中考数学二轮精品专题复习 二次函数(解答题一)


2023年中考数学真题知识点汇编之《二次函数(解答题一)》
一．解答题（共50小题）
1．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝x2上有两点A、B，其中点A的横坐标为﹣2，点B的横坐标为1，抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点A、B．过A作AC∥x轴交抛物线C1另一点为点C．以AC、12AC长为边向上构造矩形ACDE．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）将矩形ACDE向左平移m个单位，向下平移n个单位得到矩形A′C′D′E′，点C的对应点C′落在抛物线C1上．
①求n关于m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；
②直线A′E′交抛物线C1于点P，交抛物线C2于点Q．当点E′为线段PQ的中点时，求m的值；
③抛物线C2与边E′D′、A′C′分别相交于点M、N，点M、N在抛物线C2的对称轴同侧，当MN=2103时，求点C′的坐标．

2．（2023•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−3x2+23x的图象与x轴分别交于点O、A，顶点为B．连接OB、AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D、E分别在线段OB、BC上，连接AD、DE、EA，DE与AB交于点F，∠DEA＝60°．
（1）求点A、B的坐标；
（2）随着点E在线段BC上运动．
①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当线段DE的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，△BDE的面积为 　 　．

3．（2023•贵州）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．
4．（2023•赤峰）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．

乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm），测得如下数据：
水平距离x/cm
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度y/cm
28.75
33
45
49
45
33
0
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；

（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 　 　cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 　 　cm；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．
5．（2023•赤峰）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“梦之点“的是 　 　；
（2）点G（2，2）是反比例函数y1=kx图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 　 　，直线GH的解析式是y2＝　 　，y1＞y2时，x的取值范围是 　 　；
（3）如图②，已知点A，B是抛物线y=−12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接AC，AB，BC，判断△ABC的形状，并说明理由．

6．（2023•辽宁）商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：
销售单价x（元）
…
50
60
70
…
月销量y（台）
…
90
80
70
…
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？
7．（2023•辽宁）如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4），点E在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；
（3）点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．
8．（2023•湘潭）如图，二次函数y＝x2+bx+c 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B（1，0），C（0，3）．

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC＝S△ABC？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．
9．（2023•无锡）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】

10．（2023•深圳）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．
如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
（1）如图2，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的解析式；
（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；
（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．

11．（2023•通辽）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+83x+c(a≠0) 与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4）．

（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD＝2，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，请直接写出四边形PECE'的周长．
12．（2023•常德）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，tan∠ACO=15．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO＝∠PBC，求P点的坐标．

13．（2023•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，14a）的距离PF，始终等于它到定直线l：y=−14a的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y=−14a叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF=12a．例如，抛物线y＝2x2，其焦点坐标为F（0，18），准线方程为l：y=−18，其中 PF＝PN，FH＝2OF=14．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y=14x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线y=14x2上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线y=14x2的焦点为F，准线方程为l．直线m：y=12x﹣3交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）内有一定点F（h，k+14a），直线l过点M（h，k−14a）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y＝2（x﹣1）2+3上的动点P到点F（1，258）的距离等于点P到直线l：y=238的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
（4）如图4，点D（﹣1，32）是第二象限内一定点，点P是抛物线y=14x2﹣1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．
14．（2023•长春）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+2（b是常数）经过点（2，2）．点A的坐标为（m，0），点B在该抛物线上，横坐标为1﹣m．其中m＜0．
（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
（2）当点B在x轴上时，求点A的坐标；
（3）该抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P，B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2﹣m时，求m的值；
（4）当点B在x轴上方时，过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC、BO．若四边形AOBC的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC的顶点），设这两个交点分别为点E、点F，线段BO的中点为D．当以点C、E、O、D（或以点C、F、O、D）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半时，直接写出所有满足条件的m的值．

15．（2023•内蒙古）随着科技的发展，扫地机器人（图1）已广泛应用于生活中．某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．设该产品2022年第x（x为整数）个月每台的销售价格为y（单位：元），y与x的函数关系如图2所示（图中ABC为一折线）．

（1）当1≤x≤10时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；
（2）设该产品2022年第x个月的销售数量为m（单位：万台），m与x的关系可以用m=110x+1来描述、求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入＝每台的销售价格×销售数量）
16．（2023•湖北）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：

时间：第x（天）
1≤x≤30
31≤x≤60
日销售价（元/件）
0.5x+35
50
日销售量（件）
124﹣2x
（1≤x≤60，x为整数）
设该商品的日销售利润为w元．
（1）直接写出w与x的函数关系式 　 　；
（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
17．（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+3x+1交y轴于点A，直线y=−13x+2交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），交y轴于点D，交x轴于点E．
（1）求点D，E，C的坐标；
（2）F是线段OE上一点（OF＜EF），连接AF，DF，CF，且AF2+EF2＝21．
①求证：△DFC是直角三角形；
②∠DFC的平分线FK交线段DC于点K，P是直线BC上方抛物线上一动点，当3tan∠PFK＝1时，求点P的坐标．

18．（2023•湖北）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接BC．
（1）抛物线的解析式为 　 　；（直接写出结果）
（2）在图1中，连接AC并延长交BD的延长线于点E，求∠CEB的度数；
（3）如图2，若动直线l与抛物线交于M，N两点（直线l与BC不重合），连接CN，BM，直线CN与BM交于点P．当MN∥BC时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由．

19．（2023•张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）．点D为线段BC上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求△AOD周长的最小值；
（3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．

20．（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．

21．（2023•长沙）我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足a2−c1+（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数y1＝2x2+kx+3与y2＝mx2+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数．
①求函数y2的图象的对称轴；
②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1＝ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F．当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
22．（2023•无锡）已知二次函数y=22（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，2）和点C（﹣1，2）．
（1）请直接写出b，c的值；
（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y=22（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．
①求EF的最大值；
②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．
23．（2023•菏泽）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？

24．（2023•菏泽）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），其对称轴为x=−32．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
（3）如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG+2FP的最大值．

25．（2023•武汉）抛物线C1：y=x2−2x−8交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；
（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
​
26．（2023•齐齐哈尔）综合与探究：
如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c上的点A，C坐标分别为（0，2），（4，0），抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2，连接AC，CM．
（1）求点M的坐标及抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当S△PAC＝S△ACM时，求点P的坐标；
（3）点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点Q的坐标；
（4）将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，在抛物线平移过程中，当 MA'+MC'的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 　 　，MA′+MC′的最小值为 　 　．
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27．（2023•兰州）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．

28．（2023•河南）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离 OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2．
（1）求点P的坐标和a的值；
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．

29．（2023•济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若0＜m＜32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？
（3）若m＜32，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
​
30．（2023•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC=12S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

31．（2023•绥化）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，6）三点，且一次函数y＝kx+6的图象经过点B．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）将抛物线y1＝ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为m．过点P作PD⊥NC于点D，求m为何值时，CD+12PD有最大值，最大值是多少？

32．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．
（3）当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．
（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2当h2﹣h1＝m 时，直接写出m的值．
​
33．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．

34．（2023•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC的值；
（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
35．（2023•岳阳）已知抛物线Q1：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点，交y轴于点C（0，3）．
（1）请求出抛物线Q1的表达式．
（2）如图1，在y轴上有一点D（0，﹣1），点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E，F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK＝∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

36．（2023•荆州）已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．
（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是 　 　；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2．
①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；
②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．

37．（2023•温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？

38．（2023•陕西）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m3，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，O′E′＝E′N′．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'＝3m时，S2=122m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
（1）求方案一中抛物线的函数表达式；
（2）在方案一中，当AB＝3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．

39．（2023•随州）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式p=mx+n，1≤x＜20，且x为整数30，20≤x≤30，且x为整数销量q（千克）与x的函数关系式为q＝x+10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元．
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；
（3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？
40．（2023•河北）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2 的一部分，淇淇恰在点B（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：y=−18x2+n8x+c+1的一部分．
（1）写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．

41．（2023•十堰）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
（1）当x＝60时，p＝　 　；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．
42．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
43．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．
（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

44．（2023•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），与y轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AB，BC，点D在线段AB上（与点A，B不重合），点F是OA的中点，连接FD，过点D作DE⊥FD交BC于点E，连接EF，当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，求点D的坐标；
（3）如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，H（m，0）是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G（与点O，B不重合），使得∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，求m的取值范围．

45．（2023•永州）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5），
顶点坐标为（2，9），点P（x1，y1）为抛物线上的动点，PH⊥x轴于H，且x1≥52．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，直线OP：y=y1x1x交BF于点G，求S△BPGS△BOG的最大值；
（3）如图2，四边形OBMF为正方形，PA交y轴于点E，BC交FM的延长线于C，且BC⊥BE，PH＝FC，求点P的横坐标．

46．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．
（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．
​

47．（2023•广元）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，求出点F的坐标；
（3）如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+12ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

48．（2023•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点B．

（1）求点A，B的坐标；
（2）求b，c的值；
（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
49．（2023•杭州）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
1
n
1
p
…
（1）若m＝4，
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
50．（2023•湖北）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200⩽x⩽700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．
（1）当x＝　 　m2时，y＝35元/m2；
（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
（3）学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？


2023年中考数学真题知识点汇编之《二次函数(解答题一)》
参考答案与试题解析
一．解答题（共50小题）
1．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝x2上有两点A、B，其中点A的横坐标为﹣2，点B的横坐标为1，抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点A、B．过A作AC∥x轴交抛物线C1另一点为点C．以AC、12AC长为边向上构造矩形ACDE．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）将矩形ACDE向左平移m个单位，向下平移n个单位得到矩形A′C′D′E′，点C的对应点C′落在抛物线C1上．
①求n关于m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；
②直线A′E′交抛物线C1于点P，交抛物线C2于点Q．当点E′为线段PQ的中点时，求m的值；
③抛物线C2与边E′D′、A′C′分别相交于点M、N，点M、N在抛物线C2的对称轴同侧，当MN=2103时，求点C′的坐标．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；函数的综合应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据题意得出点A（﹣2，4），B（1，1），利用待定系数法求解析式即可求解．
（2）①根据平移的性质得出C′（2﹣m，4﹣n），根据点C的对应点C′落在抛物线C1上，可得（2﹣m）2＝4﹣n，即可求解．
②根据题意得出P（﹣2﹣m，m2+4m+4），Q（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+4），求得中点坐标，根据题意即可求解．
③作辅助线，利用勾股定理求得MG=23，设出N点，M点坐标，将M点代入y＝﹣x2﹣2x+4，求得N点坐标，进而根据点C的对应点C′落在抛物线C1上，即可求解．
【解答】（1）根据题意，点A的横坐标为﹣2，点B的横坐标为1，代入抛物线C1：y＝x2，
∴当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2＝4，则A（﹣2，4），
当x＝1时，y＝1，则B（1，1），
将点A（﹣2，4），B（1，1）代入抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c，
∴−(−2)2−2b+c=4−1+b+c=1，
解得b=−2c=4，
∴抛物线C2的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4．
（2）①∵AC∥x轴交抛物线C1：y=x2另一点为C，
当y＝4时，x＝±2，
∴C（2，4），
∵矩形ACDE向左平移m个单位，向下平移n个单位得到矩形A′C′D′E′，点C的对应点C′落在抛物线C1上．
∴C′（2﹣m，4﹣n），（2﹣m）2＝4﹣n，
整理得n＝﹣m2+4m，
∵m＞0，n＞0，
∴0＜m＜4，
∴n＝﹣m2+4m（0＜m＜4）；
②如图，

∵A（﹣2，4），C（2，4），
∴AC＝4，
∵AE=12AC=2，
∴E（﹣2，6），
由①可得A′（﹣2﹣m，m2﹣4m+4），E′（﹣2﹣m，m2﹣4m+6），
∴P，Q的横坐标为﹣2﹣m，分别代入C1，C2，
∴P（﹣2﹣m，m2+4m+4），Q（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+4），
∴m2+4m+4−m2−2m+42=m+4，
∴PQ的中点坐标为（﹣2﹣m，m+4），
∵点E′为线段PQ的中点，
∴m2﹣4m+6＝m+4，
解得m=5−172或m=5+172（大于4，舍去）．
③如图，连接MN，过点N作NG⊥E′D′于点G，

则NG＝2，
∵MN=2103，
∴MG=MN2−MG2=(2103)2−22=23，
设N（a，﹣a2﹣2a+4），则M（a−23，﹣a2﹣2a+6），
将M点代入y＝﹣x2﹣2x+4，
得−(a−23)2−2×(a−23)+4=−a2−2a+6，
解得a=56，
当a=56，−a2−2a+4=−(56)2−2×56+4=5936，
∴N(56，5936)，
将y=5936代入y＝x2，
解得x1=596，x2=−596，
∴C′(596，5936)或C′(−596，5936)．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，掌握二次函数的性质．
2．（2023•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−3x2+23x的图象与x轴分别交于点O、A，顶点为B．连接OB、AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D、E分别在线段OB、BC上，连接AD、DE、EA，DE与AB交于点F，∠DEA＝60°．
（1）求点A、B的坐标；
（2）随着点E在线段BC上运动．
①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；
②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当线段DE的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，△BDE的面积为 　239　．

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【专题】压轴题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）令y＝0，由−3x2+23x=0，可求得A点的坐标，把解析式化为顶点坐标式或代入顶点坐标公式都可求得B点的坐标；
（2）①在线段AB上截取BG＝BE，连接EG，先证△DBE≌△AGE，再证△AED是等边三角形，从而得证；
②因为BF＝AB﹣AF，所以转化为求AF长度的最小值，由垂线段最短可解决问题；
（3）设DE的中点为M，连接AM，过点D作DN⊥对称轴于点N，先证△BEM≌△NDM，再证Rt△BME∽Rt△HAM，而相似比恰好是定值，从而解决问题．
【解答】解：令y＝0，得：
−3x2+23x=0，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴A（2，0），
∵y=−3x2+23x=−3(x−1)2+3，
∴顶点的坐标为（1，3）；

（2）①在线段AB上截取BG＝BE，连接EG，
由已知可得：∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠C＝60°，
由（1）可抛物线对称轴是直线x＝1，
∴OH＝1，
∴OB=OH2+BH2=12+(3)2=2，
AB=AH2+BH2=(2−1)2+(3)2=2，
∴AB＝OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AC＝BC＝AB＝2，
∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°，
∵∠GBE＝60°，BG＝BE，
∴△BGE是等边三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝∠GBE＝60°，BE＝GE，
∴∠AGE＝180°﹣∠BGE＝120°，
又∵∠DBE＝∠OBA+∠ABC＝120°，
∴∠DBE＝∠AGE，
∵∠BED+∠DEG＝∠GEA+∠DEG＝60°，
∴∠BED＝∠GEA，
∴△DBE≌△AGE（AAS），
∴DE＝AE，
又∠AED＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠EDA＝60°，
即∠EDA的大小保持不变；
②∵BF＝AB﹣AF＝2﹣AF，
∴当AF最小时，BF的值最大，
∴当AF⊥DE时，BF取最大值；
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAF=12∠DAE＝30°，
∴∠DAO＝∠BAO﹣∠DAF＝30°，
∴∠ODA＝∠DOA+∠DAO＝90°，
在Rt△AOD中，∠AOD＝60°，OA＝2，
∴AD＝OA•sin60°＝2×32=3，
同理可求，AF=32，
∴BF＝AB﹣AF=12，
∴线段BF的长度最大值为12；

