中考数学二轮精品专题复习 二次根式

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2023年中考数学真题知识点汇编之《二次根式》
一．选择题（共13小题）
1．（2023•大连）下列计算正确的是（　　）
A．20=2 B．23+33=56
C．8=42 D．3（23−2）＝6﹣23
2．（2023•通辽）二次根式1−x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（　　）
A．​ B．
C． D．
3．（2023•湘潭）若式子x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
4．（2023•济宁）若代数式xx−2有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠2
5．（2023•河北）若a=2，b=7，则14a2b2=（　　）
A．2 B．4 C．7 D．2
6．（2023•十堰）下列计算正确的是（　　）
A．2+5=7 B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C．a8÷a4＝a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
7．（2023•宜昌）下列运算正确的个数是（　　）
①|2023|＝2023；②20230＝1；③2023﹣1=12023；④20232=2023．
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2023•金华）要使x−2有意义，则x的值可以是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2
9．（2023•江西）若a−4有意义，则a的值可以是（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．6
10．（2023•衡阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有a•b=ab．该运算法则成立的条件是（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a≤0，b≤0 D．a≥0，b≥0
11．（2023•上海）下列运算正确的是（　　）
A．a5÷a2＝a3 B．a3+a3＝a6 C．（a3）2＝a5 D．a2=a
12．（2023•烟台）下列二次根式中，与2是同类二次根式的是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
13．（2023•巴中）下列运算正确的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．3×2=6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．|m|＝m
二．填空题（共13小题）
14．（2023•徐州）若x−3有意义，则x的取值范围是 　 　．
15．（2023•常德）要使二次根式x−4有意义，则x应满足的条件是 　 　．
16．（2023•绥化）若式子x+5x有意义，则x的取值范围是 　 　．
17．（2023•广东）计算：3×12=　 　．
18．（2023•聊城）计算：（48−313）÷3=　 　．
19．（2023•广元）若式子1x−3有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
20．（2023•永州）已知x为正整数，写出一个使x−3在实数范围内没有意义的x值是 　 　．
21．（2023•杭州）计算：2−8=　 　．
22．（2023•山西）计算：(6+3)(6−3)的结果为 　 　．
23．（2023•天津）计算(7+6)(7−6)的结果为 　 　．
24．（2023•苏州）若x+1有意义，则x的取值范围是　 　．
25．（2023•连云港）计算：（5）2＝　 　．
26．（2023•怀化）要使代数式x−9有意义，则x的取值范围是 　 　．
三．解答题（共3小题）
27．（2023•张家界）阅读下面材料：
将边长分别为a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．
则S2﹣S1＝（a+b）2﹣a2
＝[（a+b）+a]•[（a+b）﹣a]
＝（2a+b）•b
＝b+2ab
例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+23
根据以上材料解答下列问题：
（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝　 　，S4﹣S3＝　 　；
（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+nb的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．
28．（2023•兰州）计算：6×3−8．
29．（2023•金昌）计算：27÷32×22−62．

