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广东省河源市河源中学等校2024届高三上学期开学联考数学试题
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这是一份广东省河源市河源中学等校2024届高三上学期开学联考数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知，则，已知在上单调递减，且，则，若，，，则，已知圆等内容，欢迎下载使用。
2024届新高三开学联考
数学试题
本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数的虚部小于0，且，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，，则（ ）
A. C. B. D.
3.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（ ）
A. B. C. D.
4.已知公差不为零的等差数列的前项和为，，则（ ）
A.17 B.34 C.48 D.51
5.已知，则（ ）
A.9或 B.81或 C.9或 D.81或
6.已知在上单调递减，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知直线与抛物线相交于，两点，过线段的中点作一条垂直于轴的直线与直线：交于点，则的面积为（ ）
A. B. C.1 D.
8.若，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.铁棍的长度随温度的改变发生变化，某试验室在某个时段每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64（单位：），则（ ）
A.铁棍长度的极差为
B.铁棍长度的众数为
C.铁棍长度的中位数为
D.铁棍长度的第80百分位数为
10.已知圆：，为圆上任意一点，，则（ ）
A.
B.直线：过点，则到直线的距离为
C.
D.圆与坐标轴相交所得的四点构成的四边形面积为
11.已知，，若在中，，，且，，则（ ）
A.，的夹角为
B.
C.若，则
D.的边上的中线长为
12.若实数，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若，，则_____.
14.函数的最大值为_____.
15.已知椭圆：的左焦点为，若关于直线的对称点落在上或内，则椭圆的离心率的取值范围为_____.
16.在长方体中，，，，为，的中点，在上，且.过，，三点的平面与长方体的六个面相交得到六边形，则点到直线的距离为_____.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在中，内角，，的对边长分别为，，，且.
（1）求角；
（2）若，周长，求.
18.（本小题满分12分）
正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱雉中，，分别为，的中点，连接.
（1）当为上不与点、重合的一点时，证明：平面；
（2）已知，分别为，的中点，是边长为2的正三角形，四边形是面积为2的矩形，当时，求与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
已知双曲线：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为2.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线与双曲线交于，两点，为原点，是否存在直线，使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
某学校组织一项竞赛，在初赛中有两轮答题：第一轮从类的三个问题中随机选两题作答，每答对一题得20分，答错得0分；第二轮从类的分值分别为20，30，40的3个问题中随机选两题作答，每答对一题得满分，答错得0分.若两轮总积分不低于90分，则晋级复赛.甲、乙同时参赛，在类的三个问题中，甲每个问题答对的概率均为，乙只能答对两个问题；在类的3个分值分别为20，30，40的问题中，甲答对的概率分别为1，，，乙答对的概率分别为，，.甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.设甲、乙在第一轮的得分分别为，.
（1）分别求，的概率分布列；
（2）分别计算甲、乙晋级复赛的概率，并请说明谁更容易晋级复赛？
22.（本小题满分12分）
已知函数，，其中.
（1）求过点且与函数的图象相切的直线方程；
（2）①求证：当时，；
②若函数有两个不同的零点，，求证：.
2024届新高三开学联考
数学参考答案及解析
一、单选题
1.B【解析】因为，所以，又复数的虚部小于0，所以，所以.故选B.
2.A【解析】由得，，所以，.故选A.
3.C【解析】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为，所以平地降雪厚度的近似值为.故选C.
4.D【解析】设公差为，则，，，，则.故选D.
5.C【解析】由，两边取对数得，所以，所以或，所以或.故选C.
6.D【解析】因为，，所以或，当时，可以验证：此时在上单调递增，舍去；当时，可以验证：此时在上单调递减，所以.故选D.
7.B【解析】将与联立得，，，所以的长为，由已知得，直线经过抛物线的焦点，且：为准线，所以，所以的面积为.故选B.
8.D【解析】令，，，，，，令，，当时，，所以在时单调递增，所以当时，，所以在时单调递减，所以，所以；当时，，所以在上单调递增，所以，所以，综上，.故选D.
二、选择题
9.ABC【解析】铁棍的长度从小到大排列为3.61，3.62，3.62，3.62，3.63，3.63，3.64，3.65（单位：cm）.对于A：极差为，故A正确；对于B：众数为3.62，故B正确；对于C：中位数为，故C正确；对于D：因为，所以铁棍的第80百分位数为从小到大排列的第7个数，是3.64，所以D不正确.故选ABC.
