项；利用等比数列的定义可判断BD选项；取可判断C选项.
【详解】设等比数列、的公比分别为、，其中，，
对任意的，，，
对于A选项，不妨取，，则数列、都是等比数列，
但对任意的，，
故数列不是等比数列，A不满足条件；
对于B选项，，即数列为等边数列，B满足条件；
对于C选项，当时，，此时，不是等比数列，C不满足条件；
对于D选项，，故为等比数列，D满足条件.
故选：BD.
10．AC
【分析】利用三角函数的符号法则判断的正负，利用对数运算法则及对数函数性质比较与1的大小，再比较正数与1的大小作答.
【详解】显然，则，，，
所以，A正确，B错误，C正确，D错误.
故选：AC
11．ACD
【分析】对于A，对函数求导后判断，对于BD，利用导数求出函数的单调区间，从而可求出函数的最值，对于C，直接求解函数的极值点即可.
【详解】当时，由，得，所以为增函数，所以A正确．
当时，由，得，
当时，，当时，，
所以的极小值点为0，所以C正确．
当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，，所以B错误，D正确．
故选：ACD
12．ABD
【分析】根据给定等式推理可得，结合为偶函数，再逐项判断作答.
【详解】依题意，，，即有，
两式相加整理得，因此的图象关于点对称，B正确；
由为偶函数，得，于是，
有，因此函数的周期为4，8是函数的一个周期，D正确；
由，得，而，因此，为偶函数，A正确；
由当时，，得，而，，，
即有，，C错误.
故选：ABD
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
13．
【分析】解一元二次不等式化简集合N，再利用交集的定义求解作答.
【详解】解不等式，得，即，而，
所以
故答案为：
14．
【分析】利用等比数列通项公式求解即可.
【详解】依题意可得，则，即．
故答案为：
15．3
【分析】利用，求得的值.
【详解】根据题意，函数，
则，
则，故有，
又由，则，
故答案为：3.
16．9
【分析】变形给定等式，再利用均值不等式求解作答.
【详解】由，，得，当且仅当时取等号，
因此，解得，即，
由，而，解得，
所以当时，取得最小值9.
故答案为：9
17．(1)；
(2)，的最小值为.

【分析】（1）根据给定条件，求出公差，再求出通项作答.
（2）由（1）结合等差数列前n项和公式求解作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，，得，
解得，于是，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
显然，当且仅当时取等号，
所以，的最小值为.
18．(1)
(2)

【分析】（1）首先求函数的导数，根据函数的极值点，求，再回代函数，求函数的导数，进行验证；
（2）首先求函数的导数，根据，确定函数在区间的单调性，将不等式恒成立，转化为，即可求实数的取值范围.
【详解】（1）因为，所以.
因为是的极值点，所以，解得.
当时，.
令，得；令，得.
所以在上单调递增，在上单调递减，
故是的极小值点.
综上，.
（2）因为，所以.
令，得，令，得或，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
因为在区间上恒成立，所以
解得.又因为，所以，故的取值范围是.
19．(1)11；
(2)，.

【分析】（1）根据给定条件，取代入计算作答.
（2）求出的解析式，再利用配凑法求出的解析式，并求出最小值作答.
【详解】（1）因为函数，满足，
所以当时，.
（2）由，得，于是，
即，因此，当时，，
所以的解析式是，最小值为.
20．(1)
(2)

【分析】（1）根据函数奇偶性和部分解析式即可求出，，则得到最后答案；
（2）根据复合函数单调性函数奇偶性即可得到在上的单调性，则得到不等式，解出即可.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，
则，，
则.
（2）当时，，因为为单调增函数，
根据复合函数单调性知为单调减函数，又因为为单调减函数，
所以函数为单调减函数，
又因为是定义在上的奇函数，
所以是在为单调减函数，
因为，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
21．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据等差数列的求和公式求出,再用等差数列的通项公式写出即可;
（2）根据（1）知,利用裂项相消法求出即可证明.
【详解】（1）由题意得,
解得,
故.
（2）因为,
设,
所以

,
所以,
即为定值.
22．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；
（2）要证，由，可得，令，证明即可，然后利用导数分析的单调性可知，即可求证.
【详解】（1）因为，所以，
所以切点坐标为，
由于，
所以切线的斜率为：，
故切线的方程为：，即.
（2）证明：要证：，
只需证：，
由于，证明如下：令，
，令得：，
当时，，故单调递减；
当时，，故单调递增；
所以，故，即，
所以
令，则，
令，则
由于，所以在恒成立，
故在单调递增，
所以恒成立，
即在恒成立.
所以在单调递增，
所以恒成立，即，
故
所以，即.
【点睛】对于证明不等式恒成立问题，一般转化利用导数研究函数单调性或求最值问题，从而证明不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是利用导数证明不等式的关键.