中考数学二轮精品专题复习 概率(填空题)

这是一份中考数学二轮精品专题复习 概率(填空题)，共24页。

2023年中考数学真题知识点汇编之《概率(填空题)》
一．填空题（共28小题）
1．（2023•大连）一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为 　 　．
2．（2023•北京）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B、C，D、E，F、G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序
A
B
C
D
E
F
G
所需时间/分钟
9
9
7
9
7
10
2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 　 　分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 　 　分钟．
3．（2023•辽宁）如图，等边三角形ABC是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往△ABC内投一粒米，落在阴影区域的概率为 　 　．

4．（2023•深圳）小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为 　 　．
5．（2023•湖北）有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后（不放回），再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为 　 　．
6．（2023•菏泽）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 　 　．
7．（2023•绥化）在4张完全相同的卡片上，分别标出1，2，3，4．从中随机抽取1张后，放回再混合在一起．再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是 　 　．
8．（2023•黑龙江）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是 　 　．
9．（2023•兰州）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
累计抛掷次数
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
盖面朝上次数
28
54
106
158
204
527
1056
1587
2650
盖面朝上频率
0.5600
0.5400
0.5300
0.5267
0.5280
0.5270
0.5280
0.5290
0.5300
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是 　 　．（填序号）
10．（2023•广西）某班开展“梦想未来、青春有我”主题班会，第一小组有2位男同学和3位女同学，现从中随机抽取1位同学分享个人感悟，则抽到男同学的概率是 　 　．
11．（2023•聊城）在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字−3，6，0，2，π的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为 　 　．
12．（2023•郴州）在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是 　 　．
13．（2023•滨州）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子点数之和等于7的概率是 　 　．
14．（2023•金华）如表为某中学统计的七年级500名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是 　 　．
“偏瘦”
“标准”
“超重”
“肥胖”
80
350
46
24
15．（2023•天津）不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 　 　．
16．（2023•上海）在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为　 　．
17．（2023•扬州）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n
2
5
10
50
100
500
1000
1500
2000
3000
发芽的频数m
2
4
9
44
92
463
928
1396
1866
2794
发芽的频率mn（精确到0.001）
1.000
0.800
0.900
0.880
0.920
0.926
0.928
0.931
0.933
0.931
这种绿豆发芽的概率的估计值为 　 　（精确到0.01）．
18．（2023•杭州）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为25，则n＝　 　．
19．（2023•衡阳）一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 　 　．
20．（2023•山西）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 　 　．

21．（2023•台州）一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是 　 　．
22．（2023•宁波）一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余相同．从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为 　 　．
23．（2023•新疆）在平面直角坐标系中有五个点，分别是A（1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，﹣3），D（4，3），E（2，﹣3），从中任选一个点恰好在第一象限的概率是 　 　．
24．（2023•浙江）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 　 　．

25．（2023•重庆）有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 　 　．
26．（2023•南充）不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为0.6，若袋中有4个白球，则袋中红球有 　 　个．
27．（2023•自贡）端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是 　 　．
28．（2023•重庆）一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是 　 　．

2023年中考数学真题知识点汇编之《概率(填空题)》
参考答案与试题解析
一．填空题（共28小题）
1．（2023•大连）一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为 　12　．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】统计与概率；数据分析观念．
【分析】根据题意，画出相应的树状图，然后即可求得两次标号之和为3的概率．
【解答】解：树状图如图所示，

由上可得，一共存在4种等可能性，其中两次标号之和为3的可能性有2种，
∴两次标号之和为3的概率为24=12，
故答案为：12．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
2．（2023•北京）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B、C，D、E，F、G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序
A
B
C
D
E
F
G
所需时间/分钟
9
9
7
9
7
10
2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 　53　分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 　28　分钟．
【考点】概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；运算能力．
【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案．
【解答】解：由题意得：9+9+7+9+7+10+2＝53（分钟），
即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；
假设这两名学生为甲、乙，
∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，
∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，
然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟，
最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，
∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+9+10＝28（分钟），
故答案为：53，28．
【点评】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．
3．（2023•辽宁）如图，等边三角形ABC是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往△ABC内投一粒米，落在阴影区域的概率为 　59　．