10.BC【解析】变为，所以的坐标为，，故A错误；直线过点，则，，所以到直线的距离为，故B正确；，故C正确；圆与轴相交所得的弦长为，圆与轴相交所得的弦长为，所以圆与坐标轴相交所得的四点构成的四边形面积为，故D错误.故选BC.
11.ABD【解析】设，的夹角为，则，所以，所以A正确；因为，，所以，，所以，所以B正确；，因为，所以，不存在，所以C不正确；设为的中点，则，所以，所以D正确.故选ABD.
12.BD【解析】由整理得，，因为，所以，所以A不正确，B正确；令，即，代入得，，所以，所以，即，所以C错误；令，，所以，，因为，所以，所以，所以，即，所以D正确.故选BD.
三、填空题
13.【解析】.故答案为.
14.【解析】令，则，，所以.故答案为.
15.【解析】设的半焦距为，则关于直线的对称点的坐标为，因为落在上或内，所以，所以，所以.故答案为.
16.【解析】如图所示，在长方体中，因为，，所以，延长与的延长线交于，再连接，与的交点为，同理确定.因为，所以，因为，，所以，因为，为的中点，所以，因为，所以，又，所以，同理，，在上取一点，使得，过作与垂直，垂足为，连接，可以证明：，且.因为，，所以，所以，所以.故答案为.【没有化简也给分】
四、解答题
17.解：（1）因为，
所以，
由余弦定理得，，
因为，【没有范围扣1分】
所以.
（2）
，
由正弦定理得，，
所以，
所以
.
18.解：（1）设等比数列的公比为，
因为，，成等差数列，所以，
因为，所以，
相减得，所以，
代入得，
解得或，
因为，所以
所以.
（2）由已知得，，
，
所以，
两个等式相减得，
所以.
【其他解法酌情给分】
19.解：（1）因为，分别为，的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为三角形是正三角形，为的中点，
所以，
又因为，，
所以平面，平面，
所以，
因为四边形是矩形，所以，即直线，，两两垂直，
以为坐标系的原点，射线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
因为四边形是面积为2的矩形，，所以，
由已知得，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，，，
∴，
∴，
令，得，.
∴，设与平面所成的角为，
则.
所以与平面所成角的正弦值为.
20.解：（1）设的半焦距为，因为抛物线的焦点坐标为，
所以，
因为的离心率为2，所以，，
所以双曲线的标准方程为.
（2）当直线的斜率为0时，显然不适合题意；当直线的斜率不为0时，
设直线：，，
由，消去，得，
且，
，，
所以
，
令，
解得，，此时，
所以存在直线：，使成立.
21.解：（1）由已知得，，
，
，
，
所以的分布列为
0
20
40
由已知得，，
所以，
.
所以的分布列为
20
40
（2）甲在第二轮得分分类如下：
选20分和30分的题所得分数为20分和50分，
选20分和40分的题所得分数为20分和60分，
选30分和40分的题所得分数为0分、30分、40分和70分，
乙在第二轮得分分类如下：
选20分和30分的题所得分数为0分、20分、30分和50分，
选20分和40分的题所得分数为0分、20分、40分和60分，
选30分和40分的题所得分数为0分、30分、40分和70分，
由已知及（1）得，
甲两轮的总积分不低于90分的概率为
；
乙两轮的总积分不低于90分的概率为
，
因为，所以甲更容易晋级复赛.
22.解：（1），
设切点的坐标为，
则切线方程为，
因为切线过点，
所以，
解得，
所以切线方程为.
（2）①令，，
令，
则，
当时，，
所以在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
即当时，；
②，
若，，则在上单调递增，最多只有一个零点，不符合题意；
若，，
令，因为，，且，
当时，，所以在上单调递增，
又因为当时，；
当时，，
又因为，
所以恰有一解，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以为函数的唯一的极大值点，
（8分）因为当时，，
当时，，
所以函数有两个不同的零点，等价于，
即，
不妨设，
当，，所以，
由（1）得，直线与函数切于原点得：当时，，
因为，所以当时，，
令，即当时，，
所以一定存在两个不同的根，设为，，
因为，
所以，
又因为，位于单调递减区间，
所以，同理，
所以，所以，
因为，所以，
又因为，
所以
，
所以.