（3）设DE的中点为M，连接AM，过点D作DN⊥对称轴于点N，
∵OA＝OB＝AC＝BC＝AB，
∴四边形OACB是菱形，
∴OA∥BC，
∵DN⊥BH，
∴OA∥BC∥DN，
∴∠EBM＝∠DNM，∠BEM＝∠NDM，
又∵DM＝EM，
∴△BEM≌△NDM（AAS），
∴DN＝EB，
∵AD＝AE，DM＝ME，
∴AM⊥DE，
∴∠AME＝90°，
∴∠BME+∠HMA＝90°，
∵∠BME+∠BEM＝90°，
∴∠HMA＝∠BEM，
∴Rt△BME∽Rt△HAM，
∴AHBM=MHBE=AMME=tan60°=3，
∴1BM=3，
∴BM=33，
∴MH＝BH﹣BM=3−33=233，
∴DN＝BE=MH3=23，
∴S△BDE＝S△BDM+S△EBM=12BM⋅BE+12BM⋅DN=239；
故答案为：239．


【点评】本题主要考查了二次函数的图象及性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键．
3．（2023•贵州）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．
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【专题】压轴题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据题意，设抛物线的解析式为y＝ax2+9，待定系数法求解即可；
（2）作A点关于y轴的对称点A′（﹣3，0），连接A′B交OC于点P，则P点即为所求；
（3）分三种情况进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，建立不等式求得b的取值范围即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+9，
把点A（3，0）代入，得：
9a+9＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+9；

（2）作A点关于y轴的对称点A′（﹣3，0），连接A′B交OC于点P，则P点即为所求；

把x＝1代入y＝﹣x2+9，得：
y＝8，
∴B（1，8）
设直线A′B的解析式为y＝kx+m，
∴−3k+m=0k+m=8，
解得：k=2b=6，
∴y＝2x+6，
令x＝0，得y＝6，
∴P点的坐标为（0，6）；

（3）y＝﹣x2+2bx+b﹣1＝﹣（x﹣b）2+b2+b﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝b，顶点坐标为（b，b2+b﹣1），
当0＜b≤4时，得：
﹣62+12b+b﹣1≥9，
解得：b≥4613，
∴4613≤b≤4，
当4＜b＜6时，
由b﹣4＞6﹣b，得：
b＞5，
∴﹣62+12b+b﹣1≥9，
∴5＜b＜6；
由b﹣4≤6﹣b，得：
b≤5，
∴﹣42+8b+b﹣1≥9，
解得：b≥269，
∴4＜b≤5；
∴当4＜b＜6时，都成立；
当b≥6时，得：
∴﹣42+8b+b﹣1≥9，
解得：b≥269，
∴b≥6都成立；
综上所述，b的取值范围为b≥4613．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
4．（2023•赤峰）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．

乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm），测得如下数据：
水平距离x/cm
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度y/cm
28.75
33
45
49
45
33
0
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；

（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 　49　cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 　230　cm；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．
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【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解；
（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当y＝0 时，x＝230；②待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49+h﹣28.75，当x＝274 时，y＝0，代入进行计算即可求解．
【解答】解：（1）描出各点，画出图象如下：

（2）①观察表格数据，可知当x＝50和x＝130 时，函数值相等，
∴对称轴为直线x=50+1302=90，顶点坐标为（90，49），
∵抛物线开口向下，
∴最高点时，乒乓球与球台之间的距离是49cm，
当y＝0时，x＝230，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230cm；
故答案为：49；230；
②设抛物线解析式为y＝a（x﹣90）2+49，
将（230，0）代入得，0＝a（230﹣90）2+49，
解得：a＝﹣0.0025，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49；
（3）当OA＝28.75 时，抛物线的解析式为 y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为h，则平移距离为（h﹣28.75）cm，
∴平移后的抛物线的解析式为 y＝﹣0.0025（x﹣90）2+49+h﹣28.75，
当x＝274 时，y＝0，
∴﹣0.0025（274﹣90）2+49+h﹣28.75＝0，
解得：h＝64.39；
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为64.39cm．
【点评】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
5．（2023•赤峰）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），在点M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“梦之点“的是 　M1，M2　；
（2）点G（2，2）是反比例函数y1=kx图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 　H（﹣2，﹣2）　，直线GH的解析式是y2＝　x　，y1＞y2时，x的取值范围是 　x＜﹣2或0＜x＜2　；
（3）如图②，已知点A，B是抛物线y=−12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接AC，AB，BC，判断△ABC的形状，并说明理由．

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【专题】代数综合题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上；
（2）把G（2，2）代入y1=kx求出解析式，再求于y＝x的交点即为H，最后根据函数的图象判断y1＞y2时，x的取值范围；
（3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出AC，AB，BC，即可判断△ABC的形状．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），D（3，2），
∴矩形ABCD的“梦之点”（x，y）满足﹣1≤x≤3，﹣1≤y≤2，
∴点M1（1，1），M2（2，2）是矩形ABCD的“梦之点”，点M3（3，3）不是矩形ABCD的“梦之点”，
故答案为：M1，M2；
（2）∵点G（2，2）是反比例函y1=kx图象上的一个“梦之点”，
∴把G（2，2）代入y1=kx得k＝4，
∴y1=4x，
∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，
∴“梦之点”都在y＝x的图象上，联立y1=4xy=x，
解得x=2y=2或x=−2y=−2，
∴H（﹣2，﹣2），
∴直线GH的解析式为y2＝x，
∴y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2，
故答案为：H（﹣2，﹣2），x，x＜﹣2或0＜x＜2；
（3）△ABC是直角三角形，
理由：∵点A，B是抛物线y=−12x2+x+92上的“梦之点”，
∴y=−12x2+x+92y=x，
解得x=3y=3或x=−3y=−3，
∴A（3，3），B（﹣3，﹣3），
∵y=−12x2+x+92=−12（x﹣1）2+5，
∴顶点C（1，5），
∴AC2＝（3﹣1）2+（3﹣5）2＝8，AB2＝（﹣3﹣3）2+（﹣3﹣3）2＝73，BC2＝（﹣3﹣1）2+（﹣3﹣5）2＝80，
∴BC2＝AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键．
6．（2023•辽宁）商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：
销售单价x（元）
…
50
60
70
…
月销量y（台）
…
90
80
70
…
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？
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【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）设月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系式为y＝kx+b，把（50，90）和（60，80）代入解方程组即可得到结论；（2）设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元，根据题意得到二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）设月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系式为y＝kx+b，
把（50，90）和（60，80）代入得90=50k+b80=60k+b，
解得k=−1b=140，
∴y＝﹣x+140；
（2）设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元，
根据题意得，w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+140）＝﹣x2+180x﹣5600＝﹣（x﹣90）2+2500，
∴当护眼灯销售单价定为90元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2500元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是列出关系式，熟练掌握二次函数的性质，准确计算．
7．（2023•辽宁）如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4），点E在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；
（3）点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设E（x，−12x2+x+4），则F（x，﹣x+4），利用对称性质求得H（2﹣x，−12x2+x+4），推出GH﹣EF=−12x2+2x，GF＝EH＝2x﹣2，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；
（3）先求得直线AC的解析式为y＝2x+4，分别过点M、E作y轴的垂线，垂足分别为P、Q，证明△OEP≌△MOQ，推出PE＝0Q．PO＝MQ，设E（m，−12m2+m+4），则M（12m2﹣m+4，m），由点M在直线AC上，列式计算，可求得m的值，利用平移的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y=−12x2+bx+c经过点B（4，0）和C（0，4），
∴−12×42+4b+c=0c=4
解得b=1c=4，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+x+4；
（2）∵点B（4，0）和C（0，4）．
设直线BC的解析式为v＝kx+4，则0＝4k+4，
解得k＝﹣1．
直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设E（x，−12x2+x+4），且0＜x＜4，则F（x，﹣x+4），
GH﹣EF=−12x2+x+4﹣（﹣x+4）=−12x2+2x，
∴解析式的对称轴为−12×(−12)=1，
∴H（2﹣x，−12x2+x+4），
∴GF﹣EH＝x﹣（4﹣x）＝2x﹣2，
依题意得2（−12x2+2x+2x﹣2）＝11．
解得x＝5（舍去）或x＝3．
∴EH＝4，
（3）令y＝0，则−12x2++x+4＝0，
解得x＝﹣2或x＝4．
∴A（﹣2，0）．
同理，直线AC的解析式为y＝2x+4，
∵四边形OENM是正方形，
∴OE＝OM，∠EOM＝90°，分别过点M、E作y轴的垂线，垂足分别为P、Q，如图，

∠OPE＝∠MQO＝90°，∠OEP＝90°﹣∠EOP＝∠MOQ．
∴△OEP≌Δ MOQ（AAS）．
∴PE＝OQ，PO＝MQ．
设E（m，−12m2+m+4），
∴PE＝OQ＝﹣m，PO﹣MQ=−12m2+m+4．
则M（12m2﹣m+4，m），
∵点M在直线AC上，
∴m＝2（12m2−m﹣4）+4．
解得m＝4或m＝﹣1
当m＝4时，M（0，4），E（4，0），
即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形OENM是正方形，此时N（4，4）：
当m＝﹣1时，M（−52，﹣1），E（﹣1，52），
点O向左平移52个单位，再向下平移1个单位，得到点M，
则点E向左平移52个单位，再向下平移1个单位，得到点N，
N（﹣1−52，52−1），即N（−72，32）．
综上，点N的坐标为（4，4）或（−72，32）．
【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论．
8．（2023•湘潭）如图，二次函数y＝x2+bx+c 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B（1，0），C（0，3）．

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC＝S△ABC？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．
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【专题】二次函数图象及其性质；函数的综合应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据S△PAC＝S△ABC，可得P到AC的距离等于B到AC的距离，进而作出两条AC的平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解；
（3）根据题意，求得当△OAC是直角三角形时的a的值，进而观察图象，即可求解，分a＞0和a＜0两种情况讨论，分别计算即可求解．
【解答】解：将点B（1，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c，则
1+b+c=0c=3，
解得b=−4c=3，
∴抛物线解析式为 y＝x2﹣4x+3；
（2）∴y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，1），
当 y＝0时，x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴A（3，0），则 OA＝3，
∵C（0，3），则 OC＝3，
∴△AOC 是等腰直角三角形，
∵S△PAC＝S△ABC，
∴p到AC的距离等于B到AC的距离，
∵A（3，0），C（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx+3，
∴3k+3＝0，
解得k＝﹣1，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
如图所示，过点B作A的平分线，交抛物线于点P，

设BP的解析式为 y＝﹣x+d，将点 B（1，0）代入得，
﹣1+d＝0，
解得：d＝1，
∴直线BP的解析式为 y＝﹣x+1，
y=−x+1y=x2−4x+3
解得：x=1y=0或x=2y=−1，
∴P（2，﹣1），
∵PA=(3−2)2+12=2，PB=(2−1)2+12=2，AB＝3﹣1＝2，
∴PA2+PB2＝AB2，
∴△ABP 是等腰直角三角形，且∠APB＝90°，
如图所示，延长PA至D，使得AD＝PA，过点D作AC的平行线DE，交x轴于点E，则DA＝PA，则符合题意的点P在直线DE 上，
∵△APB是等腰直角三角形，DE∥AC，AC⊥PD，
∴∠DAE＝∠BAP＝45°，PD⊥DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=2AD=2AP=2，
∴E（5，0）设直线DE的解析式为y＝﹣x+e，
∴﹣5+e＝0，
解得：e＝5，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x+5，
联立 y=−x+5y=x2−4x+3，
解得：x=3−172y=7+172 或x=3+172y=7−172，
∴P(3−172，7+172) 或 P(3+172，7−172)，
综上所述，P（2，﹣1）P(3−172，7+172) 或 P(3+172，7−172)；
（3）①当a＞0时，如图所示，过点C作 CG⊥AC 交 x＝2 于点G，当点Q与点G重合时，△ACQ是直角三角形，当∠AQC＝90° 时，△ACQ是直角三角形，

设AC交x＝2于点H，
∵直线AC的解析式为 y＝﹣x+3，
则H（2，1），
∴CH=22+(3−1)2=22，
∴∠CHG＝∠OCH＝45°，
∴△CHG是等腰直角三角形，
∴⋅HG=2CH=2×22=4，
∴G（2，5），
设Q（2，q），则AQ2＝12+q2，CQ2＝22+（q﹣3）2＝q2﹣6q+13，
∵AC2＝32+32＝18，
∴18＝q2﹣6q+13+1²+q2，
解得：q=3−172 （舍去）或 q=3+172，
∴Q(2，3+172)，
∵△QAC是锐角三角形，
∴3+172＜a＜5；
当a＜0时，如图所示，
同理可得AQ²+QC²＝AC，
即18＝q2﹣6q+13+1²+q2，
解得：q=3−172 （舍去）或 q=3+172，
由（2）可得AM⊥AC时，M（2，1）

∴﹣1＜a＜3−172．
综上所述，当△OAC是锐角三角形时，
3+172＜a＜5或﹣1＜a＜3−172．
【点评】本题考查了二次函数综合运用，面积等问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．（2023•无锡）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】

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【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）由图象可知，分两种情况：当22≤x≤30时，当30＜x≤45时，分别利用待定系数法求解即可；
（2）设销售利润为w元，再根据销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量列出w与x的关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）当22≤x≤30时，设函数表达式为y＝kx+b，
将（22，48），（30，40）代入解析式得，22k+b=4830k+b=40，
解得k=−1b=70，
∴函数表达式为：y＝﹣x+70；
当30＜x≤45时，设函数表达式为：y＝mx+n，
将（30，40），（45，10）代入解析式得，30m+n=4045m+n=10，
解得m=−2n=100，
∴函数表达式为：y＝﹣2x+100，
综上，y与x的函数表达式为：y=−x+70(22≤x≤30)−2x+100(30＜x≤45)；
（2）设利润为w元，当22≤x≤30时，w＝（x﹣20）（﹣x+70）＝﹣x2+90x﹣1400＝﹣（x﹣45）2+625，
∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，
∴当x＝30时，w取得最大值为400；
当30＜x≤45时，w＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，
当x＝35时，w取得最大值为450；
∵450＞400，
∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元．
【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值．
10．（2023•深圳）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．
如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
（1）如图2，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的解析式；
（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；
（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．

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【专题】几何综合题；函数的综合应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）设出G，L，根据题意列出方程求解即可．
（3）取最右侧光线与抛物线切点为F，根据题意求出直线FK的解析式，由BK＝OB+OK求解即可．
【解答】解：（1）∵AB＝4，AD＝3，E（0，4），
∴A（﹣2，3），B（2，0），C（2，0），D（2，3），
设抛物线表达式为y＝ax2+bx+c，
将A、D、E三点坐标代入表达式，
得4a−2b+c=34a+2b+c=3c=4，
解得a=−14b=0c=4．
∴抛物线表达式为y=−14x2+4．
答：抛物线表达式为y=−14x2+4．
（2）设G（﹣t，3），则L（﹣t−34，3+34），
∴3+34=−14(−t−34)2+4，
解得t=14（负值舍去），
∴GM＝2t=12．
答：两个正方形装置的间距GM的长为12．
（3）取最右侧光线与抛物线切点为F，

设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴−2k+b=32k+b=0，
解得k=−34b=32，
∴直线AC的解析式为y=−34x+32，
∵FK∥AC，
设lFK：y=−34x+m，
∴y=−34x+my=−14x2+4，
得−14x2+34x+4−m=0，
∴Δ=(34)2−4×(−14)(4−m)=0，
解得m=7316，
∴直线FK的解析式为y=−34x+7316，
令y＝0，得x=7312，
∴BK=7312+2=9712．
答：BK的长为9712．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，三角函数的应用．
11．（2023•通辽）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+83x+c(a≠0) 与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4）．

（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD＝2，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，请直接写出四边形PECE'的周长．
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【专题】几何综合题；函数的综合应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）①设出点P坐标，作辅助线，求出PE，CE，根据tan∠CPD=CEPE=2，列出方程求出x的值即可；
②证明四边形PECE′是菱形，得出PE＝CE，分别表示出PE和CE，从而列出方程，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+83x+c(a≠0) 与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），
∴a+83+c=0c=−4，
解得a=43c=−4，
∴抛物线的解析式为y=43x2+83x−4．
答：抛物线的解析式为y=43x2+83x−4．
（2）①设P（x，43x2+83x−4），如图，过点C作CE⊥PD于E，