2023年中考数学真题知识点汇编之《二次根式》
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．（2023•大连）下列计算正确的是（　　）
A．20=2 B．23+33=56
C．8=42 D．3（23−2）＝6﹣23
【考点】二次根式的混合运算；零指数幂．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】先根据零指数幂，二次根式的加法法则，二次根式的性质，二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可．
【解答】解：A．（2）0＝1，故本选项不符合题意；
B．23+33=53，故本选项不符合题意；
C．8=22，故本选项不符合题意；
D．3（23−2）=3×23−3×2＝6﹣23，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算和零指数幂，能灵活运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
2．（2023•通辽）二次根式1−x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（　　）
A．​ B．
C． D．
【考点】二次根式有意义的条件；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，进而在数轴上表示即可．
【解答】解：二次根式1−x在实数范围内有意义，
则1﹣x≥0，
解得：x≤1，
则实数x的取值范围在数轴上表示为：
．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关定义是解题关键．
3．（2023•湘潭）若式子x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】二次根式；符号意识．
【分析】直接利用二次根式的有意义，被开方数不小于0，进而得出答案．
【解答】解：式子x−1在实数范围内有意义，则x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
4．（2023•济宁）若代数式xx−2有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠2
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】分式；二次根式；运算能力．
【分析】根据分式的分母不能为0和二次根式的被开平方数大于等于0进行求解．
【解答】解：由题意得x≥0且x﹣2≠0，
解得x≥0且x≠2，
故选：D．
【点评】此题考查了分式和二次根式定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
5．（2023•河北）若a=2，b=7，则14a2b2=（　　）
A．2 B．4 C．7 D．2
【考点】二次根式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】把a、b的值代入原式，根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：∵a=2，b=7，
∴14a2b2=14×27=4=2，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．
6．（2023•十堰）下列计算正确的是（　　）
A．2+5=7 B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C．a8÷a4＝a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
【考点】二次根式的加减法；同底数幂的除法；完全平方公式．菁优网版权所有
【专题】整式；二次根式；运算能力．
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、二次根式的加减、完全平方公式分别判断得出答案．
【解答】解：A．2+5无法合并，故此选项不合题意；
B．（﹣2a）3＝﹣8a3，故此选项符合题意；
C．a8÷a4＝a4，故此选项不合题意；
D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、二次根式的加减、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（2023•宜昌）下列运算正确的个数是（　　）
①|2023|＝2023；②20230＝1；③2023﹣1=12023；④20232=2023．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】二次根式的性质与化简；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有
【专题】实数；符号意识．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：①|2023|＝2023，故此选项符合题意；
②20230＝1，故此选项符合题意；
③2023﹣1=12023，故此选项符合题意；
④20232=2023，故此选项符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
8．（2023•金华）要使x−2有意义，则x的值可以是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x的范围，判断即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
则x的值可以是2，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
9．（2023•江西）若a−4有意义，则a的值可以是（　　）
A．﹣1 B．0 C．2 D．6
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】二次根式；符号意识．
【分析】直接利用二次根式的定义得出a的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：a−4有意义，
则a﹣4≥0，
解得：a≥4，
故a的值可以是6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的有意义的条件，正确得出a的取值范围是解题关键．
10．（2023•衡阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有a•b=ab．该运算法则成立的条件是（　　）
A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a≤0，b≤0 D．a≥0，b≥0
【考点】二次根式的乘除法．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的乘法法则，即可解答．
【解答】解：对于二次根式的乘法运算，一般地，有a•b=ab．该运算法则成立的条件是a≥0，b≥0，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
11．（2023•上海）下列运算正确的是（　　）
A．a5÷a2＝a3 B．a3+a3＝a6 C．（a3）2＝a5 D．a2=a
【考点】二次根式的性质与化简；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、a5÷a2＝a3，故A符合题意；
B、a3+a3＝2a3，故B不符合题意；
C、（a3）2＝a6，故C不符合题意；
D、a2=|a|，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．（2023•烟台）下列二次根式中，与2是同类二次根式的是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【考点】同类二次根式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得出答案即可．
【解答】解：A．4=2，和2不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B．6和2不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C．8=22，和2是同类二次根式，故本选项符合题意；
D．12=23，和2不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
13．（2023•巴中）下列运算正确的是（　　）
A．x2+x3＝x5 B．3×2=6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．|m|＝m
【考点】二次根式的乘除法；合并同类项；完全平方公式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的乘法、合并同类项、完全平方公式、绝对值的性质计算，判断即可．
【解答】解：A、x2与x3，不是同类项，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；
B、3×2=6，计算正确，符合题意；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项计算错误，不符合题意；
D、当m≥0时，|m|＝m，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的乘法、合并同类项、完全平方公式、绝对值的性质，掌握相关的运算法则和性质是解题的关键．
二．填空题（共13小题）
14．（2023•徐州）若x−3有意义，则x的取值范围是 　x≥3　．
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【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数大于或等于0解答即可．
【解答】解：若x−3有意义，
则x﹣3≥0，
∴x≥3，
即x的取值范围是x≥3，
故答案为：x≥3．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知：若a有意义，则a≥0．
15．（2023•常德）要使二次根式x−4有意义，则x应满足的条件是 　x≥4　．
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【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义得：x﹣4≥0，
解得：x≥4．
故答案为：x≥4．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解决问题的关键．
16．（2023•绥化）若式子x+5x有意义，则x的取值范围是 　x≥﹣5且x≠0　．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】分式；二次根式；运算能力．
【分析】根据分式的分母不为0和二次根式的被开平方数大于等于0进行求解．
【解答】解：由题意得x+5≥0且x≠0，
解得x≥﹣5且x≠0，
故答案为：x≥﹣5且x≠0．
【点评】此题考查了分式和二次根式定义的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
17．（2023•广东）计算：3×12=　6　．
【考点】二次根式的乘除法．菁优网版权所有
【专题】解题思想；二次根式；运算能力．
【分析】本题考查二次根式的乘法计算，根据a×b=ab和a2=a（a＞0）进行计算，
【解答】解：方法一：
3×12
=3×23
＝2×3
＝6．
方法二：
3×12
=3×12
=36
＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查二次根式的计算，考查的关键是准确运用a×b=ab和a2=a（a＞0）进计算．
18．（2023•聊城）计算：（48−313）÷3=　3　．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝（43−3×33）÷3
＝（43−3）÷3
＝33÷3
＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19．（2023•广元）若式子1x−3有意义，则实数x的取值范围是 　x＞3　．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣3＞0，
解得：x＞3，
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
20．（2023•永州）已知x为正整数，写出一个使x−3在实数范围内没有意义的x值是 　1（答案也可以是2）　．
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【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式没有意义即被开方数小于0求解即可．
【解答】解：要使x−3在实数范围内没有意义，
则x﹣3＜0，
∴x＜3，
∵x为正整数，
∴x的值是1（答案也可以是2）．
故答案为：1（答案也可以是2）．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式a有意义，则a≥0，若没有意义，则a＜0．本题较简单，属于基础题．
21．（2023•杭州）计算：2−8=　−2　．
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【专题】二次根式；运算能力．
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式=2−22
=−2．
故答案为：−2．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
22．（2023•山西）计算：(6+3)(6−3)的结果为 　3　．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：原式＝（6）2﹣（3）2
＝6﹣3
＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用平方差公式是解题关键．
23．（2023•天津）计算(7+6)(7−6)的结果为 　1　．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：(7+6)(7−6)
＝（7）2﹣（6）2
＝7﹣6
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
24．（2023•苏州）若x+1有意义，则x的取值范围是　x≥﹣1　．
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【分析】二次根式的被开方数x+1是非负数．
【解答】解：根据题意，得
x+1≥0，
解得，x≥﹣1；
故答案是：x≥﹣1．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
25．（2023•连云港）计算：（5）2＝　5　．
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】（a）2＝a（a≥0），据此即可求得答案．
【解答】解：（5）2＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查二次根式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
26．（2023•怀化）要使代数式x−9有意义，则x的取值范围是 　x≥9　．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据代数式x−9有意义，可得x﹣9≥0，进一步求解即可．
【解答】解：∵代数式x−9有意义，
∴x﹣9≥0，
∴x≥9，
故答案为：x≥9．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
27．（2023•张家界）阅读下面材料：
将边长分别为a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．
则S2﹣S1＝（a+b）2﹣a2
＝[（a+b）+a]•[（a+b）﹣a]
＝（2a+b）•b
＝b+2ab
例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+23
根据以上材料解答下列问题：
（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝　9+23　，S4﹣S3＝　15+23　；
（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+nb的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．
【考点】二次根式的应用；规律型：图形的变化类；二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力；推理能力．
【分析】（1）把a＝1，b＝3代入S3﹣S2，S4﹣S3，计算即可得到结论；
（2）根据（1）的结论化简Sn+1﹣Sn即可；
（3）化简T＝t1+t2+t3+…+t50后，代入数值计算即可．
【解答】解：S3﹣S2＝（a+2b）2﹣（a+b）2
＝a2+4ab+4b﹣a2﹣2ab−b
＝2ab+3b，
当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝9+23；
S4﹣S3＝（a+3b）2﹣（a+2b）2＝a2+6ab+9b﹣a2﹣4ab−4b
＝2ab+5b，