2024届新高三开学联考
数学试题
本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数的虚部小于0，且，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，，则（ ）
A. C. B. D.
3.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（ ）
A. B. C. D.
4.已知公差不为零的等差数列的前项和为，，则（ ）
A.17 B.34 C.48 D.51
5.已知，则（ ）
A.9或 B.81或 C.9或 D.81或
6.已知在上单调递减，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知直线与抛物线相交于，两点，过线段的中点作一条垂直于轴的直线与直线：交于点，则的面积为（ ）
A. B. C.1 D.
8.若，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.铁棍的长度随温度的改变发生变化，某试验室在某个时段每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64（单位：），则（ ）
A.铁棍长度的极差为
B.铁棍长度的众数为
C.铁棍长度的中位数为
D.铁棍长度的第80百分位数为
10.已知圆：，为圆上任意一点，，则（ ）
A.
B.直线：过点，则到直线的距离为
C.
D.圆与坐标轴相交所得的四点构成的四边形面积为
11.已知，，若在中，，，且，，则（ ）
A.，的夹角为
B.
C.若，则
D.的边上的中线长为
12.若实数，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若，，则_____.
14.函数的最大值为_____.
15.已知椭圆：的左焦点为，若关于直线的对称点落在上或内，则椭圆的离心率的取值范围为_____.
16.在长方体中，，，，为，的中点，在上，且.过，，三点的平面与长方体的六个面相交得到六边形，则点到直线的距离为_____.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在中，内角，，的对边长分别为，，，且.
（1）求角；
（2）若，周长，求.
18.（本小题满分12分）
正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱雉中，，分别为，的中点，连接.
（1）当为上不与点、重合的一点时，证明：平面；
（2）已知，分别为，的中点，是边长为2的正三角形，四边形是面积为2的矩形，当时，求与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
已知双曲线：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为2.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线与双曲线交于，两点，为原点，是否存在直线，使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
某学校组织一项竞赛，在初赛中有两轮答题：第一轮从类的三个问题中随机选两题作答，每答对一题得20分，答错得0分；第二轮从类的分值分别为20，30，40的3个问题中随机选两题作答，每答对一题得满分，答错得0分.若两轮总积分不低于90分，则晋级复赛.甲、乙同时参赛，在类的三个问题中，甲每个问题答对的概率均为，乙只能答对两个问题；在类的3个分值分别为20，30，40的问题中，甲答对的概率分别为1，，，乙答对的概率分别为，，.甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.设甲、乙在第一轮的得分分别为，.
（1）分别求，的概率分布列；
（2）分别计算甲、乙晋级复赛的概率，并请说明谁更容易晋级复赛？
22.（本小题满分12分）
已知函数，，其中.
（1）求过点且与函数的图象相切的直线方程；
（2）①求证：当时，；
②若函数有两个不同的零点，，求证：.
2024届新高三开学联考
数学参考答案及解析
一、单选题
1.B【解析】因为，所以，又复数的虚部小于0，所以，所以.故选B.
2.A【解析】由得，，所以，.故选A.
3.C【解析】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为，所以平地降雪厚度的近似值为.故选C.
4.D【解析】设公差为，则，，，，则.故选D.
5.C【解析】由，两边取对数得，所以，所以或，所以或.故选C.
6.D【解析】因为，，所以或，当时，可以验证：此时在上单调递增，舍去；当时，可以验证：此时在上单调递减，所以.故选D.
7.B【解析】将与联立得，，，所以的长为，由已知得，直线经过抛物线的焦点，且：为准线，所以，所以的面积为.故选B.
8.D【解析】令，，，，，，令，，当时，，所以在时单调递增，所以当时，，所以在时单调递减，所以，所以；当时，，所以在上单调递增，所以，所以，综上，.故选D.
二、选择题
9.ABC【解析】铁棍的长度从小到大排列为3.61，3.62，3.62，3.62，3.63，3.63，3.64，3.65（单位：cm）.对于A：极差为，故A正确；对于B：众数为3.62，故B正确；对于C：中位数为，故C正确；对于D：因为，所以铁棍的第80百分位数为从小到大排列的第7个数，是3.64，所以D不正确.故选ABC.