∴∠PEC＝∠CED＝90°，
∵C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵PD⊥x轴，
∴∠PDO＝90°，
∵∠DOC＝90°，
∴四边形DOCE是矩形，
∴DE＝OC＝4，OD＝CE＝﹣x，
∴PE=PD−DE=−(43x2+83x−4)−4=−43x2−83x，
∵tan∠CPD=CEPE=2，
∴−x−43x2−83x=2，
∴x1=−138，x2=0（舍去），
∴43x2+83x−4=−7716，
∴P（−138，−7716)．
②设P（m，43m2+83m−4），
对于y=43x2+83x−4，当y＝0时，43x2+83x−4=0，
解得x1＝1，x2＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
∵OC＝4，
∴BC=OB2+OC2=5，
当点P在第三象限时，如图，过点E作EF⊥y轴于F，

则四边形DEFO是矩形，
∴EF＝OD＝﹣m，
∵点E与点E′关于PC对称，
∴∠ECP＝∠E′CP，CE＝CE′，
∵PE∥y轴，
∴∠EPC＝∠PCE′，
∴PE＝CE，
∴PE＝CE′，
∴四边形PECE′是菱形，
∵EF∥OA，
∴△CEF∽△CBO，
∴CEBC=EFOB，
∴CE5=−m3，
∴CE=−53m，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴−3k+b=0b=−4，
解得k=−43b=−4，
∴直线BC的解析式为y=−43x﹣4，
∴E(m，−43m−4)，
∴PE=−(43m2+83m−4)+(−43m−4)=−43m2−123m，
∵CE=−53，PE=CE，
∴−43m2−123m=−53m，
解得m1=−74，m2=0（舍去），
∴CE=−54×(−74)=3516，
∴四边形PECE′的周长C＝4CE＝4×3516=354，
当点P在第二象限时，如图，

同理可得43m2+123m=−53m，
解得m1=−174，m2=0（舍去），
∴CE=−54×(−174)=8516，
∴四边形PECE′的周长C＝4CE＝4×8516=854，
综上，四边形PECE′的周长为354或854．
【点评】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量．
12．（2023•常德）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，tan∠ACO=15．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO＝∠PBC，求P点的坐标．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）依据AO＝1，tan∠ACO=15求得C点坐标，将点A、B、C的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式求解；
（2）过D作DN⊥AB于N，作DM⊥OC于M，将抛物线解析式整理成顶点式形式求出点D的坐标，列式计算即可得解；
（3）连接PB，过C作CE⊥BC交BP于E，过E作EF⊥OC于F，利用OC＝OB＝5，求得BC＝52，结合∠ACO＝∠PBC求得CE=2，△EFC是等腰直角三角形，得到E的坐标为（1，6），过B、E的直线的解析式为y=−32x+152，进而联立方程求得抛物线民直线BE的交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵AO＝1，tan∠ACO=15，
∴OC＝5，即C的坐标为（0，5），
∵二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点且过C的坐标（0，5），
设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，代入得：
0=a−b+c0=25a+5b+c5=c，
解得：a=−1b=4c=5，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5；

（2）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴顶点的坐标为（2，9），
过D作DN⊥AB于N，作DM⊥OC于M，

四边形ACDB的面积＝S△AOC+S矩形OMDN﹣S△CDM+S△DNB
=12×1×5+2×9−12×2×(9−5)+12×(5−2)×9=30；

（3）如图，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当∠ACO＝∠PBC时，
连接PB，过C作CE⊥BC交BP于E，过E作EF⊥OC于F，

∵OC＝OB＝5，则BC＝52，
∵∠ACO＝∠PBC，
∴tan∠ACO＝tan∠PBC，
即15=CECB=CE52，
∴CE=2，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴FC＝FE＝1，
∴E的坐标为（1，6），
所以过B、E的直线的解析式为y=−32x+152，
令y=−32x+152y=−(x+1)(x−5)，
解得x=5y=0，或x=12y=274，
所以BE直线与抛物线的两个交点为B(5，0)，P(12，274)，
即所求P的坐标为P(12，274)．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，正确的求解二次函数的解析式是解答本题的关键．
13．（2023•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，14a）的距离PF，始终等于它到定直线l：y=−14a的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y=−14a叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF=12a．例如，抛物线y＝2x2，其焦点坐标为F（0，18），准线方程为l：y=−18，其中 PF＝PN，FH＝2OF=14．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y=14x2的焦点坐标和准线l的方程：　（0，1）　，　y＝﹣1　；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线y=14x2上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线y=14x2的焦点为F，准线方程为l．直线m：y=12x﹣3交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）内有一定点F（h，k+14a），直线l过点M（h，k−14a）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y＝2（x﹣1）2+3上的动点P到点F（1，258）的距离等于点P到直线l：y=238的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
（4）如图4，点D（﹣1，32）是第二象限内一定点，点P是抛物线y=14x2﹣1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】函数的综合应用；推理能力．
【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；
（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得x02=8y02+2y0﹣1，然后根据y0=14x02，求出y0，进而可得x0，问题得解；
（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF＝d1+1，PE＝d2，根据两点之间线段最短可得当F，P，E三点共线时，d1+d2的值最小；待定系数法求直线PE的解析式，求得点P的坐标为（5−1，3−52），根据点E是直线PE和直线m的交点，求得点E的坐标为（4，﹣1），即可求得d1和d2的值，即可求得；
（4）根据题意求得抛物线y=14x2﹣1的焦点坐标为F（0，0），准线l的方程为y＝﹣2，过点P作准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF，则PO+PD＝PG+PD，根据两点之间线段最短可得当D，P，G三点共线时，PO+PD的值最小；求得（−12−34），即可求得的面积．
【解答】解：（1）∵抛物线y=14x2中a=14，
∴14a=1，−14a=−1，
∴抛物线y=14x2的焦点坐标为F（0，1），准线l的方程为y＝﹣1，
故答案为：（0，1），y＝﹣1；
（2）由（1）知抛物线y=14x2的焦点F的坐标为（0，1），
∵点P（x0，y0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
∴x02+(y0−1)2=3y0，整理得：x02=8y02+2y0﹣1，
又∵y0=14x02，
∴4y02=8y02+2y0﹣1，
解得：y0=12或y0=−14（舍去），
∴x0=2，
∴点P的坐标为（2，12）；
（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF＝d1+1，PE＝d2，如图：

若使得d1+d2取最小值，即PF+PE﹣1的值最小，故当F，P，E三点共线时，PF+PE﹣1＝EF﹣1，即此刻d1+d2的值最小；
∵直线PE与直线m垂直，故设直线PE的解析式为y=−12x+b，
将F（0，1）代入解得：b＝1，
∴直线PE的解析式为y=−12x+1，
∵点P是直线PE和抛物线y=14x2的交点，
令14x2=−12x+1，解得：x=5−1或x=−5−1（舍去），
故点P的坐标为（5−1，3−52），
∴d1=3−52，
∵点E是直线PE和直线m的交点，
令−12x+1=12x+3，解得：x＝4，
故点E的坐标为（4，﹣1），
∴d2=(4−5+1)2+(3−52+1)2=55−52，
∴d1+d2=3−52+55−52=25−1．
即d1+d2的最小值为25−1．
（4）∵抛物线y=14x2﹣1中a=14，
∴14a=1，−14a=−1，
∴抛物线y=14x2﹣1的焦点坐标为（0，0），准线l的方程为y＝﹣2，
过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF，则PO+PD＝PG+PD，如图：

若使得PO+PD取最小值，即PG+PD的值最小，故当D，P，G三点共线时，PO+PD＝PG+PD＝DG，即此刻PO+PD的值最小；如图：

∵点D的坐标为（1，32），DG⊥准线l，
∴点P的横坐标为﹣1，代入y=14x2﹣1解得y=−34，
即P（−12，−34），OP=32+34=94，
则△OPD的面积为12×94×1=98．
【点评】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．
14．（2023•长春）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+2（b是常数）经过点（2，2）．点A的坐标为（m，0），点B在该抛物线上，横坐标为1﹣m．其中m＜0．
（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
（2）当点B在x轴上时，求点A的坐标；
（3）该抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P，B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2﹣m时，求m的值；
（4）当点B在x轴上方时，过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC、BO．若四边形AOBC的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC的顶点），设这两个交点分别为点E、点F，线段BO的中点为D．当以点C、E、O、D（或以点C、F、O、D）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半时，直接写出所有满足条件的m的值．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；函数的综合应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）将点（2，2）代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解；
（2）当y＝0时，﹣x2+2x+2＝0，求得抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线上的点B在x轴上时，横坐标为1﹣m，其中m＜0，得出m=−3，即可求解；
（3）①如图所示，当1＜1−m＜1+3，即−3＜m＜0时，②当1−m≥1+3，即m≤−3时，③当1−3＜1−m＜1，即0＜m＜3时，④当1﹣m≤1−3，即m≥3，分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为2﹣m，建立方程，解方程即可求解；
（4）根据B在x轴的上方，得出−3＜m＜3，根据题意分三种情况讨论：①当E是AC的中点时，②当F为AO的中点时，③12S△AOC=S△CDF，根据题意分别得出方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）将点（2，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+2中，
得2＝﹣4+2b+2，
解得：b＝2，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+2 y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x+1）2+3，
∴顶点坐标为（﹣1，3）．
（2）由y＝﹣x2+2x+2，
当y＝0时，﹣x2+2x+2＝0，
解得：x1=1−3，x2=1+3，
∵抛物线上的点B在x轴上时，横坐标为1﹣m．其中m＜0．
∴1﹣m＞1，
∴1−m=1+3，
解得：m=−3，
∵点A的坐标为（m，0），
∴A(−3，0)．
（3）①如图所示，当1＜1−m＜1+3，即−3＜m＜0时，

抛物线在点P和点B之间的部分（包括P，B两点）的最高点为顶点，最低点为点P，
∵顶点坐标为（﹣1，3），P（1−3，0），
则纵坐标之差为3﹣0＝3，
根据题意，3＝2﹣m，
解得m＝﹣1；
②当1−m≥1+3，即m≤−3时，

∵B（1﹣m，﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+2），即B（1﹣m，﹣m2+3），
依题意，3﹣（﹣m2+3）＝2﹣m，
解得：m＝﹣2或m＝1（舍去）．
③当1−3＜1−m＜1，即0＜m＜3时，

则﹣m2+3＝2﹣m，
解得m=5+12或m=1−52（舍去）；
④当1﹣m≤1−3，即m≥3，

则0﹣（﹣m2+3）＝2﹣m，
解得m=−21−12 （舍去）或m=21−12，
综上所述，m＝﹣1或m＝﹣2或m=5+12 或m=21−12．
（4）如图所示，

∵B在x轴的上方，
∴1−3＜1−m＜1+3，
∴−3＜m＜3，
∵以点C、E、O、D为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半，线段BO的中点为D，
∴S△BCD＝S△COD，
∵S四边形AOBC＝S△AOC+S△BOC，S△BOC＝S△BCD+S△COD，
①当E是AC的中点，如图，

则S四边形AOBC＝S四边形CEOD，
∴E(m2，−m2+32)，代入 y＝﹣x2+2x+2，
即−m2+32=−(m2)2+2×m2+2，
解得m=−2−2 （舍去）或m=−2+2；
②同理当F为AO的中点时，如图所示，

S△ACF＝S△CFO，S△BCD＝S△COD，则点C、F、O、D为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半，
∴m2=1−3，
解得m=2−23；
③如图所示，

设S△BOC＝S，
则S△DBC=12S，
∵以点C、E、O、D为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半，线段BO的中点为D，
∴12S+S△CDF=S△FDB+S△AOC，
即12S+S△CDF=12S−S△CDF+S△AOC，
∴12S△AOC=S△CDF，
∴CF＝AO，
∴F（﹣m，﹣m2+3），
∵B，F关于x＝1对称，
∴−m+1−m2=1，
解得：m=−12．
综上所述，m=−2+2或m=2−23或m=−12．
【点评】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．（2023•内蒙古）随着科技的发展，扫地机器人（图1）已广泛应用于生活中．某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．设该产品2022年第x（x为整数）个月每台的销售价格为y（单位：元），y与x的函数关系如图2所示（图中ABC为一折线）．

（1）当1≤x≤10时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；
（2）设该产品2022年第x个月的销售数量为m（单位：万台），m与x的关系可以用m=110x+1来描述、求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入＝每台的销售价格×销售数量）
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】数形结合；分类讨论；待定系数法；一次函数及其应用；二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据销售收入＝每台的销售价格×销售数量，可求得销售收入w（万元）与销售月份x之间的函数关系，再利用函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）当1≤x≤10时，设每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
∵图象过A（1，2850），B（10，1500）两点，
∴k+b=285010k+b=1500，
解得k=−150b=3000，
∴当1≤x≤10时，每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y＝﹣150x+3000；
（2）设销售收入为w万元，
①当1≤x≤10时，w=(−150x+30000(110x+1)=−15(x−5)2+3375，
∵﹣15＜0，
∴当x＝5时，w最大＝3375 （万元）；
②当10＜x≤12时，w＝1500（110x+1）＝150x+1500，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝12时，w最大＝150×12+1500＝3300 （万元）；
∵3375＞3300，
∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元．
【点评】本题考查一次函数、二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法，二次函数的性质是解题的关键．
16．（2023•湖北）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：

时间：第x（天）
1≤x≤30
31≤x≤60
日销售价（元/件）
0.5x+35
50
日销售量（件）
124﹣2x
（1≤x≤60，x为整数）
设该商品的日销售利润为w元．
（1）直接写出w与x的函数关系式 　w=−x2+52x+620(1≤x≤30)−40x+2480(31≤x≤60)　；
（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）分1≤x≤30和31≤x≤60两种情况利用“利润＝每千克的利润×销售量”列出函数关系式；
（2）根据（1）解析式，由函数的性质分别求出1≤x≤30的函数最大值和31≤x≤60的函数最大值，比较得出结果．
【解答】解：（1）当1≤x≤30时，
w＝（0.5x+35﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620，
当31≤x≤60时，
w＝（50﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣40x+2480，
∴w与x的函数关系式w=−x2+52x+620(1≤x≤30)−40x+2480(31≤x≤60)，
故答案为：w=−x2+52x+620(1≤x≤30)−40x+2480(31≤x≤60)；
（2）当1≤x≤30时，
w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296，
∵﹣1＜0，
∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296；
当31≤x≤60时，w＝﹣40x+2480，
∵﹣40＜0，
∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240，
∵1296＞1240，
∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是弄清数量关系，列出函数表达式．
17．（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+3x+1交y轴于点A，直线y=−13x+2交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），交y轴于点D，交x轴于点E．
（1）求点D，E，C的坐标；
（2）F是线段OE上一点（OF＜EF），连接AF，DF，CF，且AF2+EF2＝21．
①求证：△DFC是直角三角形；
②∠DFC的平分线FK交线段DC于点K，P是直线BC上方抛物线上一动点，当3tan∠PFK＝1时，求点P的坐标．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；函数的综合应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；
（2）①设 F（m，0），然后利用勾股定理求解，m＝2，过点C作CG⊥x 轴，垂足为G．再由等腰三角形及各角之间的关系即可证明；
②根据题意得出tan∠PFK=13，设点P的坐标为（t，﹣t2+3t+1），根据题意得13＜t＜3．分两种情况分析：（i）当点P在直线KF的左侧抛物线上时，tan∠P1FK=13，13＜t＜2．（ii）当点P在直线KF的右侧抛物线上时，tan∠P2FK=13，2＜t＜3，求解即可．
【解答】（1）解：∵直线y=−13x+2交y轴于点D，交x轴于点E，
当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
当y＝0时，x＝6，
∴E（6，0），
∵直线y=−13x+2交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），
∴﹣x2+3x+1=−13x+2，
∴3x2﹣10x+3＝0，
解得x1=13，x2=3，
∵点B在点C的左侧，
∴点C的横坐标为3，当x＝3时，y＝1，
∴C（3，1），
答：C（3，1），D（0，2），E（6，0）．
（2）如图，