【考点】几何概率；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；应用意识．
【分析】根据几何概率的求法：落在阴影区域的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：∵总面积为9个大小相等的等边三角形的面积，其中阴影区域面积为5个大小相等的等边三角形的面积，
∴随机地往△ABC内投一粒米，落在阴影区域的概率为59．
故答案为：59．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
4．（2023•深圳）小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为 　14　．
【考点】概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】直接由概率公式求解即可．
【解答】解：小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，拿到《红星照耀中国》这本书的概率为14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
5．（2023•湖北）有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后（不放回），再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为 　16　．
【考点】列表法与树状图法；中心对称图形．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；应用意识．
【分析】画树状图表示出所有等可能的结果数和抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的结果数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：设等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆分别为A，B，C，D，
根据题意画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的结果有2种，
∴抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为212=16，
故答案为：16．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．
6．（2023•菏泽）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 　59　．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中是偶数的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中是偶数的结果有5种，
∴是偶数的概率为59，
故答案为：59．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（2023•绥化）在4张完全相同的卡片上，分别标出1，2，3，4．从中随机抽取1张后，放回再混合在一起．再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是 　12　．
【考点】列表法与树状图法；数的整除；概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的结果有8种，
∴第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是816=12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了树状图法，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（2023•黑龙江）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是 　35　．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中恰好是一红一白的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中恰好是一红一白的结果有12种，
∴恰好是一红一白的概率是1220=35，
故答案为：35．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（2023•兰州）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
累计抛掷次数
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
盖面朝上次数
28
54
106
158
204
527
1056
1587
2650
盖面朝上频率
0.5600
0.5400
0.5300
0.5267
0.5280
0.5270
0.5280
0.5290
0.5300
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是 　①③　．（填序号）
【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】根据图表和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；
②第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确，
故答案为：①③．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．
10．（2023•广西）某班开展“梦想未来、青春有我”主题班会，第一小组有2位男同学和3位女同学，现从中随机抽取1位同学分享个人感悟，则抽到男同学的概率是 　25　．
【考点】概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；应用意识．
【分析】根据概率公式即可得到结论．
【解答】解：抽到男同学的概率是25，
故答案为：25．
【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
11．（2023•聊城）在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字−3，6，0，2，π的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为 　25　．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：根据题意列树状图如下：

共有20个等可能的结果，两球上的数字之积恰好是有理数有8种，
∴两球上的数字之积恰好是有理数的概率为820=25．
故答案为：25．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．（2023•郴州）在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是 　710　．
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【专题】概率及其应用；运算能力．
【分析】从袋子中随机摸出1个球共有10种等可能结果，其中是红球的有7种结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵从袋子中随机摸出1个球共有10种等可能结果，其中是红球的有7种结果，
∴从袋子中随机取出一个球，是红球的概率为710．
故选：710．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13．（2023•滨州）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子点数之和等于7的概率是 　16　．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出和为7的结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：列表如下：
和 第1枚
第2枚
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
一共有36种等可能，其中和等于7的有6种可能，
∴P（和等于7）=636=16．
故答案为：16．
【点评】本题考查列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
14．（2023•金华）如表为某中学统计的七年级500名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是 　710　．
“偏瘦”
“标准”
“超重”
“肥胖”
80
350
46
24
【考点】概率公式．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；运算能力．
【分析】根据概率公式计算即可．
【解答】解：七年级共有500名学生，体重“标准”的学生有350名，
∴P(体重“标准”)=350500=710．
故答案为：710．
【点评】本题主要考查了概率的计算．某事件的概率＝这个事件发生的结果数除以总的结果数．
15．（2023•天津）不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 　710　．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
【分析】找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵袋子中共有10个球，其中绿球有7个，
∴从袋子中随机取出1个球，它是绿球的概率是710，
故答案为：710．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）=mn．
16．（2023•上海）在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为　25　．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】从中随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中是绿球的有4种结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：由题意知，从中随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中是绿球的有4种结果，
所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为410=25，
故答案为：25．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
17．（2023•扬州）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n
2
5
10
50
100
500
1000
1500
2000
3000
发芽的频数m
2
4
9
44
92
463
928
1396
1866
2794
发芽的频率mn（精确到0.001）
1.000
0.800
0.900
0.880
0.920
0.926
0.928
0.931
0.933
0.931
这种绿豆发芽的概率的估计值为 　0.93　（精确到0.01）．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】当试验次数足够大时，发芽的频率逐渐稳定并趋于某一个值，这个值作为概率的估计值．
【解答】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.93左右，所以可估计这种绿豆发芽的机会大约是0.93．
故答案为：0.93．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
18．（2023•杭州）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为25，则n＝　9　．
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【专题】概率及其应用；运算能力．
【分析】根据红球的概率公式，列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意，66+n=25，
解得n＝9，
经检验n＝9是方程的解．
∴n＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查概率公式，根据公式列出方程求解则可．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（2023•衡阳）一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 　14　．
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【专题】统计与概率；数据分析观念．
【分析】根据一个布袋中放着3个红球和9个黑球，可以计算出从布袋中任取1个球，取出红球的概率．
【解答】解：∵一个布袋中放着3个红球和9个黑球，
∴从布袋中任取1个球，取出红球的概率是33+9=14，
故答案为：14．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
20．（2023•山西）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 　16　．

