中考数学二轮精品专题复习 二次函数(填空题)

这是一份中考数学二轮精品专题复习 二次函数(填空题)，共27页。试卷主要包含了三点，且n≥3，，它的关联矩形为矩形OABC等内容，欢迎下载使用。

2023年中考数学真题知识点汇编之《二次函数(填空题)》
一．填空题（共13小题）
1．（2023•赤峰）如图，抛物线y＝x2﹣6x+5与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D（2，m）在抛物线上，点E在直线BC上，若∠DEB＝2∠DCB，则点E的坐标是 　 　．

2．（2023•无锡）二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣5）（a＞12）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点M（3，1）的直线将△ABC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a的值为 　 　．
3．（2023•内蒙古）已知二次函数y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0），若点P（m，3）在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为 　 　．
4．（2023•长春）2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民就商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面 　 　米．

5．（2023•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n≥3．下列四个结论：
①b＜0；
②4ac﹣b2＜4a；
③当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则0＜m≤13．
其中正确的是　 　（填写序号）．
6．（2023•福建）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 　 　．
7．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝　 　．
8．（2023•滨州）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水距离也为3m，那么水管的设计高度应为 　 　．
9．（2023•绍兴）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数y=14x2+bx+c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b＝　 　．

10．（2023•上海）一个二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是　 　．
11．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝　 　m．

12．（2023•巴中）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数y=k4x2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 　 　．
13．（2023•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），顶点为M（﹣1，m），且抛物线与y轴的交点B在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论：①当﹣3≤x≤1时，y≤0；②当△ABM的面积为332时，a=32；③当△ABM为直角三角形时，在△AOB内存在唯一一点P，使得PA+PO+PB的值最小，最小值的平方为18+93．其中正确的结论是 　 　．（填写所有正确结论的序号）


2023年中考数学真题知识点汇编之《二次函数(填空题)》
参考答案与试题解析
一．填空题（共13小题）
1．（2023•赤峰）如图，抛物线y＝x2﹣6x+5与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D（2，m）在抛物线上，点E在直线BC上，若∠DEB＝2∠DCB，则点E的坐标是 　(175，85) 和 (335，−85)　．

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】先根据题意画出图形，先求出D点坐标，当E点在线段BC上时：∠DEB 是△DCE 的外角，∠DEB＝2∠DCB，而∠DEB＝∠DCE+∠CDE，所以此时∠DCE＝∠CDE，有 CE＝DE，可求出BC 所在直线的解析式y＝﹣x+5，设E点（a，﹣a+5）坐标，再根据两点距离公式，CE＝DE，得到关于a的 方程，求解a的值，即可求出E点坐标；当E点在线段CB的延长线上时，根据题中条件，可以证明 BC2+BD2＝DC2 得到∠DBC为直角三角形，延长EB至E′，取BE′＝BE，此时，∠DE'E＝∠DEE'＝2∠DCB，从而证明E′是要找的点，应为 OC＝OB，△OCB 为等腰直角三角形，点 E和E′关于B点对称，可以根据E点坐标求出E′点坐标．
【解答】解：根据D点坐标，有m＝22﹣6×2+5＝﹣3，所，以D点坐标（2，﹣3），

设BC所在直线解析式为 y＝kx+b，其过点C（0，5）、B（5，0），
b=55k+b=0，
解得k=−1b=5，
BC所在直线的解析式为：y＝﹣x+5，
当E点在线段BC上时，设E（a，﹣a+5），∠DEB＝∠DCE+∠CDE，而∠DEB＝2∠DCB，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴CE＝DE，
因为E（a，﹣a+5），C（0，5），D（2，﹣3），
有a2+(−a+5−5)2=(a−2)2+[−a+5−(−3)]2，
解得：a=175，−a+5=85，所以E点的坐标为：(175，85)，
当E在CB的延长线上时，
在△BDC中，BD2＝（5﹣2）2+32＝18，
BC2＝52+52＝50，DC2＝（5+3）2+22＝68，
BD2+BC2＝DC2，
∴BD⊥BC 如图延长EB至 E'，取 BE'＝BE，