①证明：∵抛物线y＝﹣x2+3x+1交y轴于点A，
当x＝0时，y＝1，
∴A（0，1），
∴OA＝1，
在Rt△AOF中，∠AOF＝90°，
∴AF2＝OA2+OF2，
设F（m，0），
∴OF＝m，
∴AF2＝1+m2，
∵E（6，0），
∴OE＝6，
∴EF＝OE﹣OF＝6﹣m，
∵AF2+EF2＝21，
∴1+m2+（6﹣m）2＝21，
∴m1＝2，m2＝4，
∵OF＜EF，
∴m＝2，
∴OF＝2，
∴F（2，0），
∵D（0，2），
∴OD＝2，
∴OD＝OF，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴∠OFD＝45°，
过点C作CG⊥x轴于G，
∵C（3，1），
∴CG＝1，OG＝3，
∵GF＝OG﹣OF＝1，
∴CG＝GF，
∴△CGF是等腰直角三角形，
∴∠GFC＝45°，
∴∠DFC＝90°，
∴△DFC是直角三角形．
②解：∵FK平分∠DFC，∠DFC＝90°，
∴∠DEK＝∠CFK＝45°，
∴∠OFK＝∠OFD+∠DFK＝90°，
∴FK∥y轴，
∵3tan∠PFK＝1，
∴tan∠PFK=13，
设点P的坐标为（t，﹣t2+3t+1），根据题意得13＜t＜3．
（i）当点P在直线KF的左侧抛物线上时，tan∠P1FK=13，13＜t＜2．
过点P1作P1H⊥x轴于H，
∴P1H∥KF，
∴∠HP1F＝∠P1FK，
∴tan∠HP1F=13，
∵HF＝OF﹣OH，
∴HF＝2﹣t，
在Rt△P1HF中，∵tan∠HP1F=HFP1H=13，
∴P1H＝3HF，
∵P1H=−t2+3t+1，
∴﹣t2+3t+1＝3（2﹣t），
∴t2﹣6t+5＝0，
∴t1＝1，t2＝5（舍去），
当t＝1时，﹣t2+3t+1＝3，
∴P1（1，3）．
（ii）当点P在直线KF的右侧抛物线上时，tan∠P2FK=13，2＜t＜3，
过点P2作P2M⊥x轴于M，
∴P2M∥KF，
∴∠MP2F＝∠P2FK，
∴tan∠MP2F=MFP2M=13，
∴P2M＝3MF，
∵P2M=−t2+3t+1，
∴﹣t2+3t+1＝3（t﹣2），
∴t3=7，t4=−7（舍去），
当t=7时，−t2+3t+1=37−6，
∴P2(7，37−6)．
∴点P的坐标为（1，3）或（7，37−6）．
【点评】本题主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
18．（2023•湖北）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接BC．
（1）抛物线的解析式为 　y=12x2−2x−6　；（直接写出结果）
（2）在图1中，连接AC并延长交BD的延长线于点E，求∠CEB的度数；
（3）如图2，若动直线l与抛物线交于M，N两点（直线l与BC不重合），连接CN，BM，直线CN与BM交于点P．当MN∥BC时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；函数的综合应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）求出直线AC，BD的解析式，联立得出点E的坐标，根据题意，作辅助线，得出ACAB=ABAE，证明△ABC∽△AEB，根据相似三角形的性质即可求解．
（3）设点M，点N的坐标，求出直线BC、CN、BM的解析式，联立即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），
∴4a−2b−6=036a+6b−6=0，
解得a=12b=−2，
∴抛物线解析式为y=12x2−2x−6．
故答案为：y=12x2−2x−6．
（2）∵A（﹣2，0），C（0，﹣6），
设直线AC的解析式为y＝k1x+b1，
∴−2k1+b1=0b1=−6，
解得k1=−3b1=−6，
∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣6，
同理，由点D（2，﹣8），B（6，0），可得直线BD的解析式为y＝2x﹣12，
零﹣3x﹣6＝2x﹣12，
解得x=65，
∴点E的坐标为（65，−485），
由题意可得，OA＝2，OB＝OC＝6，AB＝8，
∴AC=OA2+OC2=22+62=210，
如图，过点E作EF⊥x轴于点F，

∴AE=AF2+EF2=(2+65)2+(485)2=16105，
∴ACAB=104，ABAE=816105=104，
∴ACAB=ABAE，
∵∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB，
∴∠ABC＝∠AEB，
∵OB＝OC，∠COB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵∠AEB＝45°，
∴∠CEB＝45°，
答：∠CEB的度数为45°．
（3）设点M的坐标为（m，12m2−2m−6），点N的坐标为（n，12n2−2n−6），
∵直线MN与BC不重合，
∴m≠0且m≠6，n≠0且n≠6，
如图，

由点B（6，0），点C（0，﹣6），可得直线BC的解析式为y＝x﹣6，
∵MN∥BC，
设直线MN的解析式为y＝x+t，
∴x+t=12x2−3x−6，
∴12x2−3x−6−t=0
∴m+n＝6
∴点N的坐标可以表示为（6﹣m，12m2−4m），
设直线CN的解析式为y＝k2x+b2，
∴0+b2=−6(6−m)k2+b2=12m2−4m，
解得k2=−12m+1b2=−6，
∴直线CN的解析式为y=(−12m+1)x−6，
同上，可得直线BM的解析式为y=(12m+1)x−3m−6，
∴(−12m+1)x−6=(12m+1)x−3m−6，
∴mx＝3m，
∴x＝3，
∴点P的横坐标为定值3．
【点评】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．（2023•张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）．点D为线段BC上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求△AOD周长的最小值；
（3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．

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【专题】函数的综合应用；应用意识．
【分析】（1）由题意可知，设抛物线的表达式为y＝a（x+2）（x﹣6），再将（0，6）代入求出a即可；
（2）根据题意先求出点O关于直线BC的对称点E的坐标，再连接AE，交BC于点D，此时|DO|+|DA|最小；
（3）先用待定系数法求出直线BC，AC的解析式，再根据PD∥AC，设直线PD表达式为y＝3x+a，再设P（m，−12m2+2m+6），将P点坐标代入直线PD的表达式得a=−12m2﹣m+6，然后解方程组求出D的坐标，再根据S＝S△PAB+S△PAD＝S△PAB﹣S△DAB得出S关于m的二次函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）由题意可知，设抛物线的表达式为y＝a（x+2）（x﹣6），
将（0，6）代入上式得：6＝a（0+2）（0﹣6），
解得a=−12，
∴抛物线的表达式为y=−12（x+2）（x﹣6）=−12x2+2x+6；
（2）作点O关于直线BC的对称点E，连接EC、EB，

∵B（6，0），C（0，6），∠BOC＝90°，
∴OB＝OC＝6，
∵O、E关于直线BC对称，
∴四边形OBEC为正方形，
∴E（6，6），
连接AE，交BC于点D，由对称性|DE|＝|DO|，
此时|DO|+|DA|有最小值为AE的长，
∴AE=AB2+BE2=82+62=10，
∵△AOD 的周长为DA+DO+AO，AO＝2，DA+DO的最小值为10，
∴△AOD的周长的最小值为10+2＝12，
（3）由已知点A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），

设直线BC的表达式为 y＝kx+b，
将B（6，0），C（0，6）代入y＝kx+b 中，
则6k+b=0b=6，
解得k=−1b=6，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+6，
同理可得：直线AC的表达式为y＝3x+6，
∵PD∥AC，
∴可设直线PD表达式为y＝3x+a，
由（1）设P（m，−12m2+2m+6），
将P点坐标代入直线PD的表达式得a=−12m2﹣m+6，
∴直线PD的表达式为：y=3x−12m2−m+6，
由y=−x+6y=3x−12m2−m+6，
得x=18m2+14my=−18m2−14m+6，
∴D（18m2+14m，−18m2−14m+6），
∵P，D都在第一象限，
∴S＝S△PAB+S△PAD＝S△PAB﹣S△DAB
=12|AB|[（−12m2+2m+6）﹣（−18m2−14m+6）
=12×8×（−38m2+94m）
=−32m2+9n
=−32（m2﹣6m）
=−32（m﹣3）2+272，
∵−32＜0，
∴当 m＝3 时，S有最大值，最大值为272，
此时P点为 (3，152)．
【点评】本题重点考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，点的对称性，二次函数的性质等知识，会用抛物线及一次函数上的点坐标来表示线段的长度是解决第三问的关键．
20．（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．

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【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点C的坐标（2，﹣4）代入计算可得；
（2）由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，据此知AB＝10﹣2t，再由x＝t时BC=14t2−52t，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；
（3）连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ，根据直线GH平分矩形ABCD的面积，得到直线GH过点P，由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，根据平行四边形的性质得到PQ＝CH，根据矩形的性质得到点P是AC的中点，求得PQ=12OA，于是得到结论．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax（x﹣10），
∵当t＝2时，BC＝4，
∴点C的坐标为（2，﹣4），
∴将点C坐标代入解析式得2a（2﹣10）＝﹣4，
解得：a=14，
∴抛物线的函数表达式为y=14x2−52x；

（2）由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，
∴AB＝10﹣2t，
当x＝t时，点C的纵坐标为14t2−52t，
∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）
＝2[（10﹣2t）+（−14t2+52t）]
=−12t2+t+20
=−12（t﹣1）2+412，
∵−12＜0，
∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为412；

（3）如图，连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ，

∵t＝2，
∴B（2，0），
∴A（8，0），
∵BC＝4．
∴C（2，﹣4），
∵直线GH平分矩形ABCD的面积，
∴直线GH过点P，
由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，
∴PQ＝CH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴点P是AC的中点，
∴P（5，﹣2），
∴PQ=12OA，
∵OA＝8，CH＝PQ=12OA＝4，
∴抛物线向右平移的距离是4个单位
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点．
21．（2023•长沙）我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足a2−c1+（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数y1＝2x2+kx+3与y2＝mx2+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数．
①求函数y2的图象的对称轴；
②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1＝ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F．当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
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【专题】几何综合题；函数的综合应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据题意得到a2＝c2，a1＝c2，b1＝﹣b2≠0，即可求解．
（2）①求出y1的对称轴，得到s＝﹣3r，表示出y2的解析式，即可求解．
②y2=−3rx2−2rx+1=−(3x2+2x)r+1，令3x2+2x＝0，求解即可．
（3）由题意可知y1=ax2+bx+c，y2=cx2−bx+a，得到A，B的坐标，表示出CD，EF，根据CD＝EF且b2﹣4ac＞0，得到|a|＝|c|，分情况讨论：1°若a＝﹣c时，2°若a＝c时，求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，a2＝c2，a1＝c2，b1＝﹣b2≠0，
∴m＝3，n＝2，k＝﹣1．
答：k的值为﹣1，m的值为3，n的值为2．
（2）①∵点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，
∴对称轴为x=r+s2=−2r2，
∴s＝﹣3r，
∴y2=sx2−2rx+1，
∴对称轴为x=−−2r2s=rs=−13．
答：函数y2的图象的对称轴为x=−13．
②y2=−3rx2−2rx+1=−(3x2+2x)r+1，
令3x2+2x＝0，
解得x1=0，x2=−23，
∴过定点（0，1），（−23，1）．
答：函数y2的图象过定点（0，1），（−23，1）．
（3）由题意可知y1=ax2+bx+c，y2=cx2−bx+a，
∴A(−b2a，4ac−b24a)，B(b2c，4ac−b24c)，
∴CD=b2−4ac|a|，EF=b2−4ac|c|，
∵CD＝EF且b2﹣4ac＞0，
∴|a|＝|c|．
1°若a＝﹣c，则y1=ax2+bx−a，y2=−ax2−bx+a，
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，
则△CAD，△CBD为等腰直角三角形，
∴CD＝2|yA|，
∴b2+4a2|a|=2⋅|−4a2−b24a|，
∴2b2+4a2=b2+4a2，
∴b2+4a2＝4，
∴S正=12CD2=12⋅b2−4aca2=12⋅b2+4a2a2=2a2，
∵b2＝4﹣4a2＞0，
∴0＜a2＜1，
∴S正＞2，

2°若a＝c，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，当a＝﹣c时，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时S＞2．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
22．（2023•无锡）已知二次函数y=22（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，2）和点C（﹣1，2）．
（1）请直接写出b，c的值；
（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y=22（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．
①求EF的最大值；
②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．
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【专题】几何综合题；函数的综合应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）①作辅助线，利用三角函数求得EF=63EG，易得直线AB的解析式为y=22x−2，设E（m，22m2−322m−2），则G（m，22m−2），表示出EG，利用配方法即可求解．
②作图，利用三角函数求出tan（2∠ABC）＝22，构造△AMF∽△FNE，相似比为AF：EF，设AM=2a，MF＝2a，1°当∠FAE＝2∠ABC时，tan∠FAE=22，根据相似比求解即可，2°当∠FEA＝2∠ABC时，tan∠FAE=22，根据相似比求解即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y=22（x2+bx+c）的图象经过点B（4，2）和点C（﹣1，2），
∴22×(16+4b+c)=222×(1−b+c)=2，
解得b＝﹣3，c＝﹣2，
∴二次函数解析式为y=22（x2﹣3x﹣2）．
答：b的值为﹣3，c的值为﹣2．
（2）①如图1，过点E作y轴平行线分别交AB、BD于G、H，
∵y=22（x2﹣3x﹣2），
∴A（0，−2），
∴AD＝22，BD＝4，
∴AB＝26，
∴cos∠ABD=63，
∴cos∠FEG=63，
∴EFEG=63，
∴EF=63EG，
∵A（0，−2），B（4，2）
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴4k+b=2b=−2，
解得k=22b=−2
∴直线AB的解析式为y=22x−2，
设E（m，22m2−322m−2），则G（m，22m−2），
∴EG=−22m2+22m=−22(m−2)2+22，
∴当m＝2时，EG取得最大值22，
∴EF的最大值为63×22=433．
答：EF的最大值为433．
②如图2，已知tan∠ABC=22，令AC＝2，AB＝2，在BC上截取AD＝BD，
∴∠ADC＝2∠ABC，
设CD＝x，则AD＝BD＝2﹣x，
则x2+(2)2=(2−x)2，
解得x=12，
∴tan∠ADC=22，即tan（2∠ABC）＝22，
如图3，构造△AMF∽△FNE，相似比为AF：EF，
∵tan∠MFA＝tan∠CBA＝tan∠FEN=22，
设AM=2a，MF＝2a，
1°当∠FAE＝2∠ABC时，tan∠FAE=22，
∴AF：EF=1：22，
∴FN=22AM=4a，NE=22MF=42a，
∴E（6a，−2−32a），
代入抛物线得a1=13，a2=0（舍去），
∴E点的横坐标为6a＝2，
2°当∠FEA＝2∠ABC时，tan∠FAE=22，
∴AF：EF=22：1，
∴FN=AM22=12a，NE=MF22=22a，
∴E(52a，−2+22a)，
代入抛物线得a1=3425，a2=0（舍去），
∴E点的横坐标为52a=175，
综上，点E的横坐标为2或175．

【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题．
23．（2023•菏泽）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？

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【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）设垂直于墙的边为x米，根据矩形面积公式得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，由二次函数性质可得答案；
（2）设购买牡丹m株，根据学校计划购买费用不超过5万元，列不等式可解得答案．
【解答】解：（1）设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为（120﹣3x）米，
根据题意得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，
∵﹣3＜0，
∴当x＝20时，S取最大值1200，
∴120﹣3x＝120﹣3×20＝60，
∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；
（2）设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2﹣m＝（2400﹣m）株，
∵学校计划购买费用不超过5万元，
∴25m+15（2400﹣m）≤50000，
解得m≤1400，
∴最多可以购买1400株牡丹．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
24．（2023•菏泽）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），其对称轴为x=−32．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
（3）如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG+2FP的最大值．

