甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题

这是一份甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题，共12页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，已知圆，则等内容，欢迎下载使用。

永昌县第一高级中学2022—2023—2期末试卷
高二数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册，选择性必修第二册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线与直线平行，则实数（ ）
A．2 B． C． D．
2．已知数列满足，则（ ）
A． B． C．3 D．
3．在如图所示的散点图中，若去掉点，则下列说法正确的是（ ）

A．样本相关系数变大 B．变量与变量的相关程度变弱
C．变量与变量呈正相关 D．变量与变量的相关程度变强
4．已知是函数的导函数，若，则（ ）
A． B． C．2 D．3
5．某地区有8000名学生参加某次考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地区学生本次考试数学成绩在130分以上的人数为（ ）
A．300 B．400 C．600 D．800
6．记椭圆的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．五一放假期间，4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，若2名女生相邻且农场主站在中间，则不同的站法有（ ）
A．48种 B．144种 C．192种 D．240种
8．甲、乙两个箱子里各装有6个大小形状都相同的球，其中甲箱中有4个红球和2个白球，乙箱中有3个红球和3个白球．先从甲箱中随机取出1个球放人乙箱中，再从乙箱中随机取出1个球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知圆，则（ ）
A．圆关于直线对称 B．圆的面积是
C．点在圆外 D．直线与圆相切
10．已知，则关于其展开式的结论正确的是（ ）
A．常数项是160 B．二项式系数的和为64
C．含项的系数是 D．所有项的系数和为1
11．定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．是函数的极大值点，是函数的极小值点
B．0是函数的极小值点
C．函数的单调递增区间是
D．函数的单调递减区间是
12．已知抛物线的焦点为，准线为，直线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．若的横坐标之和为8，则
B．以为直径的圆与直线相交
C．
D．直线关于轴对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等差数列的前项和为，若，则**．
14．某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如表所示：
售价
8
8.5
9
9.5
10
销售量
16
15
13
11
10
根据表中数据得到关于的回归直线方程是，当售价为11.5元时，预测销售量为**件．
15．若直线与曲线相切于点，则*．
16．已知椭圆的左顶点为，右焦点为，斜率为的直线过点，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是**．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知点的坐标是，圆与轴相切，圆心的坐标是．
（1）若过点作圆的切线有两条，求实数的取值范围；
（2）若，过点的直线与圆相交于两点，且是的中点，求直线的方程．
18．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是的中点，．

（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）随着互联网发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多，为了防范网络犯罪与网络诈骗，学校举办“网络安全宣传倡议”活动．某学校从全体学生中随机抽取了400人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查，统计结果如下表所示：

男
女
合计
了解
150

240
不了解

90

合计



（1）根据所提供的数据，完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？
（2）对了解“网络安全宣传倡议”的人按性别用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为抽取的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：

0.10
0.05
0.010
0.005

2.706
3.841
6.635
7.879
21．（本小题满分12分）已知双曲线的左顶点为到的一条渐近线的距离为．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，求的值．
22．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意的恒成立，求整数的最小值．
永昌县第一高级中学2022—2023—2期末试卷·高二数学
参考答案、提示及评分细则
1．B 两直线的斜率分别是，由两直线平行可知，解得．故选B．
2．C ．故选C．
3．D 由散点图知，自变量与因变量呈负相关，即，故C错误；去掉点后，进一步接近1，所以变小，故A错误；去掉点后，与的线性相关加强，即相关程度变强，故B错误，D正确．故选D．
4．B 因为，所以，令，得，所以，所以，则．故选B．
5．B 由正态分布曲线的对称轴为，以及，得，因此，故估计该地区学生本次考试数学成绩在130分以上的人数为．故选B．
6．D 由题意知，点在轴上方，又，所以，因为直线的倾斜角为，所以，又，化简，得．故选D．
7．C 2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成：第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种；第二步：相邻女生排在一起有种；第三步：4名男生排在剩下的位置有种．因此2名女生相邻且农场主站在中间共有种站法．故选C．
8．A 设事件表示从甲箱中随机取出一个红球，事件表示从甲箱中随机取出一个白球，事件表示从乙箱中随机取出一个红球，则，所以．故选A．
9．AC 由，得，所以圆心为，半径为，因为圆心在直线上，所以圆关于直线对称，故正确；因为半径为，所以圆的面积是，故B错误；当时，，所以点在圆外，故C正确；因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，故D错误．故选AC．
10．BCD 因为的展开式的通项为，令，得，所以常数项为，故A错误；二项式的系数和为，故B正确；令，得，所以含项的系数是，故C正确；令，得所有项的系数和为1，故D正确．故选BCD．
11．BC 由题意可得，当时，，当时，，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，所以0是函数的极小值点，所以B，C正确，A，D错误．故选BC．
12．ACD 如图，过作准线的垂线，垂足分别为，设线段的中点为
在准线上的射影为，故A正确；在梯形中，，因此以为直径的圆与直线相切，故B错误；由题意知，设，直线的方程为，由得，所以，所以，故C正确；由题意知，则，所以，所以直线的倾斜角互补，即直线关于轴对称，故D正确．故选ACD．

13．35 因为是等差数列，所以．
14．5 由题意可知，故回归直线过点，所以，解得，所以关于的回归直线方程是，当时，，即售价为11.5元时，预测销售量为5件．
15． 将代入，得，所以，又在直线上，所以，解得．
16． 由题意知，取的中点，则，又，则，即直线上存在点，使得，所以到直线的距离．又直线的方程为，则，解得．
17．解：（1）由题意知圆的方程是，
因为过点作圆的切线有两条，所以点在圆外．
所以，解得或，
即实数的取值范围是．
（2）解法一：显然直线的斜率存在，点在圆内，所以可设直线的方程是，即，代入圆的方程，消去并整理得．
设，则，
因为是的中点，所以，解得，
所以直线的方程是．
解法二：因为是的中点，所以，
因为，所以．
所以直线的方程为，即．
18．解：（1）当时，，所以；
当时，由，得，所以，所以，
又，所以，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
所以，
所以．
19．（1）证明：因为，点是的中点，所以，
又平面平面，平面平面平面，所以平面
．
又平面，所以平面平面．
（2）解：取的中点，连结，则四边形为正方形，所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，
所以．

设平面的法向量，则有即
令，则，所以平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
20．解：（1）根据题意，得到列联表为：

男
女
合计
了解
150
90
240
不了解
70
90
160
合计
220
180
400
零假设为：“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关联．
根据列联表中数据，可以求得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关．
（2）从男生中抽取：（人），从女生中抽取：（人）．
的所有可能取值为0，1，2，3，
，
的分布列为：

0
1
2
3





所以．
21．解：（1）由题意知的一条渐近线方程为，即，所以到的一条渐近线的距离为，所以，
又，解得，
所以的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易得或，所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，所以解得，所以，
所以．
综上，．
22．解：（1）函数的定义域为，
当时，恒成立，所以函数在上单调递减；
当时，令，则（舍负），
当时，单调递减；当时，单调递增．
综上所述，当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）对任意的恒成立，即不等式恒成立，
因为，所以，所以原问题等价于在上恒成立，
设，则只需．
，
令，则，所以在上单调递减，
因为，
所以存在唯一的，使得，
当时，，则单调递增；当时，，则，调递减．
所以，所以即可．
又，所以，故整数的最小值为2．