湖北省华科附中等五校联考体2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份湖北省华科附中等五校联考体2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020~2021学年度上学期华科附联考体期中考试
高一数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 已知命题p：R，，则p的否定为（ ）
A. R， B. R，
C. R， D. R，
【答案】B
【解析】
【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得答案.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题
所以p的否定为R，
故选：B
2. 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形可得阴影部分表示的集合为，求出即可.
【详解】根据图形可得阴影部分表示集合为,
.
故选：C.
【点睛】本题考查根据图形判断集合运算，属于基础题.
3. 幂函数过点，则（ ）
A. B. 3 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据幂函数可得，代入得，从而得解.
【详解】幂函数过点，
所以，解得，
所以.
故选：A.
4. “”是“函数在上单调递减”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
，根据必要不充分条件的定义易判断.
【详解】解：，显然的单调递减区间，
时，不能得出“函数在上单调递减”，
若“函数在上单调递减”，则
“”是“函数在上单调递减”的必要不充分条件，
故选：B
【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断以及函数的单调性，基础题.
5. 已知点都在二次函数的图象上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称轴、开口方向和单调性确定正确选项.
【详解】二次函数的对称轴为，开口向上，在上递减，
由于，则，
且，
所以.
故选：B
【点睛】本小题主要考查函数的单调性，属于基础题.
6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求定义域，分母不为0，即：，再根据抽象函数的定义域的求法可得：，联立即可的解.
【详解】有意义需，解得，
所以的定义域为.
故选：C.
【点睛】本题考查了求函数定义域，考查了分母不为0以及求抽象函数定义域，属于基础题.
7. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，p＝10，S，利用基本不等式，即可得出结论．
【详解】由题意，p＝10，
S8，
∴此三角形面积的最大值为8．
故选C．
【点睛】本题考查三角形的面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．
8. 设定义在R上的奇函数在（0，）上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析出函数在上是增函数，由得出，分和解不等式，即可得出原不等式的解集.
【详解】解：由于奇函数在上是增函数，则该函数在上也是增函数，且，
，，
由可得，即.
当时，得，解得；
当时，可得，解得.
因此，原不等式的解集为或.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9. （多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（ ）

A. 甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B. 甲从家到公园的时间是30 min
C. 甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D. 当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
【答案】BD
【解析】
【分析】根据图表逐项判断即可
【详解】在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；
由题中图象知，B正确；
甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；
当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得，D正确.
故选：BD
10. 下面四个命题中，真命题是（ ）
A. 若且，则 B. 若，则
C 若，则 D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于AC，利用作差法分析判断，对于B，举例判断，对于D，利用基本不等式分析判断
【详解】对于A，因为且，所以，所以，所以，所以A正确，
对于B，若，则满足，此时，则，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，
当且仅当，即时取等号，所以D正确，
故选：ACD
11. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．则下列函数中能被称为“理想函数”的有（ ）
A. B. ；
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】已知条件说明函数是奇函数，又是减函数，因此判断各选项中函数的奇偶性与单调性可得．
【详解】已知性质1说明函数是奇函数，性质2说明函数在定义域内是减函数，
选项A，函数在及是减函数，但在定义域内不是减函数，选项B，在上是增函数，均不合题意，
选项C，，时，，时，，因此在定义域内，函数为在奇函数，
上是减函数且，在上也是减函数且，因此函数在定义域内是减函数，满足题意，
选项D，易知其满足题意．
故选：CD．
12. 对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（ ）
A.
B. 函数的最大值为1
C. 函数的最小值为0
D. 方程有无数个根
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A选项直接计算进行判断，B、C、D选项根据函数定义，研究函数的性质，逐项分析即可．
【详解】因为，
所以，
，A正确；
由定义可得，所以，
所以无最大值，但有最小值且最小值为0，B错，C正确；
方程可化为，
所以，D正确，
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知集合，且，则实数的值为___________.
【答案】3
【解析】
【分析】由集合的元素，以及，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数的值.
【详解】由题可得，若，则，不满足集合元素的互异性，舍去；
若，解得或，其中不满足集合元素的互异性，舍去，
所以.
故答案为：3.
【点睛】本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值.
14. 二次不等式的解集为，则的值为_______.
【答案】6
【解析】
【分析】由二次不等式与二次方程的关系可得，从而得解.
【详解】二次不等式的解集为，
则，且的两个根为和.
所以，解得.
所以
【点睛】本题主要考查了二次方程与二次不等式的关系，属于基础题.
15. 函数是定义在上的增函数，若对于任意正实数，恒有，且，则不等式的解集是_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据抽象函数的关系将不等式进行转化，利用赋值法将不等式进行转化结合函数单调性即可得到结论．
【详解】，，
，
则不等式等价为，
函数在定义域上为增函数，
不等式等价为，
即，解得，
不等式的解集为，
故答案为：.
16. 已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则_______.
【答案】16
【解析】
【分析】由为奇函数可得函数关于点对称，分离常数可知函数关于点对称，继而可得与图像的8个交点关于点对称，则，可求，结果可得.
【详解】为奇函数
函数关于点对称