则有△DEE'为等腰三角形，DE＝DE'，
∴∠DEE′＝∠DE′E，
又∵∠DEB＝2∠DCB，
∴∠DE′E＝2∠DCB，
则E′为符合题意的点，
∵OC＝OB＝5∠OBC＝45°，
E′的横坐标：5+(5−175)=335，纵坐标为 −85；
综上E点的坐标为：(175，85) 和 (335，−85)．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况 找到E点的位置，是求解此题的关键．
2．（2023•无锡）二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣5）（a＞12）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点M（3，1）的直线将△ABC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a的值为 　910或2+25或2+12　．
【考点】抛物线与x轴的交点；梯形；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【分析】由题意可得，A（1，0），B（5，0），C（0，5a），所以直线BM解析式为y=−12x+52，与y轴于（0，52），因为a＞12，所以5a＞52，则点M必在△ABC内部．根据题意可分为两大部分：当分成两个三角形时，直线必过三角形个顶点，平分面积，则过点M的直线必为中线；当分成三角形和梯形时，过点M的直线必与△ABC一边平行，则必有“A”型相似，且相似比为1：2．再画出图形分别求解即可．
【解答】解：令y＝0，解得x＝1或x＝5，
∴A（1，0），B（5，0），
令x＝0，则y＝5a，
∴C（0，5a），
∴直线BM解析式为y=−12x+52，与y轴于（0，52），
∵a＞12，
∴5a＞52，
∴点M必在△ABC内部．
一、当分成两个三角形时，直线必过三角形个顶点，平分面积，则过点M的直线必为中线；
①如图1，直线AM过BC中点，
∵A（1，0），M（3，1），
∴直线AM的解析式为y=12x−12，
∵BC中点坐标为（52，52a），
代入直线求得a=310＜12，不成立；
②如图2，直线BM过AC中点（12，52a），
∴直线BM解析式为y=−12x+52，
将AC中点坐标（12，52a）代入入直线求得a=910；
③如图3，直线CM过AB中点，AB中点坐标为（3，0），
∴直线MB与y轴平行，不成立；

二、当分成三角形和梯形时，过点M的直线必与△ABC一边平行，
∴必有“A”型相似，
∵平分面积，
∴相似比为1：2．

④如图4，直线ME∥AB，
∴CECO=CNCA=12，
∴5a−15a=12，
解得a=2+25；
⑤如图5，直线ME∥AC，
∴BEAB=12，
∵AB＝4，
∴BE＝22，
∵BN＝5﹣3＝2＜22，
∴不成立；
⑤如图6，直线ME∥BC，
∴AEAB=12，∠MEN＝∠CBO，
∴AE＝22，NE＝22−1，tan∠MEN＝tan∠CBO，
∴122−2=5a5，
解得a=2+12．
故答案为：910或2+25或2+12．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，一次函数的性质等相关知识，涉及分类讨论思想等知识，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键．
3．（2023•内蒙古）已知二次函数y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0），若点P（m，3）在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为 　2　．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】将点P（m，3）代入函数解析式求解即可．
【解答】解：∵点P（m，3）在二次函数y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0）的图象上，
∴3＝﹣am2+2am+3，
∴﹣am（m﹣2）＝0，
解得m＝2或m＝0（舍去），
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
4．（2023•长春）2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民就商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面 　19　米．

【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令x＝0求平移后的抛物线与y轴的交点即可．
【解答】解：由题意可知：A （﹣40，4）、B （40，4）．H （0，20），
设抛物线解析式为：y＝ax2+20，
将 A （﹣40，4）代入解析式 y＝ax2+20，
解得：a=−1100，
∴y=−x2100+20，
消防车同时后退10米，即抛物线 y=−x2100+20向左平移后的抛物线解析式为：y=−(x+10)2100+20，
令x＝0，
解得：y＝19，
故答案为：19．
【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图象的平移及坐标轴的交点，解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式．
5．（2023•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n≥3．下列四个结论：
①b＜0；
②4ac﹣b2＜4a；
③当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则0＜m≤13．
其中正确的是　②③④　（填写序号）．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】①根据图象经过（1，1），c＜0，且抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，判断出抛物线的开口向下，即a＜0，再把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即可判断①错误；
②先得出抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，得出4ac−b24a＞1，根据4a＜0，利用不等式的性质即可得出4ac﹣b2＜4a，即可判断②正确；
③先得出抛物线对称轴在直线 x＝1.5 的右侧，得出（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，根据a＜0，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可得出③正确；
④根据方程有两个相等的实数解，得出Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，求出a＝c，根据根与系数的关系得出 mn=ca=1，即 n=1m，根据 n≥3，得出 1m≥3 求出m的取值范围，即可判断④正确．
【解答】解：①图象经过（1，1），c＜0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点 都在（1，0）的左侧，
∵（n，0）中n≥3，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即a＜0，
把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得：a+b+c＝1，
即b＝1﹣a﹣c，
∵a＜0，c＜0，
∴b＞0，
故①错误；
②∵a＜0，b＞0，c＜0，ca＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根的积大于0，
即mn＞0，
∵n≥3，
∴m＞0，
∴m+n2＞1.5，
即抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧，
∴抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，
∴4ac−b24a＞1，
∵4a＜0，
∴4ac﹣b2＜4a，
故②正确；
③∵m＞0，
∴当 n＝3 时，m+n2＞1.5，
∴抛物线对称轴在直线x＝1.5的右侧，
∴（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，
∵a＜0，抛物线开口向下，
∴距离抛物线越近的函数值越大，
∴t＞1，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝x可变为ax2+（b﹣1）x+c＝0，
∵方程有两个相等的实数解，
Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0．
∵把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，
∴（a+c）2﹣4ac＝0，
即a2+2ac+c2﹣4ac＝0，
∴（a﹣c）2＝0，
∴a﹣c＝0，
即a＝c，
∵（m，0），（n，0）在抛物线上，
∴m，n为方程 ax2+bx+c＝0 的两个根，
∴mn=ca=1，
∴n=1m，
∵n≥3，
∴1m≥3，
∴0＜m≤13．
故④正确．
综上，正确的结论有：②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，数形结合法，抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键．
6．（2023•福建）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 　﹣1＜n＜0　．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】由题意可知：抛物线的对称轴为x＝1，开口向上，再分点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧和点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧两种情况求解即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为：x=−b2a=1，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵y1＜y2，
∴若点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧，
由题意可得：2n+3＜1n−1＞11−(2n+3)＜n−1−1，
不等式组无解；
若点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧，
由题意可得：2n+3＞1n−1＜11−(n−1)＞2n+3−1，
解得：﹣1＜n＜0，
∴n的取值范围为：﹣1＜n＜0．
故答案为：﹣1＜n＜0．
【点评】本题主要考查的是二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标的特征，能根据题意正确列出不等式组是解决本题的关键．
7．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝　9　．
【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】函数思想；运算能力．
【分析】利用判别式Δ＝b2﹣4ac＝0即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，
∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．
即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，
解得：m＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点知识，明确Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数是解题的关键．
8．（2023•滨州）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水距离也为3m，那么水管的设计高度应为 　94m　．
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【分析】利用顶点式求得抛物线的解析式，再令x＝0，求得相应的函数值，即为所求的答案．
【解答】解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，
∴设这段抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3．
∵该抛物线过点（3，0），
∴0＝a（3﹣1）2+3，
解得：a=−34．
∴y=−34（x﹣1）2+3．
∵当x＝0时，y=−34×（0﹣1）2+3=−34+3=94，
∴水管的设计高度应为94m．
故答案为：94m．