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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由题易得c的值，再根据对称轴求出b的值，即可解答；
（2）过B′作x轴的垂线，垂足为H求出A和B的坐标，得到 AB'＝AB＝5 AH=52，由 AB'＝AB＝5＝2AH，推出 ∠DAB=12∠B′AB=30°，解直角三角形得到OD的长，即可解答；
（3）求得BC所在直线的解析式为 y1＝﹣4x+4，设 P（m，﹣m2﹣3m+4），设PE所在直线的解析式为：y2＝﹣x+b2，得 y2=−x−m2−2m+4，令 y1＝y2，解得 x=m2+2m3，分别表示出FG和 2PF，再 对 FG+2FP 进行化简计算，配方成顶点式即可求解．
【解答】解：（1）抛物线与y轴交于点C（0，4），
∴c＝4，
∵对称轴为 x=−32，
∴−b−2=−32，b＝﹣3，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣3x+4；

（2）如图，过 B'作x轴的垂线，垂足为H，

令﹣x2﹣3x+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣4）＝5，
由翻折可得AB′＝AB＝5，
∵对称轴为 x=−32，
∴AH=−32−(−4)=52，
∴AB'＝AB＝5＝2AH，
∴∠AB'H＝30°，∠B'AB＝60°，
∴∠DAB=12∠B′AB=30°，
在Rt△AOD中，OD=OAtan30°=433，
∴D(0，433)；

（3）设BC所在直线的解析式为 y1＝k1x+b1，
把B、C坐标代入得：k1+b1=0b1=4，
解得：k1=−4b1=4，
∴y1＝﹣4x+4，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝45°，
∵∠AEB＝90°，
∴直线PE与x轴所成夹角为 45°，
设 P（m，﹣m2﹣3m+4），
设PE所在直线的解析式为：y2＝﹣x+b2，
把点P代入得 b2=−m2−2m+4，
∴y2=−x−m2−2m+4，
令 y1＝y2，则﹣4x+4＝﹣x﹣m2﹣2m+4，
解得 x=m2+2m3，
∴FG=yr=−4(m2+2m)3+4，
2PF=2xF−x2cos45°=2⋅2⋅(xr−xp)=23(m2−m)，
∴FG+2FP=FG=−4(m2+2m)3+4+2(m2−m)3=−23(m+52)2+496，
∵点P在直线AC上方，
∴﹣4＜m＜0，
∴当m=−52时，FG+2FP的最大值为496．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合问题，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
25．（2023•武汉）抛物线C1：y=x2−2x−8交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；
（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
​
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】（1）分别令x、y为0，解方程即可求得点A、B、C的坐标；
（2）分两种情况：①若△BE1D1∽△CE1F1 时，可得∠BCF1＝∠CBO，由平行线的判定可得CF1∥OB，即CF1∥x轴，点F与C的纵坐标相同，建立方程求解即可．②若△BE2D2∽△F2E2C 时，过 F2 作F2T⊥y轴于点T．可证得△BCO∽△CF2T，F2TCO=CTBO，即t8=2t−t24，解方程即可求得答案；
（3）由题意知抛物线C2：y＝x2，联立方程求解即可得G（2，4）．根据中点坐标公式可得H（1，2）．设 M（m，m2），N（n，n2），可得直线MN的解析式为y＝（m+n）x﹣mn．将点H的坐标代入可得mn＝m+n﹣2．同理，直线GN的解析式为y＝（n+2）x﹣2n；直线MO的解析式为y＝mx．联立方程组求解可得P（2nn−m+2，2m+2n−4n−m+2）．代入y＝kx+b，整理得2m+2n﹣4＝2kn+bn﹣bm+2b＝﹣bm+（2k+b）n+2b，比较系数可得k＝2，b＝﹣2，故点P在定直线y＝2x﹣2上．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
当x＝0时，y＝﹣8，
∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）．
（2）∵F是直线x＝t与抛物线 C1的交点，
∴F（t，t2﹣2t﹣8）．
①如图，若△BE1D1∽△CE1F1时．
则∠BCF1＝∠CBO，
∴CF1∥OB．
∵C（0，﹣8），
∴t2﹣2t﹣8＝﹣8．
解得，t＝0（舍去）或t＝2．

②如图，若△BE2D2∽△F2E2C时．
过 F2 作F2T⊥y轴于点T．
∵∠BCF2＝∠BD2E2＝90°，
∴∠CBO+∠BCO＝90°，∠F2CT+∠BCO＝90°，
∴∠F2CT＝∠OBC，
又∵∠CTF2＝∠BOC，
∴△BCO∽△CF2T，
∴F2TCO=CTBO，
∵B（4，0），C（0，﹣8），
∴OB＝4，OC＝8．
∵F2T＝t，CT＝﹣8﹣（t2﹣2t﹣8）＝2t﹣t2，
∴t8=2t−t24，
∴2t2﹣3t＝0，
解得：t＝0（舍去）或 t=32，
综上，符合题意的t的值为2或32；
（3）点P在一条定直线上．
由题意知抛物线C2：y＝x2，
∵直线OG的解析式为y＝2x，
∴G（2，4）．
∵H是OG的中点，
∴H（1，2）．
设 M（m，m2），N（n，n2），直线MN的解析式为y＝k1x+b1．
则nk1+b1=n2mk1+b1=m2，
解得：k1=m+nb1=−mn，
∴直线MN的解析式为y＝（m+n）x﹣mn．
∵直线MN经过点H（1，2），
∴mn＝m+n﹣2．
同理，直线GN的解析式为y＝（n+2）x﹣2n；直线MO的解析式为y＝mx．

联立，得y=(n+2)x−2ny=mx，
∵直线OM与NG相交于点P，
∴n﹣m+2≠0．
解得：x=2nn−m+2y=2mnn−m+2，
∵mn＝m+n﹣2，
∴P（2nn−m+2，2m+2n−4n−m+2）．
设点P在直线y＝kx+b上，则 2m+2n−4n−m+2=k⋅2nn−m+2+b，
整理得，2m+2n﹣4＝2kn+bn﹣bm+2b＝﹣bm+（2k+b）n+2b，
比较系数，得2=−b2=2k+b，
∴k＝2，b＝﹣2．
∴当k＝2，b＝﹣2时，无论m，n为何值时，等式2m+2n−4n−m+2=k⋅2nn−m+2+b恒成立．
∴点P在定直线y＝2x﹣2上．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，相似三角形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，运用分类讨论思想思考解决问题．
26．（2023•齐齐哈尔）综合与探究：
如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c上的点A，C坐标分别为（0，2），（4，0），抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2，连接AC，CM．
（1）求点M的坐标及抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当S△PAC＝S△ACM时，求点P的坐标；
（3）点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点Q的坐标；
（4）将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，在抛物线平移过程中，当 MA'+MC'的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 　（−1112，8116）　，MA′+MC′的最小值为 　213　．
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【专题】函数的综合应用；运算能力．
【分析】（1）根据点M在y轴负半轴且OM＝2可得点M的坐标为M（0，﹣2），利用待定系数法可得抛物 线的解析式为 y=−x2+72x+2；
（2）过点P作 PF⊥x 轴于点F，交线段AC于点E，用待定系数法求得直线AC的解析式为 y=−12x+2 设点P的横坐标为p（0＜p＜4），则 P(p，−p2+72p+2)，E(p，−12p+2)，故PE＝﹣p2+4p（0＜p＜4），先求得S△ACM＝8，从而得到S△PAC=12PE×OC＝﹣2p2+8p＝8，解出p的值，从而得出点P的坐标；
（3）由∠COM＝90°可知，要使点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，则以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，从而分∠CQN＝90°和∠QCN＝90°两种情况讨论，①当∠CQN＝90°，可推导B与点Q重合，△CQN∽△COM，即此时符合题意，利用求抛物线与x轴交点的方法可求出点Q的坐标；②当∠QCN＝90°时，可推导△QCN∽△COM，即此时符合题意，再证明△QDC∽△COM，从而得到QD＝2DC，再设点Q的横坐标为q，则Q（q，﹣q2+72q+2），D（q，0），从而得到﹣q2+72q+2＝2（3﹣q），解得q的值，从而得到点C的坐标，最后综合①②即可；
（4）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M右平移m个单位长度得到点M，由平移的性质可知，MA＝M'A，MC'＝M'C，MA'+MC'的值最小就是M'A+M'C最小值，作出点C关于直线y＝﹣2对称的对称点C″，连接AC″交直线y＝﹣2于点M'，连接M'C，则此时M'A+M'C取得最小值，即为AC″的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线AC″的解析式，从而确定M'的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．
【解答】（1）解：∵点M在y轴负半轴且OM＝2，
∴M（0，﹣2），
将A（0，2），C（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得
c=2−16+4b+c=0，
解得 b=72c=2，
∴抛物线的解析式为y=−x2+72x+2；
（2）解：过点P作PF⊥x轴于点F，交线段AC于点E，

设直线AC的解析式为y＝kx+m（k≠0），
将A（0，2），C（4，0）代入y＝kx+m，得
m=24k+m=0，
解得 k=−12m=2，
∴直线AC的解析式为y=−12x+2；
设点P的横坐标为p（0＜p＜4），
则 P(p，−p2+72p+2)，E(p，−12p+2)，
∴PE=−p2+72p+2−(−12p+2)=−p2+4p(0＜p＜4)，
∵S△ACM＝8，S△PAC=12PE×OC＝﹣2p2+8p＝8，
解得p1＝p2＝2，
∴P（2，5）；
（3）∵在△COM中，∠COM＝90°，以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，
∴以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，
又∵QD⊥x轴，直线QD交直线CM于点N，
∴∠CNQ≠90°，即点N不与点O是对应点，
故分为∠CQN＝90°和∠QCN＝90°两种情况讨论：
①当∠CQN＝90°时，由于QN⊥x轴，
∴CQ⊥y轴，即CQ在x轴上，
又∵点Q在抛物线上，
∴此时点B与点Q重合，
作出图形如下：

此时∠CQN＝∠COM＝90°，
又∵∠QCN＝∠OCM，
∴△CQN∽△COM，即此时符合题意，
令y＝﹣x2+72x+2＝0，
解得：x1=−12，x2＝3（舍去），
∴点Q的坐标，也即点B的坐标是Q1（−12，0）；
②当∠QCN＝90°时，作图如下：

∵QD⊥x轴，∠COM＝90°，
∴QD∥OM，
∴∠CNQ＝∠OMC，
∵∠CNQ＝∠OMC，∠QCN＝∠COM＝90°，
∴△QCN∽△COM，即此时符合题意，
∵QCN∽△COM，
∴∠CQN＝∠OCM，即∠DQC＝∠OCM，
∵DQC＝∠OCM，∠QDC＝∠COM，
∴△QDC∽△COM，
∴QDDC=COOM=42=2，QD＝2DC，
设点Q的横坐标为q，则Q（q，﹣q2+72q+2），D（q，0），
∴QD＝﹣q2+72q+2，CD＝3﹣q，
﹣q2+72q+2＝2（3﹣q），
解得：q1=32，q2＝3（舍去），
∴点Q的坐标是Q2（32，5），
综比所述：点Q的坐标是Q1(32，5)，Q2(−12，0)；
（4）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，
将点M向右平移m个单位长度得到点M'，作出图形如下：

由平移的性质可知，MA'＝M'A，MC'＝M'C，
∴MA'+MC'的值最小就是M'A+M'C最小值，
显然点M'在直线y＝﹣2上运动，
作出点C关于直线y＝﹣2对称的对称点C″，连接AC″交直线y＝﹣2于点M'，连接M'C，则此时M'A+M'C取得最小值，即为AC″的长度，

∵点C关于直线y＝﹣2对称的对称的点是点C″，C（4，0），
∴C″（4，﹣4），
∴（MA'+MC'）min＝（M'A+M'C）min＝AC″=(4−0)2+(−4−2)2=213，
设直线AC“的解析式是：y＝k1x+b1，
将点A（0，2），C″（4，﹣4）代入得：b1=24k1+b1=−4，
解得：k1=−32b1=2，
∴直线AC″的解析式是：y=−32x+2，
令y=−32x+2＝﹣2，解得：x=83，
∴M'＝（83，﹣2），
∴平移的距离是m=83，
又∵y＝﹣q2+72q+2＝﹣（x−74）2+8116，
∴平移前的抛物线的顶点坐标是（74，8116），
∴新抛物线的顶点坐标为（74−83，8116）即（−1112，8116），
故答案是：（−1112，8116），213．
【点评】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数 相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转 思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的 论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M向反 方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决．
27．（2023•兰州）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．

【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）用待定系数法可得函数解析式；
（2）结合（1），令y＝0解得x的值即可．
【解答】解：（1）根据题意可得，抛物线过（0，10）和（3，7），对称轴为直线x＝1，
设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c，
∴c=109a+3b+c=7−b2a=1，
解得：a=−1b=2c=10，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+2x+10；
（2）在y＝﹣x2+2x+10中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+10，
解得x=11+1或x=−11+1（舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（11+1）米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学问题解决．
28．（2023•河南）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离 OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2．
（1）求点P的坐标和a的值；
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．

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【专题】一次函数及其应用；二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0可解得点P的坐标为（0，2.8）；把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得a的值是﹣0.4；
（2）在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0可得x＝﹣22+1（舍去）或x＝22+1≈3.82，由|7﹣5|＞|3.82﹣5|，即可得到答案．
【解答】解：（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0得y＝2.8，
∴点P的坐标为（0，2.8）；
把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得：a+3.2＝2.8，
解得：a＝﹣0.4，
∴a的值是﹣0.4；
（2）∵OA＝3m，CA＝2m，
∴OC＝5m，
∴C（5，0），
在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，
在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0得x＝﹣22+1（舍去）或x＝22+1≈3.82，
∵|7﹣5|＞|3.82﹣5|，
∴选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近．
【点评】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数解析式，掌握函数图象上点坐标的特征．
29．（2023•济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若0＜m＜32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？
（3）若m＜32，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
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【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）结合平行四边形的性质，通过求直线MN的函数解析式，列方程求解；
（3）根据 MN＝2ME，确定E点坐标，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
【解答】解：（1）在直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，
∴点B（4，0），点C（0，4），
设抛物线的解析式为 y=a(x−32)2+k，
把点B（4，0），点C（0，4）代入可得：
a(4−32)2+k=0a(0−32)2+k=4，
解得：a=−1k=254，
∴抛物线的解析式为 y=−(x−32)2+254=−x2+3x+4；
（2）由题意，P（m，﹣m2+3m+4），
∴PN＝﹣m2+3m+4，
当四边形CDNP是平行四边形时，PN＝CD，
∴OD＝﹣m2+3m+4﹣4＝﹣m2+3m，
∴D（0，m2﹣3m） N（m，0），
设直线MN的解析式为 y=k1x+m2−3m，
把 N（m，0）代入可得 k1m+m2−3m=0，
解得：k1＝3﹣m，
∴直线MN的解析式为 y＝（3﹣m）x+m2﹣3m，
又∵过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，且抛物线对称轴为 x=32，
∴M(3−m−−m2+3m+4)，
∴（3﹣m）2+m2﹣3m＝﹣m2+3m+4，
解得m1=6+213 （不合题意，舍去），m2=6−213；
∴当m为6−213时，四边形CDNP是平行四边形；
（3）存在，理由如下：
∵对称轴为x=32，
设P点坐标为（m，﹣m2+3m+4），
∴m点横坐标为：32×2﹣m＝3﹣m，
∴N（m，0），M（3﹣m，﹣m2+3m+4），
∵MN＝2ME，即E是MN的中点，点E在对称轴x=32上，
∴E（32，−m2+3m+42），
又点E在直线BCy＝﹣x+4，代入得：
−m2+3m+42=−32+4，
解得：m=3−52或3+52（舍去），
故此时m的值为3−52．
【点评】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想和 方程思想解题是关键．
30．（2023•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC=12S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）两点，代入抛物线y＝ax2+bx+3，解方程组即可得到抛物线的解析式；
（2）分别求得A、B、C的坐标，与BC的解析式y＝﹣3x+3；作PE∥x轴交BC于E，设点P的横坐标为t，分别求得P点坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）与E点坐标为（t2+2t3，﹣t2﹣2t+3）；然后利用S△PBC=12S△ABC列方程解答即可．
【解答】解：（1）由抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，代入抛物线y＝ax2+bx+3得：
(−3)2a−3b+3=0a+b+3=0，
解得：a=−1b=−2；
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）存在，理由如下：
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4，
抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，
令x＝0，则y＝3，
∴C点坐标为（0，3），OC＝3，
∴S△ABC=12AB•OC=12×4×3＝6，
∴S△PBC=12S△ABC＝3；
作PE∥x轴交BC于E，如图：