【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】画树状图，共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：

共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，即AC、CA，
∴抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是212=16，
故答案为：16．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（2023•台州）一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是 　25　．
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【专题】概率及其应用；运算能力．
【分析】利用红球的个数÷球的总个数可得红球的概率．
【解答】解：∵一个口袋里有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球，
∴摸到红球的概率是25．
故答案为：25．
【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（2023•宁波）一个不透明的袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余相同．从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为 　14　．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
【分析】根据概率公式可知，用绿球的个数除以球的总数即可．
【解答】解：∵袋子里装有3个绿球、3个黑球和6个红球，
∴从袋中任意摸出一个球是绿球的概率为33+3+6=14．
故答案为：14．
【点评】此题考查了概率公式，熟知概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
23．（2023•新疆）在平面直角坐标系中有五个点，分别是A（1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，﹣3），D（4，3），E（2，﹣3），从中任选一个点恰好在第一象限的概率是 　25　．
【考点】概率公式；点的坐标．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；运算能力．
【分析】利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵从中任选一个点共有5种等可能的结果，在第一象限的点有A和D两个，
∴从中任选一个点恰好在第一象限的概率是：25．
故答案为：25．
【点评】此题考查了概率公式和点的坐标．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（2023•浙江）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 　13　．

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【专题】概率及其应用；运算能力．
【分析】直接根据概率公式求解即可．
【解答】解：从这三张卡片中随机挑选一张，是“琮琮”的概率是13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
25．（2023•重庆）有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 　14　．
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【专题】统计与概率；数据分析观念．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出相应的概率．
【解答】解：树状图如图所示，

由上可得，一共有16种等可能性，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的有4种可能性，
∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为416=14，
故答案为：14．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
26．（2023•南充）不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为0.6，若袋中有4个白球，则袋中红球有 　6　个．
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【专题】概率及其应用；运算能力．
【分析】设红球有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：设红球有x个，
根据题意得：xx+4=0.6，
解得：x＝6，
经检验x＝6是原方程的根，
则袋中红球有6个．
故答案为：6．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
27．（2023•自贡）端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是 　25　．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把2个蛋黄粽分别记为A、B，3个鲜肉粽分别记为C、D、E，
画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子的结果有8种，
即AB、BA、CD、CE、DC、DE、EC、ED，
∴爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是820=25，
故答案为：25．
【点评】此题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
28．（2023•重庆）一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是 　19　．
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种，
∴两次都摸到红球的概率是19，
故答案为：19．
【点评】此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

考点卡片
1．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
2．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
3．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
4．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
5．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
6．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
7．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
8．数的整除
数的整除