【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的相关性质是解题的关键．
9．（2023•绍兴）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数y=14x2+bx+c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b＝　712或−2512　．

【考点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【分析】根据题意求得点A（3，0），B（3，4），C（0，4），然后分两种情况，利用待定系数法求出解析式即可．
【解答】解：由y＝（x﹣2）2（0≤x≤3），当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
∵A（3，0），四边形ABCO是矩形，
∴B（3，4），
①当抛物线经过O、B时，将点O（0，0），B（3，4）代入y=14x2+bx+c（0≤x≤3）得
c=014×9+3b+c=4，
解得b=712；
②当抛物线经过A、C时，将点A（3，0），C（0，4）代入y=14x2+bx+c（0≤x≤3）得
c=414×9+3b+c=0，
解得b=−2512，
综上所述，b=712或b=−2512，
故答案为：712或−2512，

【点评】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，能够理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
10．（2023•上海）一个二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是　y＝﹣x2+1（答案不唯一）　．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系求解（答案不唯一）．
【解答】解：由题意得：b＝0，a＜0，c＞0，
∴这个二次函数的解析式可以是：y＝﹣x2+1，
故答案为：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
11．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝　10　m．

【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【分析】令y＝0，得到关于x的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：令y＝0，则−112（x﹣10）（x+4）＝0，
解得：x＝10或x＝﹣4（不合题意，舍去），
∴A（10，0），
∴OA＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质和利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键．
12．（2023•巴中）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数y=k4x2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 　（3，0）或（4，0）　．
【考点】抛物线与x轴的交点；关于x轴、y轴对称的点的坐标；一次函数的性质；二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求出它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标．
【解答】解：当k＝0时，函数解析式为y＝﹣x﹣3，
它的“Y函数”解析式为y＝x﹣3，它们的图象与x轴都只有一个交点，
∴它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）；
当k≠0时，此函数为二次函数，
若二次函数y=k4x2+(k−1)x+k−3的图象与x轴只有一个交点，
则二次函数的顶点在x轴上，
即4×k4(k−3)−(k−1)24×k4=0，
解得k＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y=−14x2−2x−4=−14(x+4)2，
∴它的“Y函数”解析式为y=−14(x−4)2，
令y＝0，
则−14(x−4)2=0，
解得x＝4，
∴二次函数的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（4，0），
综上，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）．
故答案为：（3，0）或（4，0）．
【点评】本题考查了新定义，二次函数与x轴的交点坐标，坐标与图形变换﹣﹣﹣﹣轴对称，求一次函数解析式和二次函数解析式，理解题意，采用分类讨论的思想是解题的关键．
13．（2023•宜宾）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），顶点为M（﹣1，m），且抛物线与y轴的交点B在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论：①当﹣3≤x≤1时，y≤0；②当△ABM的面积为332时，a=32；③当△ABM为直角三角形时，在△AOB内存在唯一一点P，使得PA+PO+PB的值最小，最小值的平方为18+93．其中正确的结论是 　①②　．（填写所有正确结论的序号）