设BC的解析式为：y＝kx+b，将B、C代入得：
k+b=03=b，
解得：k=−3b=3，
∴BC的解析式为：y＝﹣3x+3；
设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2﹣2t+3），
则E的横坐标为：﹣3x+3＝﹣t2﹣2t+3，解得：x=t2+2t3，
∴E（t2+2t3，﹣t2﹣2t+3）；
∴PE=t2+2t3−t=t2−t3，
∴S△PBC=12×t2−t3×3＝3，
解得：t＝﹣2或3；
∴P点纵坐标为：﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3；或﹣（3）2﹣2×（3）+3＝﹣12，
∴点P的坐标为（﹣2，3）或（3，﹣12）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，直角三角形的判定等，解题的关键是方程思想的应用．
31．（2023•绥化）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，6）三点，且一次函数y＝kx+6的图象经过点B．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）将抛物线y1＝ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为m．过点P作PD⊥NC于点D，求m为何值时，CD+12PD有最大值，最大值是多少？

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【专题】几何综合题；函数的综合应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可．
（2）分①BC为正方形的边长，②BC为正方形的对角线两种情况讨论，作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理即可求解．
（3）求出y2的解析式，证明△CON时等腰直角三角形，△HPD是等腰直角三角形，求出H的坐标，进而求出HP和HD，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y1＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，6）三点，
∴36a−6b+c=04a−2b+c=0c=6，
解得a=12b=4c=6，
∴y1=12x2+4x+6，
把B（﹣2，0）代入一次函数y＝kx+6中，
得k＝3，
∴y＝3x+6．
答：抛物线的解析式为y1=12x2+4x+6，一次函数的解析式为y＝3x+6．
（2）①当BC为正方形的边长时，
分别过B点，C点作E1E2⊥BC，F1F2⊥BC，使E1B＝E2B＝BC，CF1＝CF2＝BC，连接E1F1，E2F2，
过点E1作E1H1⊥x轴于H1，∴△BE1H1≌△CBO（AAS），
∴E1H1＝OB＝2，H1B＝OC＝6，
∴E1（﹣8，2），
同理可得，E2（4，﹣2）．

②以BC为正方形的对角线时，
过BC的中点G作E3F3⊥BC，使E3F3与BC互相平分且相等，
则四边形E3BF3C为正方形，
过点E3作E3N⊥y轴于点N，过点B作BM⊥E3N于点M，
∴△CE3N≌△E3BM（AAS），
∴CN＝E3M，BM＝E3N，
∵BC=210，
∴E3G=BG=10，
∴E3B=25，
在Rt△E3NC中，E3C2=CN2+E3N2，
∴(25)2=CN2+(6−CN)2，
解得CN＝2或4，
当CN＝4时，E3（2，2），此时点E在点F右侧，舍去；
当CN＝2时，E3（﹣4，4）．

综上，E1（﹣8，2），E2（4，﹣2），E3（﹣4，4）．
（3）∵抛物线y1=12x2+4x+6向右平移8个单位长度得到抛物线y2，
∴M（2，0），N（6，0），
∵y2过M，N，C三点，
∴y2=12x2−4x+6，
在直线CN下方的抛物线y2上任取一点P，作PH⊥x轴交NC于点H，过H作HG⊥y轴于G，

∵N（6，0），C（0，6），
∴ON＝OC，
∴△CON时等腰直角三角形，
∵∠CHG＝45°，∠GHP＝90°，
∴∠PHD＝45°，
∵PD⊥CN，
∴△HPD是等腰直角三角形，
∴HD=DP=22HP，
∵点P在抛物线y2上，且横坐标为m，
∴CG＝GH＝m，
∴CH=2m，
∵yCN＝﹣x+6，
∴H（m，﹣m+6），
∴HP=−m+6−(12m2−4m+6)=−12m2+3m，
∴HD=DP=22(−12m2+3m)=−24m2+322m，
∴CD+12PD=CH+HD+12PD=CH+32PD=2m+32(−24m2+322m)=−328(m−133)2+169224，
答：当m=133时，CD+12PD的最大值为169224．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理解决问题．
32．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．
（3）当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．
（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2当h2﹣h1＝m 时，直接写出m的值．
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【专题】二次函数图象及其性质；函数的综合应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点O的横坐标为2m，即可求解；
（3）分AQ∥x轴时，AP∥x轴时，分别根据抛物线的对称性求得O的横坐标与P的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解；
（4）分四种情况讨论，①如图所示，当P，O都在对称轴x＝1的左侧时，当P，O在对称轴两侧时，当点P在x＝1的右侧时，当P的纵坐标小于1时，分别求得h1，h2，根据h2﹣h1＝m建立方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝﹣x2+2x+c经过点 A（0，1），
∴c＝1，
∴抛物线解析式为 y＝﹣x2+2x+1；
（2）∵y＝﹣x2+2x+1
＝﹣（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2），
∵点Q与此抛物线的顶点重合，点Q的横坐标为2m，
∴2m＝1，
解得：m=12；
（3）①AQ∥x轴时，点A，Q关于对称轴x＝1对称，
xQ＝2m＝2，
∴m＝1，
则﹣12+2×1+1＝2﹣22+2×2+1＝1，
∴P（1，2），Q（2，1），
∴点P与点Q的纵坐标的差为2﹣1＝1；
②当AP∥x轴时，则A，P关于直线x＝1对称，xP＝m＝2，xQ＝2m＝4，
则﹣42+2×4+1＝﹣7，
∴P（2，1），Q（4，﹣7）；
∴点P与点Q的纵坐标的差为1﹣（﹣7）＝8；
综上所述，点P与点Q的纵坐标的差为1或8；
（4）①如图所示，当P，Q都在对称轴x＝1的左侧时，

则0＜2m＜1，
∴0＜m＜12，
∵P（m，﹣m2+2m+1），
∴Q（2m，﹣4m²+4m+1），
∴．ℎ1=yP−yA=(−m2+2m+1)−1=−m2+2m，
h2＝yQ﹣yA＝﹣4m²+4m+1﹣1＝﹣4m²+4m，
∴h2﹣h1＝m﹣4m2+4m+m2﹣2m＝m，
解得：m=13 或 m＝0（舍去）；
②当P，Q在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，

则2m≥1，m≤1，即 12≤m≤1，
则 ℎ1=−m2+2mh2＝2﹣1＝1，
∴1+m2﹣2m＝m 1，
解得：m=3−52 （舍去）或 3+52 （舍）；
③当点P在 x＝1的右侧且在直线y＝0 方时，即1＜m＜2，

∵h1＝2﹣1＝1，
ℎ2=2−(−4m2+4m+1)=4m2−4m+1，
∵4m2﹣4m+1﹣1＝m，
解得：m=54 或m＝0（舍去）；
④当p在直线y＝1上或下方时，即m≥2，

ℎ1=2−(−m2+2m+1)=m2−2m+1，
ℎ2=2−(−4m2+4m+1)=4m2−4m+1
∴4m2﹣4m+1﹣（m2﹣2m+1）＝m，
解得：m＝1（舍去）或 m＝0（舍去），
综上所述，m=13 或 m=54．
【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
33．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．

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【专题】二次函数图象及其性质；函数的综合应用；多边形与平行四边形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）可将抛物线的表达式设为交点式，代入点C坐标，进一步求得结果；
（2）点Q的纵坐标为±9，代入求得其横坐标，进而求得结果；
（3）根据三角函数定义和相似三角形的性质分别表示出PD和PE，进而表示出△PDE的面积的函数表达式，进一步求得结果．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣6），
∴﹣9＝a•3×（﹣6），
∴a=12，
∴y=12（x+3）（x﹣6）=12x2−32x−9；
（2）如图1，

抛物线的对称轴为：直线x=−3+62=32，
由对称性可得Q1（3，﹣9），
当y＝9时，
12x2−32x−9=9，
∴x=3±3172，
∴Q2（3+3172，9），Q3（3−3172，9），
综上所述：Q（3，﹣9）或（3+3172，9）或（3−3172，9）；
（3）设△PED的面积为S，
由题意得：AP＝m+3，BP＝6﹣m，OB＝6，OC＝9，AB＝9．
∴BC=62+92=313，
∵sin∠PBD=PDBP=OCBC，
∴PD6−m=9313，
∴PD=3(6−m)13，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，∠EPD＝∠PDB＝90°，
∴PEBC=APAB，
∴PE313=m+39，
∴PE=13⋅(m+3)3，
∴S=12PE•PD=12（m+3）（6﹣m）=−12(m−32)2+818，
∴当m=32时，S最大=818，
∴当m=32时，△PDE的面积最大值为：818．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数及其图象的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
34．（2023•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC的值；
（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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【专题】代数几何综合题；二次函数的应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据△PAC的周长等于PA+PC+AC，以及AC为定长，得到当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，根据抛物线的对称性，得到A，B关于对称轴对称，则：PA+PC＝PB+PC≥BC，得到当P，B，C三点共线时，PA+PC＝BC，进而求出P点坐标，即可得解；
（3）求出D点坐标为（0，2），进而得到tan∠OBD=12，得到∠QDB＝∠OBD，分点Q在D点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），
a+b+4=016a+4b+4=0，
解得：a=1b=−5，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4；
（2）由（1）知y＝x2﹣5x+4，当x＝0时，y＝4，

∴C（0，4），抛物线的对称轴为直线x=52，
∵△PAC的周长等于PA+PC+AC，AC为定长，
∴当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，
∵A，B关于抛物线的对称轴对称，
∴PA+PC＝PB+PC≥BC，当P，B，C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点，
设直线BC的解析式为：y＝mx+n，
则：4m+n=0n=4，
解得：m=−1n=4，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
当x=52 时，y=−52+4=32，
∴P(52，32)，
∵A（1，0），C（0，4），
∴PA=(52−1)2+(32)2=322，PC=(52)2+(4−32)2=522，
∴PAPC=35；
（2）存在，
∵D为OC的中点，
∴D（0，2），
∴OD＝2，
∵B（4，0），
∴OB＝4，
在Rt△BOD中，tan∠OBD=ODOB=12，
tan∠QDB=12=tan∠OBD，
∴∠QDB＝∠OBD；
①当Q点在D点上方时：过点D作DQ∥OB，交抛物线于点Q，则：∠QDB＝∠OBD，此时Q点纵坐标为2，

设Q点横坐标为t，则：t2﹣5t+4＝2，解得：t=5±172，
∴Q（5+172，2）或（5−172，2）；
②当点Q在D点下方时：设DQ与x轴交于点E，

则：DE＝BE，
设E（p，0），则：DE2＝OE2+OD2＝p2+4，BE2＝（4﹣p）2，
∴p2+4＝（4﹣p）2，
解得：p=32，
∴E(32，0)，
设DE的解析式为：y＝kx+q，
则：q=232k+q=0，
解得：q=2k=−43，
∴y=−43x+2，
联立y=−43x+2y=x2−5x+4，
解得：x=3y=−2或x=23y=109，
∴Q（3，﹣2）或Q(23，109)；
综上所述，Q(5+172，2) 或Q(5−12，2) 或Q（3，﹣2）或Q(23，109)．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，勾股定理，轴对称的性质，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
35．（2023•岳阳）已知抛物线Q1：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点，交y轴于点C（0，3）．
（1）请求出抛物线Q1的表达式．
（2）如图1，在y轴上有一点D（0，﹣1），点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E，F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK＝∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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【专题】代数几何综合题；压轴题；存在型；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）过点E作EG⊥x轴于点G，则∠AGE＝90°＝∠AOD，由正方形性质可得AE＝AD＝DF，∠DAE＝∠ADF＝90°，进而可证得△EAG≌△ADO（AAS），得出AG＝OD＝1，EG＝OA＝3，即E（﹣2，3），再证明点E在抛物线上，过点F作FL⊥y轴于点L，同理，△DFL≌△ADO（AAS），即可求得F（1，2）．
（3）先求得抛物线Q2的解析式为y＝﹣（x+1﹣2）2+4＝﹣（x﹣1）2+4，得出K（1，4），H（3，0），运用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，过点K作KT⊥y轴于点T，连接BC，设KP交直线BC于M或N，如图2，过点C作PS⊥y轴交BK于点S，交抛物线Q1于点P，连接PK，利用等腰直角三角形性质和三角函数定义可得tan∠CHK=CKCH=232=13，进而可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线Q1：y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0），C（0，3）两点，
∴−9−3b+c=0c=3，
解得：b=−2c=3，
∴抛物线Q1的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）存在点E，F使得四边形DAEF为正方形．
理由：
如图1，过点E作EG⊥x轴于点G，则∠AGE＝90°＝∠AOD，

∵A（﹣3，0），D（0，﹣1），
∴OA＝3，OD＝1，
∵四边形DAEF是正方形，
∴AE＝AD＝DF，∠DAE＝∠ADF＝90°，
∵∠EAG+∠DAO＝90°，∠DAO+∠ADO＝90°，
∴∠EAG＝∠ADO，
∴△EAG≌△ADO（AAS），
∴AG＝OD＝1，EG＝OA＝3，
∴E（﹣2，3），
当x＝﹣2时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，
∴点E在抛物线上，
过点F作FL⊥y轴于点L，
同理，△DFL≌△ADO（AAS），
∴FL＝OD＝1，DL＝OA＝3，
∴OL＝DL﹣OD＝3﹣1＝2，
F（1，2）．
（3）抛物线Q1上存在点P，使得∠CPK＝∠CHK．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线Q1的顶点坐标为（﹣1，4），
∵将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，
∴抛物线Q2的解析式为y＝﹣（x+1﹣2）2+4＝﹣（x﹣1）2+4，
∵抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，
∴K（1，4），H（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，把C（0，3），H（3，0）代入得n=33k+n=0，
解得：k=−1n=3，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
过点K作KT⊥y轴于点T，连接BC，设KP交直线BC于M或N，如图2，过点C作PS⊥y轴交BK于点S，交抛物线Q1于点P，连接PK，
则T（0，4），M（m，﹣m+3），N（t，﹣t+3），