函数关于点对称
与图像的8个交点关于点对称
,,,
可得
同理可知


故答案为：
四、解答题：（本大题共6小题，共70分）.
17. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若时，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据偶次方根的被开方数非负得到关于的一元二次不等式，解得求出集合，再根据交集的定义计算可得；
（2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即可.
【小问1详解】
依题意，即，解得，
即，
时，
；
【小问2详解】
因为，所以，
①当时，则有，；
②当时，则，解得，
综上可得，即的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）根据定义证明函数在区间函数上单调递减.
【答案】（1）是奇函数，证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）奇偶性的判定可先求函数的定义域并判断其是否关于原点对称，再验证之间的关系；
（2）利用函数单调性定义可证明,先取值且，再作差并判定符号比较大小，即可证明.
【小问1详解】
是奇函数，证明如下：
函数的定义域为且关于原点对称,
又
是奇函数.
【小问2详解】
证明：设且，则

且即
即
函数在上是减函数.
19. 给定函数.

（1）在同一直角坐标系中画出函数的图像；
（2） 表示中的较大者，记为.结合图像写出函数的解析式，并求的最小值.
【答案】（1）图象见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）根据函数解析直接画图象即可；
（2）先求出两函数图象的交点坐标，再根据图象可求出的解析式和其最小值.
【小问1详解】
对于，过作一条直线即可得到的图象，
对于是对称轴为，开口向上的抛物线，过作平滑曲线可得的图象，图象如图所示，
【小问2详解】
由，得或，结合图象，可得的解析式为
，
结合图象可知，当时，.
20. 已知函数.
（1）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先分为和两种情况,再结合二次函数值域恒成立求解即可;
（2）先参数分离把原不等式转化为在有解,再根据二次函数求最值即可求出范围.
【小问1详解】
对恒成立，
i）若，显然成立，
ii）若，则，解得
所以，.
【小问2详解】
不等式在上有解
整理为在有解

在有解，即求在的最大值，
的对称轴为，
在上单调递增
，

可得.
21. 三位同学毕业后，发现市内一些小家电配件的批发商每天的批发零售的生意很火爆，于是他们三人决定利用所学专业进行自主创业，专门生产这类小家电配件，并与经销商签订了经销合同，他们生产出的小家电配件，以每件元的价格全部由经销商包销.经市场调研，生产这类配件，每月需要投入固定成本为万元，每生产万件配件，还需再投入资金万元.在月产量不足万件时，（万元）；在月产量不小于万件时，（万元）.已知月产量是万件时，需要再投入的资金是万元.
（1）试将生产这些小家电的月利润（万元）表示成月产量（万件）的函数；（注：月利润月销售收入固定成本再投入成本）
（2）月产量为多少万件时，这三位同学生产这些配件获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）月产量为万件时，这三位同学生产这些配件获得的利润最大，最大利润为万元.
【解析】
【分析】
（1）由求出的值，然后分和两种情况讨论，根据月利润的计算公式可得出函数的解析式；
（2）分和两段分别求出函数的最大值，比较大小后可得出结论.
【详解】（1）因为月产量是万件时，需要再投入的资金是万元，
所以，解得.
所以当时，；
当时，.
所以；
（2）当时，，此时（万元）；
当时，，
当且仅当，即时成立，此时.
因为，所以当月产量为万件时，这三位同学生产这些配件获得的利润最大，最大利润为万元.
【点睛】本题考查分段函数模型的应用，建立函数模型的解析式是关键，同时也考查了利用基本不等式和二次函数的基本性质求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
22. 已知二次函数满足，且的最小值是．
求的解析式；
若关于x的方程在区间上有唯一实数根，求实数m的取值范围；
函数，对任意，都有恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】（1）(2) （3）
【解析】
【详解】试题分析：（1）因，故对称轴为，故可设，再由得.（2）有唯一实数根可以转化为与有唯一的交点去考虑.（3），任意都有不等式成立等价于，分、、和四种情形讨论即可.
解析：（1）因，对称轴为，设，由得，所以.
（2）由方程得，即直线与函数的图象有且只有一个交点，作出函数在的图象.易得当或时函数图象与直线只有一个交点，所以的取值范围是.
（3）由题意知.
假设存在实数满足条件，对任意都有成立，即，故有，由.
当时，在上为增函数，，所以；
当时，，.即，解得，所以.
当时，
即解得.所以.
当时，，即，所以，综上所述，，
所以当时，使得对任意都有成立.
点睛：（1）求二次函数的解析式，一般用待定系数法，有时也需要根据题设的特点合理假设二次函数的形式（如双根式、顶点式、一般式）；
（2）不等式对任意的恒成立可以等价转化为恒成立.