【考点】抛物线与x轴的交点；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；轴对称﹣最短路线问题；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】①根据抛物线的对称性可得：抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），再结合抛物线的性质可判断结论①；
②将（﹣3，0），（1，0）代入y＝ax2+bx+c，可得b＝2a，c＝﹣3a，得出y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，抛物线的顶点为M（﹣1，﹣4a），设抛物线对称轴交x轴于H，利用S△ABM＝S△AMH+S梯形BMHO﹣S△AOB，建立方程求解即可判断②；
③根据△ABM为直角三角形，利用勾股定理求得a=22，将△BPA绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A′，连接PP′，过点A′作A′T⊥x轴于点T，作A′Q⊥y轴于点Q，可得△BPP′和△ABA′是等边三角形，即AA′＝A′B＝AB=272，由于PA+PO+PB＝P′A′+PO+PP′，可得当点O，点P，点P′，点A′共线时，PA+PO+PB值最小，最小值为OA′，设A′（m，n），列方程组(−3−m)2+(−n)2=272(−322−n)2+(−m)2=272，求解即可求得m、n，再利用OA′2＝m2+n2，即可判断③．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），顶点为M（﹣1，m），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
∵抛物线的开口向上，
∴当﹣3≤x≤1时，y≤0；故①正确．
②将（﹣3，0），（1，0）代入y＝ax2+bx+c，得9a−3b+c=0a+b+c=0，
解得：b=2ac=−3a，
∴y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，
∴抛物线的顶点为M（﹣1，﹣4a），
设抛物线对称轴交x轴于H，如图，

则H（﹣1，0），
∴AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2，MH＝4a，OH＝1，
∵B（0，﹣3a），
∴OB＝3a，
∴S△ABM＝S△AMH+S梯形BMHO﹣S△AOB=12•AH•MH+12•（MH+OB）•OH−12OA•OB=12×2×4a+12×（4a+3a）×1−12×3×3a＝3a，
∵S△ABM=332，
∴3a=332，
∴a=32；故②正确．
③∵A（﹣3，0），B（0，﹣3a），M（﹣1，﹣4a），
∴AB2＝OA2+OB2＝32+（3a）2＝9+9a2，AM2＝AH2+MH2＝4+16a2，BM2＝1+a2，
若∠AMB＝90°，则AM2+BM2＝AB2，
即4+16a2+1+a2＝9+9a2，
解得：a=22，或a=−22（舍去）；
若∠ABM＝90°，则AB2+BM2＝AM2，
即9+9a2+1+a2＝4+16a2，
解得：a＝1，或a＝﹣1（舍去）；
若∠BAM＝90°，则AB2+AM2＝BM2，
即9+9a2+4+16a2＝1+a2，
整理得：a2=−12（无解）；
∵点B在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间（不含端点），
∴﹣3＜﹣3a＜﹣2，
∴23＜a＜1，
∴a=22，
∴OB=322，AB2=272，
如图，将△BPA绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A′，连接PP′，过点A′作A′T⊥x轴于点T，作A′Q⊥y轴于点Q，

∴BP＝BP′，PA＝P′A′，∠PBP′＝∠ABA′＝60°，
∴△BPP′和△ABA′是等边三角形，
∴BP＝PP′，AA′＝A′B＝AB=272，
∴PA+PO+PB＝P′A′+PO+PP′，
∴当点O，点P，点P′，点A′共线时，PA+PO+PB值最小，最小值为OA′，
此时∠APB＝∠APO＝∠BPO＝120°，
设A′（m，n），
则A′T＝﹣n，AT＝﹣3﹣m，A′Q＝﹣m，BQ＝﹣n−322，
在Rt△AA′T中，AT2+A′T2＝AA′2，
在Rt△BA′Q中，BQ2+A′Q2＝A′B2，
即(−3−m)2+(−n)2=272(−322−n)2+(−m)2=272，
解得：m=−6−364n=−32−634，
∴OA′2＝m2+n2＝（−6−364）2+（−32−634）2=27+962，
故③错误；
故答案为：①②．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，三角形面积，勾股定理，旋转变换的应用，等边三角形的判定和性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

考点卡片
1．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
2．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
3．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移|b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
4．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a），对称轴直线x=−b2a，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜−b2a时，y随x的增大而减小；x＞−b2a时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜−b2a时，y随x的增大而增大；x＞−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|−b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
5．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
6．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=−b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
7．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
8．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
9．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
10．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
11．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
12．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
13．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．


14．梯形
（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

15．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
16．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
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