∴KT＝TC＝1，∠KTC＝90°，
∴△CKT是等腰直角三角形，
∴∠KCT＝45°，CK=2KT=2，
∵OH＝OC＝3，∠COH＝90°，
∴△COH是等腰直角三角形，
∴∠HCO＝45°，CH=2OC＝32，
∴∠KCH＝180°﹣∠KCT﹣∠HCO＝90°，
∴tan∠CHK=CKCH=232=13，
∵∠CPK＝∠CHK，
∴tan∠CPK＝tan∠CHK=13，
∵tan∠BCO=OBOC=13，
∴∠BCO＝∠CHK，
∵BK∥OC，
∴∠CBK＝∠BCO，
∴∠CBK＝∠CHK，
即点P与点B重合时，∠CPK＝∠CHK，
∴P1（1，0）；
∵SK＝1，PS＝3，
∴tan∠CPK=SKPS=13，
∴∠CPK＝∠CHK，
∵点P与点C关于直线x＝﹣1对称，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，抛物线Q1上存在点P，使得∠CPK＝∠CHK，点P的坐标为（1，0）或（﹣2，3）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数定义，抛物线的平移变换等，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．
36．（2023•荆州）已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．
（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是 　0或2或−14　；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2．
①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；
②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）y关于x的函数应分一次函数与二次函数两种情况，其中二次函数应分为①与x轴有两个交点且一个交点为原点；②与x轴有一个交点，与y轴有一个交点两种情况讨论；
（2）①如图，设直线l与BC交于点F，待定系数法求得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8，当x＝0时，y＝8，得到C（0，8），P（1，9），求得直线BC的解析式为y＝﹣2x+8，得到F（1，6），根据三角形的面积公式即可得到结论；

②如图，设直线x＝m交x轴于H，由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8），得到PH＝﹣m2+2m+8，根据相似三角形的性质得到OD＝8﹣2m，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）①当a﹣2＝0时，即a＝2时，
y关于x的函数解析式为y＝3x+12，
此时y＝3x+12与x轴的交点坐标为（−16，0），
与y轴的交点坐标为（0，12）；
②当a﹣2≠0时，y关于x的函数为二次函数，
∵二次函数图象抛物线与坐标轴有两个交点，
∴抛物线可能存在与x轴有两个交点，其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点与y轴一个交点两种情况．
当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时，
由题意得b＝0，此时a＝0，抛物线为y＝﹣2x2+x．
当y＝0时，﹣2x2+x＝0，
解得x1＝0，x2=12．
∴其图象与x轴的交点坐标为（0，0）（12，0）．
当抛物线与x轴有一个交点与y轴有一个交点时，
由题意得，y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b所对应的一元二次方程（a﹣2）x2+（a+1）x+b＝0有两个相等实数根．
∴Δ＝（a+1）2﹣4（a﹣2）×14a＝0，
解得a=−14，
此时y=−94x2+34x−116，
当x＝0时，y=−116，
∴与y轴的交点坐标为（0，−116），
当y＝0时，−94x2+34x−116=0，
解得x1＝x2=16，
∴与x轴的交点坐标为（16，0），
综上所述，若y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为2，0，−14，
故答案为：2或0或−14；
（2）①如图，设直线l与BC交于点F，
根据题意得2a+b=1020a+b=28，
解得a=1b=8，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8，
当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，点P为抛物线顶点，
∴P（1，9），
∵B（4，0），C（0，8），
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+8，
∴F（1，6），
∴PF＝9﹣6＝3，
∴△PBC的面积=12OB•PF=12×4×3=6；
②S1﹣S2存在最大值，
理由：如图，设直线x＝m交x轴于H，
由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8），
∴PH＝﹣m2+2m+8，
∵OD∥PH，
∴△AOD∽△AHP，
∴AOAH=ODPH，
∴22+m=OD−m2+2m+8，
∴OD＝8﹣2m，
∵S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AOD﹣S△OBC=6(−m2+2m+8)2−2(8−2m)2−4×82=−3m2+8m＝﹣3（m−43）2+163，
∵﹣3＜0，0＜m＜4，
∴当m=43时，S1﹣S2存在最大值，最大值为163．

【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，注意当函数没有明确为何函数时，要注意对函数进行分情况讨论．
37．（2023•温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？

【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为 y＝a（x﹣2）2+3，用待定系数法可得y=−112（x﹣2）2+3；当x＝0时，y=−112×4+3=83＞2.44，知球不能射进球门．
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=−112（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得 m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3），
设抛物线为 y＝a（x﹣2）2+3，
把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，
解得a=−112，
∴抛物线的函数表达式为y=−112（x﹣2）2+3；
当x＝0时，y=−112×4+3=83＞2.44，
∴球不能射进球门．
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=−112（x﹣2﹣m）2+3，
把点（0，2.25）代入得：2.25=−112（0﹣2﹣m）2+3，
解得 m＝﹣5（舍去）或m＝1，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决．
38．（2023•陕西）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m3，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，O′E′＝E′N′．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'＝3m时，S2=122m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
（1）求方案一中抛物线的函数表达式；
（2）在方案一中，当AB＝3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．

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【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）由题意知抛物线的顶点P（6，4），设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2+43x；
（2）令y＝3可得x＝3或x＝9，故BC＝6（m），S1＝AB•BC＝18（m2）；再比较S1，S2的大小即可．
【解答】解：（1）由题意知，方案一中抛物线的顶点P（6，4），
设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+4，
把O（0，0）代入得：0＝a（0﹣6）2+4，
解得：a=−19，
∴y=−19（x﹣6）2+4=−19x2+43x；
∴方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2+43x；
（2）在y=−19x2+43x中，令y＝3得：3=−19x2+43x；
解得x＝3或x＝9，
∴BC＝9﹣3＝6（m），
∴S1＝AB•BC＝3×6＝18（m2）；
∵18＞122，
∴S1＞S2．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．
39．（2023•随州）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式p=mx+n，1≤x＜20，且x为整数30，20≤x≤30，且x为整数销量q（千克）与x的函数关系式为q＝x+10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元．
（1）m＝　﹣2　，n＝　60　；
（2）求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；
（3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？
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【专题】一次函数及其应用；二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）用待定系数法可得m，n的值；
（2）由销售额W＝pq，分两种情况可得答案；
（3）分两种情况，结合（2）可列出方程解得答案．
【解答】解：（1）把（5，50），（10，40）代入p＝mx+n得：
5m+n=5010m+n=40，
解得m=−2n=60，
∴p＝﹣2x+60（1≤x＜20），
故答案为：﹣2，60；
（2）当1≤x＜20时，W＝pq＝（﹣2x+60）（x+10）＝﹣2x2+40x+600；
当20≤x≤30时，W＝pq＝30（x+10）＝30x+300；
∴W=−2x2+40x+600(1≤x＜20)30x+300(20≤x≤30)；
（3）在W＝﹣2x2+40x+600中，令W＝1000得：﹣2x2+40x+600＝1000，
整理得x2﹣20x+200＝0，
方程无实数解；
由30x+300＞1000得x＞2313，
∵x整数，
∴x可取24，25，26，27，28，29，30，
∴销售额超过1000元的共有7天．
【点评】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
40．（2023•河北）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2 的一部分，淇淇恰在点B（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：y=−18x2+n8x+c+1的一部分．
（1）写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．

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【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求a，即可求解；
（2）根据点A的取值范围代入解析式可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2，
∴C1的最高点坐标为（3，2），
∵点A（6，1）在抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2上，
∴1＝a（6﹣3）2+2，
∴a=−19，
∴抛物线C1：y=−19（x﹣3）2+2，
当x＝0时，c＝1；
（2）∵嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，
∴此时，点A的坐标范围是（5，1）～（7，1），
当经过（5，1）时，1=−18×25+n8×5+1+1，
解得：n=175，
当经过（7，1）时，1=−18×49+n8×7+1+1，
解得：n=417，
∴175≤n≤417，
∵n为整数，
∴符合条件的n的整数值为4和5．
【点评】本题考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
41．（2023•十堰）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
（1）当x＝60时，p＝　400　；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．
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【分析】（1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，可以得到p与x之间的函数关系式，把x＝60代入解析式计算即可；
（2）根据每盒利润×销售盒数＝总利润可得W关于x的关系式，由二次函数性质可得答案；
（3）根据题意，在正确的x的范围中求出日销售额的最大值，判断小强是否正确，根据题意列出不等式，结合x的范围求出不等式的解集，判断小红是否正确．
【解答】解：（1）由题意可得，
p＝500﹣10（x﹣50）＝﹣10x+1000，
即每天的销售量p（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式是p＝﹣10x+1000，
当x＝60时，p＝﹣10×60+1000＝400，（x≥50），
故答案为：400．
（2）由题意可得，
W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，
由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，
∴x≥50p≥350，
即x≥50−10x+1000≥350，解得50≤x≤65．
∴当x＝65时，W取得最大值，此时W＝8750，
答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W（元）最大，最大利润是8750元；
（3）小强：∵50≤x≤65，
设日销售额为y元，
y＝x•p＝x（﹣10x+1000）＝﹣10x²+1000x＝﹣10（x﹣50）²+25000，
当x＝50时，y值最大，此时y＝25000，
当x＝65时，W值最大，此时W＝8750，
∴小强正确．
小红：当日销售利润不低于8000元时，
即W≥8000，
﹣10（x﹣70）2+9000≥8000，解得：60≤x≤80，
∵50≤x≤65，
∴当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．
故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．
【点评】本题以一次函数为背景考查了一次函数的实际应用，考查学生对一次函数和不等式综合运用的能力，解决问题的关键是弄清题意，求出x的范围，在有效范围内求最值是本题容易出错的地方．
42．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】（1）先把解析式进行配方，再求顶点；
（2）根据函数的增减性求解；
（3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．
【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3 时，
∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴顶点坐标为（2，7）．
②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7），
∴当 x＝2 时，y有最大值7，
∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，
∴当x＝﹣1 时，y有最小值为：﹣2，
∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7．
（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3，
∴抛物线的对称轴 x=b2 在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，
∴c＝2，
又∵4×(−1)×c−b24×(−1)=3，
∴b＝±2，
∵b＞0，
∴b＝2．
∴二次函数的表达式为 y＝﹣x2+2x+2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键．
43．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．
（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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【专题】几何综合题；压轴题；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由题得抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），将点C坐标代入求a，进而得到抛物线的解析式；设直线BC的解析式为y＝kx+t，将B、C两点坐标代入求解即可得到直线BC的解析式．
（2）由题可得M坐标，分别求出OC，OM，CM，对等腰三角形OCM中相等的边界线分类讨论，进而列方程求解．
（3）对P点在B点左右两侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解m，进而得到点P，点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0），
∴抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣2），
将点C（0，2）代入得，2＝﹣2a，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣2），即y＝﹣x2+x+2．
设直线BC的表达式为y＝kx+t，
将B（2，0），C（0，2）代入得，
2k+t=0t=2，
解得k=−1t=2，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+2．
（2）∵点M在直线BC上，且P（m，n），
∴点M的坐标为（m，﹣m+2），
∴OC＝2
∴CM2＝（m﹣0）2+（﹣m+2﹣2）2＝2m2，OM2＝m2+（﹣m+2）2＝2m2﹣4m+4，
当△OCM为等腰三角形时，
①若CM＝OM，则CM2＝OM2，
即2m2＝2m2﹣4m+4，
解得m＝1；
②若CM＝OC，则CM2＝OC2，
即2m2＝4，
解得m=2或m=−2（舍去）；
③若OM＝OC，则OM2＝OC2，
即2m2﹣4m+4＝4，
解得m＝2或m＝0（舍去）．
综上，m＝1或m=2或m＝2．
（3）∵点P与点C相对应，
∴△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB，
①若点P在点B的左侧，
则∠CBN=45°，BN=2−m，CB=22，
当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝45°时，
直线OP的表达式为y＝x，
∴﹣m2+m+2＝m，
解得m=2或m=−2（舍去），
∴OP2=(2)2+(2)2=4，即OP＝2，
∴OPBC=OQBN，即222=OQ2−2，
解得OQ=2−1，
∴P(2，2)，Q(0，2−1)，
当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝45°时，
PQ=2m，OQ=−m2+m+2+m=−m2+2m+2，
∴PQCB=OQBN，即2m22=−m2+2m+22−m，
解得m＝1±5（舍去）．
②若点P在点B的右侧，
则∠CBN＝135°，BN＝m﹣2，
当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝135°时，
直线OP的表达式为y＝﹣x，
∴﹣m2+m+2＝﹣m，
解得m＝1+3或m＝1−3（舍去），
∴OP=2m=2+6，
∴OPBC=OQBN，即2+622=OQ3−1，
解得OQ＝1，
∴P(1+3，−1−3)，Q(0，1)，
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝135°时，
PQ=2m，OQ＝|﹣m2+m+2+m|＝m2﹣2m﹣2，
∴PQCB=OQBN，即2m22=m2−2m−2m−2，
解得m＝1+5或m＝1−5（舍去），
∴P(1+5，−3−5)，Q(0，−2)，
综上，P（2，2），Q（0，2−1 ）或P（1+3，−1−3），Q（0，1）或P（1+5，−3−5），Q（0，﹣2）．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等相关知识．
44．（2023•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），与y轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AB，BC，点D在线段AB上（与点A，B不重合），点F是OA的中点，连接FD，过点D作DE⊥FD交BC于点E，连接EF，当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，求点D的坐标；
（3）如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，H（m，0）是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G（与点O，B不重合），使得∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，求m的取值范围．

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【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】（1）运用待定系数法将点B、点C坐标代入解析式可求解；
（2）用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+12，可证△BGE是等腰直角三角形，设D（t，8），通过证明△AFD∽△GDE，相似三角形的性质得出m﹣t＝4，则DG＝AF，可证△AFD≌△GDE，由面积关系列出方程可求解；
（3）通过证明△OGH∽△BPG，可得OHBG=OGBP，由待定系数法可求BS的解析式，联立方程组可求点P坐标，由勾股定理可求BP的长，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），
∴16a+4b+8=864a+8b+8=4，
解得：a=−18b=12，
∴抛物线的解析式为y=−18x2+12x+8；
（2）∵抛物线y=−18x2+12x+8与y轴交于点A，
当x＝0时，y＝8，
∴A（0，8），则OA＝8，
∵B（4，8），
∴AB∥x轴，AB＝4，
∵点F是OA的中点，
∴F（0，4），
∴AB＝AF＝4，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（4，8），C（8，4），
∴4k+b=88k+b=4，
解得：k=−1b=12，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+12，
设E（m，﹣m+12）（4＜m＜8），
如图1，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于G，
则∠G＝90°，
∴G（m，8），

∴GE＝8﹣（﹣m+12）＝m﹣4，BG＝m﹣4，
∴BG＝GE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
设D（t，8），则AD＝t，DG＝m﹣t，
∵DE⊥FD，
∴∠FDE＝90°，
∵∠FAD＝∠G＝∠FDE＝90°，
∴∠AFD＝90°﹣∠ADF＝∠GDE，
∴△AFD∽△GDE，
∴ADGE=AFDG，即tm−4=4m−t，
∴t（m﹣t）＝4（m﹣4），
即（t﹣4）m＝（t﹣4）（t+4），
∵m＞4，
∴m＝t+4，
即m﹣t＝4，
∴DG＝AF，
∴△AFD≌△GDE（ASA），
∴DF＝DE，
又∵DE⊥DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴S△DEF=12DF2，
∵S△ADF=12AD•AF，
当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，
即12DF2＝3×12AD•AF，
∴DF2＝12AD，
在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2＝t2+42，
∴AD2+AF2＝12AD，
∴t2+42＝12t，
解得：t＝6﹣25或t＝25+6（舍去），
∴D（6﹣25，0）；
（3）∵∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，
又∠OGH+∠HGP＝∠GBP+∠BPG，
∴∠OGH＝∠BPG，
∴△OGH∽△BPG，
∴OHBG=OGBP，
设BP交x轴于点S，过点B作BT⊥x轴于点T，如图2，