当a＝1，b＝3时，S4﹣S3＝15+23；
故答案为：9+23；15+23；
（2）Sn+1﹣Sn＝6n﹣3+23；
证明：Sn+1﹣Sn
＝（1+3n）2﹣[1+（n﹣1）3]2
＝[2+（2n﹣1）3]×3
＝3（2n﹣1）+23
＝6n﹣3+23；
（3）当a＝1，b＝3时，T＝t1+t2+t3+…+t50
＝S2﹣S1+S3﹣S2+S4﹣S3…+S51﹣S50
＝S51﹣S1
＝（1+503）2﹣1
＝7500+1003．
【点评】本题考查了二次根式的化简，正确地计算出结果是解题的关键．
28．（2023•兰州）计算：6×3−8．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的性质化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝32−22
=2．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
29．（2023•金昌）计算：27÷32×22−62．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案．
【解答】解：原式＝33×23×22−62
＝122−62
＝62．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

考点卡片
1．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
2．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
3．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
4．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
5．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
6．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
7．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
8．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
9．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
10．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
11．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①a≥0； a≥0（双重非负性）．
②（a）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③a2=|a|=a(a＞0)0(a=0)−a(a＜0)（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
ab=a•b（a≥0，b≥0）ab=ab（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
12．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：a⋅b=a•b（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：a•b=a⋅b（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：ab=ab（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：ab=ab（a≥0，b＞0）

规律方法总结：
在使用性质a•b=a⋅b（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（−4）×（−9）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
13．同类二次根式
同类二次根式的定义：
　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
14．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
15．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
17．二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
18．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
　　某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
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