10.BC【解析】变为，所以的坐标为，，故A错误；直线过点，则，，所以到直线的距离为，故B正确；，故C正确；圆与轴相交所得的弦长为，圆与轴相交所得的弦长为，所以圆与坐标轴相交所得的四点构成的四边形面积为，故D错误.故选BC.
11.ABD【解析】设，的夹角为，则，所以，所以A正确；因为，，所以，，所以，所以B正确；，因为，所以，不存在，所以C不正确；设为的中点，则，所以，所以D正确.故选ABD.
12.BD【解析】由整理得，，因为，所以，所以A不正确，B正确；令，即，代入得，，所以，所以，即，所以C错误；令，，所以，，因为，所以，所以，所以，即，所以D正确.故选BD.
三、填空题
13.【解析】.故答案为.
14.【解析】令，则，，所以.故答案为.
15.【解析】设的半焦距为，则关于直线的对称点的坐标为，因为落在上或内，所以，所以，所以.故答案为.
16.【解析】如图所示，在长方体中，因为，，所以，延长与的延长线交于，再连接，与的交点为，同理确定.因为，所以，因为，，所以，因为，为的中点，所以，因为，所以，又，所以，同理，，在上取一点，使得，过作与垂直，垂足为，连接，可以证明：，且.因为，，所以，所以，所以.故答案为.【没有化简也给分】
四、解答题
17.解：（1）因为，
所以，
由余弦定理得，，
因为，【没有范围扣1分】
所以.
（2）
，
由正弦定理得，，
所以，
所以
.
18.解：（1）设等比数列的公比为，
因为，，成等差数列，所以，
因为，所以，
相减得，所以，
代入得，
解得或，
因为，所以
所以.
（2）由已知得，，
，
所以，
两个等式相减得，
所以.
【其他解法酌情给分】
19.解：（1）因为，分别为，的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为三角形是正三角形，为的中点，
所以，
又因为，，
所以平面，平面，
所以，
因为四边形是矩形，所以，即直线，，两两垂直，
以为坐标系的原点，射线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
因为四边形是面积为2的矩形，，所以，
由已知得，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，，，
∴，
∴，
令，得，.
∴，设与平面所成的角为，
则.
所以与平面所成角的正弦值为.
20.解：（1）设的半焦距为，因为抛物线的焦点坐标为，
所以，
因为的离心率为2，所以，，
所以双曲线的标准方程为.
（2）当直线的斜率为0时，显然不适合题意；当直线的斜率不为0时，
设直线：，，
由，消去，得，
且，
，，
所以
，
令，
解得，，此时，
所以存在直线：，使成立.
21.解：（1）由已知得，，
，
，
，
所以的分布列为
0
20
40
由已知得，，
所以，
.
所以的分布列为
20
40
（2）甲在第二轮得分分类如下：
选20分和30分的题所得分数为20分和50分，
选20分和40分的题所得分数为20分和60分，
选30分和40分的题所得分数为0分、30分、40分和70分，
乙在第二轮得分分类如下：
选20分和30分的题所得分数为0分、20分、30分和50分，
选20分和40分的题所得分数为0分、20分、40分和60分，
选30分和40分的题所得分数为0分、30分、40分和70分，
由已知及（1）得，
甲两轮的总积分不低于90分的概率为
；
乙两轮的总积分不低于90分的概率为
，
因为，所以甲更容易晋级复赛.
22.解：（1），
设切点的坐标为，
则切线方程为，
因为切线过点，
所以，
解得，
所以切线方程为.
（2）①令，，
令，
则，
当时，，
所以在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
即当时，；
②，
若，，则在上单调递增，最多只有一个零点，不符合题意；
若，，
令，因为，，且，
当时，，所以在上单调递增，
又因为当时，；
当时，，
又因为，
所以恰有一解，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以为函数的唯一的极大值点，
（8分）因为当时，，
当时，，
所以函数有两个不同的零点，等价于，
即，
不妨设，
当，，所以，
由（1）得，直线与函数切于原点得：当时，，
因为，所以当时，，
令，即当时，，
所以一定存在两个不同的根，设为，，
因为，
所以，
又因为，位于单调递减区间，
所以，同理，
所以，所以，
因为，所以，
又因为，
所以
，
所以.
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