∵∠GBP＝∠BOH，
∴SB＝SO，
∵OT＝4，BT＝8，
∴OB=OT2+BT2=45，
设BS＝k，则TS＝k﹣4，
在Rt△TBS中，SB2＝ST2+BT2，
∴k2＝（k﹣4）2+82，
解得：k＝10，
∴S（10，0），
设直线BS的解析式为y＝ex+f，则10e+f=04e+f=8，
解得：e=−43f=403，
∴直线BS的解析式为y=−43x+403，
联立y=−43x+403y=−18x2+12x+8，
解得：x=4y=8或x=323y=−89，
∴P（323，−89），
∴PB=(323−4)2+(8+89)2=1009，
∵OHBG=OGBP，
设OG＝n，则BG＝OB﹣OG＝45−n，
∴m45−n=9n100，
整理得：m=−9n2−365n100=−9100n2+9525n=−9100（n﹣25）2+95，
∵点G在线段OB上（与点O，B不重合），
∴0＜OG＜45，
∴0＜n＜45，
∴当n＝25时，m取得的最大值为95，
∴0＜m≤95．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数的综合运用，面积问题，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
45．（2023•永州）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5），
顶点坐标为（2，9），点P（x1，y1）为抛物线上的动点，PH⊥x轴于H，且x1≥52．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，直线OP：y=y1x1x交BF于点G，求S△BPGS△BOG的最大值；
（3）如图2，四边形OBMF为正方形，PA交y轴于点E，BC交FM的延长线于C，且BC⊥BE，PH＝FC，求点P的横坐标．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】待定系数法；二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；应用意识．
【分析】（1）由顶点式坐标公式和待定系数法分别求出a，b，c值，即可求出抛物线解析式；
（2）利用抛物线的解析式可得B的坐标，求出直线BF的解析式，设G（m，﹣m+5），根据直线OP的解析式y=y1x1x 得 m=5x1x1+y1，用 x1，y1 表达GT长度，根据S△BPGS△BOG=PHGT=1，将GT和PH长度代入，可将面积比转化成二次函数的形式，根据P横坐标取值范围和此二次函数的图象性质即可求出S△BPGS△BOG 的最大值；
（3）根据正方形的性质和FC＝PH可求出PT＝MC，再利用△EOB∽△CMB相似和OB＝MB可推出OE＝MC，设E（0，a），可求出直线AP的解析式，用a表达P点的横纵坐标，最后代入抛物线解析式，解方程可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5），顶点坐标为（2，9），
∴c=5−b2a=24ac−b24a=9，
解得a=−1b=4c=5，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）过点G作GT⊥x轴于点T，如图所示，

在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得0＝﹣x2+4x+5，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∵F（0，5），
∴BO＝FO＝5，
设直线BF的解析式为：y＝kx+5，
∴y＝5k+5，
解得k＝﹣1，
∴直线BF的解析式为y＝﹣x+5，
由G在直线BF上，设G（m，﹣m+5），
∵G在直线OP上，直线OP为y=y1x1x，
∴﹣m+5=y1x1m，
∴m=5x1x1+y1，
∴GT=−m+5=−5x1x1+y1+5=5y1x1+y1，
由P（x1，y1） 在抛物线 y＝﹣x2+4x+5上，知P（x1，−x12+4x1+5），
∴PH=y1=−x12+4x1+5，
∵S△BPG＝S△BPO﹣S△BOG，
∴S△BPGS△BOG=S△BPO−S△BOGS△BOG=S△BPOS△BOG−1=12×5⋅PH12×5⋅GT−1=PHGT−1，
∵PHGT=y15y1x1+y1=x1+y15，
∴S△BPGS△BOG=PHGT−1=x1+y15−1=x1−x12+4x1+55−1=−15（x1−52）2+54，
∵x1≥52，−15＜0，
∴当 x=52 时，S△BPGS△BOG取最大值，最大值为54；
（3）设MF交PH于T，如图：

∵OBFM为正方形，F（0，5），
∴FM＝BM＝OF＝BO＝5，∠MBO＝90°，FC∥OB，
∵PH⊥x，∠MBO＝90°，FC∥OB，
∴MTBH为矩形，
∴TH＝MB＝FM＝5，
∵PH＝FC，
∴PT＝MC，
∵BC⊥BE，
∴∠MBC+∠MBE＝90°，
∵∠MBO＝90°，
∴∠OBE+∠MBE＝90°，
∴∠OBE＝∠MBC，
∴∠CMB＝∠EOB＝90°，
∴△EOB∽△CMB，
∴EOCM=OBMB=EBCB，
∵OB＝MB，
∴EO＝MC，
∵PH＝FC，
∴PT＝MC，
∴EO＝MC＝PT，
设 EO＝MC＝PT＝a，
∴PH＝PT+TH＝5+a，E（0，a），
∵A（﹣1，0），
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
则b=a−k+b=0，
∴k=ab=a，
∴直线AP的解析式为y＝ax+a，
∵PH＝a+5，P在直线AP上，
∴a+5＝ax+a，
∴x=5a，即P点横坐标为 5a，
∴x1=5a，y1＝a+5，
∴a=5x1，y1=5x1+5
∴5x1+5=−x12+4x1+5，
∴x13−4x12+5＝0，
∴（x1+1）（x12−5x1+5）＝0，
解得x1＝1或x1=5−52或x1=5+52，
∵x1≥52，
∴x1=5+52，
∴点P的横坐标为5+52．
【点评】本题考查的是二次函数的综合应用题，属于压轴题，解题的关键在于能否将面积问题和二次函数有效结合．
46．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．
（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．
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【专题】分类讨论；方程思想；待定系数法；函数的综合应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；应用意识．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意，联立抛物线与直线解析式，求得点D，E的横坐标，表示出MN的长，可得S△NED=12MN•|xD﹣xE|=−142（t﹣2）2+714，再根据二次函数性质可得答案；
（3）求出C（0，4），设M（t，﹣t﹣1），R（m，n），分三种情况：①当BC，MR为对角线时，BC，MR的中点重合，且BM＝CM，②当BM，CR为对角线时，BM，CR的中点重合，且BC＝CM，③当BR，CM为对角线时，BR，CM的中点重合，且BC＝BM，分别列方程组可解得答案．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+x+c 得：
4a−2+c=016a+4+c=0，
解得：a=−12c=4，
∴抛物线解析式为y=−12x2+x+4；
（2）联立y=−12x2+x+4y=−x−1，
解得x=2+14y=−3−14或x=2−14y=−3+14，
∴D（2+14，﹣3−14），E（2−14，﹣3+14），
∵点M为直线l上的一动点，横坐标为t，
∴M（t，﹣t﹣1），
∴N（t，−12t2+t+4），
∴MN=−12t2+t+4﹣（﹣t﹣1）=−12t2+2t+5，
∴S△NED=12MN•|xD﹣xE|=12×（−12t2+2t+5）×214=−142（t﹣2）2+714，
∵−142＜0，0＜t＜4，
∴当t＝2时，S△NED取最大值714，
∴△NED面积的最大值是714；
（3）在y=−12x2+x+4中，令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），
设M（t，﹣t﹣1），R（m，n），
又B（4，0），
①当BC，MR为对角线时，BC，MR的中点重合，且BM＝CM，
∴4+0=t+m0+4=−t−1+n(t−4)2+(−t−1)2=t2+(t+5)2，
解得t=−12m=92n=92，
∴R（92，92）；
②当BM，CR为对角线时，BM，CR的中点重合，且BC＝CM，
∴t+4=m−t−1=n+432=t2+(t+5)2，
解得t=−5+392m=3+392n=−5−392或t=−5−392m=3−392n=−5+392，
∴R（3+392，−5−392）或（3−392，−5+392）；
③当BR，CM为对角线时，BR，CM的中点重合，且BC＝BM，
∴m+4=tn=4−t−132=(t−4)2+((−t−1)2，
解得t=3+392m=−5+392n=3−392或t=3−392m=−5−392n=3+392，
∴R（−5+392，3−392）或（−5−392，3+392）；
综上所述，R的坐标为（92，92）或（3+392，−5−392）或（3−392，−5+392）或（−5+392，3−392）或（−5−392，3+392）．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及三角形面积问题，菱形的性质与判定，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质，准确的计算是解题的关键．
47．（2023•广元）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，求出点F的坐标；
（3）如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+12ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

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【专题】待定系数法；函数的综合应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）求出抛物线的对称轴为直线x＝1，设对称轴l与x轴交于点G，过点E作ED⊥l于点D，证明△DFG≌△GBF，设F（1，m），进而得出E点的坐标，代入抛物线解析式，求得m的值，当E点与A点重合时，可得F（1，﹣3）或F（1，3）；
（3）设P（s，t），直线AP的解析式为 y＝dx+f，BP的解析式为 y＝gx+h，求得解析式，可得 OM，ON，即可求解．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（4，0），代入 y＝ax2+bx+4得：
4a−2b+4=016a+4b+4=0，
解得：a=−12b=1，
∴抛物线解析式为y=−12x2+x+4；
（2）∵点 A（﹣2，0），B（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线l：x=−2+42=1，
设直线l与x轴交于点G，过点E作 ED⊥l于点D，
当F在x轴上方时，如图：

∵以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，
∴EF＝BF，
∵∠DFE＝90°﹣∠BFG＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF＝90°，
∴△DFE≌△GBF（AAS），
∴GF＝DE，GB＝FD，
设F（1，m），则DE＝m，DG＝DF+FG＝GB+FG＝3+m，
∴E（1+m，3+m），
∵E点在抛物线y=−12x2+x+4上，
∴3+m=−12(1+m)2+(1+m)+4，
解得：m＝﹣3（舍去）或m＝1，
∴F（1，1）；
当F在x轴下方时，如图：

同理可得△DFE≌△GBF（AAS），GF＝DE，GB＝FD，
设F（1，n），则E（1﹣n，n﹣3），
把E（1﹣n，n﹣3）代入y=−12x2+x+4得：
n﹣3=−12（1﹣n）2+（1﹣n）+4，
解得n＝3（舍去）或n＝﹣5，
∴F（1，﹣5）；
当E点与A点重合时，如图所示，

∵AB＝6，△ABF是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，
∴GF=12AB=3，
此时 F（1，﹣3），
由对称性可得，点F'（1，3）也满足条件，
综上所述，F（1，1）或（1，﹣5）或（1，﹣3）或（1，3）；
（3）OD+12ON为定值6，理由如下：
设P（s，t），直线AP的解析式为 y＝dx+f，BP的解析式为 y＝gx+h，
∵点 A（﹣2，0），B（4，0），P（s，t），
∴−2d+f=0sd+f=t，4g+ℎ=0sg+ℎ=t，
解得：d=ts+2f=2ts+2，g=ts−4ℎ=4t4−s，
∴直线AP的解析式为 y=ts+2x+2ts+2，BP的解析式为y=ts−4x+4t4−s，
在y=ts+2x+2ts+2中，令 x＝0 得y=2ts+2，
∴M(0，2ts+2)，
在y=ts−4x+4t4−s中，令x＝0得y=4t4−s，
∴N（0，4t4−s），
∵P（s，t） 在抛物线上，
∴t=−12s2+s+4=−12（s﹣4）（s+2），
∴OM+12ON=2ts+2+12×4t4−s=12t−s2+2s+8=−6(s−4)(s+2)−(s−4)(s+2)=6，
∴OM+12ON为定值6．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
48．（2023•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点B．

（1）求点A，B的坐标；
（2）求b，c的值；
（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】待定系数法；二次函数图象及其性质；平移、旋转与对称；运算能力；应用意识．
【分析】（1）根据题意，分别将x＝0，y＝0代入直线 y=34x+6 即可求得；
（2）设 c(m，34m+6)，得到抛物线的顶点式为 y=a(x−m)2+34m+6，将B（0，6）代入可求得 m=−34a，进而可得到抛物线解析式为 y=ax2+32x+6，即可求得b，c；
（3）根据题意，设P（p，0），c(m，34m+6)，根据平移的性质可得点B，点C向下平移的距离相同，列式求得m＝﹣4，a=316，然后得到抛物线N解析式为：y=316(x−p)2，将B（0，6）代入可得 p=±42，即可得到答案．
【解答】解：（1）在 y=34x+6中，令x＝0得：y＝6，
∴B（0，6），
令y＝0得：x＝﹣8，
∴A（﹣8，0）；
（2）设c(m，34m+6)，设抛物线的解析式为：y=a(x−m)2+34m+6，
∵抛物线M经过点B，
∴将B（0，6）代入得：am2+34m+6=6，
∵m≠0，
∴am=−34，即 m=−34a，
将m=−34a 代入y＝a（x﹣m）2+3m+6，
整理得：y=ax2+32x+6，
∴b=32，c＝6；
（3）如图：

∵CD∥x轴，点P在x轴上，
∴设P（p，0），c(m，34m+6)，
∵点C，B分别平移至点P，D，
∴点B，点C向下平移的距离相同，
∴34m+6=6−(34m+6)，
解得：m＝﹣4，
由（2）知 m=−34a，
∴a=316，
∴抛物线N的函数解析式为：y=316(x−p)2，
将B（0，6）代入可得：p=±42，
∴抛物线N的函数解析式为：y=316(x−42)2或 y=316(x+42)2．
【点评】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，涉及平移的性质，二次函数的图 性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值．
49．（2023•杭州）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
1
n
1
p
…
（1）若m＝4，
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）①利用待定系数法即可求得；
②利用二次函数的性质得出结论；
（2）根据题意m＜0，由−b2a=1，得出b＝﹣2a，则二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，得出m＝a+2a+1＜0，解得a＜−13．
【解答】解：（1）①由题意得a−b+1=44a+2b+1=1，
解得a=1b=−2，
∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1；
②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；
（2）∵x＝0和x＝2时的函数值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴（1，n）是顶点，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴对称，
若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0，
∵−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，
∴m＝a+2a+1≤0，
∴a≤−13．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意得出m＝a+2a+1＜0是解题的关键．
50．（2023•湖北）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200⩽x⩽700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．
（1）当x＝　500　m2时，y＝35元/m2；
（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
（3）学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？

【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用；一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）当200≤x≤600时，由待定系数法求出一次函数关系式，当600＜x≤700时，y＝40，再求出当y＝35时y的值，即可得出结论；
（2）当200≤x≤600时，W=120（x﹣400）2+42000，由二次函数的性质得当x＝400时，W有最小值，最小值为42000，再求出当600≤x≤700时，W＝﹣10x+50000，由一次函数的性质得当x＝700时，W有最小值为43000，然后比较即可；
（3）根据2025年的总种植成本为28920元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）当200≤x≤600时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2 ）与其种植面积x（单位：m2 ）的函数关系式为y＝kx+b，
把（200，20），（600，40）代入得：200k+b=20600k+b=40，
解得：k=120b=10，
∴y=120x+10，
当600＜x≤700时，y＝40，
∴当y＝35时，35=120x+10，
解得：x＝500，
故答案为：500；
（2）当200≤x≤600时，W＝x（120x+10）+50（1000﹣x）=120（x﹣400）2+42000，
∵120＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当x＝400时，W有最小值，最小值为42000，
此时，1000﹣x＝1000﹣400＝600，
当600≤x≤700时，W＝40x+50（1000﹣x）＝﹣10x+50000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝700时，W有最小值为：﹣10×700+50000＝43000，
∵42000＜43000，
∴当种植甲种蔬菜的种植面积为400m2，乙种蔬菜的种植面积为600m2时，W最小；
（3）由（2）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42000元，乙种蔬菜的种植成本为50×600＝30000（元），
则甲种蔬菜的种植成本为42000﹣30000＝12000（元），
由题意得：12000（1﹣10%）2+30000（1﹣a%）2＝28920，
设a%＝m，
整理得：（1﹣m）2＝0.64，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝1.8（不符合题意，舍去），
∴a%＝20%，
∴a＝20，
答：当a为20时，2025年的总种植成本为28920元．
【点评】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用等知识，解题的关键：（1）用待定系数法正确求出一次函数关系式；（2）找出数量关系，正确求出二次函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．

考点卡片
1．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
2．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（−bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
3．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
4．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移|b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
5．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a），对称轴直线x=−b2a，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜−b2a时，y随x的增大而减小；x＞−b2a时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜−b2a时，y随x的增大而增大；x＞−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|−b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
6．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
7．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=−b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
8．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
9．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
10．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
11．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
12．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
13．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
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